實數（6個知識點+10類題型突破）

01思維導圖

平方根、算術平方根

平方根和立方根

立方根

實數實數的定義

實數的性質

實數

實數的比較大小

實數的運算

02知識速記

知識點一：平方根和立方根

^類型

平方根立方根

被開方數非負數任意實數

符號表示±G

一個正數有兩個平方根，且互為一個正數有一個正的立方根；

性質相反數；零的平方根為零；負數一個負數有一個負的立方根；

沒有平方根；零的立方根是零；

(?)2=a(a>0)(V^)3=a

重要結論V?"二Q

\-a{a<0)V-ci--\[a

知識點二：實數

有理數和無理數統稱為實數

1.實數的分類

按定義分：按與o的大小關系分:

正有理數

正數

'有理數:有限小數或無限循環小數正無理數

實數實數

無理數:無限不循環小數<0

負有理數

負數

負無理數

特別說明：(1)所有的實數分成三類：有限小數，無限循環小數，無限不循環小數.其中有限小數和無

限循環小數統稱有理數，無限不循環小數叫做無理數.

(2)無理數分成三類：①開方開不盡的數，如、6,艙等；②有特殊意義的數，如口；③有特定結構的

數，如0.1010010001…

(3)凡能寫成無限不循環小數的數都是無理數，并且無理數不能寫成分數形式.

(4)實數和數軸上點是一一對應的.

2.實數與數軸上的點----對應.

數軸上的任何一個點都對應一個實數，反之任何一個實數都能在數軸上找到一個點與之對應.

3實數的三個非負性及性質

在實數范圍內，正數和零統稱為非負數。我們已經學習過的非負數有如下三種形式:

1任何個實數。的絕對值是非負數，即|a|20

2)任何個實數。的平方是非負數即/2o

3)任何非負數的算術平方根是非負數即4a>0(a>0).

非負數具有以下性質

1)非負數有最小值零

2)有限個非負數之和仍是非負數

(3)幾個非負數之和等于0,則每個非負數都等于0.

4.實數的運算:

數。的相反數是一。；一個正實數的絕對值是它本身;一個負實數的絕對值是它的相反數;0的絕對值

是0.

有理數的運算法則和運算律在實數范圍內仍然成立.實數混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除,

最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里.

5實數的大小的比較

有理數大小的比較法則在實數范圍內仍然成立.

法則1.實數和數軸上的點一一對應，在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大;

法則2.正數大于0,0大于負數，正數大于一切負數，兩個負數比較，絕對值大的反而小；

法則3.兩個數比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數法，估算法，平方法.

03題型歸納

題型一平方根、算術平方根、立方根

例題：(24-25八年級上?全國?期末)1的平方根；1的算術平方根；1的立方根；

【答案】±111

【知識點】求一個數的算術平方根、求一個數的平方根、求一個數的立方根

【分析】本題考查了求平方根和立方根，根據平方根、算術平方根和立方根的意義，逐個計算即可.

【詳解】解：1的平方根是±1,1的算術平方根是1,1的立方根是1,

故答案為：±1,1,1.

鞏固訓練

1.(22-23七年級下?重慶江津?期末)癇的平方根是,-8的立方根是.

【答案】±2-2

【知識點】求一個數的平方根、求一個數的立方根

【分析】本題主要考查了平方根和立方根的概念，熟練掌握相關定義是解題的關鍵.

本題根據立方根和平方根的定義可知癇=4,4的平方根是±2,-8的立方根是-2,由此就求出.

【詳解】解：癇=4,4的平方根是±2；

-8的立方根是-2；

故答案為：±2；-2

2.(23-24七年級下?福建廈門?期末)計算：(1)79=；(2)雙=；(3)±"=:

(4)|1-V3|=.

【答案】32±2V3-1/-1+V3

【知識點】化簡絕對值、求一個數的算術平方根、求一個數的平方根、求一個數的立方根

【分析】本題考查了算術平方根，立方根，平方根，絕對值化簡，熟練掌握以上知識點是解題的關

鍵.根據運算法則逐題計算即可.

