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文檔簡介

實數(6個知識點+10類題型突破)

01思維導圖

平方根、算術平方根

平方根和立方根

立方根

實數實數的定義

實數的性質

實數

實數的比較大小

實數的運算

02知識速記

知識點一:平方根和立方根

^類型

平方根立方根

被開方數非負數任意實數

符號表示±G

一個正數有兩個平方根,且互為一個正數有一個正的立方根;

性質相反數;零的平方根為零;負數一個負數有一個負的立方根;

沒有平方根;零的立方根是零;

(?)2=a(a>0)(V^)3=a

重要結論V?"二Q

\-a{a<0)V-ci--\[a

知識點二:實數

有理數和無理數統稱為實數

1.實數的分類

按定義分:按與o的大小關系分:

正有理數

正數

'有理數:有限小數或無限循環小數正無理數

實數實數

無理數:無限不循環小數<0

負有理數

負數

負無理數

特別說明:(1)所有的實數分成三類:有限小數,無限循環小數,無限不循環小數.其中有限小數和無

限循環小數統稱有理數,無限不循環小數叫做無理數.

(2)無理數分成三類:①開方開不盡的數,如、6,艙等;②有特殊意義的數,如口;③有特定結構的

數,如0.1010010001…

(3)凡能寫成無限不循環小數的數都是無理數,并且無理數不能寫成分數形式.

(4)實數和數軸上點是一一對應的.

2.實數與數軸上的點----對應.

數軸上的任何一個點都對應一個實數,反之任何一個實數都能在數軸上找到一個點與之對應.

3實數的三個非負性及性質

在實數范圍內,正數和零統稱為非負數。我們已經學習過的非負數有如下三種形式:

1任何個實數。的絕對值是非負數,即|a|20

2)任何個實數。的平方是非負數即/2o

3)任何非負數的算術平方根是非負數即4a>0(a>0).

非負數具有以下性質

1)非負數有最小值零

2)有限個非負數之和仍是非負數

(3)幾個非負數之和等于0,則每個非負數都等于0.

4.實數的運算:

數。的相反數是一。;一個正實數的絕對值是它本身;一個負實數的絕對值是它的相反數;0的絕對值

是0.

有理數的運算法則和運算律在實數范圍內仍然成立.實數混合運算的運算順序:先乘方、開方、再乘除,

最后算加減.同級運算按從左到右順序進行,有括號先算括號里.

5實數的大小的比較

有理數大小的比較法則在實數范圍內仍然成立.

法則1.實數和數軸上的點一一對應,在數軸上表示的兩個數,右邊的數總比左邊的數大;

法則2.正數大于0,0大于負數,正數大于一切負數,兩個負數比較,絕對值大的反而小;

法則3.兩個數比較大小常見的方法有:求差法,求商法,倒數法,估算法,平方法.

03題型歸納

題型一平方根、算術平方根、立方根

例題:(24-25八年級上?全國?期末)1的平方根;1的算術平方根;1的立方根;

【答案】±111

【知識點】求一個數的算術平方根、求一個數的平方根、求一個數的立方根

【分析】本題考查了求平方根和立方根,根據平方根、算術平方根和立方根的意義,逐個計算即可.

【詳解】解:1的平方根是±1,1的算術平方根是1,1的立方根是1,

故答案為:±1,1,1.

鞏固訓練

1.(22-23七年級下?重慶江津?期末)癇的平方根是,-8的立方根是.

【答案】±2-2

【知識點】求一個數的平方根、求一個數的立方根

【分析】本題主要考查了平方根和立方根的概念,熟練掌握相關定義是解題的關鍵.

本題根據立方根和平方根的定義可知癇=4,4的平方根是±2,-8的立方根是-2,由此就求出.

【詳解】解:癇=4,4的平方根是±2;

-8的立方根是-2;

故答案為:±2;-2

2.(23-24七年級下?福建廈門?期末)計算:(1)79=;(2)雙=;(3)±"=:

(4)|1-V3|=.

【答案】32±2V3-1/-1+V3

【知識點】化簡絕對值、求一個數的算術平方根、求一個數的平方根、求一個數的立方根

【分析】本題考查了算術平方根,立方根,平方根,絕對值化簡,熟練掌握以上知識點是解題的關

鍵.根據運算法則逐題計算即可.

【詳解】解:(1)V9=3

(2)我=2

(3)±^4=+2

(4)vl-^<0

.-.|1-A/3|=A/3-1

故答案為:(1)3;(2)2;(3)±2;(4)V3—1?

