山東省濟寧市實驗中學2025屆高三下學期第二次調研數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合/={xeR1*2-*-2<0},3={引y=2*,xe4},則4口3=()

A.(-1,4)B.(0,2)C.即D.0]

2.已知復數z的共軌復數彳=戶(其中i為虛數單位)，貝心的虛部為()

1-1

A.-2zB.2iC.-2D.2

3.已知向量〃=(1,2),S=(-4,x),Z_L己則％=()

A.-8B.-2C.2D.8

4.已知等差數列{凡}的前〃項和為S〃，若/+4+%=15,貝！JS“=()

A.30B.55C.80D.110

5.圓錐被一平面所截得到一個圓臺，若圓臺的上底面半徑為2cm,下底面半徑為3cm,圓

臺母線長為4cm,則該圓錐的側面積為()

A.2871cm2B.3671cm2C.42兀cn?D.48兀cm?

6.一個筆盒中裝有6支筆，其中3支黑色，2支紅色，1支藍色.若從中任取2支，則“恰

有1支黑色”的概率是()

3311

A.—B.—C.—D.—

510510

22

7.設耳，區為橢圓G：\+*=l(a>6>0)與雙曲線公共的左右焦點，它們在第一象限內

交于點△町外是以線段引為底邊的等腰三角形，且|九明|=2.若橢圓。的離心率

34

則雙曲線G的離心率取值范圍是()

o9

-551「3、人/「37

A.B.弓,+8)C.(1,4]D.-,4

8.已知/(%)="(J*+1—%),=6=/匕)，c=/(tan燈則()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a

二、多選題

試卷第1頁，共4頁

9.下列說法正確的是（）

A.若隨機變量X服從正態分布X（3,b）且尸（X<4）=0.7,則尸（3<X<4）=0.2

B.一組數據10/1,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位數為13.5

C.對具有線性相關關系的變量陽y，利用最小二乘法得到的經驗回歸方程為j）=0.3x-m,

若樣本點的中心為（辦2.8）,則實數m的值是一4

D.若決定系數爐越小，則兩個變量的相關性越強

10.已知函數f（x）=sins+coss（0>O）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為5，則（）

A.7（x）的圖象關于點|三,（）[對稱

B.將/（弓的圖象向左平移g個單位長度，得到的函數圖象關于了軸對稱

O

C.仆）在0,1上的值域為[T1]

D./（x）在-5,0上單調遞增

11.已知函數/（x）及其導函數/'（x）的定義域均為R,若/（尤）是奇函數，/（2）=-/（1）^0,

且對任意x,yeR,f{x+y）=f[x}f\y）+f'[x）f{y},則（）

A.r（l）=-1B./（6）=o

20242024

c.￡/w=iD.￡f'（k）=-i

k=lk=\

三、填空題

12.函數y=log“（2-x）+l（。>0,且awl）的圖象恒過定點A,若點A在函數）=加無+〃

21

（m>0,且〃〉0）的圖象上，則一十一的最小值為.

mn

13.的展開式中常數項為.

14.已知左>0,對任意的xe!，+<?j,不等式e"（Ax-l）2exlm?恒成立，則左的取值范圍

試卷第2頁，共4頁

是.

四、解答題

15.在/ABC中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2ccos8=24-6,

(I)求/C的大小；

(II)若麗-g赤=2,求面積的最大值.

2

16.設正項數列｛4｝的前〃項和為邑，若S"=%12.

(1)求數列｛4｝的通項公式；

(2)若不等式白+4r+…―宗］＞r-3對任意正整數"均成立，求力的取值范圍.

3sl4S2(n+2)5?2Sn

17.如圖，在四棱錐P-/BCZ)中，底面/BCD是矩形，PD=CD,PC1AD,點￡為側

棱PC上一動點(不含端點).

(1)求證：平面/DE_L平面PCD；

⑵若AD=1,CD=2,ZPCD=300,是否存在點E使得直線PB與平面ADE所成角為60°?

若存在，求出P生F的值；若不存在，說明理由.

EC

18.已知橢圓的焦點坐標為片(-L0),巴(1,0),過月垂直于長軸的直線交橢圓于尸、。兩點,

且|尸。|=3.

試卷第3頁，共4頁

yk

(i)求橢圓的方程；

(2)過用的直線/與橢圓交于不同的兩點M、N,則△4的內切圓的面積是否存在最

大值？若存在求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由.

