專題01實數(shù)、整式、分式與二次根式

目錄

熱點題型歸納...........................................................................

題型01實數(shù)的運算.......................................................................................1

題型02整式的運算.......................................................................................7

題型03因式分解的計算..................................................................................21

題型04分式的計算......................................................................................21

題型05二次根式的計算..................................................................................21

題型06數(shù)與式的新定義計算..............................................................................21

.................................................................................................................................................................................................21

題型01實數(shù)的運算

01題型綜述________________________________________

實數(shù)的運算是初中數(shù)學(xué)計算的基礎(chǔ)內(nèi)容，涉及到實數(shù)的混合運算、特殊角的三角函數(shù)值計算等等，分值占比約3%~5%；

1.考查重點：實數(shù)的運算、特殊角的三角函數(shù)值計算等等。

2.高頻題型：選擇題、填空題中的直接計算題，解答題中的基礎(chǔ)計算題。

3.高頻考點：實數(shù)的四則運算、含特殊角的三角函數(shù)值計算。

4.能力要求：準(zhǔn)確快速的計算能力。

5.易錯點：運算時出現(xiàn)符號錯誤（忘記變號）、特殊角的三角函數(shù)值遺忘。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.實數(shù)的運算法則:

先乘方，再乘除，最后加減。有括號的先算括號，先算小括號，再算中括號，最后算大括號。

2.絕對值的運算：

時=<"；一2）,常考形式：k-母=（大-?。?。

3、根式化簡：J?=|a|=<'7(a>0)

-a(〃<0)'

4、0次幕、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕以及-1的奇偶次累的運算：

①/=l（aw0）；②cT"=二;③―1"=—1；④（T）"是;禺最

a[-1（〃是奇數(shù)）

5、特殊角的銳角三角函數(shù)值（附加）：

三角函數(shù)30°45°60°

j_V2-x/3

sine

22~2

V3V2

cosa

~2~~2

V3

tanc1V3

【典例分析】

例1.（2025?江蘇宿遷?一模）計算：（-2）。+2$也30。-|2-6|.

【答案】V3

【分析】本題考查實數(shù)的混合運算，掌握運算順序和計算法則正確計算是解題關(guān)鍵.根據(jù)絕對值的意義，負(fù)整數(shù)指數(shù)

嘉，零指數(shù)累及銳角三角函數(shù)分別化簡，然后進(jìn)行計算.

【詳解】解：原式年2。2+若

=-$/3.

:一返+回（一1嚴(yán)5.

例2.（2025?江蘇鹽城?模擬預(yù)測）計算-2?x

【答案】-7

【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，根據(jù)二次根式、立方根的意義，有理數(shù)的乘方進(jìn)行計算即可求解，掌握相關(guān)知

識是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:4X一般+囪X(一1嚴(yán)5

=-4x1-2+3x(-l)

=-2-2-3

=-7.

例3.(2025?江蘇蘇州?模擬預(yù)測)計算：|l-V2|+^8+Qj-(-4)2.

【答案】夜-18g

【分析】本題主要考查了實數(shù)的混合運算，先化簡再計算是解題關(guān)鍵.

先根據(jù)絕對值的定義、立方根、立方逐項化簡，再加減即可.

【詳解】解：原式=血一1-2+g—16=夜一18|.

例4.(2023?江蘇鎮(zhèn)江?模擬預(yù)測)計算：(a-1)°+出-2cos60°.

【答案】2

【分析】本題考查了實數(shù)的運算，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

分別化簡計算零指數(shù)指數(shù)塞，負(fù)整數(shù)指數(shù)累，特殊角的三角函數(shù)值，再進(jìn)行加減運算.

【詳解】解：原式=1+2-2xg

=1+2-1

=2.

例5.（2023?江蘇宿遷?一模）計算：2cos45°+|l-V2|-V4+（-l）2023.

【答案】20-4

【分析】本題考查的是實數(shù)的運算，涉及到特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)、數(shù)的乘方及開方法則.分別根據(jù)特

殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)、數(shù)的乘方及開方法則計算出各數(shù)，再根據(jù)實數(shù)混合運算的法則進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：2COS45°+|1-V2|-A/4+（-1）2023

=2x也+&-1-2-1

2

=V2+^-l-2-l

例6.（2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測）計算：卜石卜［￡|-1+2$吊60。-舊.

【答案】

【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的計算，實數(shù)的混合運算，先去絕對值，去括號，計算特殊角的三角函數(shù)值,

化簡二次根式，再進(jìn)行加減運算即可.

【詳解】解：原式=若」-l+2x走-2君

52

6

5

【變式演練】

1.（2024.江蘇鹽城三模）計算：V8-2cos45°+（V2-l）（，

【答案】V2+1

【分析】本題考查實數(shù)的混合運算，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握實數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵.計算乘法運算和

三角函數(shù)，再按照實數(shù)的運算順序進(jìn)行運算即可.

