模塊04數列與平面向量

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.（24-25高三上?江蘇常州?期末）已知。，b,ceR,貝!|“。，b,c既是等差數列又是等比數列”是

“a=b=c”的（）

A.充分且不必要條件B.必要且不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用推出關系去判斷充要關系即可.

【詳解】當a=6=c=0時，6,c是等差數列，不是等比數列，

當a,b,c既是等差數列又是等比數列，則a=6=c,

故"a,6,c既是等差數列又是等比數列，，是“a=6=c”的充分不必要條件，

故選：A.

2.（2025高三?全國?專題練習）如圖，在平行四邊形中,點E滿足=點尸為C。的中點,

則瓦+左=（）

F____c

s/

AB

3—1—3—1—3—5—1—?5—?

A.-AB+-ADB.-AB+-ADC.-AB+-ADD.-AB+-AD

23242424

【答案】B

【分析】根據平面向量的線性運算求解即可.

【詳解】因為麗=；而，所以萬萬=皮+區=在一1詬.

因為點尸為CD的中點，所以#=詬+而=7萬+1方，

2

——3—?1——

所以DE+Z尸=—N8+—

24

故選：B.

3.（24-25高三上?遼寧?期末）記等差數列｛%｝的前"項和為S”，公差為d,若%+%8>°，耳9<0,則

()

A.邑0<°B.+。]4<°C.。6+%7<°D.—G（-10,-9）

d

【答案】D

【分析】由等差數列前"和公式與等差中項得到$2。>。，判斷A選項；由九=19q0<0得到％<0,結合等

差中項的+%8=%。+%>0,得到與0的大小關系，然后由%+%4=2%的結果判斷B選項；由體。與%1

的大小關系得到數列的增減性，再對4+出進行放縮得到結論，判斷C選項；由生。與%的正負情況建立

不等式組，求得多的范圍，判斷D選項.

a

【詳解】因為凡。=20（%+七。）=20（%+小）>0,所以A不正確；

22

6=19（%；即,）=電/<0,所以/<o,

又因為%+為8=%0+%>。，所以41>0,則=2孫>0,所以B不正確；

由4o<O，%>0知1>0,即｛%｝為遞增數列，

所以4+%7>。5+。17=2%1>。，所以C不正確；

+10d>0n

由g,得-10<?<-9,所以D正確.

[%+9d<0d

故選：D.

4.（2024?山東淄博,二模）已知等比數列｛。〃｝,%=4,%o=16,則以=（）

A.8B.±8C.10D.±10

【答案】A

【分析】運用等比中項，結合等比數列通項公式即可解決.

【詳解】根據等比中項知道d=。2%。，求得d=64,則4=±8.

4

又必=a2q>0,則&=8.

故選：A.

5.（24-25高三上?廣東汕頭?期末）已知平面向量而滿足：同=網=1,歸-2,=歸+2可，則歸-*（）

A.41B.V3C.2D.V5

【答案】A

【分析】先根據已知條件求出限6的值，再代入向量3-3的模長公式求解.

【詳解】已知|?-2司=團+2司，兩邊同時平方可得:(4-2彳=領+2斤.

展開得到：a2-4a-b+4b2=a2+4a-b+4b2.

因|圳=標|=1,貝1|。2=廬=1，上式化為：l-4a-b+4=l+4a-b+4，即1葦=0.

\a-b\=7(5-5)2=yla2-2a-b+b2=J1-0+1=亞.

故選：A.

6.(2025高三?全國?專題練習)已知｛6｝為等比數列，S"為數列｛七｝的前”項和，an+l=2Sn+2,則為的值

為()

A.3B.18C.54D.152

【答案】C

【分析】對方程%+i=2S.+2中的"進行賦值得出=2%+2,%=2m+電)+2,進而轉化為關于等比數列

基本量的方程，求解即可.

【詳解】由題意得，當"=1時，出=2%+2,即為q=2q+2

當”=2時，%=2(%+°2)+2,即a/=2(%+。/)+2

aq=2%+2

x解得%=則&=aq3=

聯立22,q=3,x54.

a{q=2(Q[+QU)+2

故選：C.