題型二非負數的性質:算術平方根

例題:(23-24八年級下?廣東江門?期末)已知x、y為實數,且K萬+3。-2『=0,貝ijx-y=.

【答案】-1

【知識點】已知字母的值,求代數式的值、利用算術平方根的非負性解題

【分析】本題考查了平方的非負性、算術平方根的非負性,根據平方和算術平方根的非負性,求出x、y

的值,代入計算,即可求解;理解平方與算術平方根的非負性是解題的關鍵.

【詳解】解:由題意得

x-l=O,y-2=0,

解得:x=l,V=2,

/.x-y

=1-2

=-1,

故答案為:-1.

鞏固訓練

1.(23-24七年級下?新疆喀什?期末)若實數a,b滿足|“+2|+而與=。,則而^的值是.

【答案】1

【知識點】利用算術平方根的非負性解題、求一個數的算術平方根、絕對值非負性

【分析】本題主要考查了非負數的性質,求一個數的算術平方根,根據非負數的性質可得

a+2=0,6—3=0,a=-2,b=3,據止匕代值計算即可.

【詳解】解:|^+2|+>Jb—3=0,1+2120,Jb-320,

/.|<2+2|="-3=0,

,Q+2=0,6—3=0,

/.a=—2,6=3,

yja+b—J-2+3—1,

故答案為:1.

2.(23-24七年級下?廣東肇慶?期末)如果正不和1y-27互為相反數,那么而的平方根是.

【答案】土百;

【知識點】利用算術平方根的非負性解題

【分析】本題考查了二次根式的非負性,根據非負式子和為0,它們分別等于0直接求解即可得到答案;

【詳解】解:???ViKNO,dy-2720,且VJF和1y-27互為相反數,

1-3x=0,y-27=0,

解得:x=;,k27,

??.而的平方根是:土百,

故答案為:土百.

題型三利用平方根與立方根的定義解方程

例題:(24-25八年級上?江蘇無錫?階段練習)解方程

(l)(x-l)2-1j=0;

10

(2)64x3+27=0.

19

[答案]⑴或x

44

3

⑵X,

【知識點】利用平方根解方程、立方根的實際應用

【分析】本題考查了根據平方根與立方根的定義解方程;

(1)根據平方根的定義解方程即可求解;

(2)根據立方根的定義解方程即可求解.

75

【詳解】(1)解:(x-l)9--^|=O

X-1=±—

4

19

解得:x=--^x=-

44

(2)解:64尤3+27=0

_27

.*.X3----

64

3

解得:x=-4

4

鞏固訓練

1.(22-23八年級上?四川眉山?階段練習)解方程

(1)4(X+2)2-16=0;

(2)(2X-1)3-26=1.

【答案】⑴x=0或-4;

(2)x=2.

【知識點】利用平方根解方程、立方根的實際應用

【分析】本題考查了平方根和立方根解方程.

(1)利用平方根解方程即可;

(2)利用立方根解方程即可.

【詳解】(1)解:??-4(X+2)2-16=0,

;.4(X+2)2=16,

;.(X+2)2=4,

x+2=2或x+2=-2,

x=0或-4;

(2)解:???(2x-l)3-26=l,

;.(2尤-1)3=27,

2x-1=3,

,x=2.

2.(24-25八年級上?全國?期中)解方程:

(1)4(X-1)2-49=0;

(2)27(2x-1)3=64.

5Q

【答案】⑴X]=-',X2--

7

⑵x=7

6

【知識點】立方根的實際應用、利用平方根解方程

【分析】本題主要考查了利用平方根解方程,立方根的實際應用等知識點,熟練掌握利用平方根解方程

和立方根的實際應用是解題的關鍵:①利用平方根解方程的方法:一個正數有兩個平方根,它們互為相

反數,0只有一個平方根,負數沒有平方根;在解方程時,利用平方根的定義進行開方,從而求出未知

數的值;②利用立方根的概念解方程的方法:正數的立方根是一個正數,負數的立方根是一個負數,0

的立方根是0;在解方程時,利用立方根的定義進行開立方,從而求出未知數的值;在求立方根時,常

需轉化為三的形式,也常常將(X+.)3中的X+。看作一個整體來處理.

(1)在解方程時,利用平方根的定義進行開方,從而求出未知數的值;

(2)在解方程時,利用立方根的定義進行開立方,從而求出未知數的值.

【詳解】(1)解:4(X-1)2-49=0,

49

整理,得:(x-1)9,

7

開平方,得:x-l=±-,

7

x=1±-,

2

59

x2=-;

(2)解:27(2X-1)3=64,

R64

整理,得:(2x—1)3=方,

4

開立方,得:2x-l=-,

7

/.x=—.

