PAGEPAGE1第10章計數原理、概率、隨機變量及其分布第1講A組基礎關1．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把滿意上述條件的一對有序整數對(x，y)作為一個點的坐標，則這樣的點的個數是()A．9B．14C．15D．21答案B解析當x＝2時，x≠y，點的個數為1×7＝7(個)．當x≠2時，由P?Q，∴x＝y.∴x可從3,4,5,6,7,8,9中取，有7種方法．因此滿意條件的點共有7＋7＝14(個)．2．(2024·鄭州調研)有4位老師在同一年級的4個班中各教一個班的數學，在數學檢測時要求每位老師不能在本班監考，則不同的監考方法有()A．8種B．9種C．10種D．11種答案B解析設教1,2,3,4班的老師分別為1,2,3,4，滿意題意的監考方法有共9種不同的監考方法．3．從集合{1,2,3,4，…，10}中，選出5個數組成子集，使得這5個數中隨意兩個數的和都不等于11，則這樣的子集有()A．32個B．34個C．36個D．38個答案A解析將和等于11的兩數放在一組：1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.從每一小組中取一個數，有Ceq\o\al(1,2)＝2種取法，所以這樣的子集共有2×2×2×2×2＝32個．4．(2024·河北唐山一模)用兩個1，一個2，一個0，可組成不同四位數的個數是()A．18B．16C．12D．9答案D解析千位上是1的四位數有3×2×1＝6個，千位上是2的四位數有2110、2101、2011，共3個，由加法計數原理可得，可組成不同四位數的個數是6＋3＝9.5．從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60°的共有()A．24對B．30對C．48對D．60對答案C解析解法一：與正方體的一個面上的一條對角線成60°角的對角線有8條，故共有8對，正方體的12條面對角線共有8×12＝96(對)，且每對均重復計算一次，故共有eq\f(96,2)＝48(對)．解法二：正方體的面對角線共有12條，兩條為一對，共有12×11÷2＝66(對)．同一面上的對角線不滿意題意，對面的面對角線也不滿意題意，一組平行平面共有6對不滿意題意的對角線，所以不滿意題意的共有3×6＝18(對)．故從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60°的共有66－18＝48(對)．6．某種彩票規定：從01至36共36個號中抽出7個號為一注，每注2元，某人想從01至10中選3個連續的號，從11到20中選2個連續的號，從21至30中選1個號，從31至36中選1個號組成一注，則這人把這種特別要求的號買全，至少要花()A．3360元B．6720元C．4320元D．8640元答案D解析這種特別要求的號共有8×9×10×6＝4320(注)，因此至少需花費4320×2＝8640(元)，故選D.7．(2024·合肥三模)如圖，給7條線段的5個端點涂色，要求同一條線段的兩個端點不能同色，現有4種不同的顏色可供選擇，則不同的涂色方法種數有()A．24B．48C．96D．120答案C解析若A，D顏色相同，先涂E有4種涂法，再涂A，D有3種涂法，再涂B有2種涂法，C只有一種涂法，共有4×3×2＝24種；若A，D顏色不同，先涂E有4種涂法，再涂A有3種涂法，再涂D有2種涂法，當B和D相同時，C有2種涂法，當B和D不同時，B，C只有1種涂法，共有4×3×2×(2＋1)＝72種．依據分類加法計數原理可得，共有24＋72＝96種．8．已知數列{an}是公比為q的等比數列，集合A＝{a1，a2，…，a10}，從A中選出4個不同的數，使這4個數成等比數列，這樣得到4個數的不同的等比數列的個數為________．答案24解析當公比為q時，滿意題意的等比數列有7種，當公比為eq\f(1,q)時，滿意題意的等比數列有7種，當公比為q2時，滿意題意的等比數列有4種，當公比為eq\f(1,q2)時，滿意題意的等比數列有4種，當公比為q3時，滿意題意的等比數列有1種，當公比為eq\f(1,q3)時，滿意題意的等比數列有1種，因此滿意題意的等比數列共有7＋7＋4＋4＋1＋1＝24(種)．9．