【詳解】解：原式=20-2x1+1

2

=-JT,+I

故答案為：V2+1

（小Y1一百

2.（2024?江蘇蘇州?二模）計算sin300----1+——

12J2

【答案】-正

2

【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算問題，掌握實數(shù)混合運算法則、特殊三角函數(shù)值、零次幕的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

先代入特殊角的三角函數(shù)值，計算零指數(shù)累，然后再算加減.

【詳解】解：sin30。一（@一11

I2）2

」一1+匕立

22

=_昱

一一"r-

3.（2024?江蘇鹽城?三模）計算：4COS45°+（A/3-1）°-78.

【答案】1.

【分析】本題考查了實數(shù)的運算，分別根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)次累及算術(shù)平方根計算出各數(shù)，再根據(jù)實數(shù)

混合運算的法則進(jìn)行計算即可，熟知零指數(shù)次暴及算術(shù)平方根的運算法則、特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

【詳解】原式=4x變+1-2行

2

=25/2+1-272

=1.

4.（2024?江蘇鹽城三模）計算：卜石|+仁］+（兀+2）°+tan45。.

【答案】73+4

【分析】本題考查實數(shù)的混合運算，根據(jù)絕對值，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，零指數(shù)幕，特殊角的三角函數(shù)值即可得出答案

【詳解】原式=有+2+1+1=6+4

5.（2024?江蘇常州?一模）計算：|2-V8|-4COS45°-（-A/3）+^-1^；

【答案】7+g

【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，先算負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、去絕對值、特殊角三角函數(shù)值，然后再算乘除法，最后計

算加減法即可.

【詳解】解：12—遮卜4cos45。一（一百）+

=A/8-2-4X^-+73+9

2

=2A/2-2-2A/2+>/3+9

=7+5/3

6.（2024.江蘇宿遷.模擬預(yù)測）計算：-tan60°+O+|^-2|

【答案】4

【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，根據(jù)二次根式的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、特殊角的三角函數(shù)值、立方根的定義、

絕對值的性質(zhì)分別運算，再合并即可求解，掌握實數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：原式=2百一（-4）一#+（-2）+2-舊

=26+4-25

=4.

題型02整式的運算

01題型綜述

整式的運算是初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的計算內(nèi)容之一，涉及到整式的加減、整式的乘除和乘法公式，分值大概在10分左右;

1.考查重點：整式的四則運算、乘法公式的靈活應(yīng)用。

2.高頻題型：選擇題、填空題中的直接計算題，解答題中的化簡求值。

3.高頻考點：完全平方公式與平方差公式的應(yīng)用、代數(shù)式化簡中的符號處理。

4.能力要求：準(zhǔn)確快速的計算能力、代數(shù)式結(jié)構(gòu)觀察能力、公式逆用與變形的邏輯思維能力。

5.易錯點：運算中符號錯誤（如負(fù)號遺漏）、公式混淆（如（a-6）2誤寫為/―〃。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.合并同類型:

法則：“一相加，兩不變”，即系數(shù)相加，字母與字母的指數(shù)不變照寫。

2.整式的加減的實質(zhì)：

合并同類項。

3.整式的乘除運算：

①單項式義單項式：系數(shù)相乘，同底數(shù)累相乘，其中一個因式單獨存在的字母連同它的指數(shù)作為積的一個因式。

②單項式X多項式：單項式乘以多項式的每一項，變成單項式乘以單項式。

③多項式X多項式：用其中一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，變成單項式乘以單項式。

④單項式+單項式：系數(shù)相除，同底數(shù)塞相除，被除數(shù)中單獨存在的字母連同它的指數(shù)作為商的一個因式。

⑤多項式+單項式：多項式的每一項除以單項式，變成單項式除以單項式。

4.乘法公式：

①平方差公式：(0+0(0—6)=02—52。

②完全平方公式：(a±Z?)2=a2±2ab+/?20

【典例分析】

例1.(2025?江蘇蘇州?模擬預(yù)測)先化簡，再求值：(x+iy-x(x+l),其中x=2025.

【答案】x+1,2026

【分析】本題考查整式的混合運算及求值，先計算完全平方、單項式乘多項式，再合并同類項，最后將x=2025代入

求值即可.

【詳解】解：原式+2%+1-—%

=犬+1,

當(dāng)x=2025時，

原式=2025+1=2026.

例2.38.(2024?江蘇宿遷?二模)先化簡，再求值：2^2x2-1xy-y^-(4x2+4xy-2y2),其中x=3,y=-1

【答案】-5孫；15

【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，解題關(guān)鍵是熟練掌握去括號法則和合并同類項法則.先根據(jù)去括號法則和

合并同類項法則進(jìn)行化簡，再把x,y的值代入化簡后的式子進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：2(2/一;孫一y1—(4/+4初一2y2)

=4%2一孫一2y2-4x2-4xy+2y2

=(4f—4x2)+(2/—2y2)+(—4呼—孫)

=-5孫，

當(dāng)x=3,y=-1時，

原式=_5x3x(—l)

=5x3x1

=15.

