PAGEPAGE5第3節等比數列課時作業基礎對點練(時間：30分鐘)1．已知數列{an}的前n項和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，則“A＝－B”是“數列{an}是等比數列”的()(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件B解析：若A＝B＝0，則Sn＝0，故數列{an}不是等比數列；若數列{an}是等比數列，則a1＝Aq＋B，a2＝Aq2－Aq，a3＝Aq3－Aq2，由eq\f(a3,a2)＝eq\f(a2,a1)，得A＝－B.故選B.2．等比數列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，則an(A)(－2)n－1 (B)－(－2)n－1(C)(－2)n (D)－(－2)nA解析：∵|a1|＝1，∴a1＝1或a1＝－1.∵a5＝－8a2＝a2·q3，∴q3＝－8，∴q＝－2.又a5＞a2，即a2q3＞a2，∴a2＜0.而a2＝a1q＝a1·(－2)＜0，∴a1＝1.故an＝a1·(－2)n－1＝(－2)n－13．(2024成都模擬)已知{an}是等比數列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝()(A)16(1－4－n) (B)16(1－2－n)(C)eq\f(32,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－4－n)) (D)eq\f(32,3)(1－2－n)C解析：∵a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，∴a1＝4，q＝eq\f(1,2).a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝eq\f(32,3)(1－4－n)．故選C.4．在等比數列{an}中，若a1＝eq\f(1,9)，a4＝3，則該數列前5項的積為()(A)±3 (B)3(C)±1 (D)1D解析：因為a4＝3，所以3＝eq\f(1,9)×q3(q為公比)，得q＝3，所以a1a2a3a4a5＝aeq\o\al(5,3)＝(a1q2)5＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)×9))5＝1，故選D.5．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四個根組成以eq\f(1,2)為首項的等比數列，則eq\f(m,n)等于()(A)eq\f(3,2) (B)eq\f(3,2)或eq\f(2,3)(C)eq\f(2,3) (D)以上都不對B解析：設a，b，c，d是方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四個根，不妨設a＜c＜d＜b，則a·b＝c·d＝2，a＝eq\f(1,2)，故b＝4，依據等比數列的性質，得到：c＝1，d＝2，則m＝a＋b＝eq\f(9,2)，n＝c＋d＝3或m＝c＋d＝3，n＝a＋b＝eq\f(9,2)，則eq\f(m,n)＝eq\f(3,2)或eq\f(m,n)＝eq\f(2,3).故選B.6．已知數列{an}的首項a1＝2，數列{bn}為等比數列，且bn＝eq\f(an＋1,an)，若b10b11＝2，則a21＝()(A)29 (B)210(C)211 (D)212C解析：由bn＝eq\f(an＋1,an)，且a1＝2，得b1＝eq\f(a2,a1)＝eq\f(a2,2)，a2＝2b1；b2＝eq\f(a3,a2)，a3＝a2b2＝2b1b2；b3＝eq\f(a4,a3)，a4＝a3b3＝2b1b2b3；…；an＝2b1b2b3…bn－1，所以a21＝2b1b2b3…b20，又{bn}為等比數列，所以a21＝2(b1b20)(b2b19)…(b10b11)＝2(b10b11)10＝211.故選C.7．(2024山西四校聯考)已知數列{an}滿意a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，則S2016＝________.解析：∵數列{an}滿意a1＝1，an＋1·an＝2n①，∴n＝1時，a2＝2，n≥2時，an·an－1＝2n－1②，∵①÷②得eq\f(an＋1,an－1)＝2，∴數列{an}的奇數項、偶數項分別成等比數列，∴S2024＝eq\f(1－21008,1－2)＋eq\f(2×1－21008,1－2)＝3×21008－3.答案：3×21008－38．如圖，“楊輝三角”中從上往下共有n(n＞7，n∈N)行，設第k(k≤n，k∈N*)行中不是1的數字之和為ak，由a1，a2，a3，…組成的數列{an}的前n項和是Sn，現有下面四個結論：①a8＝254；②an＝an－1＋2n；③S3＝22；④Sn＝2n＋1－2－2n.其中正確的結論序號為________．11121133114641…………解析：an＝2n－2，Sn＝21＋22＋…＋2n－2n＝eq\f(21－2n,1－2)－2n＝2n＋1－2－2n，故只有①④正確．答案：①④9．設數列{an}，{bn}都是正項等比數列，Sn，Tn分別為數列{lgan}與{lgbn}的前n項和，且eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(n,2n＋1)，則logb5a5＝________.