【詳解】解：(1)V9=3

(2)我=2

(3)±^4=+2

(4)vl-^<0

.-.|1-A/3|=A/3-1

故答案為：(1)3；(2)2；(3)±2；(4)V3—1?

題型二非負數的性質:算術平方根

例題：(23-24八年級下?廣東江門?期末)已知x、y為實數，且K萬+3。-2『=0,貝ijx-y=.

【答案】-1

【知識點】已知字母的值，求代數式的值、利用算術平方根的非負性解題

【分析】本題考查了平方的非負性、算術平方根的非負性，根據平方和算術平方根的非負性，求出x、y

的值，代入計算，即可求解；理解平方與算術平方根的非負性是解題的關鍵.

【詳解】解：由題意得

x-l=O,y-2=0,

解得：x=l,V=2,

/.x-y

=1-2

=-1,

故答案為：-1.

鞏固訓練

1.(23-24七年級下?新疆喀什?期末)若實數a,b滿足|“+2|+而與=。，則而^的值是.

【答案】1

【知識點】利用算術平方根的非負性解題、求一個數的算術平方根、絕對值非負性

【分析】本題主要考查了非負數的性質，求一個數的算術平方根，根據非負數的性質可得

a+2=0,6—3=0,a=-2,b=3,據止匕代值計算即可.

【詳解】解：|^+2|+>Jb—3=0,1+2120,Jb-320,

/.|<2+2|="-3=0,

，Q+2=0,6—3=0,

/.a=—2,6=3,

yja+b—J-2+3—1，

故答案為：1.

2.(23-24七年級下?廣東肇慶?期末)如果正不和1y-27互為相反數,那么而的平方根是.

【答案】土百；

【知識點】利用算術平方根的非負性解題

【分析】本題考查了二次根式的非負性，根據非負式子和為0,它們分別等于0直接求解即可得到答案;

【詳解】解：???ViKNO,dy-2720,且VJF和1y-27互為相反數,

1-3x=0,y-27=0,

解得：x=；,k27，

??.而的平方根是：土百，

故答案為：土百.

題型三利用平方根與立方根的定義解方程

例題：(24-25八年級上?江蘇無錫?階段練習)解方程

(l)(x-l)2-1j=0；

10

(2)64x3+27=0.

19

［答案］⑴或x

44

3

⑵X,

【知識點】利用平方根解方程、立方根的實際應用

【分析】本題考查了根據平方根與立方根的定義解方程;

(1)根據平方根的定義解方程即可求解；

(2)根據立方根的定義解方程即可求解.

75

【詳解】(1)解：(x-l)9--^|=O

X-1=±—

4

19

解得：x=--^x=-

44

(2)解：64尤3+27=0

_27

.*.X3----

64

3

解得:x=-4

4

鞏固訓練

1.(22-23八年級上?四川眉山?階段練習)解方程

(1)4(X+2)2-16=0；

(2)(2X-1)3-26=1.

【答案】⑴x=0或-4；

(2)x=2.

【知識點】利用平方根解方程、立方根的實際應用

【分析】本題考查了平方根和立方根解方程.

(1)利用平方根解方程即可；

(2)利用立方根解方程即可.

【詳解】(1)解：??-4(X+2)2-16=0,

；.4(X+2)2=16,

；.(X+2)2=4,

x+2=2或x+2=-2,

x=0或-4；

(2)解：???(2x-l)3-26=l,

；.(2尤-1)3=27,

2x-1=3,

，x=2.

2.(24-25八年級上?全國?期中)解方程:

（1）4（X-1）2-49=0；

（2）27（2x-1）3=64.

5Q

【答案】⑴X]=-',X2--

7

⑵x=7

6

【知識點】立方根的實際應用、利用平方根解方程

【分析】本題主要考查了利用平方根解方程，立方根的實際應用等知識點，熟練掌握利用平方根解方程

和立方根的實際應用是解題的關鍵：①利用平方根解方程的方法：一個正數有兩個平方根，它們互為相

反數，0只有一個平方根，負數沒有平方根；在解方程時，利用平方根的定義進行開方，從而求出未知

數的值；②利用立方根的概念解方程的方法：正數的立方根是一個正數，負數的立方根是一個負數，0

的立方根是0；在解方程時，利用立方根的定義進行開立方，從而求出未知數的值；在求立方根時，常

需轉化為三的形式，也常常將（X+.）3中的X+。看作一個整體來處理.