例3.（2024?江蘇揚州?三模）先化簡，再求值：［（2x-y）2-（y+2x）（2x-y）-2xy~］2y,其中％=-；,y=-3.

3

【答案】y-3x,-1.

【分析】本題主要考查了整式的混合運算.先根據(jù)完全平方公式和多項式乘以多項式的計算法則去掉中括號內(nèi)的小括

號，然后合并同類項，再根據(jù)多項式除以單項式的計算法則化簡，最后代值計算即可.

【詳解】解：［（2x-y）2-（y+2x）（2x-y）-2盯］+2y

=14/—4xy+y2_（4/—,2）_2孫卜2y

=（4/—4xy+y2—4廠+y~_2xy^+2y

=（2y2-6xy）4-2y

=y-3x,

當(dāng)尤=一；,y=-3時，原式=-3-3x(-：］=-3+■!=一■!.

例4.（2024?江蘇鹽城二模）先化簡，再求值：（X-1）2+2（X-1）（X+1）,其中X=2.

【答案】39-21,7

【分析】本題考查整式的混合運算與求值法則的應(yīng)用，主要考查計算與化簡能力.根據(jù)乘法公式與單項式乘多項式法

則先去括號，后合并同類項化簡，再代入求值即可求解.

【詳解】解：（X-1）2+2（X-1）（X+1）

=X2-2X+1+2（X2-1）

=x2—2x+l+2x2-2

=3x?—2x—1,

當(dāng)x=2時，原式=3x22—2x2—1=7.

例5.(2024?江蘇鹽城?三模)【閱讀發(fā)現(xiàn)】

小明在閱讀數(shù)學(xué)課外讀物時，讀到了海倫一一秦九韶公式.他了解到海倫公式和秦九韶公式分別是由古希臘的幾何家

海倫和我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶提出的.這兩個公式有什么關(guān)系呢？于是小明進(jìn)行了下列思考：

兩個公式：

海倫公式：已知一個三角形的三邊長分別為。，b,c,設(shè)p=；g+6+c),那么這個三角形的面積

S=Qp(p_a)(p_b)(p_c)；

秦九韶公式：已知一個三角形的三邊長分別為〃，b,c,那么這個三角形的面積S.

142

B

6

圖1圖2

【嘗試應(yīng)用】

(1)己知一個三角形的三邊長分別4,5,6.請任選一個公式算出這個三角形的面積為請用學(xué)過的知識來解

這個三角形的面積.

(2)己知一個三角形的三邊長分別為b,c,試求出這個三角形面積的一般表達(dá)形式.(用心b,c表示)

【發(fā)現(xiàn)關(guān)聯(lián)】

思考關(guān)聯(lián)：請你由秦九韶公式S=；a2b2推導(dǎo)到海倫公式：S=^(p-a^p-b\p-c),

P=g(a+b+c)

【答案】【嘗試應(yīng)用】(1)苧；見解析；⑵s=#,【發(fā)現(xiàn)關(guān)聯(lián)】見解析

【分析】嘗試應(yīng)用：（1）代入5=aV-1-2-);過點A作AD13C,設(shè)BD=x則￡>C=6-x,^.RtAABD

和RS3中，應(yīng)用勾股定理，可*求出x=g,AD=%自，代入面積公式即可求解,

44

222

(2)過點A作AD23C,設(shè)AD=/?,BD=x,則。C="x,根據(jù)勾股定理得到/?=/_/,/7=c--x),聯(lián)

立得：〃_尤2=02_伍_尤）2,解得：x=dl”士，由面積公式得到：

S=^h-b=日2力2=^（a2-x2）-b2=一㈣2],代入即可求解,

發(fā)現(xiàn)關(guān)聯(lián)：將S=：『應(yīng)用平方差公式進(jìn)行展開，即可求解,

本題考查了，勾股定理，平方差公式的運用，二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握勾股定理，平方差公式進(jìn)行

運算.

【詳解】解：嘗試應(yīng)用（1）

2

a2+b2-c2

S=

2

過點A作

設(shè)B￡>=x,貝!]Z>C=6_x,

在Rt^ABD中，AD2=ABr-BD1=42-%2,

在RtAADC中，AD?=AC2_ZX?2=52_(6—尤J,

、9

A42-x2=52-(6-x),解得：尤="

25s

AD=

4

???這個三角形的面積為：-AD1BC工創(chuàng)律6二”業(yè),

2244

（2）過點A作AD15C,

B

設(shè)AD=h,BD=x,貝ljDC-b-x,

貝|J：/z2=6Z2-x2,h1=c2-(b-xf,

<22-X2=C2-(Z?-X)2,解得：X=———

I72b

?.?S=；。力=J；/方=J；（〃一J）方=g一（桁）［

/

1a2+b2-c2y

a2b2—b?