6

3.(24-25七年級上?山東泰安?階段練習)求下列式子中的%值

(1)9(X+1)2=25

(2)(-2+x)3=-216

1,

⑶(3=0

(4)27(x+l)3+64=0.

【答案】(i)§或一§

⑵-4

(3)3或-3

7

⑷下

【知識點】利用平方根解方程、立方根的實際應用

【分析】本題考查利用平方根、立方根解方程,

(1)將方程變形為(X+1)2=得,然后利用平方根的定義求出(X+1)的值,再求X的值;

(2)利用立方根的定義求出(-2+力的值,再求x的值;

(3)將方程變形為/=9,然后利用平方根的定義求出工的值;

(4)將方程變形為(》+1)3=-晟,然后利用立方根的定義求出(x+1)的值,再求尤的值;

解題的關鍵是明確平方根和立方根的定義.

【詳解】(1)解:9(X+1)2=25

.“x+l)2=y-

X+1=±—,

3

2f8

Do

.?.X的值為|■或-%

(2)(-2+x)3=-216,

?*?—2+x=—6,

???x=-4f

???%的值為-4;

1

(3)—J9—3=0,

3

.?.X2=9,

???x=3或x=—3,

??.x的值為3或-3;

(4)27(x+l)3+64=0,

.-.27(x+l)3=-64,

.-.(x+1)3,

,4

...X+1=—,

3

7

.*.x=—,

3

.?.x的值為-不7

題型四平方根與立方根綜合

例題:(24-25八年級上?陜西寶雞?階段練習)已知a+1的算術平方根是1,-27的立方根是8-12,c-3

的平方根是±2.

(1)求a,b,c的值;

⑵求a+6+c的平方根.

【答案】⑴a=0,b=9,c=7

⑵士4

【知識點】求一個數的平方根、算術平方根和立方根的綜合應用

【分析】本題考查了立方根、平方根和算術平方根的綜合應用,掌握相關結論即可.

(1)根據1的算術平方根是1,-27的立方根是-3,4的平方根是±2,即可求解;

(2)根據a+6+c=0+9+7=16即可求解;

【詳解】(1)解:門的算術平方根是1,

???Q+1=1,

?*,—0;

???-27的立方根是-3,

???6—12=—3,

???6=9;

???4的平方根是±2,

???c-3=4,

:.c=7;

(2)解:a+b+c=0+9+7=16,

??T6的平方根是±4,

.?.a+b+c的平方根是±4:

鞏固訓練

1.(24-25八年級上?四川成都?期中)已知26-2的立方根是-2,4a+36算術平方根是3.

(1)求°、6的值;

(2)求2a-6的平方根.

9

【答案】(1)“=5,b=-3

(2)±2后

【知識點】求一個數的平方根、算術平方根和立方根的綜合應用

【分析】本題考查了立方根、平方根、算術平方根.

(1)根據立方根和算術平方根的定義得出助-2=(-2)3=-8,4a+36=32=9,求解即可;

(2)先求出2a-b的值,再求出平方根即可.

【詳解】⑴解:???2b-2的立方根是-2,4a+36算術平方根是3.

26-2=(-2)=—8,4a+3Z>=32=9,

9

解得:a=~,b=—3;

9

(2)解:由(1)可得。=—,6=-3,

2

o

:.2a—b=2x——(―3)=9+3=12,

2a-b的平方外艮為±V12=±273.

2.(22-23七年級下?廣西欽州?階段練習)已知x的兩個平方根是。+3與2a-15,且26-1的算術平方根是

3.

(1)求a,6,x的值;

⑵求。+6-1的立方根.

【答案】⑴4,5,49

(2)2

【知識點】算術平方根和立方根的綜合應用、求一個數的立方根、已知一個數的平方根,求這個數、求

一個數的算術平方根

【分析】本題考查平方根,算術平方根及立方根的定義.熟練掌握其定義及性質是解題的關鍵.

(1)根據平方根與算術平方根的定義即可求得。,b的值,再求解尤的值即可;

(2)將。,b的值代入a+b-l中計算后利用立方根的定義即可求得答案.

【詳解】(1)解:的兩個平方根是a+3與2a-15,且26-1的算術平方根是3,

a+3+2。-15=0,26-1=9,

解得:a=4,b=5;

22

,..x=(a+3)=7=49;

(2)解:a=4,b=5,

a+6—1=4+5—1=8,

;.a+6-l的立方根是2.