7.(2024?江蘇南通?模擬預測)定義：已知數列｛a“｝(〃eN*)的首項q=1,前〃項和為S”.設X與左是常數,

若對一切正整數",均有/「旅成立，則稱此數列為《”數列.若數列｛&｝("€N*)是“*&2”數

列，則數列｛%｝的通項公式為=()

[1("=1)

A.3*4"-2C.4x3-2'14X3"-2("22)

B-KW)

【答案】B

【分析】由題可知人》仁2,根據定義得―-/邛”/,根據平方差公式化簡得"色,

求得S"，最后根據S”-S“T=%(">1),即可求出數列｛%｝的通項公式.

【詳解】因為數列{4,}(〃eN*)是“q&2”數列，則2左=2,

11/?1

222

所以sn+l-Sn=—a?+l,而Sn+i-Sn=an+l,

■.-an>0,.-.Sn+l>Sn,.-.Sj-Sj>0'

11/?1

22

■■-s?+l-s?=^-(s?+i-sny,

i_]_i2_

=-(V-Sj)(V+SJ),

_L_L]_LJ11

???Sj-Sj=§(S"+5+s『),；.5?+J=2Sj,.-.Sn+l=4Sn,.-.Sn=4"T，

S]=%=1,Sn=4"T,

%=4"T-4"-2=3.4、22,

f1,M=1

[3x4''-2,n>2'

故選：B

凡+1,”為奇數

8.（24-25高二上?天津濱海新?階段練習）已知數列｛%｝的前〃項和為S“，且q=l,a

n+l為+2,〃為偶數

則邑。的值為（）

A.300B.25C.210D.29-1

【答案】A

【分析】分情況求數列的通項公式，進而求和.

【詳解】當“為奇數時，an+1=an+l,則。“+2=&+1+2,即。“+2=。”+3,

所以當〃為奇數時，a?=?,+^^x3=—,

22

又。2=+1=2,

當"為偶數時，%+1=%+2,貝1|。“+2=。用+1，即。"+2=。“+3,

所以當〃為偶數時，%=2+"2x3=也二，

22

即匚，〃為奇數

綜上所述%=w,

豈為偶數

a

所以*S*20=%+d2~\-----FQ]9+20

=（%+%+…+〃19）+（〃2++…+〃20）

?3x19-1。3x20-2

1+-----------2+------------

=-------2—X10+----------2——X10

22

=145+155

=300,

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.（24-25高三上?湖北隨州?期末）下列命題正確的是（）

A,零向量是唯一沒有方向的向量

B.零向量的長度等于0

ab-

c.若都為非零向量，則使口+而=0成立的條件是￡與書反向共線

D.右a=B,c=b，則a=c

【答案】BCD

ab

【分析】A.由零向量的定義判斷；B.由零向量的定義判斷；C.根據同，同都是單位向量判斷；D.由向量相

等的定義判斷.

【詳解】A.零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯誤；

B.由零向量的定義知，零向量的長度為0,故B正確；

abab

C.因為同’時都是單位向量’所以只有當同與同是相反向量’即。與B反向共線時才成立’故C正確；

D.由向量相等的定義知D正確；

故選：BCD.

10.（24-25高三上?吉林長春?期末）已知向量&,b,已滿足2=（1,1）,b=（-1,2）,c=（2m,n-l）,則（）

A.歸-q=5B.當日〃3時，4m+=1

C.當(23+3)_L萬時,m+2n=2D.B在&上的投影向量的坐標為_L1

【答案】BC

【分析】根據向量坐標運算及模的定義判斷A,根據向量平行可得坐標關系判斷B,根據垂直向量的數量積

為0判斷C,根據投影向量的概念判斷D.

【詳解】對A,?=(1,1),6=(一1,2),a-b=(2,-l),所以8*舟+(_1『_石,故A錯誤；

對B,6=(-1,2),c=(2m,n-l),當在〃］時，-(n-V)=2x2m,即4刃+〃=1,故B正確；

對C,25+^=(1,4),由(2N+B),己可得2機+4(〃-1)一0,即加+2〃=2,故C正確；

對D,B在衣的投影向量為a向-b丁al飛x(-l)+一lx2『(1,1)七(1，故D錯誤.