19.設函數工(x)=d+0ex(其中。是非零常數，e是自然對數的底)，記

(1)求對任意實數X,都有＜(X)=/；T(X)成立的最小整數〃的值(〃22,〃eN*)；

(2)設函數g"(x)=/(x)+/(x)+…+工。),若對任意“23,?eN*,V=g”(x)都存在極值點

x=f,,求證：點4年,g”(t“)乂〃23/eN*)在一定直線上，并求出該直線方程；

⑶是否存在正整數上(左22)和實數%,使《(/)=4_"%)=0且對于任意力€V，力(x)至多

有一個極值點，若存在，求出所有滿足條件的左和修,若不存在，說明理由.

試卷第4頁，共4頁

《山東省濟寧市實驗中學2025屆高三下學期第二次調研數學試題》參考答案

題號12345678910

答案DCCBBADBACABD

題號11

答案ABD

1.D

【分析】根據不等式解法可得集合/=(T,2),再由指數函數單調性可得8=(；,4；再由

交集運算得出結果.

【詳解】易知/={xeR|X2-X-2<0}={X|-1<X<2}=(-1,2),

再由指數函數y=2工的單調性可得-1<x<2時y=2,e((，力，即8=

因此/口8=&2)

故選：D

2.C

【分析】利用復數的運算法則、共輾復數的定義、虛部的定義即可得出.

1+3,(1+3z)(l+z)-2+4z

【詳解】復數z的共。復數彳=不一=1A，：=^^=-1+2";=一1一27,貝心的

虛部為-2.

故選：C

【點睛】思路點睛：先計算出口再得出z,進而得出z的虛部.

3.C

【分析】根據向量垂直的坐標表示可得出關于x的等式，解之即可.

【詳解】因為向量。=(1,2),3=(-4,x),a±b'則〉B=-4+2尤=0，解得x=2.

故選：C.

4.B

【分析】利用等差數列的項的性質，由條件求得。6=5,再根據等差數列求和公式化簡計算

即得.

【詳解】因{%}是等差數列，故氏+&+%=36=15,解得R=5,

則幾="(4；%)=］峨=55.

答案第1頁，共13頁

故選：B.

5.B

【分析】由所截圓臺的上下底面半徑的比例及母線長，即可求得圓錐的母線長，再利用圓錐

側面積公式即可得到答案.

【詳解】如圖所示：

P

圓臺的上底面半徑為彳=2cm,下底面半徑為2=3cm,圓臺母線長為/=4cm,

pA7

則=17=:，解得尸/=8,所以圓錐母線長為必="+4=12，

所以該圓錐的側面積為S惻=%x3xl2=36兀cn?

故選：B.

6.A

【分析】根據隨機事件的概率公式可得.

C1C13

【詳解】由題意，“恰有1支黑色”的概率是逢U=三.

故選：A

7.D

【分析】根據條件得到|人里|=閨月|=2~結合橢圓的定義和離心率公式得到

e=\MF^+\MF^=2^g[?^]，求得0的取值范圍’再由雙曲線的定義和離心率公式得到

,忻用2c1

雙曲線G的離心率。一|町2-2c-J__1，即可求解.

c

22

【詳解】因為片，鳥為橢圓￡：3+斗=1（。>6>0）與雙曲線G的公共的左右焦點，

答案第2頁，共13頁

△町匕是以線段孫為底邊的等腰三角形，且W陰1=2,

設|初用=閨閭=2。(c>0),由橢圓A的離心率ee。,，］,

o9

即-舟島=言吊。解得「《和

，出閭2c1r3-

由點M在第一象限，得雙曲線C2的離心率，2-勿一,_JL25J

故選：D

【點睛】關鍵點點睛：結合橢圓、雙曲線的定義域，用半焦距表示出離心率是求解的關鍵.

8.B

【分析】先判斷/(X)的奇偶性和單調性，通過奇偶性把“，b,C轉化在同一單調區間，利

用單調性比較即可.

故/'(X)為偶函數，

當x>0時，X*+1<x2+2x+1,故Jx'+1<x+1，

所以0<+ln(Vx2+l-x)<0,

所以/(x)=-In^Vx2+1-x)=ln(Jx2+1+x),

故當x>0時，/(x)單調遞增，

因(口2<€<[3],所以21n3<l<31n。，即，<"」,

UJUJ22322

答案第3頁，共13頁

設函數g(x)=tanx—x,xe^O,-1

g，(x)=—^—-1>0,故g(x)在區間(0,父上單調遞增,

cosxI

所以g(x)>g(O)=O,

所以即tan：>1,

y2j22

-1.311

所以0<一<ln—<一<tan—,

3222

所以//[tang],即b<a<c,

故選：B

9.AC

【分析】根據正態分布概率性質計算判斷A,由百分位數定義計算判斷B,把中心點代入回

歸方程求解后判斷C,利用相關系數與決定系數的概念判斷D,從而得解.