3.(24-25八年級上?廣東佛山?階段練習)已知a+1的算術平方根是1,-27的立方根是6-12,c-3的平方

根是±2.

(1)求a,b,c的值:

(2)求a+6+c的平方根和立方根.

【答案】⑴a=0,b—9,c=7

(2)±4,V16

【知識點】算術平方根和立方根的綜合應用、求一個數的立方根、求一個數的平方根

【分析】(1)根據算術平方根,平方根和立方根的概念分別計算出。、b,c即可;

(2)利用(1)的結論直接求值即可.

本題主要考查算術平方根,平方根和立方根的知識,熟練掌握平方根和立方根的知識是解題的關鍵.

【詳解】(1)解:???。+1的算術平方根是1,

二.Q+1=1,

解得Q=0;

??,-27的立方根是6-12,

b—12=—3,

b=9;

???C-3的平方根是±2,

c—3=4,

c=7.

(2)解:由(1)矢口,Q=0,b=9,c=7,

a+b+c=0+9+7=16,

.?.a+6+c的平方根是±4;

,a+6+c的立方根是正.

4.(23-24七年級下?湖北黃石?期中)已知2a-1的平方根是±3,6-9的立方根是2,J2c-6=0.

(1)求a、b、c的值;

(2)求。+6+c的算術平方根.

【答案】(1)。=5,6=17,c=3

(2)5

【知識點】利用算術平方根的非負性解題、已知一個數的平方根,求這個數、算術平方根和立方根的綜

合應用、已知字母的值,求代數式的值

【分析】本題考查了平方根、立方根,算術平方根及其非負性,代數式求值,正確求出心6、c的值是

解題關鍵.

(1)根據平方根、立方根,以及算術平方根的非負性求解即可;

(2)根據(1)所得結果,求出a+8+c=25,進而得出算術平方根即可.

【詳解】(1)解:的平方根是±3,6-9的立方根是2,J2c-6=0,

2Q—1=9,b—9=8,2c—6=0,

「.4=5,b=\7,c=3;

(2)解:由(1)可知,a=5,b=17,c=3,

a+b+c=5+17+3=25,

:.a+b+c的算術平方根是5.

題型五實數和實數的性質

例題:(23-24七年級上?江蘇蘇州?期末)|2-若卜,|3-萬|=—.

【答案】V5-2萬-3

【知識點】實數的性質、化簡絕對值

\a(a>0)

【分析】本題考查了絕對值的概念與性質,根據絕對值的性質|。|=[:.<])即可求解.

[詳解]解:|2-V5|=V5-2,|3-^|=^-3,

故答案為:y/5—2,%-3.

鞏固訓練

1.(23-24七年級下?天津濱海新?期末)2亞-6的相反數是.

【答案】6-2V2/-2V2+6

【知識點】實數的性質

【分析】本題考查了相反數的定義“只有符號不同的兩個數互為相反數”,熟記定義是解題關鍵.根據相

反數的定義求解即可得.

【詳解】解:2及一6的相反數是一倒收一6)=6-2后,

故答案為:6-25/2.

2.(22-23七年級下?北京豐臺?期中)石的相反數是;百-2的絕對值是.

【答案】Y2-V3

【知識點】相反數的定義、求一個數的絕對值、實數的性質

【分析】利用相反數概念和絕對值的性質可得答案.

【詳解】解:石的相反數是-行,

6-2的絕對值是2-6,

故答案為:Y,2-V3.

【點睛】此題主要考查了相反數和絕對值,關鍵是掌握正有理數的絕對值是它本身;負有理數的絕對值

是它的相反數,0的絕對值是0.

題型六無理數

例題:(24-25七年級上?浙江杭州?期中)在下列數中,屬于無理數的是()

22

A.V64B.一兀C.2.5D.—

7

【答案】B

【知識點】無理數、求一個數的算術平方根

【分析】本題考查了無理數,根據無限不循環小數是無理數即可判斷求解,掌握無理數的定義是解題的

關鍵.

【詳解】解:A、洞=8,是整數,不是無理數,該選項不合題意;

B、-兀是無理數,該選項符合題意;

C、2.5是有限小數,不是無理數,該選項不合題意;

22

D、萬是分數,不是無理數,該選項不合題意;

故選:B.

鞏固訓練

1.(24-25七年級上?浙江金華?期中)在0.458,4$:,石,-防1.010010001...(每兩個1之間依次多1個

0)這幾個數中,無理數有()

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【知識點】無理數、求一個數的立方根

【分析】本題主要考查了無理數的定義,熟練掌握和運用無理數的定義是解決本題的關鍵.