2bJ

、2

a2+b2-c2

a2b2-

27

發(fā)現(xiàn)關(guān)聯(lián):

_llab+a2+b2-c2lab-a1-b1+C1_(a+b)2-c2c2-(a-b)2

~V44-V44

_a+b+ca+b-ca+c-bb+c-a

~V2222

=QP(P--c)；其中p=；(a+6+c).

例6.(2024?江蘇鹽城?三模)觀察下面的等式：42-22=4x3,62-42=4x5,82-62=4x7,102-82=4x9.-?

⑴根據(jù)題目中規(guī)律的格式，寫出202-18?的結(jié)果為202_182=_.

(2)按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論(用含〃的等式表示，〃為正整數(shù))；

(3)請運用有關(guān)知識，推理說明這個結(jié)論是正確的.

【答案】(1)4x19

(2)(2〃+2)2一(2〃y=4(2〃+1)

(3)推理說明見解析

【分析】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運算和列代數(shù)式，熟練掌握上述知識點是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)前4個等式，寫出結(jié)果即可；

(2)根據(jù)上述等式，可得一般規(guī)律：第〃個等式為(2〃+2)2-(2〃)2=4(2〃+1)；

(3)證明等式左邊=等式右邊即可.

【詳解】(1)解：202-182=4x19,

故答案為：4x19.

(2)解：根據(jù)上述等式，可得一般規(guī)律：第凡個等式為(2九+2)2-(2/)2=4(2"+1)；

(3)解：推理如下：

等式左邊=(2〃+2)2-(2")2

=4"+8〃+4-4〃2

=8〃+4

=4(2n+l)

=等式右邊，

故等式成立.

【變式演練】

1.(2024?江蘇南京三模)先化簡，再求值：(2a-6)2-0-2砌2a+6),其中。=-2,6=1.

［答案］8a2-4ab；40

【分析】本題考查整式的化簡求值，熟練掌握完全平方公式，平方差公式是解題的關(guān)鍵.先計算完全平方公式，平方

差公式，再合并同類項，化簡后代入求值.

【詳解】解：原式=4/一4"+/-(從-4叫

=4a2-4ab+b2—b2+4a2

=8/—4ab,

當(dāng)。二一2,。=1時，

原式=8x(-2『-4x(-2)x1=40.

2.(2024?江蘇鹽城?一模)先化簡，再求值：(X+2)(X-2)-43X-6),其中x滿足f一3》-1=0.

【答案】-2X2+6X-4,-6

【分析】去括號，合并同類項，后變形，整體代入求值即可.

本題考查了整式的化簡求值，熟練掌握合并同類項是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：原式=￡一4-3X2+6X=-2Y+6X-4,

,,,x1-3x-l=0,

—3x-1,

故原式=-2,-3x)-4=-6.

3.(2024?江蘇南京?二模)與幾何證明一樣，代數(shù)推理也需要有理有據(jù).請先完成第(1)題的填空，再完成第(2)

題的證明.

(1)已知實數(shù)x,y滿足x>y>。，求證犬>,2.

證明：?.?x>y>0,

x+y>0(實數(shù)的加法法則)，

x-y>0(不等式的基本性質(zhì)1).

(x+y)(x-y)>0(①).

*/(x+y)(x-y)=x2-y2(②)，

x2-y2>0.

：.x2>y2(③).

(2)已知實數(shù)x,y滿足x>y>0,求證五>心1(注：無需寫出每步的依據(jù).)

【答案】(1)①實數(shù)的乘法法則(或者不等式的基本性質(zhì)2)；②平方差公式；③不等式的基本性質(zhì)1

⑵見解析

【分析】本題考查不等式的性質(zhì)，實數(shù)的加減乘法運算法則，平方差公式，二次根式有意義，關(guān)鍵是掌握不等式的性

質(zhì).

(1)不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變，平方差公式，由此即可證明問題；

(2)根據(jù)二次根式有意義，平方差公式，不等式的性質(zhì)，由此即可證明問題.

【詳解】(1)解：①實數(shù)的乘法法則(或者不等式的基本性質(zhì)2).

②平方差公式.

③不等式的基本性質(zhì)1.

（2）解:*.*x>y>Q,

:.x-y>0,

Qx-y=（6￥-（6￥=（6+5（?-5,

（?+6）（G-77）>o,

x>0,>0,

:.y/x>0,y/y>0,

/.+>0,

:.y[x-y[y>0,

/.Vx>y]~y.

4.（2023?江蘇常州?一模）先化簡，再求值：（X-y）2-x（x+2y）,其中x=；,y=-2.