【詳解】選項A,因為隨機變量X服從正態分布X(3,4),P(X<4)=0.7,

所以尸(3<X<4)=尸(XV4)-尸(X>3)=0.7-0.5=0.2,故A正確；

選項B,這組數據總共有10個數，由于10x60%=6,

因此第60百分位數為好券=15,故B錯誤；

選項C,因為經驗回歸方程為》=0.3x-加，樣本中心為(皿2.8),

所以2.8=0.3〃?-加，解得根=-4,故C正確.

選項D,因為尺2=產，

當火2越小時，上越小，此時兩個變量的相關性越小，故D錯誤.

故選：AC.

10.ABD

【分析】根據相鄰兩條對稱軸之間的距離可的周期，然后可得解析式.由正弦函數的對稱性

可判斷A；由函數圖象的平移變換，結合余弦函數的性質可判斷B；根據x的范圍和正弦函

數的性質直接求解可判斷C；根據正弦函數單調性通過解不等式可判斷D.

【詳解】〃刈=瓜!1卜+京

77T7127r

■:相鄰兩對稱軸間距離為不，則不=工，.?.r=；F=——，

答案第4頁，共13頁

：.co=2,/(x)=5/2sin

???/(x)關于已可

=sin%=0,,0|對稱,

---/^x+^j=V2sin^2x+yj=V2cos2x,+關于了軸對稱，B對.

當04x4工時，有0V2XVTT,貝!]工〈2》+工〈3力，所以一包Vsin[2x+工1,

24442I4J

.-./(x)e[-l,V2],C錯誤.

由-彳42X+￡4]得所以/⑺的一個單調增區間為而

242881_88_

-/,0u--，.,./(X)在一~—,0上單調遞增，D對.

故選：ABD

11.ABD

【分析】根據函數的性質和導函數的運算法則，結合賦值法可得相關結論.

【詳解】因為/(%+力=/(力/'(力+廣(力/3,

令x=y=l得：/(2)=2/(l)r(l),又因為〃2)=-/⑴wo,所以尸(i)=_g,故A正確;

因為/'(無)是定義域為R的奇函數，所以[(0)=0,且/'(x)為偶函數.

令y=l,可得:/(x+l)=/("”)+/)x)/⑴①

再用f代替x可得：/(i-x)=/(-x)r(i)+r(-x)/(i)=-/W/,(i)+r(x)/(i)

"(i)=/(x)八iL⑴②

①+②得：/(x+l)+/(x-l)=2/(x)r(l)^/(x+l)=-/W-/(^-l)

所以:/(x+2)=-/(x+1)-/(x),

/(x+3)=-/(x+2)-/(x+l)=/(x+l)+/(x)-/(x+l)=/(x)

所以/"(X)是周期為3的周期函數，所以：f(6)=f(3)=f(0)=0,故B正確.

因為：/(0)=0,〃2)=-/(l)n/(l)+/(2)=0,所以：/(1)+/(2)+/(3)=0,

2024

所以：億)=674X[〃1)+〃2)+〃3)[+[〃1)+〃2)]=0,故C錯誤；

答案第5頁，共13頁

又因為/'（X）亦為周期為3的周期函數，且為偶函數，所以（（-2）=/⑴=-。=/（2）

令x=l,y=0可得：/■⑴=/⑴/'（0）+/'⑴/（O）=/'（O）=l=/'⑶，

所以/'⑴+/'（2）+/'⑶=0.

2024

所以：W7"）=674x［7"）+1（2）+/（3）］+［/（^+/（2」】=T故D正確.

k=\

故選：ABD

【點睛】方法點睛：對于可導函數/（尤）有：奇函數的導函數為偶函數；偶函數的導函數為

奇函數.

若定義在R上的函數/（無）是可導函數，且周期為T,則其導函數/'（X）也是周期函數，且

周期也為T.

12.3+2V2/2V2+3

【分析】根據對數函數的性質求出A點坐標，從而得到機+〃=1,再利用乘“1”法及基本不

等式計算可得.

【詳解】對于函數了=log?（2-x）+l（a>0,且"1）,令2-x=l,即x=l,

此時y=log01+1=1,

即函數y=log〃（2-尤）+1（°>0,且°R1）的圖象恒過定點/（U）,

貝！］加+〃=1（m>0,且〃〉0）,

所以2+L=fl+L］（%+〃）=3+啊竺23+2.t-=3+26,

mnn）mnn

當且僅當空=%,即〃=0-1，機=2-a時取等號.

mn

故答案為：3+2后.