（1）在解方程時，利用平方根的定義進行開方，從而求出未知數的值；

（2）在解方程時，利用立方根的定義進行開立方，從而求出未知數的值.

【詳解】（1）解：4（X-1）2-49=0,

49

整理，得：（x-1）9,

7

開平方，得：x-l=±-,

7

x=1±-,

2

59

x2=-;

（2）解：27（2X-1）3=64,

R64

整理，得：（2x—1）3=方，

4

開立方，得：2x-l=-,

7

/.x=—.

6

3.（24-25七年級上?山東泰安?階段練習）求下列式子中的％值

(1)9(X+1)2=25

（2）（-2+x）3=-216

1,

⑶（3=0

（4）27（x+l）3+64=0.

【答案】（i）§或一§

⑵-4

（3）3或-3

7

⑷下

【知識點】利用平方根解方程、立方根的實際應用

【分析】本題考查利用平方根、立方根解方程，

（1）將方程變形為（X+1）2=得，然后利用平方根的定義求出（X+1）的值，再求X的值；

（2）利用立方根的定義求出（-2+力的值，再求x的值；

（3）將方程變形為/=9,然后利用平方根的定義求出工的值；

（4）將方程變形為（》+1）3=-晟，然后利用立方根的定義求出（x+1）的值，再求尤的值;

解題的關鍵是明確平方根和立方根的定義.

【詳解】（1）解：9（X+1）2=25

.“x+l）2=y-

X+1=±—,

3

2f8

Do

.?.X的值為|■或-%

（2）（-2+x）3=-216,

?*?—2+x=—6,

???x=-4f

???%的值為-4；

1

（3）—J9—3=0,

3

.?.X2=9,

???x=3或x=—3,

??.x的值為3或-3；

（4）27（x+l）3+64=0,

.-.27（x+l）3=-64,

.-.（x+1）3,

,4

...X+1=—,

3

7

.*.x=—,

3

.?.x的值為-不7

題型四平方根與立方根綜合

例題：（24-25八年級上?陜西寶雞?階段練習）已知a+1的算術平方根是1,-27的立方根是8-12,c-3

的平方根是±2.

（1）求a,b,c的值；

⑵求a+6+c的平方根.

【答案】⑴a=0,b=9,c=7

⑵士4

【知識點】求一個數的平方根、算術平方根和立方根的綜合應用

【分析】本題考查了立方根、平方根和算術平方根的綜合應用，掌握相關結論即可.

（1）根據1的算術平方根是1,-27的立方根是-3,4的平方根是±2,即可求解；

（2）根據a+6+c=0+9+7=16即可求解；

【詳解】（1）解：門的算術平方根是1,

???Q+1=1,

?*,—0；

???-27的立方根是-3,

???6—12=—3,

???6=9；

???4的平方根是±2,

???c-3=4,

:.c=7；

(2)解：a+b+c=0+9+7=16,

??T6的平方根是±4,

.?.a+b+c的平方根是±4：

鞏固訓練

1.(24-25八年級上?四川成都?期中)已知26-2的立方根是-2,4a+36算術平方根是3.

(1)求°、6的值；

(2)求2a-6的平方根.

9

【答案】(1)“=5，b=-3

(2)±2后

【知識點】求一個數的平方根、算術平方根和立方根的綜合應用

【分析】本題考查了立方根、平方根、算術平方根.

(1)根據立方根和算術平方根的定義得出助-2=(-2)3=-8,4a+36=32=9,求解即可；

(2)先求出2a-b的值，再求出平方根即可.

【詳解】⑴解：???2b-2的立方根是-2,4a+36算術平方根是3.

