技巧03數學文化與閱讀材料的解析與答題方法

目錄

01考情透視?目標導航.................................................1

02知識導圖?思維引航.................................................2

03知識梳理?方法技巧................................................3

04真題研析?精準預測................................................4

05核心精講?題型突破................................................6

題型一：融合傳統文化和數學史的數學閱讀題6

題型二：融合其他學科知識的數學閱讀題7

題型三：融合社會熱點和建設成就的數學閱讀題9

題型四：融合生活實際的數學閱讀題12

力考情透視?目標導航N

.數學文化與數學閱讀是一高考重點考查的內容之一丁命題形式多種多樣「主要以選擇題,填空題為主丁難

度適中.

匐2

㈤3

.口過臨孑里?—拈一

數學文化與數學閱讀試題一般從中外優秀傳統文化和生產生活實際中挖掘素材，將數學文化、生活情境

與高中數學知識有機結合.其解答過程大致需要實現兩個轉化：先是將實際問題轉化為數學問題，然后再將

數學問題轉化為問題結果.具體地說，就是先通過閱讀情境、審讀題目，在明確對象、分析過程（或狀態）

的基礎上過濾情境，并構造出符合題意的數學模型，從而使“實際問題”轉化為“數學問題”；接著選用恰當

的數學方法求解作答，得出“問題結果”，并將其納入原問題的情境中，予以“檢驗討論”，對解題過程作出評

價.其中過濾情境、構建模型的環節至關重要，它既是使復雜的實際問題轉化為相應的數學問題的前提，也

是正確選用數學方法、求解數學問題的依據，起著承上啟下的關鍵作用.

0

心真題砒標?精御皿\\

1.（2023年北京高考數學真題）坡屋頂是我國傳統建筑造型之一，蘊含著豐富的數學元素.安裝燈帶可以

勾勒出建筑輪廓，展現造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩

個面是全等的等腰三角形.若A6=25m,3C=A￡>=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面

與平面A38的夾角的正切值均為巫，則該五面體的所有棱長之和為（）

5

B.112m

C.117mD.125m

2.（2022年新高考全國n卷數學真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結構，44'1瓦"',。。’是桁，相鄰

桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中。是

舉，OQ,￡>G，C昂網是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為第=0-5,器=配黑=履，普=%.已知

URCZ）!n/ij

4歡2,《成公差為01的等差數列，且直線04的斜率為0.725,則%=（

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

3.（2022年高考全國甲卷數學（理）真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了

計算圓弧長度的“會圓術”，如圖，A5是以。為圓心，。4為半徑的圓弧，。是的中點，。在A3上,

CD2

CDLAB.“會圓術”給出方的弧長的近似值$的計算公式：s=AB+^~.當。4=2,ZAQ5=60。時,

OA

s=()

.11-3^D11-4A/3?9-36c9-473

2222

4.（2023年北京高考數學真題）我國度量衡的發展有著悠久的歷史，戰國時期就已經出現了類似于祛碼

的、用來測量物體質量的“環權”.已知9枚環權的質量（單位：銖）從小到大構成項數為9的數列｛風｝,

該數列的前3項成等差數列，后7項成等比數列，且q=l,4=12,%=192,則%=；數列｛。“｝

所有項的和為.

5.（2022年新高考浙江數學高考真題）我國南宋著名數學家秦九韶，發現了從三角形三邊求面積的公式,

他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統數學的一個空白.如果把這個方法寫成公式，就是

,其中q,匕，。是三角形的三邊，S是三角形的面積.設某三角形的三邊

a=y/l,b=y/3,c=2,則該三角形的面積S=.

㈤5

孩心精說，題型突破

題型一：融合傳統文化和數學史的數學閱讀題

【典例1」】“學如逆水行舟，不進則退；心似平原跑馬，易放難收"（明?《增廣賢文》）是勉勵人們專心學

習的.如果每天的“進步”率都是1%,那么一年后是（1+1%15=1.01365；如果每天的“退步”率都是1%,那么

一年后是。_1%戶5=0.99365.那么大約經過（）天后“進步”的是“退步”的2倍.請選出最接近的一項.

（1g2^0.301030,IglOl?2.004321,lg99?1.995635）（）

A.25B.30C.35D.40

【典例1-2】我國古代數學經典著作《九章算術》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，

不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何?”現有一類似問題：不確定大小的圓柱形木材，部

分埋在墻壁中，其截面如圖所示用鋸去鋸這木材，若=|AB|=2,則圖中弧ACB與弦A3圍成的

A."B.女-括C.女-#D.竺-布

3333

【變式1-1】荀子《勸學》中說：“不積度步，無以至千里;不積小流，無以成江海.”所以說學習是日積月累

的過程，每天進步一點點，前進不止一小點.我們可以把（1+1%）瘦看作是每天的“進步”率都是1%,一年后

是1.0儼5。37.7834;而把（1-1%嚴5看作是每天“退步”率都是1%,一年后是0.99365夕0.0255;這樣，一年后的

10儼5

“進步值”是“退步直’的“1481倍.那么當“進步”的值是“退步”的值的4倍，大約經過（）天.（參考

0.99365

數據：IglOl?2.0043,lg99?1.9956,lg2?0.3010）

A.18B.30C.51D.69

【變式1-2］如圖是一種帳篷示意圖，帳頂采用“五脊四坡式”，四條斜脊的長度相等，一條正脊平行于底

4

面，正脊與斜脊長度的比為］,底面為矩形且長與寬之比為2：1,若各斜坡面與底面所成二面角都相等，

則該二面角的正切值為（）

正脊

斜脊

A.IB.yC.BD.G

243

［命題預測I

力...................