13.40

【分析】由二項式定理及展開式通項公式可得：展開式的通項公式為

Tr+i=C；25r.（-1）'x53,再利用乘法的分配律運算即可得解.

【詳解】解：由展開式的通項公式為心=C；25T（-1）‘產”

答案第6頁，共13頁

則(X+￡|(2X-￡|的展開式中常數項為c；2,-《2?=40,

故答案為40.

【點睛】本題考查了二項式定理及展開式通項公式，屬中檔題.

14.［1,+8)

【分析】構造函數/(x)=xe，(xeR),利用單調性得到質-12山，分離參數，求出

lnX+1

g(x)=,xeL+e］,的最大值即可

【詳解】由條件得efa-'(Ax-l)>xlnx=eto-Inx,

構造函數/(x)=xe'(xeR),對其求導得/'(x)=(x+l)e'，令/'(x)=0得x=-l,

于是當x<-l時，/(尤)<0,函數f(x)單調遞減；當x>-l時，r(x)>0,函數/⑺單調

遞增.

因為左>0,xe,,+紇］,所以丘一1>一1,InxN-l,根據/(注一1)2f(Inx),得到fcc-lzlnx,

分離參數得人『對恒成立'

r幻TAWC+1

只需左N(--------)max

1

構造函數g(x)=XG—,+8對其求導得g'(x)=爹,

e

令g'(x)=0得x=l,于是當1工<1時,g'(x)>0,函數g(x)單調遞增;

e

當x>l時，g'(x)<o,函數g(x)單調遞減,

所以g(x：U=g6=l，于是a1,因此左的取值范圍是［1,+“).

故答案為：［1,+s)

15.(1)C=—(2)2Vs

【詳解】分析：(1)利用正弦定理以及誘導公式與和角公式，結合特殊角的三角函數值，求

得角C；

(2)運用向量的平方就是向量模的平方，以及向量數量積的定義，結合基本不等式，求得的

最大值，再由三角形的面積公式計算即可得到所求的值.

詳解：(1)V2ccosB=2a-b,

答案第7頁，共13頁

/.2sinCcos5=2sirk4-sinB,2sinCcos5=2sin(3+C)—sinB,

..17C

2sin5cosC=sinB,cosC=—,C=一

23

(n)取8c中點。，則G4-1cs|=2=|ZM，在AADC中，AD2=AC2+CD2-2AC-CDcosC,

(注：也可將畫-g.卜2=|方兩邊平方)即4=〃+([-y>

>2A---=~,所以MV8,當且僅當。=4,6=2時取等號.

V422

此時S*BC=；%inC=~~ab，其最大值為2g.

點睛：該題考查的是有關三角形的問題，涉及到的知識點有正弦定理，誘導公式，和角公式,

向量的平方即為向量模的平方，基本不等式，三角形的面積公式，在解題的過程中，需要正

確使用相關的公式進行運算即可求得結果.

16.(l)a?=n

⑵

【分析】(1)應用a“=S-S”T得出等差數列再求數列通項公式即可;

(2)應用裂項相消求和結合不等式恒成立求解.

2

【詳解】(1)當〃=1時，為="幺，所以為=1;

22

當〃22時，=與2且SQ=與哼0,兩式相減并整理可得(4+〃小)(%一an-i-1)=0.

因為｛4｝為正項數列，所以氏一1=1，所以%T+(〃T)=〃.

(2)有(1)可知S二心1=15+1),

〃22

.]2____1__________]

一5+2)s〃一心+1)(〃+2)一9+1)伽+1)5+2)'

111111111

??雙+不7+…+伽+2電―]一百+右―藪Z+…+5+1)比—伽+])伽+2)

11

2-(T?+1)(H+2)

,11112，一.n

故---1---------1----H----------------->------------,可化為丸〉-------

35,4邑5+2)號2S；2(〃+2)

rn11

因1為------=-------恒成立，所以

2(?+2)2n+2

答案第8頁，共13頁

17.(1)證明見解析

⑵存在；彳=2±盧或Zz巫

EC66

【分析】(1)由/O_LC￡>和4D_LPC,利用線面垂直的判定定理，證得平面尸CD,

進而得到平面ADE_L平面PCD-

(2)作尸〃_LCD交C。于〃，得到刊/_L平面48C。，以所在的直線分別為xj軸,

PF

過。點平行與的直線為z軸建立空間直角坐標系，即——=4,求得平面4DE的法向量

EC

益和向量而，結合向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】(1)證明：因為四邊形48C。為矩形，可得/DLCD,

