2023-2024學年上海市普陀區曹楊二中高二(下)期中數學試卷

1.—2與一8的等差中項是.

【答案】-5

【解析】

【分析】根據等差中項的定義計算即可.

【詳解】設等差中項為無，貝|2x=—2+(—8)nx=—5,

故答案為：-5

2.某學校開設4門球類運動課程、5門田徑類運動課程和2門水上運動課程供學生學習，某位學生任選1

門課程學習，則不同的選法共有種.

【答案】11

【解析】

【分析】直接根據分類加法計數原理得答案.

【詳解】根據分類加法計數原理得不同選法共有4+5+2=11種.

故答案為：11.

3.已知數列｛a,｝(77>1,〃eN)的通項公式是%=。3"+1,則2a是該數列中的第項.

【答案】9

【解析】

【分析】利用通項公式的概念求解〃的值.

【詳解】根據題意，得回n=2幣,

解得〃=9,所以2甘是該數列中的第9項.

故答案為：9

4.已知｛4｝為等比數列，且8%+%=。，則｛4｝的公比為.

【答案】-2

【解析】

【分析】設出等比數列｛4｝公比，利用等比數列通項公式列式計算作答.

【詳解】設等比數列｛4｝公比為4,依題意，8出+//=0,而生/0,解得q=-2,

所以｛4｝的公比為-2.

故答案：-2

5.設函數/(x)=cosx,則

【答案】也

2

【解析】

【分析】根據常用函數的導函數計算即可.

也

【詳解】由/"(x)=cosx

~T,

故答案為：顯

2

6.等比數列｛a“的前3項的和等于首項的3倍，則該等比數列的公比為一.

【答案】-2或1

【解析】

【詳解】試題分析：當公比q=l時，等比數列｛a“的前3項的和等于首項的3倍；當公比q，l時,

(1-H3)

_2__-.由此能求出該等比數列的公比.

1-q-3Jaal

解：???等比數列｛an｝的前3項的和等于首項的3倍，

當公比q=l時，等比數列｛an｝的前3項的和等于首項的3倍，成立；

(1-

當公比時，_l_=3a，解得q=-2.

1-q1

該等比數列的公比為-2或1.

故答案為-2或1.

考點：等比數列的通項公式.

7.若｛。,dc｝u｛-3,—2,—1,0,1,2,3,4｝,則符合條件的二次函數y=加++c的解析式有個.

【答案】294

【解析】

【分析】由分步乘法原理求解

【詳解】y=+6x+c是二次函數，故awO.

由集合元素的互異性知風仇c互不相同，故符合條件的函數解析式有7x7x6=294個.

故答案為：294

8.設曲線y=在點(0,1)處的切線與直線尤+2y+l=0垂直，則。=

【答案】2

【解析】

【詳解】

【分析】丫'=念%yk=o=a.由題意知，—1,：.a=2

9.已知雙曲線工—匕=1,其右焦點與拋物線的焦點重合，則該雙曲線方程為.

a2

2

【答案】x2-^=l

2

【解析】

【分析】求出拋物線/=46x的焦點坐標，可得出雙曲線的右焦點坐標，進而可求出片的值，由此可得

出該雙曲線的方程.

【詳解】拋物線產=4氐的焦點坐標為(6,0),

所以，雙曲線5=1的右焦點坐標為(6,0),則￡+2=3,得標=1.

2

因此，該雙曲線的方程為k—匕=1.

2

2

故答案為必―21=1.

2

【點睛】本題考查雙曲線方程的求解，同時也考查了拋物線焦點坐標的求解，考查運算求解能力，屬于基

礎題.

10.記數列｛4｝的前〃項和為S,,若q=l,%+i=2S“(九為正整數)，則數列｛4｝的通項公式為

l,n=l

【答案】a=<

n2-3n-2,n>2

【解析】

【分析】當2時，a“=2S"__所以兩式相減得見+1—4=2（S?—S,T）,所以化簡有旦旦=3,又因

an

為彳=2,可得數列｛4｝是以出=2為首項，公比為3的等比數列，即可求出數列｛““｝的通項公式.

【詳解】因為q=L%=2S”,

所以當〃=1時，a?=24=2〃]=2,

當心2時，4=2S“_I，所以兩式相減得：??+1-??=2（S?-S?_1）,

則a〃+i-=2%,所以‘^=3,又因為a=2,

a

anx

所以數列｛。“｝是以外=2為首項，公比為3的等比數列.

n2

所以當2時，an=2-3-.

1,〃二1

所以數列｛4｝的通項公式為:

2-3n-2,n>2

1,H=1

故答案為：a=

n2-3n-2,n>2

(1),于16'32)

keN）組中的第一個數是.

n-1

【分析】根據等差數列的求和公式計算第女組中的第一個數位于數列《的第幾項即可.

n-1

【詳解】由條件可知第七組即有女項，則第女組的第一個數是數列《卜的第1+2+3+…+左一1+1

項,

計算1+2+3+…+左-1+1=

2

Mbi)

…(6、

為第％組中的第一個數.