故選：BC

11.(2024?湖北黃岡?二模)數列｛%｝滿足：a1=l,S?_1=3a?(n>2),則下列結論中正確的是()

A.g=；B.｛0“｝是等比數列

44

C?an+l=-an,n>2,n>2

【答案】AC

14

【分析】利用已知求得生=針可判斷A；Sn-Sn_x=3an+-3an(n>2),可得a用=§%(力22),判斷BC,

進而求得S"_],判斷D.

【詳解】由S.T=3%("22),

當〃=2,S]=%=3a2=1,解得%=g,故A正確；

當〃WL可得S“=3a“+],

所以S"-S”]=3an+l-3a“[n>2),所以a“=3an+1-3an(n>2),

41

即％+i=§a”("N2)，而出=]%，故C正確，B不正確；

小辛廠?,2

因Si=%+&+/+…+%=1+^------\-----二審/>2，故D錯誤.

1——

3

故選：AC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(2024?河北張家口?三模)已知向量用=(2,1)3=(2,0),工=Z+二,若NJ_"，則)在3上的投影向量

為.

【答案】m

【分析】根據向量垂直的坐標表示求出"，然后由投影向量公式可得.

【詳解】因為N=(2,1)石=(2,0),所以,=5+4=(2+24,1),

又M，所以2(2+24)+1=0,解得彳=-9，C=

cb11-r1A

因為用=-^'所以"在I上的投影向量為

故答案為：,展°)

13.(2024高三?全國?專題練習)已知數列｛。“｝的前”項和為s“，若%=1,2S.=”用，則數列｛。“｝的通項公

式,

=2

【答案】??|2X3"-,?>2

【分析】根據S“與巴的關系可得當“22時，｛%｝是公比為3的等比數列，求解答案.

【詳解】由2s“=4+1得，2時，2sl=4,兩式相減得%=3。〃,

所以當“22時，｛%｝是公比為3的等比數列，而的=2,則氏=2x31(〃22),

[1,77=1

由q=l不滿足上式得見=

[2x3,n>2,

故答案為…1fl2,Hx3=、1”

14.(24-25高三上?上海奉賢?期中)意大利著名畫家、自然科學家、工程師達芬奇在繪制作品《抱銀貂的女

人》時，曾仔細思索女人脖子上黑色項鏈的形狀，這就是著名的懸鏈線形狀問題.后續的數學家對這一問題

不斷研究，得到了一類與三角函數性質相似的函數：雙曲函數.其中雙曲正弦函數為shx=f士，并且雙

2

曲正弦函數為奇函數，若將雙曲正弦函數的圖象向右平移;個單位，再向上平移2個單位，得到函數y=/(x)

的圖象，并且數列｛%｝滿足條件盤],則數列｛%｝的前2024項和邑g=

【答案】4048

【分析】根據函數圖象平移的性質可得y=/(x)的圖象關于，,2卜寸稱，即+-x)=4,即可求解.

【詳解】由于shx=3*為奇函數，圖象關于原點對稱，故y=/(x)的圖象關于[了21對稱，即

〃x)+/(l-x)=4,

因此。0+出025-,=/(示1]+/(卷卷3=4,1<?<2024,HGN,

2024

因止匕$2。24=4xh=4048,

故答案為：4048

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(2025高三?全國?專題練習)已知平面上一定點。(2,0)和直線/：x=8,尸為該平面上一動點，作

—?1—?—.1—■

I,垂足為0,且(PC+]P。)?(尸C-/尸0)=0.

(1)求動點P的軌跡方程；

(2)若E尸為圓N：f+3_i)2=i的任一條直徑，求而.而的最值.

22

【答案】⑴土+匕=1

1612

(2)最大值為19；最小值為12-46.

【分析】(1)設口乂>),則0(8,y),根據已知向量等式化簡可得4|定『=|也「，用坐標表示，化簡即

可求得答案；

(2)根據向量的數量積的運算表示出而.而=兩2_],繼而用尸點坐標表示麗2,利用點尸在橢圓上，

將麗2的表達式轉化為關于y的二次函數，結合二次函數的性質即可求得答案.