又因為NO_LPC,且尸CcCD=C,尸C,CDu平面PCD,

所以J_平面尸8,

又因為/Du平面NDE,所以平面/DE_L平面尸8-

(2)解：作PHLCD交CD于H,

因為ND,平面PCD,所以4D_LPH所以尸H_L平面4BCD,

以所在的直線分別為x/軸，過。點平行與9的直線為z軸，

建立空間直角坐標系，如圖所示，

可得/(l,0,0),B(l,2,0),C(0,2,0),H(0,-l,0),P(0,T百)，所以麗=(1,3,-3),

iH—=2,即而=4反，^^DE-DP=A(DC-DE),

EC

所以無=工(5P+25C)=(O,

A+1

由方2=(1,0,0),故可設平面4DE的法向量】=(0,1,z),

又由反7=0,得尖l+f-.z=0,可解得z=片，所以石=(。,1,上等),

2+1A+lV3V3

若直線PB與平面ADE所成角為60°,

?而,"IV3_|3-(1-22)|

2

則有sin60。=|cos<尸3,〃>|=晨?/所以2一石I—(1-2A)-

\PB\-\n\V13-J1+^―尸-

化簡得3萬_7/+3=0,解得力=7±店,

6

因此，當至=2±巫或上巫時，直線尸B與平面NOE所成角為60。.

EC66

答案第9頁，共13頁

22Q

18.(1)土+匕=1；(2)存在；內切圓面積的最大值為71，直線的方程為尤=1.

4316

【解析】(1)設橢圓方程，由焦點坐標可得C=l,由|PQ|=3,可得生=3,又af=l,

a

由此可求橢圓方程；

(2)設M(&,%)，Ng%),不妨乂>0,%<。,設△耳MN的內切圓的徑尺，則

△用MV的周長=4a=8,S^MN=^(\MN\+\FiM\+\FiN\)R=4R,因此ZF,MN最大，尺就最

大.設直線/的方程為x=w+l,與橢圓方程聯立，從而可表示△片兒W的面積，利用換元

法，借助于導數，即可求得結論.

22

【詳解】解：(1)設橢圓方程為「+看=1(。>6>0),由焦點坐標可得c=L

ab

or2

由|尸0|=3,可得生=3.又/一〃=1,得0=2,b=6

a

22

故橢圓方程為、+匕=1.

43

(2)設不妨令乂>0,y2<0,

設"MN的內切圓的半徑為R,則叢F、MN的周長為4“=8,

=/"N|+閨閭+^N|)尺=4R,

因此要使內切圓的面積最大，則H最大，此時凡大形也最大.

S\F\MN=1■庫&HJI-^21=Ji-J2>

由題知，直線/的斜率不為零，可設直線/的方程為x=w+l,

答案第10頁，共13頁

-22

二+匕=1

由<43得(3加2+4)J?+6即—9=0,

x=my+1

少日一3加+6J冽2+1-3加-6,加2+i

"3.+4，力=3療+4—

貝U$△4MV=乂一%=，令，=X2+l則叱1,

I3:'m：+4[I

c_12，/+]_⑵_12

貝uH\MN=3療+4=3771"口

令/(/)=%+；,則/⑺=3-),

當此1時，,'⑴>0,所以/⑺在工+8)上單調遞增,

12

有了⑷”⑴=4,SAFIMN<-^3,

3

當/=1,/〃=0時,S&F、MN=3,又S4F\MN=4R,..Amax=工

這時所求內切圓面積的最大值為三9;r,此時直線的方程為x=l

【點睛】本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算,

考查學生分析解決問題的能力，分析得出邑尸av最大，尺就最大是關鍵，屬于中檔題.

19.(1)5；

(2)證明見解析，y=2x；

2

(3)存在左=3,。=一一滿足條件.

e

【分析】(1)按照給定定義，依次求導，再觀察規律即可判斷作答.

(2)由(1)求出函數g“(x),求出g“(x)的導數，再利用已知結合極值點的意義推理作答.

(3)由(1)結合已知，確定左=3或左=2,再分類討論極值點的情況作答.

x

【詳解】(1)依題意，4(x)=1+ae',f2(x)=fi(x)=2x+ae>啟x)=『(x)=2+ae”,

〃x)=4(x)=ae*,

&x)=萬⑴=H，因此力(尤)=4_]&)=ae*,n>5,即％°=5,

所以對任意實數x,都有工(無)=/i(x)成立的最小整數”的值是5.

(2)由(1)知，"23,neN",

xxxxx

g?(x)-f2{x}+f3{x}---fn(x)=(2x+ae)+(2+ae)+ae+aeH---Fae

答案第11頁，共