松江二中2023學年第二學期期中考試

局一數學

考生注意：

1.試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，務必在答題紙貼二維碼并填寫考號、姓名、班級.作答必須涂或寫在答題紙上，在試

卷上作答一律不得分.

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分)

1.直線工+丁—1=°的傾斜角是.

37r

【答案】—

4

【解析】

【分析】根據直線方程可得斜率，進而可得傾斜角

【詳解】解：由已知y=—x+1,則直線斜率左=—1,

又傾斜角的范圍為［0,2).

37r

故直線X+y-1=0的傾斜角是—.

4

3兀

故答案為：—.

4

2.已知等差數列｛。“｝滿足q+4=12,%=7，則的=.

【答案】5

【解析】

【分析】由等差數列的性質可得.

【詳解】因為｛4｝是等差數列，所以4+%=%+%，

則有12=7+%,解得。3=5.

故答案為:5.

3.已知函數〃x)=lnx,則lim〃2+")-八2)=_____.

、730Ax

【答案】g##0.5

【解析】

【分析】由導數的定義與導數的運算公式可得結果.

【詳解】v/?=lnx

Af\x)=-

X

....當

20Ax2

故答案為：

4.一個球的表面積為100萬，一個平面截該球得到截面圓直徑為6,則球心到這個平面的距離為

【答案】4

【解析】

【分析】先由球的表面積為100萬，求出球的半徑，再利用勾股定理可求得結果

【詳解】解：設球的半徑為「，由題可知4乃戶=100?，r=5.

所以球心到這個平面的距離為=4.

故答案為：4

5.已知〃=(x—百,y),6=(x+Q,y),且滿足同+忖=4,則點P(x,y)的軌跡方程為

2

【答案】—+y2=l

4-

【解析】

【分析】利用條件和向量的模得出小卜―可+++,2=4,結合其幾何意義，再利用橢圓

的定義，即可求出軌跡方程.

由同+|q=4可得，｛(x—6)+y2+J(x+6)+y2=4，

上式的幾何意義是：

尸(x,y)與點耳(6,01鳥(―6。)的距離之和是4,且4>2百，

即歸耳|+|%|=4>|耳閭,

所以點P(九,y)的軌跡是以《，工為焦點的橢圓，且2a=4,c=百,

貝!J〃=2,b1=a1-c1=\,

所以點P（x,y）的軌跡方程為：^+/=1.

故答案為：—+/=1.

4

6.已知物體的位移d（單位：m）與時間/（單位：S）滿足函數關系d=2sinf,則在時間段。e（2,6）內,

物體的瞬時速度為lm/s的時刻,=（單位：s）.

?小華.5兀

【答案】y

【解析】

【分析】可求出導函數儲=2cos/,根據d=l即可求解.

【詳解】由題可得：d'=2cos，=l,

可得cos/=,，又/￡（2,6）,

2

可得r=g.

5兀

故答案為：--.

3

7.函數y（x）=（x—2卜22的嚴格增區間是.

【答案】［|,+8）

【解析】

【分析】由導數刊^）＞。，即可解得.

【詳解】因為〃力=（%—2戶"3,所以尸（力=（2九一3n2叫

由第X）＞0可得X〉；所以函數〃X）=（X—2/23的嚴格增區間是1|,+8：

故答案為：

X2V2

8.設a＞l,則雙曲線）——J=1的離心率的取值范圍是________.

a（。+1）

【答案】（V2,^5）

【解析】

【分析】由雙曲線方程得到°?即可表示出離心率e=+1，再由。的取值范圍計算可得.

【詳解】雙曲線之一一J=1,222

則0?=a+(?+1)=2a+2a+l,

?2（a+1）2

所以離心率e=±=\H=?礦+2a+l=|j_+2+24+1+L

a\aVa\aa

因為a>l,所以0<工<1,所以1<，+1<2,則2<（工+1+1<5，

aaya）

所以后+1<6，

即ee（應，石｝

故答案為：

22

9.已知點尸為雙曲線土-乙=1右支上一點，耳,工分別為雙曲線的左、右焦點，/為4月的內心，若

169

S4ipR=S4IPF?+1S叢IRF?成立，貝!IA的值為.