26-2=(-2)=—8,4a+3Z>=32=9,

9

解得：a=~，b=—3；

9

(2)解：由(1)可得。=—,6=-3,

2

o

:.2a—b=2x——(―3)=9+3=12,

2a-b的平方外艮為±V12=±273.

2.(22-23七年級下?廣西欽州?階段練習)已知x的兩個平方根是。+3與2a-15,且26-1的算術平方根是

3.

(1)求a,6,x的值；

⑵求。+6-1的立方根.

【答案】⑴4,5,49

(2)2

【知識點】算術平方根和立方根的綜合應用、求一個數的立方根、已知一個數的平方根，求這個數、求

一個數的算術平方根

【分析】本題考查平方根，算術平方根及立方根的定義.熟練掌握其定義及性質是解題的關鍵.

(1)根據平方根與算術平方根的定義即可求得。，b的值，再求解尤的值即可；

(2)將。，b的值代入a+b-l中計算后利用立方根的定義即可求得答案.

【詳解】(1)解：的兩個平方根是a+3與2a-15,且26-1的算術平方根是3,

a+3+2。-15=0,26-1=9,

解得：a=4,b=5；

22

,..x=(a+3)=7=49；

(2)解：a=4,b=5,

a+6—1=4+5—1=8,

；.a+6-l的立方根是2.

3.(24-25八年級上?廣東佛山?階段練習)已知a+1的算術平方根是1,-27的立方根是6-12,c-3的平方

根是±2.

(1)求a,b,c的值：

(2)求a+6+c的平方根和立方根.

【答案】⑴a=0,b—9,c=7

(2)±4,V16

【知識點】算術平方根和立方根的綜合應用、求一個數的立方根、求一個數的平方根

【分析】(1)根據算術平方根，平方根和立方根的概念分別計算出。、b,c即可；

(2)利用(1)的結論直接求值即可.

本題主要考查算術平方根，平方根和立方根的知識，熟練掌握平方根和立方根的知識是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：???。+1的算術平方根是1,

二.Q+1=1,

解得Q=0;

??,-27的立方根是6-12,

b—12=—3,

b=9；

???C-3的平方根是±2,

c—3=4,

c=7.

（2）解：由（1）矢口，Q=0,b=9,c=7,

a+b+c=0+9+7=16,

.?.a+6+c的平方根是±4；

，a+6+c的立方根是正.

4.（23-24七年級下?湖北黃石?期中）已知2a-1的平方根是±3,6-9的立方根是2,J2c-6=0.

（1）求a、b、c的值；

（2）求。+6+c的算術平方根.

【答案】（1）。=5,6=17,c=3

（2）5

【知識點】利用算術平方根的非負性解題、已知一個數的平方根，求這個數、算術平方根和立方根的綜

合應用、已知字母的值，求代數式的值

【分析】本題考查了平方根、立方根，算術平方根及其非負性，代數式求值，正確求出心6、c的值是

解題關鍵.

（1）根據平方根、立方根，以及算術平方根的非負性求解即可；

（2）根據（1）所得結果，求出a+8+c=25,進而得出算術平方根即可.

【詳解】（1）解：的平方根是±3,6-9的立方根是2,J2c-6=0,

2Q—1=9,b—9=8,2c—6=0,

「.4=5,b=\7,c=3；

（2）解：由（1）可知，a=5,b=17,c=3,

a+b+c=5+17+3=25,

:.a+b+c的算術平方根是5.

題型五實數和實數的性質

例題：（23-24七年級上?江蘇蘇州?期末）|2-若卜,|3-萬|=—.

【答案】V5-2萬-3

【知識點】實數的性質、化簡絕對值

\a（a>0）

【分析】本題考查了絕對值的概念與性質，根據絕對值的性質|。|=［：.<］）即可求解.

［詳解］解：|2-V5|=V5-2,|3-^|=^-3,

故答案為：y/5—2,%-3.

鞏固訓練

1.（23-24七年級下?天津濱海新?期末）2亞-6的相反數是.

【答案】6-2V2/-2V2+6

【知識點】實數的性質

【分析】本題考查了相反數的定義“只有符號不同的兩個數互為相反數”，熟記定義是解題關鍵.根據相

反數的定義求解即可得.