90

【答案】-4xy+y2,y

【分析】本題主要考查運用乘法公式進(jìn)行整式運算，代入求值，掌握整式運算法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)乘法公式展開，再根據(jù)整式混合運算法則進(jìn)行計算，最后代入求值即可.

【詳解】解：（彳一、）2-尤（尤+2〉）

=x2-2xy+y2-x2-2xy

=-4xy+y2,

當(dāng)x=y=_2時，m^=-4x|x（-2）+（-2）2=y.

5.（2023?江蘇常州?二模）閱讀理解早在我國南宋時期，著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了“三斜

求積術(shù)”，后人稱之為“秦九韶公式”，其求法是：若將三角形的三條邊分別稱為小斜（記為。）、中斜（記為6）和大

斜（記為c）,以小斜幕并大斜幕減中斜幕，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜幕減上，余四約之，為實：一為從隔，

開平方得積.若把以上這段文字寫成公式即為//_廣2+『2]1(a<b<c)

(1)如圖，已知圖中3個正方形的面積分別為2,1,4,求VA3C的面積.

深入探究

古希臘數(shù)學(xué)家海倫寫了一本《測量儀論》，上面記載一個計算三角形面積的公式，即海倫公式：三角形面積

S=Qp(p_a)(p_b)(p_c),p=,

(2)請你用秦九韶公式證明海倫公式.

靈活應(yīng)用

結(jié)合上面學(xué)習(xí)的知識解決以下問題：

(3)已知三角形三邊長分別為5,6,7,求這個三角形的內(nèi)切圓半徑.

【答案】(1)正；(2)詳見解析;⑶手

4

【分析】本題考查了使用平方差公式變形整式，三角形的面積與其內(nèi)切圓的關(guān)系等知識，解決問題的關(guān)鍵是變形等式.

(1)把片=1,82=2,/=4代入公式求得結(jié)果;

(2)將秦九韶公式利用平方差公式分解因式，進(jìn)而得出海倫公式結(jié)論;

(3)先求出三角形的面積，進(jìn)而根據(jù)三角形面積等于其周長與內(nèi)切圓的半徑之積的一半，列出方程，求得結(jié)果.

【詳解】解：⑴由題意得，a2=l,b2=2,C2=4,

也

??S4ABe1x4-2

4m4

2

1a2+c2-b1

(2)證明：S=a2c2

42

2

16

2

a+c(Q_0)2

16

Q+c+b)(a+c—b)(b+a—c)(b-a+c)

16

(-6/+Z7+c)(a-b+c)(a+Z?—c)(Q+〃+C)

2222

a+b+c￡±|±￡_Aa+O+cca+b+c

----2------@22

a+b+c

設(shè)。=，貝|JS=jMp_q)(p_6)(p_c).

2

(3)解：?:〃=5,b=6,c=7,

a+b+c5+6+7

?(p=----------=-----------=9,

22

二?"一〃=4,p-b=3fp-c=2,

S=J9x4x3x2=6A/6，

設(shè)三角形的內(nèi)切圓半徑為r,

/.^x(5+6+7)r=6A/6,

.2娓

??r=----，

3

則這個三角形的內(nèi)切圓半徑為：巫.

3

6.（2023?江蘇鹽城?三模）小明提出這樣一個猜想：對于任意兩個連續(xù)的正整數(shù)相、小它們的乘積4（4=加〃）與較大

數(shù)的和一定為某個正數(shù)的平方.

舉例驗證：（1）當(dāng)〃?=3,〃=4,則4+〃=（）2

推理證明：小剛同學(xué)做了如下的證明：

設(shè)"7<〃，m,〃是連續(xù)的正整數(shù)，〃=〃7+1

q=mn,q+n=mn+n-^）2；4+”一定是正數(shù)的平方數(shù).

（2）請你補上小剛同學(xué)的證明過程的空格所缺內(nèi)容；

（注：推理論證中的兩個是同一個代數(shù)式，答題卡上只需填寫一個即可）

類比探究：（3）小紅同學(xué)類比小剛同學(xué)的證明方法，提出“任意兩個連續(xù)正整數(shù)的乘積與較小數(shù)的差也為某個正數(shù)的

平方”，請證明該結(jié)論；

深入思考：（4）老師在三位同學(xué)的基礎(chǔ)上，鼓勵同學(xué)們繼續(xù)探究：若p=?q+n）+?q_m）（m,w為兩個連續(xù)正整數(shù)，

m<n,4=放2）,則p一定是_.（填：奇數(shù)、偶數(shù)）

【答案】（1）4；（2）w（也可加+1）；（3）證明見解析；（4）奇數(shù).

【分析】（1）代入計算，求算術(shù)平方根即可；

（2）將〃?+1=〃整體代入消元即可得解；

（3）將〃="+1整體代換消元即可得解；

（4）利用前兩間的結(jié)果代入去根號即可得解.