咱I2J

Mi)

故答案為:

———e2,x<0

12.已知函數y(x)=<e'____，點A/、N是函數y=/(x)圖象上不同的兩個點，設。為坐標原

-yjl+x2,x>Q

點，貝Utan/MON的取值范圍是.

【答案】(°，1+|

【解析】

【分析】作出函數/(%)的圖形，求出過原點且與函數/(力(xWO)的圖象相切的直線的方程，以及函數

/(x)=—J1+?(%>0)的漸近線方程,結合兩角差的正切公式，數形結合可得出tan/MON的取值范圍.

【詳解】當XV。時，/(%)=三一e2,則r(x)=E>0,

ee

所以，函數/(九)在(7,0]上為增函數；

當尤>0時，由y=_&+%2<0可得y2=]+/,即y2—x2=l,

作出函數八％)的圖象如下圖所示:

設過原點且與函數/(%)(%W0)的圖象相切的直線的方程為

y=kx,設切點為,

所以，切線方程y言r+e?=-—%0),

2

將原點坐標代入切線方程可得—7^-+e=—(1—x0),

222_2

即3=e2,構造函數g(x)=三，其中xv。，貝i]g，(x)=5—W0,

所以，函數g(x)=三在(f,0］上單調遞減，Mg(-e)=e2,

由g(x0)=eM%=e?，解得x()=—e，所以，k=~=e+1>

而函數/(%)=-Vi+x2(x>o)的漸近線方程為y=一%,

設直線y=-％與y=(e+l)光的夾角為。，設直線y=(e+l)x的傾斜角為a,

371

3兀tanJana_(e+l)_^2

則tanS=tan--6Z

1+tan-tancrl-(e+l)e

4

結合圖形可知，0<tan/MON<l+Z.

故答案為：j.

【點睛】關鍵點點睛：解本題的關鍵在于求出設過原點且與函數/(x)(%<。)的圖象相切的直線的方程以

及函數/(%)=-Vl+x2(x>0)的漸近線方程，再利用兩角差的正切公式以及數形結合思想求解.

13.已知T，6,a,,T四個實數成等差數列，4,偽，1三個正實數成等比數列，則十’=()

-4

111

A.—B.--C.i—D.+2

222

【答案】A

【解析】

【分析】由等差數列及等比數列的定義與性質計算即可.

【詳解】設T，%，a2,-1四個實數所成等差數列的公差為d,

f-1-(-4)

則由題意可得<2%——3=>1=1，4=土2,

月=4x1

,a.-a1

又4為正實數，故

故選：A

14.“6=癡"是七是"、b的等比中項”的()條件

A.既不充分也不必要B.充分不必要

C.必要不充分D.充要

【答案】A

【解析】

【分析】分別舉反例判斷充分與必要條件是否滿足即可

【詳解】當G=a=Z?=O時，滿足G=J茄，不滿足G是。、b的等比中項；當G是。、6的等比中項，

如a=l,b=4,G=—2,但不滿足G=J拓，故"G=J法”是“G是。、6的等比中項”的既不充分也不必

要條件

故選：A

15.函數/(%)=-7，〃<匕<1,則()

e

A./(fl)=/(Z?)

B.

C.f(a)>f(b)

D.關系不確定

【答案】C

【解析】

【分析】求得了'(x),結合導數/'(力的符號，即可求得外力的單調區間，進而可判斷結果.

【詳解】解：由已知可得,，⑴―x'e。：(e1_

eee

令/'(x)=0,解得x=l.

當時，/f(x)<0；當xe(l,+8)時，/,(x)>0；

故/(%)在上單調遞減，在(1,+。)上單調遞增.

因為a<Z?<l,所以/(a)>/0).

故選：C

16.函數/(%)的導函數為/'(%)的圖象如圖所示，關于函數/(%),下列說法不正確的是(

VT

tnr

A.函數(—1,1),(3,+8)上單調遞增

B.函數在(―8,—1),(1,3)上單調遞減

C.函數存在兩個極值點

D.函數有最小值，但是無最大值

【答案】C

【解析】

【分析】利用導函數圖象，得到原函數單調性即可判斷AB,利用極值點的定義判斷C,利用函數的單調性

及最值的概念判斷D.

【詳解】根據/'(X)的圖象可知,

函數在(-M)和(3,+“)上/'(尤)>0,/(%)單調遞增，A選項正確；

函數在(―8,—1)和(1,3)上//(尤)單調遞減，B選項正確；

所以/(九)的極小值點為T，3,極大值點為1,C選項錯誤；

由上述分析可知，函數的最小值是/(-1)和/(3)兩者中較小的一個，沒有最大值，D選項正確.

故選：C

17.已知等差數列的前三項依次為a,4,3a,前n項和為S“，且邑=110.

(1)求。及左的值；

(2)設數列｛瓦｝的通項公式瓦=。，證明：數列｛。〃｝是等差數列，并求其前〃項和

n

【答案】(1)4=2,左=10；(2)證明見解析，〃="("+3)

2

【解析】

【分析】(1)設該等差數列為｛為｝,根據等差數列的前三項依次為4,4,3a,由。+3a=8,求得°,再利用等

差數列前”項和的公式，由8=110求解；

（2）由（1）得到S尸“（2+2"）=%+9進而得到6"=&,再利用等差數列的定義證明.