4

【答案】y##0.8

【解析】

【分析】由條件結合內心的定義及三角形面積公式可得用"=3「耳卜廠+丸6，再根據雙曲線的定義

化簡可求4.

【詳解】設耳的內切圓半徑為小

由雙曲線的定義得歸國―儼閭=2a,閨閭=2c

S"PR=Q|P片卜廠總歐=-\PF2\-r,SJFIF2=--2c-r=cr

由題意得=+

又雙曲線上一匕=1的a=4力=3,

169

4

代入上式得：^=-,

10.己知圓。：必+,2=3,/為過的圓的切線，A為/上任一點，過A作圓N：

（x+2y+y2=4的切線，則切線長的最小值是.

【答案】圾

3

【解析】

【分析】先求得/的方程，再根據圓心到切線的距離，半徑和切線長的勾股定理求最小值即可

故直線/的斜率為—左,故/的方程為y—&=—￥（x—1）,

【詳解】由題，直線的斜率為0

卜2+0-3|5

即x+&y—3=0.又N至M的距離4=彳/丁=耳,故切線長的最小值是

故答案為：叵

3

11.已知偶函數/（x）=Gsin（0x+9）—cos（0x+9）（0>O,|@<m；^（O,2）上有且僅有一個極大值點,

沒有極小值點，則。的取值范圍為.

【答案】[pTt

【解析】

【分析】首先利用輔助角公式得/（x）=2sin[0x+°—Wj,根據其奇偶性和9的范圍求出展—會則

f（x）=-2cos（（yx）,令t=GJX,利用余弦函數圖象得兀<2。42兀，解出即可.

^-sin(&)x+

9)一；cos(<7Zx+71]

【詳解】〃力二2夕)二2sin+為偶函數,

21

IT7T2

所以0——=一+左刀■(左￡Z),即夕=一兀+左兀,左WZ,

623

因為網＜3,所以0=-三，所以/(x)=2sinox————1-—2cos,

令1=6UX,由0<%<2得，e(0,2(0)，所以/(%)轉化為f(t)=-2cost,tG(0,20),

如圖:/⑺=-2cost在(0,2。)上有且僅有一個極大值點沒有極小值點時,

則兀＜2tyW2兀，所以、＜。＜兀,即。的取值范圍為[1，兀

212

r+11

12.己知函數，(x)=x+i,g(x)=x+-+a.若g(/(x))=0有三個不同的根，則。的取值范圍

11%

—+—,%＜-1

.尤2

為.

(10、

【答案】一叫一三

【解析】

【分析】利用導數研究函數單調性，畫出草圖，然后數形結合解出結果.

3rex

【詳解】當％〉—1時，r(x)=——T，所以『3在(—1,0)上單調遞減，在(0,+8)上單調遞增,

(X+1)2

又/(0)=3,%f+8時，—-1時，/(x)-+oo,所以/'(x)e[3,+oo)；

當xWT時，易知Ax)在(—8,—1]上單調遞減，所以/(x)e.

作出函數的大致圖象如圖所示.

令t=則數形結合可知方程g（/）=o有兩個不同的實數根，分別記為小馬，

且6e-1,1L{3},Z2e（3,+oo）,而方程g?）=0有兩個不同的根等價于函數y=f與>的圖象

有兩個不同的交點，且兩個交點的橫坐標分別為九/2?

數形結合可知乙,2￡（3,+8）.令/?）=/+；1,令<(p<—U,

，解得a<----

3

/⑶<-a

10

故答案為:-OO---------

3

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）

13.已知平面￡,直線/、m,若加ua,則“〃/加”是“Illa”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】

【分析】利用線面的位置關系結合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.

【詳解】若〃/加，且加ua,貝"http://￡或/ua,即“〃/加”R“Illa”；

若///tz,且mua,則〃/機或/、冽異面，則“Uhn”生“///￡”.