在編號為1,2,3,4,5,6的六個盒子中放入兩個不同的小球，每個盒子中最多放入一個小球，且不能在兩個編號連續的盒子中同時放入小球，則不同的放小球的方法有________種．答案20解析設兩個不同的小球為A，B，當A放入1號盒或者6號盒時，B有4種不同的放法；當A放入2,3,4,5號盒時，B有3種不同的放法，一共有4×2＋3×4＝20種不同的放法．10．某班一天上午有4節課，每節都須要支配1名老師去上課，現從A，B，C，D，E，F6名老師中支配4人分別上一節課，第一節課只能從A，B兩人中支配一人，第四節課只能從A，C兩人中支配一人，則不同的支配方案共有________種．答案36解析①第一節課若支配A，則第四節課只能支配C，其次節課從剩余4人中任選1人，第三節課從剩余3人中任選1人，共有4×3＝12種支配方案．②第一節課若支配B，則第四節課可支配A或C，其次節課從剩余4人中任選1人，第三節課從剩余3人中任選1人，共有2×4×3＝24種支配方案．因此不同的支配方案共有12＋24＝36(種)．B組實力關1．(2024·南寧調研)我們把各位數字之和為6的四位數稱為“六合數”(如2013是“六合數”)，則“六合數”中首位為2的“六合數”共有()A．18個B．15個C．12個D．9個答案B解析依題意，這個四位數的百位數、十位數、個位數之和為4.由4,0,0組成3個數，分別為400,040,004；由3,1,0組成6個數，分別為310,301,130,103,013,031；由2,2,0組成3個數，分別為220,202,022；由2,1,1組成3個數，分別為211,121,112，共計3＋6＋3＋3＝15(個)．故選B.2．如圖所示，某貨場有兩堆集裝箱，一堆有2個，一堆有3個，現須要全部裝運，每次只能從其中一堆取最上面的一個集裝箱，則在裝運過程中不同取法的種數是()A．6B．10C．12D．24答案B解析將左邊的集裝箱從上往下分別記為1,2,3，右邊的集裝箱從上往下分別記為4,5.分兩種狀況探討：若先取1，則有12345,12453,14253,14235,14523,12435，共6種取法；若先取4，則有45123,41235,41523,41253，共4種取法．故共有6＋4＝10(種)不同取法．3．甲與其四位同事各有一輛私家車，車牌尾數分別是0,0,2,1,5，為遵守當地某月5日至9日5天的限行規定(奇數日車牌尾數為奇數的車通行，偶數日車牌尾數為偶數的車通行)，五人協商拼車出行，每天任選一輛符合規定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案的種數為()A．5B．24C．32D．64答案D解析由題意知，這5天有3天奇數日，2天偶數日．第一步支配奇數日出行，每天都有2種選擇，共有23＝8(種)方法；其次步支配偶數日出行，分兩類，第一類，先選1天支配甲的車，另外一天支配其他車，有2×2＝4(種)方法；其次類，擔心排甲的車，則每天都有2種選擇，共有22＝4(種)方法，共有4十4＝8(種)方法．依據分步乘法計數原理可知，不同的用車方案種數為8×8＝64.4．(2024·中山模擬)將1,2,3，…，9這9個數字填在如圖所示的空格中，要求每一行從左到右、每一列從上到下分別依次增大，當3,4固定在圖中的位置時，填寫空格的方法有()A．6種B．12種C．18種D．24種答案A解析依據數字的大小關系可知，1,2,9的位置是固定的，如圖所示，則剩余5,6,7,8這4個數字，而8只能放在A或B處，若8放在B處，則可以從5,6,7這3個數字中選一個放在C處，剩余兩個位置固定，此時共有3種方法，同理，若8放在A處，也有3種方法，所以共有6種方法．5．已知△ABC三邊a，b，c的長都是整數，且a≤b≤c，假如b＝25，則符合條件的三角形共有________個．答案325解析依據三角形的三邊關系可知，c<25＋a.第一類，當a＝1，b＝25時，c可取25，共1個；其次類，當a＝2，b＝25時，c可取25,26，共2個；……當a＝25，b＝25時，c可取25,26，…，49，共25個．所以符合條件的三角形的個數為1＋2＋…＋25＝325.6．(2024·河北衡水質檢)已知一個公園的形態如圖所示，現有3種不同的植物要種在此公園的A，B，C，D，E這五個區域內，要求有公共邊界的兩塊相鄰區域種不同的植物，則不同的種法共有________種．答案18