【詳解】解：2及一6的相反數是一倒收一6）=6-2后，

故答案為：6-25/2.

2.（22-23七年級下?北京豐臺?期中）石的相反數是；百-2的絕對值是.

【答案】Y2-V3

【知識點】相反數的定義、求一個數的絕對值、實數的性質

【分析】利用相反數概念和絕對值的性質可得答案.

【詳解】解：石的相反數是-行，

6-2的絕對值是2-6，

故答案為：Y,2-V3.

【點睛】此題主要考查了相反數和絕對值，關鍵是掌握正有理數的絕對值是它本身；負有理數的絕對值

是它的相反數，0的絕對值是0.

題型六無理數

例題：（24-25七年級上?浙江杭州?期中）在下列數中，屬于無理數的是（）

22

A.V64B.一兀C.2.5D.—

7

【答案】B

【知識點】無理數、求一個數的算術平方根

【分析】本題考查了無理數，根據無限不循環小數是無理數即可判斷求解，掌握無理數的定義是解題的

關鍵.

【詳解】解：A、洞=8,是整數，不是無理數，該選項不合題意；

B、-兀是無理數，該選項符合題意；

C、2.5是有限小數，不是無理數，該選項不合題意；

22

D、萬是分數，不是無理數，該選項不合題意；

故選：B.

鞏固訓練

1.（24-25七年級上?浙江金華?期中）在0.458,4$：,石，-防1.010010001...（每兩個1之間依次多1個

0）這幾個數中，無理數有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【知識點】無理數、求一個數的立方根

【分析】本題主要考查了無理數的定義，熟練掌握和運用無理數的定義是解決本題的關鍵.

根據無理數的定義，即無限不循環小數或開方開不盡的數為無理數，即可解答.

【詳解】解：?■--^27=-3，

.?.在0.458,4$],石，-河,1,1.010010001...（每兩個1之間依次多1個0）這幾個數中，無理數有：

L010010001…（每兩個1之間依次多1個0）共3個，

故選：B.

2.（24-25七年級上?浙江杭州?階段練習）在實數3.14,4,0.23,0.1010010001,j,石力，石，百

中，無理數有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】A

【知識點】無理數、求一個數的算術平方根、求一個數的立方根

【分析】本題考查了無理數“無限不循環小數是無理數”、算術平方根與立方根，熟練掌握無理數的定義

是解題關鍵.先計算算術平方根與立方根，再根據無理數的定義求解即可得.

【詳解】解："=2，V=27=-3.

7JT

則3.14,VZ,0.23,0.1010010001,次萬，五都是有理數，和百是無理數，

所以無理數有2個，

故選：A.

jr11

3.（24-25七年級上?浙江杭州?階段練習）在實數3.1415926,0,V100--0.32--河，

0.1010010001…（兩個“1”之間依次多個“0”）中無理數的個數是（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【知識點】求一個數的立方根、無理數、求一個數的算術平方根

【分析】本題主要考查無理數的定義，立方根，平方根的知識；根據無理數是無限不循環小數即可得出

答案.

【詳解】解:Two-io,

jr

無理數為：5，-Vioo,0.1010010001…（兩個“1”之間依次多個“o”）

無理數的個數是3個，

故選：B.

題型七實數與數軸

例題：（23-24七年級下?貴州黔南?期末）若點/在數軸上的位置如圖所示，則點/在數軸上表示的無理

數可能是.（只填一個）

IIII1IlA.lI?

-4-3-2-101234

【答案】石（答案不唯一）

【知識點】無理數的大小估算、實數與數軸

【分析】本題考查實數與數軸；根據數軸可以得到。的取值范圍，從而可以解答本題.

【詳解】解：設點/在數軸上表示的數為。，

由數軸可得，2<a<3,

2<V5<3

故答案為：6（答案不唯一）.

鞏固訓練

1.（23-24七年級下?黑龍江齊齊哈爾?期末）如圖，在數軸上標有字母的各點中，與實數而對應的可能是

點（填人”或“2”或或“D”）.