因此，“〃/m”是“///e”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

14.（x+Ip’的展開式中，系數最大的項是（）

A.第11項B.第12項C.第13項D.第14項

【答案】C

【解析】

［分析］根據二項展開式的通項公式結合組合數的性質即可求解.

2424r

【詳解】因為(x+1)的展開通項公式為Tr+l=C^4x-,

又當r=12時，取最大值，

則系數最大的項是第13項看3=C；%".

故選：C.

兀71

15.設定義在-萬，'上的函數/(x)=xsiiu+cos%,則不等式/的解集是()

L43)(34」L23)(32」

【答案】C

【解析】

【分析】根據題意，由函數的奇偶性可得/(%)為偶函數，然后求導可得"%)在(og單調遞增，再由函

數的單調性與奇偶性列出不等式求解，即可得到結果.

【詳解】對于函數/(%)=xsiwc+cosx,f(-x)=-xsin(-x)+cos(-x)=xsiwc+cosx=f(x),并且定

義域一方《關于原點對稱，/(X)是偶函數，

/'(%)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,當X卜寸，COSX>0,X>0,/./'(X)>0,/(X)是增函數，

"X<?_i|…①

jrJT

.,?對于/(2x)〈/(x—l)有<V2x<—...(2)

由①得—1<X<—>

3

由②得---VxV—，

44

7171

由③得1——〈九《1+—,

22

.71.711兀.兀

*/-1<——<1——<-<—<1+—,

42342

1兀/1

23

故選：c

16.在平面上，若曲線r具有如下性質：存在點〃，使得對于任意點Per,都有使得

1PM卜|加|=1.則稱這條曲線為“自相關曲線”.判斷下列兩個命題真假()

①所有橢圓都是“自相關曲線”.②存在是“自相關曲線”的雙曲線.

A①假命題；②真命題B.①真命題；②假命題

C.①真命題；②真命題D.①假命題；②假命題

【答案】B

【解析】

【分析】由新定義求解曲線上任一點P到定點M距離的取值范圍A,當任意xeA,都有時，曲線

X

滿足定義，結合橢圓與雙曲線的性質判斷，

22

【詳解】對于①，不妨設橢圓方程為=+當=l(a〉6〉0),

ab

則橢圓上一點P到M距離為

IPM|=J(x-tn)2+J=J(%—tn)^+b2——%2=J(1—一21nx+w2+Z?2,—a<x<a，

m

,,—,x=-----7T>a

當機〉。時，對稱軸b2可得|PM|e[m—a,m+a],

12

a

總存在加使得(〃La)(〃z+")=l，此時滿足題意，故任意橢圓都是“自相關曲線”，故①正確,

對于②，對于給定雙曲線和點P,顯然1PMi存在最小值，而M橫坐標趨近于無窮大時，1PMi趨近于

無窮大，|PM|e[m,+8),故不滿足題意，不存在雙曲線是“自相關曲線”故②錯誤，

故選：B

【點睛】本題關鍵在于新定義的理解，轉化為求曲線上任一點到定點/距離的取值范圍，再結合橢圓與雙

曲線的性質判斷即可.

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題必須寫出必要的步驟.

17.本學期初，某校對全校高二學生進行數學測試(滿分100),并從中隨機抽取了100名學生的成績，以

此為樣本，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如圖所示頻率分布直方圖.

（1）估計該校高二學生數學成績的平均數和85%分位數；

（2）為進一步了解學困生的學習情況，從數學成績低于70分的學生中，分層抽樣6人，再從6人中任取

2人，求此2人分數都在［60,70）的概率.

【答案】（1）平均數為75.5,85%分位數為88；

⑵2

5

【解析】

【分析】（1）由頻率分布直方圖的面積和為1求出。后，再由平均數，百分數的算法求出即可；

（2）利用分層抽樣和古典概率的算法求出即可；

【小問1詳解】

由（。+0.02+0.035+0.025+a）x10=1,解得a=0.01.