解析：設正項數列{an}的公比為q，正項數列{bn}的公比為p，則數列{lgan}是公差為lgq的等差數列，{lgbn}是公差為lgp的等差數列．故Sn＝nlga1＋eq\f(nn－1,2)lgq.Tn＝nlgb1＋eq\f(nn－1,2)lgp.又eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(n,2n＋1)＝eq\f(lga1＋\f(n－1,2)lgq,lgb1＋\f(n－1,2)lgp).所以logb5a5＝eq\f(lga5,lgb5)＝eq\f(lga1＋4lgq,lgb1＋4lgp)＝eq\f(S9,T9)＝eq\f(9,19).答案：eq\f(9,19)10．設等比數列{an}的公比為q(q＞0)，它的前n項和為40，前2n項和為3280，且前n項中數值最大項為27，求數列的第2n項．解：若q＝1，則na1＝40,2na1＝3280，沖突．∴q≠1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝40①,\f(a11－q2n,1－q)＝3280②))eq\f(①,②)得1＋qn＝82，∴qn＝81③將③代入①得q＝1＋2a1又∵q＞0，∴q＞1，∴a1＞0，{an}為遞增數列．∴an＝a1qn－1＝27由③④⑤得q＝3，a1＝1，n＝4.∴a2n＝a8＝1×37＝2187.實力提升練(時間：20分鐘)11．(2024池州期末)已知等比數列{an}的公比q＝2，前100項和為S100＝90，則其偶數項a2＋a4＋…＋a100為()(A)15 (B)30(C)45 (D)60D解析：S100＝a1＋a2＋…＋a100＝90，設S＝a1＋a3＋…＋a99，則2S＝a2＋a4＋…＋a100，所以S＋2S＝90，S＝30，故a2＋a4＋…＋a100＝2S＝60，故選D.12．已知{an}是首項為1的等比數列，若Sn是{an}的前n項和，且28S3＝S6，則數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前4項和為()(A)eq\f(15,8)或4 (B)eq\f(40,27)或4(C)eq\f(40,27) (D)eq\f(15,8)C解析：設數列{an}的公比為q.當q＝1時，由a1＝1，得28S3＝28×3＝84.而S6＝6，兩者不相等，因此不合題意．當q≠1時，由28S3＝S6及首項為1，得eq\f(281－q3,1－q)＝eq\f(1－q6,1－q).解得q＝3.所以數列{an}的通項公式為an＝3n－1.所以數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前4項和為1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,9)＋eq\f(1,27)＝eq\f(40,27).故選C.13．(2024青島調研)已知各項均不相等的等比數列{an}，若3a2,2a3，a4成等差數列，設Sn為{an}的前n項和，則eq\f(S3,a3)＝()(A)eq\f(13,9) (B)eq\f(7,9)(C)3 (D)1A解析：4a3＝3a2＋a4a1q2＝3a1q＋a1q∴q2－4q＋3＝0，q＝3或q＝1(舍)．∴eq\f(S3,a3)＝eq\f(\f(a11－q3,1－q),a1q2)＝eq\f(1－q3,q21－q)＝eq\f(1－27,9×－2)＝eq\f(13,9).故選A.14．已知數列{an}的各項均為正數，且前n項和Sn滿意Sn＝eq\f(1,6)(an＋1)(an＋2)．若a2，a4，a9成等比數列，求數列{an}的通項公式．解析：因為Sn＝eq\f(1,6)(an＋1)(an＋2)，所以當n＝1時，有S1＝a1＝eq\f(1,6)(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2；當n≥2時，有Sn－1＝eq\f(1,6)(an－1＋1)(an－1＋2)．①－②并整理，得(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0(n≥2)．因為數列{an}的各項均為正數，所以an－an－1＝3(n≥2)．當a1＝1時，an＝1＋3(n－1)＝3n－2，此時aeq\o\al(2,4)＝a2a9成立．當a1＝2時，an＝2＋3(n－1)＝3n－1，此時aeq\o\al(2,4)＝a2a9不成立．所以a1＝2舍去．故an＝3n－2.15．已知數列{an}滿意a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)證明eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,2)))是等比數列，并求{an}和通項公式．(2)證明：eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)＜eq\f(3,2).解析：證明：(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋eq\f(1,2)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,2))).又a1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,2)))是首項為eq\f(3,2)，公比為3的等比數列，所以an＋eq\f(1,2)＝eq\f(3n,2)，因此{an}的通項公式為an＝eq\f(3n－1,2).(2)由(1)知eq\f(1,an)＝eq\f(2,3