【詳解】解：（1）當(dāng)加=3,〃=4時，q+n=mn+/7=3x4+4=16=42

故答案為：4；

(2)設(shè)〃2<〃，

'：m,〃是連續(xù)的正整數(shù)，

n=m+\

?/q=mn,

1

q+n=mn+n—(<m+i)n=n；

q+九一定是正數(shù)的平方數(shù).

故答案為：〃(也可7%+1)；

(3)證明：設(shè)“2,〃是連續(xù)的正整數(shù)，S.m<n,

n=m+l,

?/q=mn,

???夕一機(jī)一定是平方數(shù)，即任意兩個連續(xù)正整數(shù)的乘積與較小數(shù)的差為平方數(shù).

(4)由(2)(3)可知：當(dāng)m,幾為兩個連續(xù)正整數(shù)，m<n,=w時，q+n=n2,q-m=m2

[q+n=\[r^=n，yjq-m==m

p=J(q+〃)+J(q—<)=n+m=m+l+m=2m+1

p一定是奇數(shù)

故答案為：奇數(shù).

【點睛】本題考查利用二次根式的性質(zhì)化簡，整式的乘法等知識，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.注意：根據(jù)題

中小明的猜想，括號內(nèi)的數(shù)應(yīng)填正數(shù)，因此括號內(nèi)不要填負(fù)數(shù).

題型03因式分解的運算

01。題型綜述________________________________________

因式分解是初中必考知識點，主要考查學(xué)生對因式分解的理解和掌握，同時學(xué)會區(qū)分因式分解和整式乘法之間的聯(lián)系

與區(qū)別，在中考分值大概5分左右；

I.考查重點：因式分解的基本方法(提公因式法、公式法、分組分解法等)。

2.高頻題型：解答題中綜合因式分解題。

3.高頻考點：多項式因式分解的徹底性、十字相乘法的運用。

4.能力要求：準(zhǔn)確快速的計算能力、代數(shù)式結(jié)構(gòu)觀察能力、公式逆用與變形的邏輯思維能力。

5.易錯點：無法確定使用哪個方法來進(jìn)行因式分解。

02解題攻略

【提分秘籍】

1、因式分解的方法:

①提公因式法：am+bm+cm-m(a+/7+c)；

②公式法：平方差公式：a2-b2=(a+b1a-b)

完全平方公式：/±2QZ?+Z?2=(Q±〃)2。

③十字相乘法：在％2+b%+。中，若c=mn且m+幾=〃均為整則：

x2+Z?x+c=(x+mXx+n)o

【典例分析】

例1.(2025?江蘇鎮(zhèn)江?模擬預(yù)測)下列因式分解結(jié)果正確的是()

A.x2+xy+x=x(x+y)B.x2-2x+4=(x-2)2

C.X2-4=(X+4)(X-4)D.2as+c)—S+c)=(Z?+c)(2a—l)

【答案】D

【分析】根據(jù)提公因式法、公式法分解因式進(jìn)行判斷即可.

本題考查了因式分解-提公因式法、運用公式法，熟練掌握這兩種因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、+xy+x=x{x+y+V),原結(jié)果錯誤，故此選項不符合題意；

B、f-2x+4在有理數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解，故此選項不符合題意；

C、Y-4=(x+2)(x-2),原結(jié)果錯誤，故此選項不符合題意；

D、2qS+c)_S+c)=S+c)(2a-l),結(jié)果正確，故此選項符合題意：

故選：D.

例2.(2024?江蘇蘇州?一模)下列等式成立的是()

A.ci~~b~~(a+b)(a—Z?)B.+b2=(a+b)~

C.ax+ay-a=a(x+y)D.a2+a+\=(a+1)2

【答案】A

【分析】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

直接根據(jù)因式分解方法分解左邊或由等式右邊整式乘法計算驗證是否成立即可判斷.

【詳解】解：A：a2-b2=(a+b)(a-b),故A成立，符合題意；

B：/+〃*(“+加2,故B不成立，不符合題意；

C：ax+ay-a=a{x+y-V),故C不成立，不符合題意；

D：a2+2a+l=(a+l)2,故D不成立，不符合題意；

故選B.

例3.(2024?江蘇宿遷.二模)對于任意整數(shù)a,多項式(2“+1『-9都能()

A.被4-1整除B.被。整除C.被4a-4整除D.被°2—2a+l整除

【答案】C

【分析】本題考查的是因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.將原式展開進(jìn)行因式分解，進(jìn)而即

可得到答案.

【詳解】解：（2a+l）2—9=（2a+l）2—32=（2a+l+3）（2a+l—3）,

=（2。+4）（2a-2）,

=4（。+2）（。-1）,

,多項式（24+1）2-9都能被4a-4整除，

故選：C.

例4.（2025?江蘇宿遷?模擬預(yù)測）若實數(shù)a、b滿足=5,儲》+"2=一15,貝|歷的值是.