2n

【詳解】（1）設該等差數列為｛斯｝,則。1=4,“2=4,的=3。，

由已知有〃+3。=8,得。I=Q=2,公差d=4—2=2,

所以Sk=ka\-\~^——--d=2k+——X2=N+Z,

22

由&=110,得S+1—110=0,

解得左=10或左=一11（舍去），故1=2,攵=10.

（2）證明：由（1）得S〃="2+2〃）="（〃+1）,

2

S

則bn=—=n+l,

n

故bn+i—bn=（n+2）—（n+l）=lf又6=1+1=2,

所以數列｛a｝是首項為2,公差為1的等差數列，

后i、i丁n（2+n+l）n（n+3）

所以T=----------=-------.

n22

2

18.已知雙曲線G：X2-^=1.

4

（1）求與雙曲線C1有相同的焦點，且過點p（4,J3）的雙曲線。2的標準方程.

（2）直線/：y=分別交雙曲線C1的兩條漸近線于A，8兩點.當西.歷=3時，求實數加的值.

2

【答案】（1）~■—y2=1（2）m-+\[3

【解析】

【分析】（1）先求雙曲線G的焦點坐標，然后結合條件計算出雙曲線G的標準方程

（2）設4（%,2%）,3（九2,-2%）構造新曲線方程，聯立直線方程與曲線方程，求出兩根之積，代入向量的

表達式求出結果

【詳解】（1）雙曲線G的焦點坐標為（、后,0），（-Ao）,

22

設雙曲線。2的標準方程為――與=1（。〉0]〉0）,

ab

a2+b2=5

片二4

163，解得,

-n---T—1b2=1

雙曲線G的標準方程為--/=1.

(2)雙曲線G的漸近線方程為y=2%,y=—2x.

設4(%，2光J,6(九2,一2%)?

2-匕=0.

4,消去》化簡得3Y—2/nx—療=0,

y=x+m

由A=(—2^)2—4x3x(一根2)=16機2>0,

得小玉工2-~~~

OAOB=%/+(2玉)?(-2X2)=-3七％，

m2=3>即加=±百■

【點睛】本題考查了求雙曲線標準方程以及結合向量求參數的值，題目較為基礎，需要掌握解題方法

19.統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(升)關于行駛速度x(千米/小時)的函

數解析式可以表示為：

1,3

y=------%3——%+8(0<x<120).已知甲、乙兩地相距100千米.

12800080

(1)當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？

(2)當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

【答案】(1)17.5L.(2)當汽車以80km/h的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為1L25L.

【解析】

【詳解】本試題主要考查了導數在物理中的運用.

解:(1)當x=40時，汽車從甲地到乙地行駛了W2=25小時，

答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升.

(2)當速度為x千米/小時，汽車從甲地到乙地行駛了竺2<|、日寸，設耗油量為h(x)升，依題意得

h(x)=(」_f-上一虺=上入堊二哄上功),

128000SOX1280x4

h'(x)=------------sr=---------；—其中0<xW120

磔I?X'1,儂叫廣

令；j'(x)=0,得x=80.

當xd(0,80)時，萬，(x)<0,h(x)是減函數;

當xd(80,120)時,h，(x)>0,h(x)是增函數.

當x=80時,h(x)取到極小值h(80)=11.25.

因為h(x)在(0,120)上只有一個極值，所以它是最小值.

答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少,

最少為11.25升.

20函數/(x)=-x(x-a)2(xwR)，其中awR.

(1)當。=1時，求曲線y=/(x)在點(2,〃2))處的切線方程；

(2)當awO時，求函數/a)的極大值和極小值；

(3)當a>3時，證明存在左?—1,0],使得不等式/(左-85')》/(好-(：。5%)對任意的》6及恒成

立.

【答案】(1)5x+y-8=0；

(2)見解析

(3)證明見解析.

【解析】

【詳解】試題分析：該題屬于導數應用的綜合問題，第一問考查的是導數的幾何意義，利用點斜式求得對應

的切線方程，第二問對函數求導，解得導數等于零的點，對兩個值的大小進行分類討論，從而確定出函數在

相應的區間上的單調性，從而確定出函數的極值點，代入解析式，求得函數的極值，第三問利用函數的單調

性將函數值的大小轉化為自變量的大小，最后轉化為最值來處理，從而證得結果.

試題解析：(1)當。=1時，/(%)=-x(x-1)2=-X5+lx1-x,得/(2)=-2,且

f\x)--3x2+4x-l,尸(2)=-5.

所以，曲線y=—x(x—Ip在點(2,—2)處的切線方程是y+2=—5(x—2),整理得5x+y—8=0.

解：/(x)=-x(x—a)2=-X，+,f\x)——3x2+4tzx—ci~?

令/'(x)=0,解得x或x=。，由于「wo,以下分兩種情況討論,

(1°)若。>0,當x變化時，/'(X)的正負如下表：

a

Xa(a