該校高三學生期初數學成績的平均數為55x0.1+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.1=75.5.

前3組頻率和為0.1+0.2+0.35=0.65,所以85%分位數為80+型優4^x10=88.

0.25

【小問2詳解】

分層抽樣抽取的6人中，［50,60）的有6義0」=2人,記為L2.

［60,70）的有6—2=4人，記為3,4,5,6,

從6人中任取2人，基本事件有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,共15種,

其中2人分數都在［60,70）的有34,35,36,45,46,56共6種，

所以從6人中任取2人，分數都在［60,70）的概率為^=|,

18.已知拋物線=2py（p>0）焦點產在直線x—y+l=0上

（1）求拋物線C的方程

（2）設直線/經過點4（-L-2）,且與拋物線C有且只有一個公共點，求直線/的方程

【答案】（1）x2=4y

（2）/的方程為x=_］、y=x-l.y=-2x-4

【解析】

【分析】（1）求得產點的坐標，由此求得P,進而求得拋物線。的方程.

（2）結合圖象以及判別式求得直線/的方程.

【小問1詳解】

拋物線C：f=2py（p>0）的焦點在y軸上，且開口向上，

直線X—y+l=。與y軸的交點為（0,1）,則尸（0,1）,

所以^=l,p=2,拋物線的方程為f=4y.

【小問2詳解】

當直線/的斜率不存在時，直線x=-l與拋物線只有一個公共點.

那個直線/的斜率存在時，設直線/的方程為y+2=%（X+1）,

y+2=k（x+l）x2

〈2“^>—+2=kx+k,x2—4Ax+8_4左=0，

x2=4y4

△=16左2—4（8—4左）=16左2+16左一32=0,左之十左_2=0解得左=1或左=—2.

所以直線/的方程為y=x-i或y=-2%-4

綜上所述，/的方程為x=—1、丫=尤-1、y=-2x-4.

19.某地準備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底。在水平線MN上，橋AB與

平行，為鉛垂線（O'在A8上）.經測量，左側曲線A。上任一點。到的距離4（米）與。到

OO'的距離a（米）之間滿足關系式％=焉力；右側曲線BO上任一點F到MN的距離為（米）與尸到的

距離b（米）之間滿足關系式飽=-工/+66.已知點B到OO'的距離為40米.

(1)求橋A8的長度；

(2)計劃在谷底兩側建造平行于的橋墩C。和EF,且CE為80米，其中C,E在A8上(不包括端

3

點).橋墩EF每米造價回萬元)、橋墩CD每米造價一上(萬元)(左>0).問O'E為多少米時，橋墩CD與EF的總

2

造價最低？

【答案】(1)120米(2)O'E=20米

【解析】

【分析】(1)根據A,B高度一致列方程求得結果；

(2)根據題意列總造價的函數關系式，利用導數求最值，即得結果.

【詳解】(1)由題意得--—X403+6X40/.|O'A\=80

40800

:.\AB|=|O'A|+1O'B|=80+40=120米

(2)設總造價為了(尤)萬元，|。'。|=L><802=160,設|O'E|=x,

40

la31,

/(%)=Z:(l60+—X3-6%)+-A:[l60--(80-%)2],(0<X<40)

/W=^(160+^^x3f'(x)=%(^^公一卷x)=0：.x=20(0舍去)

當0<x<20時，/'(x)<0；當20<x<40時，f\x)>0,因此當尤=20時，/⑺取最小值，

答：當O'E=20米時，橋墩CD與EF的總造價最低.

【點睛】本題考查實際成本問題、利用導數求最值，考查基本分析求解能力，屬中檔題.

22,3、1

20.如圖，已知橢圓C:=+營=1??〉6〉0)經過點尸離心率e=].

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)橢圓C上任意點T,x軸上一點S(機,0),若|75|的最小值為|加+2],求實數用的取值范圍;

(3)設A3是經過右焦點尸的任一弦(不經過點P),直線A3與直線/:X=4相交于點聞,記

PA,PB,PM的斜率分別為匕狀2,%，求證:3匕次2成等差數列.