【詳解】(1)設尸(x,刃，則0(8,y),

由(卮+；苑)?(定-g苑)=0,得4|1『=|而『，

即4[(x-獷+力=[(x-8>+(y-]

22

化簡得上+匕=1,

1612

22

所以點尸在橢圓上，即動點尸的軌跡方程為二+2=1.

1612

(2)因為所為圓Mx2+(j；-l)2=l的任一條直徑，i^\NE\=\NF\=l,且礪=_而,

LLI、i------?------>------*------*------?------?------?------?------?------*------?2

所以PE?PF=(PN+NE).(PN+NF)=(PN-NF>(PN+NF)=PN-1，

尸是橢圓X+廣=1上的任一點，貝|一=16-：/,

16123

又N(O,1),

21

222

所以麗=x+(y-l)=--(j；+3)+20)

22

因為尸點在橢圓二十匕=1上，故產1-26,26],

1612L」

所以當y=-3時，麗2取得最大值20,故而?加的最大值為19；

當>=26時，而2取得最小值為13-4#(此時x=0),故而?麗的最小值為12-4VL

16.(24-25高三上?天津和平?期末)已知數列｛%｝是首項為1的等差數列，數列｛4｝是公比不為1的等比數

列，且滿足ax+a2=b2,%+牝=A，a4+as=b4.

(1)求數列｛%｝,｛，｝的通項公式;

2〃,

⑵求X(T)akbk；

k=l

⑶令%=+l)(”eN)記數列｛g｝的前〃項和為S.'求證：對任意的”eN*,都有

【答案】(1)4=2〃-1,4=2".

⑵七Em=|+序44向

k=\，213/

(3)證明見解析.

【分析】(1)利用等差數列，等比數列的通項公式可得到結果；

2n

(2)Z(T『為”可轉化為等差乘等比類型，利用錯位相減法可解;

k=\

(3)數列｛4｝的前"項和￡可利用裂項相消，然后用放縮可證.

【詳解】(1)設｛%｝的公差為d,rn｝的公比為夕(#1),則％=1+(力-1”，1=姐f

由等比數列性質可得6；=%&，又/+。2=&，a2+a3=b3,a4+a5=b4

所以（g+。3『=（%+。2）（。4+%）>

所以（2+3d）2=（2+d）（2+7d）,解之得d=2或"=0,

當d=0時，an=\,則打=6+&=2,&=2+牝=2,

即4=[=1與4*1矛盾，故舍去；

a

當d=2時，%=2〃一1,貝Ia=%+%=4,4=%+%=8,

所以4=3=2,4=%=2,滿足題意；

biq

所以。*=2〃-1,b?=2n.

2n

⑵設7；=￡（-1）%也=（一％4）+%62+（-。3&）+。也+…+a2Al，

k=\

Tn=（-?A）+a2b2+（-%a）+%%+…+a2nb2n,

設。=電也“-%一也”一1=（4?-1）22"-（4?-3）22^=^2n+1^4\

則＜=%+%+…+f,,.x4+；x42+…+鼠+:"，47；=22+白43+...+卜”+口4角，

兩式相減得3〈=-10-2x4?-2x43——2x4"+^2?+1^4"+1,

所以〈=|+||"都向，即玄（T）%也=甜*卻用

loyk=i1”

m.T00c-（2〃+3）2-/1______________1]

"（m+1）（。用%+1）（（2I）2"+1）（（2”+1）2”，1）[（2〃-1）2"+1（2〃+1）2向+1J

4[§一石+??―]+…+（2/_1）2"+]一（2〃+1）2用+1,

/、

11

44----------------

”（2?+1）2"+1+1y

因為〃eN*,易知S.隨著"的增大而增大，

404

所以S,,NSI=w>l,5?<-,

4

所以1<S“<§.

【點睛】方法點睛：

求數列前〃項和常見的方法：

公式法：適用于等差數列、等比數列以及其他特殊數列.

分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和.

倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，則常可考慮選用

倒序相加法，發揮其共性的作用求和（這也是等差數列前"和公式的推導方法）.

錯位相減法：如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成，那么常選用錯位

相減法（這也是等比數列前〃和公式的推導方法）.

裂項相消法：如果數列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用裂項相消法求

和.