I1=A1lB.lIC.D

-3-2-10123

【答案】D

【知識點】實數與數軸、無理數的大小估算

【分析】本題主要考查了實數與數軸，無理數的估算，首先分別求出點4B,C,。在數軸上所對應的

數的范圍，然后根據算術平方根的意義求出即3<而<4,據此即可得出答案，解答此題的關鍵是熟練

掌握數軸上的點所表示的實數，準確估算出舊的范圍.

【詳解】設點4B,C,。在數軸上對應的分別是孫，xB,xc,xD,

貝！|-2<X/<-l,0<<1,2cxe<3,xD>3,

?■-V9<VTT<V16,

即：3<VTT<4，

.??實數JIT對應的可能是點D,

故答案為：D.

2.（23-24七年級下?遼寧葫蘆島?期末）如圖1,我們知道用兩個面積為Idn?的小正方形能拼成一個面積為

2dm2的大正方形，如圖2,在數軸上以單位長度為邊長畫一個正方形，以坐標為I的點為圓心，正方形

的對角線長為半徑畫弧，與正半軸的交點表示的數是.

圖1圖2

【答案】1+V2/V2+1

【知識點】用勾股定理解三角形、實數與數軸

【分析】本題考查了數軸和實數，首先求出正方形的對角線的長為正，然后根據數軸上兩點之間的距

離求解即可.

【詳解】解：、?在數軸上以單位長度為邊長畫一個正方形，

二對角線的長為血，

以坐標為1的點為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧，與正半軸的交點表示的數是1+收

故答案為：i+VL

題型八實數大小比較

例題：（24-25八年級上?全國?期末）比較大小：6屈.

【答案】<

【知識點】實數的大小比較

【分析】本題主要查了實數的大小比較.根據實數的大小比較法則解答，即可求解.

【詳解】解：?.-6=V36,V36<A/37,

6<V37.

故答案為：<

鞏固訓練

1.（23-24七年級上?黑龍江哈爾濱?期末）比較大小：43-2_--.

一2

【答案】>

【知識點】實數的大小比較

【分析】本題主要考查了實數的大小比較，熟練掌握實數的大小比較法則是解題的關鍵.根據實數的運

算及不等式的性質求解即可.

【詳解】解：?.?27>16,

373>4,

2G-4>-劣，

;.V3-2>-—,

2

故答案為：〉

2.（23-24七年級下?遼寧大連?期末）比較大小：V2立二L.

2

【答案】>

【知識點】實數的大小比較

【分析】此題主要考查了實數大小比較的方法.作差法判斷即可.

【詳解】解：后一1二1=理二Y1上工=立土1>o,

222

2

故答案為：＞,

題型九實數的簡單運算

例題：(23-24七年級下?全國?期末)計算：

(1)7(-3)2+^^64-|1-73|；

(2)J(—10)~-13—句+27；

【答案】⑴-6

(2)10-71

【知識點】實數的混合運算、求一個數的立方根、求一個數的算術平方根、化簡絕對值

【分析】此題考查了算術平方根和立方根，化簡絕對值，解題的關鍵是掌握以上運算法則.

(1)首先計算算術平方根和立方根，化簡絕對值，然后計算加減；

(2)首先計算算術平方根和立方根，化簡絕對值，然后計算加減.

【詳解】(1)J(-3)2+U-64一卜一四

=3+(-4)-(V3-l)

=3+(-4)-V3+l

=-Vs；

(2)J(-10)~—13—TT|+W-27

=1O-(TI-3)+(-3)

=10-兀+3+(-3)

=10-71.

鞏固訓練

1.(23-24八年級上?全國?期末)計算：

(l)-l2024+V16+(-6)^^8

(2)736+(-l)2-V125

【答案】(1)6

(2)2

【知識點】實數的混合運算

【分析】本題考查實數的混合運算，掌握實數運算法則是解題的關鍵

(1)依次算乘方、算術平方根和立方根，再算除法，最后算加減；

(2)依次算算術平方根、乘方、立方根，再算加減.

【詳解】(1)