22

【答案】(1)—+^-=1

43

(2)m<--

2

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據長軸長和離心率求出a=2,c=l,從而求出/=/—。2=3,得到橢圓方程；

2

(2)設T(蒼y),|TS『=5-2〃a+〃/+3,討論對稱軸與定義域的關系即可得出答案.

(3)先得到直線A3的斜率一定存在，設出直線A3的方程，求出河(4,3左)，直線A3的方程與橢圓方

程聯立，得到兩根之和，兩根之積，進而表達出左，左2，匕，從而得證.

【小問1詳解】

由題意，點在橢圓W+5=l上得，可得:+京=1①

1C1

又由e=一,所以一二—②

2a2

由①②聯立且，=/—〃，可得,=1，/=4，〃=3,

22

故橢圓C的標準方程為—+^=1.

43

【小問2詳解】

(2、2

設T(x,y),\TS^=(x-m)2+y2=(x-m)2+31-^-=^--2mx+m2+3,

2

令g(%)=?—2mx+m2+3,對稱軸為x=4相,因為—2Wx?2,

當4m<—2,即加<—,

2

g(")min—2)=l+4m+m2+3=4m+m2+4=(m+2)2,故符合題意;

當4m>2,即加>：,

—222

g（x）mm=g（2）—14m+m+3=-4m+m+4=（m—2）,

所以（m—2）2=（根+2）2,解得羽=0,不符合題意；

當一2<4m<2,即一,V加工』，

22

91

g=g（4m）=-3m2+3=（m+2）,解得機=一萬；

所以實數用的取值范圍為：加W-工.

2

【小問3詳解】

由（1）知，橢圓的方程為\+方=1,可得橢圓右焦點坐標/。,0）,

顯然直線AB斜率存在，設AB的斜率為左，則直線AB的方程為y=Z（九-1）,

y=左（％-1）

22

聯立方程組《22整理得（4左②+3）x-Skx+4（左2—3）=0,

土+匕=1

[43

8k°42-3

易知A>0,設A（%，x）,B（x2,y2）,則有西+馬

由直線A3的方程為丁=左（兀一1）,令尤=4,可得y=3左，即加（4,3人），

333

3O7k----

從而匕=-2--k2=-2-'k3____2

玉一1x2-14-1

又因為共線，則有左=左”=演,，即有』7="h=左，

/一1%2-1

33

所以715%—2%%3（11'

m么匕+42=+=1+-2+

%一11玉-]%2—121%]—1

=2k------------.+12-2

2元送2—（玉+%2）+1

8k2

將西+“蕓？卬"*?'34左2+3-

代入得匕+左2=2左一了=2k-l

4『3）8k2

4/+34/+3+

又由&=左一g，所以4+&=2&,即匕，%,42成等差數列.

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

(1)設直線方程，設交點坐標為(七,%),(%2，%)；

(2)聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于X(或y)的一元二次方程，注意A的判斷；

(3)列出韋達定理；

(4)將所求問題或題中的關系轉化為西+%2、(或%+上、%%)的形式；

(5)代入韋達定理求解.

21.己知函數/(九)=Jinx

⑴求曲線y=/(%)在點(1,/(1))處的切線方程；

(2)求證：函數y=/(x)的圖象位于直線V=x的下方；

(3)若函數g(x)=/(x)+a(%2—%)在區間(1,+8)上無零點，求。的取值范圍.

【答案】(1)y=x-l

(2)證明見解析(3)(一8,—1］。［0,+8)

【解析】

【分析】(1)求導，再根據導數的幾何意義即可得解；

(2)要證明只需要證明lnx<Jl即證lnx-?<0，構造//(%)=lnx—利用導數求出

函數的最大值即可得證；

(3)對。分情況討論，在。<0時，g'(x)=+倉+。(2%—1),結合lnx<6即可求解，在0>a>—1

2y/x