通項轉換法：先對通項進行變形，發現其內在特征，再運用分組求和法求和.

a+b）-a+2a-b+b,=a-2a-b+b,兩

式相減得,+B『-（"-到2=4々%n2%=+3）2-g-可］，我們把這個等式稱作“極化恒等式”，它實

現了在沒有夾角的參與下將兩個向量的數量積運算化為“模”的運算.試根據上面的內容解決以下問題:如圖,

在△/BC中，。是2C的中點，E,尸是40上的兩個三等分點.

（1）若ND=BC=3,求方.就的值；

⑵若萬.就=27，FB-FC=-5＞求麗.比的值.

【答案】（1）一27

4

⑵7

------?2

【分析】⑴由極化恒等式知萬.就二石?一絲二，代入即可得出答案.

4

------k2

⑵因為在?就=27，由極化恒等式知：AB-AC=AD2-^—^9m2-n2=21，因為屈?定=-5，由極

4

2222

化恒等式知：FB.FC=FD-BD=m-n=-5'解兩個方程求出加，〃，再因為麗?反=4,代入

即可得出答案.

【詳解】（1）由極化恒等式知存.就二詬?一晅=9-？=紅.

444

(2)設西=3加>0,國=2〃>0,

--k2

因為罰?k=27，由極化恒等式知：AB，AC=AD2-^—=9m2-n2=21，因為麗?京=-5，由極化恒

4

等式知：FB.FC=FD2-BD2=m2-n2=-5^所以

f9m2-?2=27,…

V22V斛得加=2，〃=3,

[m-n=-5,

所以麗?瓦=4加2—/=7.

18.(24-25高三上?吉林長春?期末)已知數列｛6｝的前”項和為5,,且滿足e-1電=眄,-1,(q>0),

72eN*.

(1)求數列｛%｝的通項公式；

(、7〃+23

⑵當4=2時，數列｛2｝滿足>=〃("+1”,求證：-<bl+b2+-+bn<2；

(3)若對任意正整數"都有。向2力成立，求正實數4的取值范圍.

【答案】(l)%=q"T(q>0)

(2)證明見解析

(3)g2典

【分析】(1)根據已知條件求出％=1,繼而結合得關系推出。說明數列｛七｝為等比

數列，即可求得答案；

7n+2

(2)求出利用2=(八的表達式,利用裂項求和法，即可證明結論；

(3)將恒成立問題轉化為，即恒成立，再構造函數，利用導數求函數的最值，即

可求得答案.

【詳解】(1)由(q-1)S“=T(q>0),得(q-l)S[=4%-1,即(q-l)%=gq-l,解得q=l.

若9=1，則%=1;

若4w1,則由(4-1電=4%T得(4-DE-=>2),

兩式相減得(q-l)a?=(4%T)-T)=4。“一4%一i,(〃22),

化簡得a”=qa“T，(,N2),

所以數列｛為｝是以1為首項，以q為公比的等比數列，因此。“=。M-1

當4=1時，也滿足上式，故a“=q"T,q>O,〃eN*

〃+211

(2)因為4=2,所以%=2"。則"=(d=2

n(n+l)'2小2"T(?+1)-2"

因此+…+2=2(1_￡1111

+2+…+2

〃27(〃+1)2

<2.

又因為4=：3,且”>0,故4+4+…+”2日3,

,3

因此，5(4+82"I---kbn<2.

(3)由(I)得〃Wq",貝即Inq2則,卜eN*),

nv7

1TlY

令/(%)=(x>0,xeN*),

因為對任意正整數〃都有4M2”成立，所以/(x)maxWlnq,

因為/'(x)=L詈，所以當0<x<e時，r(x)>0,即〃x)在(0,e)上單調遞增;

當X>e時，r(x)<0,即“X)在(e,+8)上單調遞減.

z*nln2仆I'i3f。、小In2In3In8-ln9

又工￡N,M/(2)=—,/(3)=—,/(2)-/(3)=------<0,

6

所以/(x)max=/(3)=.，因此Ing*畢，解得心打.

JJ

19.(23-24高三下?山西大同?階段練習)"元向量(n-tuplevector)也叫"維向量，是平面向