PAGEPAGE1專題14解三角形一、考綱要求:1.駕馭正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡潔的三角形度量問題．2.能夠運用正弦定理、余弦定理等學問和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題．二、概念駕馭及解題上的留意點：1.正弦定理是一個連比等式，只要知道其比值或等量關系就可以運用正弦定理通過約分達到解決問題的目的.2.1運用余弦定理時，要留意整體思想的運用.2在已知三角形兩邊及其中一邊的對角，求該三角形的其它邊角的問題時，首先必需推斷是否有解，假如有解，是一解還是兩解，留意“大邊對大角”在判定中的應用.3重視在余弦定理中用均值不等式，實現a2＋b2，ab，a＋b三者的互化.3.判定三角形形態的兩種常用途徑1化角為邊：利用正弦定理、余弦定理化角為邊，通過代數恒等變換，求出邊與邊之間的關系進行推斷.2化邊為角：通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內角之間的關系進行推斷.4.解決測量角度問題的留意事項1應明確方位角或方向角的含義.2分析題意，分清已知與所求，再依據題意畫出正確的示意圖，這是最關鍵、最重要的一步.3將實際問題轉化為解三角形的問題后，留意正弦、余弦定理的“聯袂”運用.三、高考考題題例分析：例1.(2024·全國卷Ⅰ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝eq\r(,5)，c＝2，cosA＝eq\f(2,3)，則b＝()A．eq\r(,2) B．eq\r(,3)C．2 D．3D解析：由余弦定理得5＝beq\s\up7(2)＋4－2×b×2×eq\f(2,3)，解得b＝3或b＝－eq\f(1,3)(舍去)，故選D．例2.(2024·全國卷Ⅱ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，a＝1，則b＝________eq\f(21,13)解析：在△ABC中，∵cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，∴sinA＝eq\f(3,5)，sinC＝eq\f(12,13)，∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(3,5)×eq\f(5,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(12,13)＝eq\f(63,65).又∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(1×\f(63,65),\f(3,5))＝eq\f(21,13).例3.(2024·全國卷Ⅱ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，則B＝________.例4.(2024·全國卷Ⅱ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sineq\s\up7(2)eq\f(B,2).(1)求cosB；(2)若a＋c＝6，△ABC的面積為2，求b.[解](1)由題設及A＋B＋C＝π得sinB＝8sineq\s\up7(2)eq\f(B,2)，故sinB＝4(1－cosB)．上式兩邊平方，整理得17coseq\s\up7(2)B－32cosB＋15＝0，解得cosB＝1(舍去)，或cosB＝eq\f(15,17).故cosB＝eq\f(15,17).(2)由cosB＝eq\f(15,17)得sinB＝eq\f(8,17)，故S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(4,17)ac.又S△ABC＝2，則ac＝eq\f(17,2).由余弦定理及a＋c＝6得beq\s\up7(2)＝aeq\s\up7(2)＋ceq\s\up7(2)－2accosB＝(a＋c)eq\s\up7(2)－2ac(1＋cosB)＝36－2×eq\f(17,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(15,17)))＝4.所以b＝2.例5.（2024全國卷I）在平面四邊形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，∵DC=2，∴BC===5．例6.（2024全國卷II）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，則AB=（）A．4 B． C． D．2解析：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，則AB====4．故選：A．例7.（2024全國卷III）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若△ABC的面積為，則C=（）A． B． C． D．例8.（2024北京卷）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC邊上的高．解析：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是銳角，∵cosB=﹣，∴sinB===，由正弦定理得=得sinA===，則A=．例9.（2024天津卷）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）設a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．解析：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．例10.（2024江蘇卷）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為．解三角形練習選擇題：1．在△ABC中，若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)，則B的值為()A．30° B．45°C．60° D．90°B解析：由正弦定理知：eq\f(sinA,sinA)＝eq\f(cosB,sinB)，∴sinB＝cosB，∴B＝45°.2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，則此三角形的解的狀況是()A．有一解 B．有兩解C．無解 D．有解但解的個數不確定C解析：由正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(40×\f(\r(,3),2),20)＝eq\r(,3)＞1.∴角B不存在，即滿意條件的三角形不存在．3．△ABC中，c＝eq\r(3)，b＝1，∠B＝eq\f(π,6)，則△ABC的形態為()A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．等腰三角形或直角三角形D解析：依據余弦定理有1＝a2＋3－3a，解得a＝1或a＝2，當a＝1時，三角形ABC為等腰三角形，當a＝2時，三角形ABC為直角三角形，故選D.4．在△ABC中，若AB＝eq\r(,13)，BC＝3，∠C＝120°，則AC＝()A．1 B．2C．3 D．45．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cos2A＝sinA，bc＝2，則△ABC的面積為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．1 D．2A解析：因為cos2A＝sinA，所以1－2sin2A＝sinA，則sinA＝eq\f(1,2)(舍負)，則△ABC的面積為eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，故選A．6．如圖，兩座燈塔A和B與海岸視察站C的距離相等，燈塔A在視察站南偏西40°，燈塔B在視察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10°B．北偏西10°C．南偏東80°D．南偏西80°D解析：由條件及題圖可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.7．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋視察站C的距離都等于akm，燈塔A在視察站C的北偏東20°，燈塔B在視察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()A．akm B．eq\r(3)akmC．eq\r(2)akm D．