1.大衍數列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍

生原理.數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量總和，是中華傳統文化中隱藏

著的世界數學史上第一道數列題.其前10項依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,則此數

列的第20項為（）

A.162B.180C.200D.220

2.公元3世紀，劉徽發現可以用圓內接正多邊形的周長近似的表示圓的周長.如圖所示，他首先在圓內

畫一個內接正六邊形，再不斷地增加正多邊形的邊數；當邊數越多時，正多邊形的周長就越接近于圓的周

長.劉徽在《九章算術》中寫道：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無

所失矣."我們稱這種方法為劉徽割圓術，它開啟了研究圓周率的新紀元.小牧通過圓內接正〃邊形，使用

劉徽割圓術，得到兀的近似值為（）

360°

D.n-sin

n

題型二：融合其他學科知識的數學閱讀題

【典例2-1】波恩哈德?黎曼（1866.07.20~1926.09.17）是德國著名的數學家.他在數學分析、微分幾何方面

作出過重要貢獻，開創了黎曼幾何，并給后來的廣義相對論提供了數學基礎.他提出了著名的黎曼函數，該

,,—,x=qp,qwZ*,p,q互質）

函數的定義域為［0』，其解析式為:“x）=qq'）,下列關于黎曼函數的說法不正

0,工=0或1或（0』）內的無理數,.

硬的是（）

A.L（^）=L（l-x）

B.關于x的不等式”x）＞?+［的解集為

C.￡（?+/?）＞L（?）+L（Z?）

D.￡（?）￡（&）＜￡（?Z?）

【典例2-2】設a,b為非負整數，加為正整數，若。和6被加除得的余數相同，則稱。和6對模加同余，記

為。三6（mod〃z）.若"為質數，〃為不能被P整除的正整數，則心Tml（modp）,這個定理是費馬在

1636年提出的費馬小定理，它是數論中的一個重要定理.現有以下4個命題：①23°+1三65（mod7）；②

對于任意正整數三0（modl3）；③對于任意正整數三0（mod7）；④對于任意正整數

尤,一—1三1（mod5）.則所有的真命題為（）

A.①③④B.②③④C.①②③D.①②④

【變式2-1］天文學家卡西尼在研究土星及其衛星運行規律時發現了到兩定點距離之積為定值的點的軌跡

是一條曲線，我們稱該曲線為卡西尼卵形線.已知兩定點耳（-2,0）,8（2,0）,動點P（x,y）滿足

1MHp6|=4,設尸的軌跡為曲線C,則下列結論不正確的是（）

A.C既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形B.|x|W20

C.APKF2的面積大于2D.聞41

【變式2-2】北斗衛星導航系統是中國自行研制的全球衛星導航系統.已知衛星運行軌道近似為以地球為

圓心的圓形，運行周期T與軌道半徑R之間關系為〃=K-R3（K為常數）.已知甲、乙兩顆衛星的運行軌

道所在平面互相垂直，甲的周期是乙的8倍，且甲的運行軌道半徑為。km,4臺分別是甲、乙兩顆衛星的

運行軌道上的動點，則A,8之間距離的最大值為（）

.A/17,?5.

A.--〃kmB.—akm

44

3

C.—akmD.5〃km

命題預測||

1.如圖所示，“嫦娥四號”衛星沿地月轉移軌道飛向月球后，在月球附近一點尸變軌進入以月球球心月為一

個焦點的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛星在P點第二次變軌進入仍以P為一個焦點的橢圓軌道II繞月飛

行，若用2。和2c°分別表示橢圓軌道I和II的焦距，用2%和2出分別表示橢圓軌道I和H的長軸長，給出

下列式子：①%-仇=的一。2；②%+。1=%+。2；③④亍.其中正確的是()

A.②③B.①④C.①③D.②④

2.據報道，從2024年7月16日起，“高原版”復興號動車組將上線新成昆鐵路和達成鐵路，“高原版”復興

號動車組涂裝用的是高耐性油漆，可適應高海拔低溫環境.“高原版”復興號動車組列車全長236.7米，由9

輛編組構成，設有6個商務座、28個一等座、642個二等座，最高運行時速達160千米，全列定額載客

676人.假設“高原版”復興號動車開出站一段時間內，速度"(m/s)與行駛時間f(s)的關系為

v=14+0.3/je[0,12],則當f=10s時，“高原版”復興號動車的加速度為()