【答案】-3

【分析】本題主要考查因式分解的應(yīng)用、代數(shù)式求值等知識點，熟練掌握提公因式法成為解題的關(guān)鍵.

將片方+仍2=一15左邊因式分解可得"（a+b）=T5,再結(jié)合。+6=5即可解答.

【詳解】解：a。？=—15,

/.oZ?（a+Z?）=-15,

又；a+b=5,

ab=-3.

答案為：-3.

例5.（2023?江蘇揚州?一模）分解因式：m2-4n2=.

【答案】（/W+2M）（7M-2W）

【分析】本題考查了公式法分解因式，利用平方差公式進(jìn)行分解即可求解.

【詳解】解：w2-4n2=（m+2n）（m-2n）,

故答案為：（加+2”）（切-2?）.

例6.（2023?江蘇揚州?二模）因式分解：

(l)3o-12a3;

(2)x4—2x2+1.

【答案】(l)3〃(l+2a)(l-2a)

⑵(X+1)2(X-1)2

【分析】(1)先提取公因式3a,再利用平方差公式分解因式即可；

(2)根據(jù)平方差公式和完全平方公式分解因式即可.

【詳解】(1)解：3a-12a3

=3a(l-4a2)

=3。(1+2。)(1-2。)；

(2)解：X4-2X2+1

=”1)2

=[(x+l)(x-l)]2

=(x+lj(X-1)".

【點睛】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.(2024?江蘇徐州?中考真題)若mn=2,m-n=l,則代數(shù)式加的值是.

【答案】2

【分析】本題考查代數(shù)式求值.先將代數(shù)式進(jìn)行因式分解，然后將條件代入即可求值.

【詳解】解：："加=2,m-n=\.

"孑n—mn2=mn(m—*=2x1=2,

故答案為：2.

2.(2023?江蘇無錫?模擬預(yù)測)因式分解：ab2-4ab+4a=.

【答案】a伍-2『

【分析】本題考查了因式分解，完全平方公式，先提取公因式。，再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行二次分解，熟練掌握提公

因式法及公式法因式分解是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：ab1—4ab+4a

=“伊-40+4)

=a(b-2)~,

故答案為：a(Z?-2)2.

3.(2023?江蘇蘇州?模擬預(yù)測)分解因式：2依2+4g+2ay2=.

【答案】2a(x+y)2

【分析】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，注意多項式的各項含有公因式，必須先提公因式.先提公因式，

再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可解答.

【詳解】解：+4axy+2ay?=2a(x?+2孫+>2)=2a(x+,

故答案為：2a(x+y。

4.(2023?江蘇南通?二模)分解因式：3a3-口區(qū)0+驍%.

【答案】3a@26)2

【分析】先提公因式3a,再用完全正確平方公式分解即可.

【詳解】解：原式=3a(a2-4ab+4b2)

=3a(a-26)2.

【點睛】本題詞考查綜合運用提公因式與公式法分解因式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

5.(2024?江蘇南通?模擬預(yù)測)分解因式：2^6一

【答案】2ab(a-2b)(a+2b).

【分析】先提取公因式2ab,再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解.

【詳解】解：2/b-Sab3=2ab(a2-4b2)=:2ab(a-2b)(a+2b).

【點睛】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法

進(jìn)行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止.

6.(2024.江蘇無錫?模擬預(yù)測)因式分解：

(1)一丁+2尤2y一肛2

(2)16x4-8x2y2+y4

(3)(a-3b)2-4a2

【答案】(1)-x(x-y)2；(2)(2x+?(2x-?；(3)-3(a-￡>)(a+3b)

【分析】(1)先提取公因式-x,然后按照完全平方公式/一2油+及=(。一切2分解因式即可；

(2)先按照完全平方公式4-24+。2=(°一加2分解因式，再按照平方差公式合一/=(。+力5一力分解因式即可；

(3)按照平方差公式=(“+0)3-3分解因式，然后再合并同類項即可.

【詳解】(1)-x3+2x2y-xy2=-x(x2-2xy+y2)=-x(x-y)2；

(2)16x4-8x2/+y4=(4x2-y2)2=(2x+y)2(2x-y)2；

(3)(Q-3by-4a2=(Q_3。+2a)(a-3b-2a)=(3a-3b)(-a-3b)=-3(a-b)(a+3b)；

【點睛】本題主要考查因式分解，掌握平方差公式和完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

題型04分式的運算

01題型綜述________________________________________

分式的運算是中考數(shù)學(xué)的必考計算題，一般涉及到分式的有無意義條件，分式的四則運算等，一般考試分?jǐn)?shù)在5~10分

左右；

1.考查重點：分式的四則運算。

2.高頻題型：選擇題、填空題中的直接計算題，解答題中的分式化簡求值。

3.高頻考點：分式的化簡求值。

4.能力要求：準(zhǔn)確快速的計算能力。

5.易錯點：運算中符號錯誤（如負(fù)號遺漏）、去分母時要注意符號。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.分式的概念及性質(zhì):