2akmB解析：在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，∴AB2＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，AB＝eq\r(3)A．8．如圖，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內的兩個測點C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于()A．5eq\r(6)m B．15eq\r(3)mC．5eq\r(2)m D．15eq\r(6)m9．如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d＝0.6km，一艘客船從碼頭A動身勻速駛往河對岸的碼頭B.已知AB＝1km，水的流速為2km/h，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時間為6min，則客船在靜水中的速度為()A．8km/h B．6eq\r(2)km/hC．2eq\r(34)km/h D．10km/hB解析：設AB與河岸線所成的角為θ，客船在靜水中的速度為vkm/h，由題意知，sinθ＝eq\f(0.6,1)＝eq\f(3,5)，從而cosθ＝eq\f(4,5)，所以由余弦定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)v))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)×2))2＋12－2×eq\f(1,10)×2×1×eq\f(4,5)，解得v＝6eq\r(2).10．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，則A的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))11．(2024·山東高考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC為銳角三角形，且滿意sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，則下列等式成立的是()A．a＝2b B．b＝2aC．A＝2B D．B＝2AA解析：∵等式右邊＝sinAcosC＋(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAcosC＋sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinB，等式左邊＝sinB＋2sinBcosC，∴sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB.由cosC>0，得sinA＝2sinB.依據正弦定理，得a＝2b.故選A．12．在不等邊三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中a為最大邊，假如sin2(B＋C)＜sin2B＋sin2C，則角A的取值范圍為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))D解析：由題意得sin2A＜sin2B＋sin2C，再由正弦定理得a2＜b2＋c2，即b2＋c2－a2＞0.則cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＞0，∵0＜A＜π，∴0＜A＜eq\f(π,2).又a為最大邊，∴A＞eq\f(π,3).因此角A的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).填空題：13．如圖所示，在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝eq\f(2\r(2),3)，AB＝3eq\r(2)，AD＝3，則BD的長為________．14．(2024·全國卷Ⅰ改編)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝eq\r(2)，則C＝________.eq\f(π,6)解析：因為a＝2，c＝eq\r(2)，所以由正弦定理可知，eq\f(2,sinA)＝eq\f(\r(2),sinC)，故sinA＝eq\r(2)sinC．又B＝π－(A＋C)，故sinB＋sinA(sinC－cosC)＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝(sinA＋cosA)sinC＝0.又C為△ABC的內角，故sinC≠0，則sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(3π,4).從而sinC＝eq\f(1,\r(2))sinA＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2).由A＝eq\f(3π,4)知C為銳角，故C＝eq\f(π,6).15．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，sinA，sinB，sinC成等差數列，且a＝2c，則cosA＝________.16．如圖3-8-16，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點．從A點測得M點的仰角∠MAN＝60°，C點的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點測得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，則山高MN＝________m.150解析：依據題圖，AC＝100eq\r(2)m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得eq\f(AC,sin45°)＝eq\f(AM,sin60°)?AM＝100eq\r(3)m.在△AMN中，eq\f(MN,AM)＝sin60°，∴MN＝100eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝150(m)．解答題：17.如圖，在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2acosC－c＝2b.(1)求角A的大小；(2)若c＝eq\r(2)，角B的平分線BD＝eq\r(3)，求A．[解](1)∵2acosC－c＝2b，∴由正弦定理得2sinAcosC－sinC＝2sinB，2sinAcosC－sinC＝2sin(A＋C)＝2sinAcosC＋2cosAsinC，∴－sinC＝2cosAsinC．∵sinC≠0，∴cosA＝－eq\f(1,2).又A∈(0，π)，∴A＝eq\f(2π,3).18．(2024·全國卷Ⅰ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)若c＝eq\r(7)，△ABC的面積為eq\f(3\r(3),2)，求△ABC的周長．[解](1)由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，即2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC．可得cosC＝eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(π,3).(2)由已知得eq\f(1,2)absinC＝eq\f(3\r(3),2).又C＝eq\f(π,3)，所以ab＝6.由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，從而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周長為5＋eq\r(7).19．如圖，航空測量組駕駛飛機飛行的航線和山頂在同一鉛直平面內，已知飛機的飛行高度為10000m，速度為50m/s，某一時刻飛機看山頂的俯角為15°，經過420s后看山頂的俯角為45°，求山頂的海拔高度．(取eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)[解]如圖，作CD垂直直線AB于點D，20．如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼A動身沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處動身沿北偏東α的方向追逐漁船乙，剛好用2小時追上．(1)求漁船甲的速度；(2)求sinα的值．21．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，若tanA＋tanC＝eq\r(3)(tanAt