A.4.4m/s2B.7.4m/s2C.17m/s2D.20m/s2

題型三：融合社會熱點和建設成就的數學閱讀題

【典例3-1](多選題)“曲線電瓶新聞燈”是記者常用的一種電瓶新聞燈，具有體積小，光線柔和等特

點.這種燈利用了雙曲線的光學性質：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經雙曲線反射后，反射光線的反

向延長線經過雙曲線的另一個焦點.并且過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角，如圖

所示：

22

已知雙曲線'-'=1左、右焦點為片，F2,A（3,2括），點M的坐標為（1,0）,則下列結論正確的是

（）

A.雙曲線C的離心率為2

B.^AM=ZF.AM

C.過點鳥作與H垂直AM的延長線于H,則“（0,一6）

D.若從工射出一道光線，經雙曲線反射，其反射光線所在直線的斜率的取值范圍為卜應，點）

【典例3-2］（多選題）游客從杭州城站到西湖之濱，最先看到的是公園瀕湖一帶的護欄，南北綿延約1公

里，柱與柱之間是一條條輕勻懸鏈，映照湖上的水光山色.德國數學家萊布尼茲把這種架在等高兩柱間，

自然下垂有均勻密度的曲線稱為懸鏈線.如果建立適當的平面直角坐標系，那么懸鏈線可以表示為函數

/（x）=|eT+e"L其中a>0,則下列關于懸鏈線函數『（%）的性質判斷中，正確的有（）

A.為奇函數B.“X）為偶函數

C.“X）的最小值為aD.的單調增區間為［0,田）

【變式3-1】2024年10月30日，神舟十九號載人飛船發射成功，執行此次飛行任務的航天員有蔡旭哲、

宋令東、王浩澤.所有航天員都需要在載人離心機中進行超重耐力與適應性訓練.如圖所示，離心機的座艙

繞離心機的中心在水平面內做勻速圓周運動，若圓周運動的半徑為8m,速度為每秒1■圈，則座艙運動40兀

m需要的時間為s.

【變式3-2】中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝

術，剪紙具有廣泛的群眾基礎，交融于各族人民的社會生活，是各種民俗活動的重要組成部分，其傳承窿

續的視覺形象和造型格式，蘊含了豐富的文化歷史信息，是中國古老的民間藝術之一.己知某剪紙的裁剪

工藝如下：取一張半徑為1的圓形紙片，記為。。，在。。內作內接正方形，接著在該正方形內作內切圓，

記為。。|,并裁去該正方形與內切圓之間的部分（如圖所示陰影部分），記為一次裁剪操作，…，重復上述

裁剪操作〃次，最終得到該剪紙，則第2025次操作后，所有被裁部分的面積之和為.

［命題預測ni

1.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一.在新春來臨之際，許多地區人

們為了達到裝點環境、渲染氣氛，寄托辭舊迎新、接福納祥的愿望，設計了一種由外圍四個大小相等的

半圓和中間正方形所構成的剪紙窗花（如左圖）.已知正方形ABCD的邊長為4,中心為。，四個半圓的

圓心均在正方形ABCD各邊的中點（如右圖）.若點P位于半圓弧AD的中點，APPC的值為；

若點P在四個半圓的圓弧上運動，則ACOP的取值范圍是—

2.上海市奉賢區奉城鎮的古建筑萬佛閣（圖1）的屋檐下常系掛風鈴（圖2）,風吹鈴動，悅耳清脆，亦

稱驚鳥鈴，一般一個驚鳥鈴由銅鑄造而成，由鈴身和鈴舌組成，為了知道一個驚鳥鈴的質量，可以通過計

算該驚鳥鈴的體積，然后由物理學知識計算出該驚鳥鈴的質量，因此我們需要作出一些合理的假設：

假設1：鈴身且可近似看作由一個較大的圓錐挖去一個較小的圓錐；

假設2：兩圓錐的軸在同一條直線上；

假設3：鈴身內部有一個掛鈴舌的部位的體積忽略不計.

截面圖如下（圖3）,其中。C>3=20cm,O2O3=18cm,/IB=16cm,則制作100個這樣的驚鳥鈴的鈴身至

少需要千克銅.（銅的密度為8.9g/cmD（結果精確到個位）

題型四：融合生活實際的數學閱讀題

【典例4-1】天津相聲文化是天津具有代表性的地域文化符號，天津話妙趣橫生，天津相聲精彩紛呈，是

最具特色的旅游亮點之一.某位北京游客經常來天津聽相聲，每次從北京出發來天津乘坐高鐵和大巴的概率

分別為0.6和0.4,高鐵和大巴準點到達的概率分別為0.9和0.8,則他準點到達天津的概率是（分

數作答）.若他已準點抵達天津，則此次來天津乘坐高鐵準點到達比乘坐大巴準點到達的概率高

（分數作答）.

【典例4-2】北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用，在數學上用曲率刻畫空間彎曲性.

規定：多面體的頂點的曲率等于2兀與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面

角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.

■JT

例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是所