A

形如色，A、6都是整式的式子叫做分式。簡單來說，分母中含有字母的式子叫做分式。

B

分式的分子與分母同時乘上（或除以）同一個不為0的式子，分式的值不變。即：

4=紅，4="￡”0）。

BBCBB+C7

2.分式的通分：

把幾個異分母的分式利用分式的性質(zhì)化成分式值不變的幾個同分母的分式的過程叫做通分。這個相同的分母叫做

分母的最簡公分母。

公分母=系數(shù)的最小公倍數(shù)乘上所有字母（式子）的最高次塞。

3.分式的約分：

利用分式的性質(zhì)約掉分式中分子分母都存在的公因式的過程叫做約分。

公因式=系數(shù)的最大公因數(shù)乘上相同字母（式子）的最低次幕。

分子分母不存在公因式的分式叫做最簡分式。約分時一般把分式化成最簡分式。

4.分式的加減運算：

ArA+C

①同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減。即：-+-=--O

BBB

②異分母的分式相加減，先通分成同分母的分式，再按照同分母的分式進(jìn)行加減。即：

_A_IDAC—I--B-D--A-C--+-B--D

BC~BCBC^BC

5.分式的乘除運算：

ADAD

①分式的乘法：分子乘分子得到積的分子，分母乘分母得到積的分母。即:--------------o

~B~CBC

AnACAC

②分式的除法：除以一個分式，等于乘上這個分式的倒數(shù)式。即：一:——o

BCBDBD

【典例分析】

例1.（2024.江蘇宿遷.模擬預(yù)測）下列分式，一定有意義的是（）

【答案】A

【分析】本題主要考查了分式有意義的條件，根據(jù)分式有意義的條件是分母不等于零進(jìn)行分析即可，關(guān)鍵是掌握分式

有意義的條件是分母不等于零.

【詳解】解：A、無論X取何值，f+iwo,分式等都有意義，故選項符合題意；

%+1

B、當(dāng)x=0時，分式'無意義，故選項不符合題意；

x

C、當(dāng)工=±1時，分式二無意義,故選項不符合題意；

X-1

D、當(dāng)x=-l時，分式￡無意義，故選項不符合題意；

X+1

故選：A.

X

例2.（2024?江蘇無錫?二模）函數(shù)V=［寸的自變量x的取值范圍是（）

A.xw2B.x<2C.x<2D.x<2且xwO

【答案】C

【分析】本題考查了自變量的取值范圍，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0,分母不等于0,列不等式求解.

【詳解】解：由題意得：2—x>0,

解得：x<2,

故選：C.

例3.（2024?江蘇徐州.三模）如果把分式工旦的x和y都擴(kuò)大3倍，那么分式的值（）

x+y

A.擴(kuò)大為原來的9倍B.擴(kuò)大為原來的3倍

C.不變D.縮小為原來的（倍

【答案】B

【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

把分式中的x換成3x,y換成3y,然后根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡即可.

長2xy中的D都擴(kuò)大3倍’得出2-（3遍x）-（焉3y）9?2孫2孫

【詳解】解:-=3x———

3(1+y)x+y

那么分式的值擴(kuò)大3倍,

故選：B.

例4.（2024?江蘇揚州?一模）人們把好二1這個數(shù)叫做黃金分割數(shù)，著名數(shù)學(xué)家華羅庚的優(yōu)選法中的0.618法就應(yīng)用

2

75-1,"+］，得"=1,記S.則！-111

了黃金分割數(shù).設(shè)〃=,b—----^+―---乙（〃取正整數(shù)），卜-卜-——---十???H--------------

22l+an1+b11$2S3^2024

的值為（）

1202312024

A.------B.------C.D.------

2024202420252025

【答案】D

【分析】本題考查了分式的化簡求值，正確的化簡計算是解本題的關(guān)鍵，化簡工為“（〃+1）,代入算式，利用裂項相消

計算，即可解題.

【詳解】解：S,=3+&4，

〃l+anl+bn

一(+叫(1+W(1+叫(1+.〃)

〃(〃+l)(2+b"+a〃)

—(1+優(yōu))(1+方)'

仆+l)(2+b〃+/)

l+anbn+bn+an

ab=1,

/.anbn=l,

,M〃+l)(2+b〃+a〃)

,,S=-----------------------------=n(n

n2+bn+anI

1_11_11_111

寸心’寸汨，S7-3^4J........'芯京-2024x2025

1111

--------1-----------1-----------1---------1--------------.

S1^2S3§2024

1111

=-----+-----+-----+H-------------------------------

1x22x33x42024x2025

11

一~22~33-420242025

=1一/

2024

2025

故選：D.

Y2+3

例5.（2024?江