根據無理數的定義,即無限不循環小數或開方開不盡的數為無理數,即可解答.

【詳解】解:?■--^27=-3,

.?.在0.458,4$],石,-河,1,1.010010001...(每兩個1之間依次多1個0)這幾個數中,無理數有:

L010010001…(每兩個1之間依次多1個0)共3個,

故選:B.

2.(24-25七年級上?浙江杭州?階段練習)在實數3.14,4,0.23,0.1010010001,j,石力,石,百

中,無理數有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】A

【知識點】無理數、求一個數的算術平方根、求一個數的立方根

【分析】本題考查了無理數“無限不循環小數是無理數”、算術平方根與立方根,熟練掌握無理數的定義

是解題關鍵.先計算算術平方根與立方根,再根據無理數的定義求解即可得.

【詳解】解:"=2,V=27=-3.

7JT

則3.14,VZ,0.23,0.1010010001,次萬,五都是有理數,和百是無理數,

所以無理數有2個,

故選:A.

jr11

3.(24-25七年級上?浙江杭州?階段練習)在實數3.1415926,0,V100--0.32--河,

0.1010010001…(兩個“1”之間依次多個“0”)中無理數的個數是()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【知識點】求一個數的立方根、無理數、求一個數的算術平方根

【分析】本題主要考查無理數的定義,立方根,平方根的知識;根據無理數是無限不循環小數即可得出

答案.

【詳解】解:Two-io,

jr

無理數為:5,-Vioo,0.1010010001…(兩個“1”之間依次多個“o”)

無理數的個數是3個,

故選:B.

題型七實數與數軸

例題:(23-24七年級下?貴州黔南?期末)若點/在數軸上的位置如圖所示,則點/在數軸上表示的無理

數可能是.(只填一個)

IIII1IlA.lI?

-4-3-2-101234

【答案】石(答案不唯一)

【知識點】無理數的大小估算、實數與數軸

【分析】本題考查實數與數軸;根據數軸可以得到。的取值范圍,從而可以解答本題.

【詳解】解:設點/在數軸上表示的數為。,

由數軸可得,2<a<3,

2<V5<3

故答案為:6(答案不唯一).

鞏固訓練

1.(23-24七年級下?黑龍江齊齊哈爾?期末)如圖,在數軸上標有字母的各點中,與實數而對應的可能是

點(填人”或“2”或或“D”).

I1=A1lB.lIC.D

-3-2-10123

【答案】D

【知識點】實數與數軸、無理數的大小估算

【分析】本題主要考查了實數與數軸,無理數的估算,首先分別求出點4B,C,。在數軸上所對應的

數的范圍,然后根據算術平方根的意義求出即3<而<4,據此即可得出答案,解答此題的關鍵是熟練

掌握數軸上的點所表示的實數,準確估算出舊的范圍.

【詳解】設點4B,C,。在數軸上對應的分別是孫,xB,xc,xD,

貝!|-2<X/<-l,0<<1,2cxe<3,xD>3,

?■-V9<VTT<V16,

即:3<VTT<4,

.??實數JIT對應的可能是點D,

故答案為:D.

2.(23-24七年級下?遼寧葫蘆島?期末)如圖1,我們知道用兩個面積為Idn?的小正方形能拼成一個面積為

2dm2的大正方形,如圖2,在數軸上以單位長度為邊長畫一個正方形,以坐標為I的點為圓心,正方形

的對角線長為半徑畫弧,與正半軸的交點表示的數是.

圖1圖2

【答案】1+V2/V2+1

【知識點】用勾股定理解三角形、實數與數軸

【分析】本題考查了數軸和實數,首先求出正方形的對角線的長為正,然后根據數軸上兩點之間的距

離求解即可.

【詳解】解:、?在數軸上以單位長度為邊長畫一個正方形,

二對角線的長為血,

以坐標為1的點為圓心,正方形的對角線長為半徑畫弧,與正半軸的交點表示的數是1+收

故答案為:i+VL

題型八實數大小比較

例題:(24-25八年級上?全國?期末)比較大小:6屈.

【答案】<

【知識點】實數的大小比較

【分析】本題主要查了實數的大小比較.根據實數的大小比較法則解答,即可求解.

【詳解】解:?.-6=V36,V36<A/37,

6<V37.

故答案為:<

鞏固訓練

1.(23-24七年級上?黑龍江哈爾濱?期末)比較大小:43-2_--.

一2

【答案】>

【知識點】實數的大小比較

【分析】本題主要考查了實數的大小比較,熟練掌握實數的大小比較法則是解題的關鍵.根據實數的運

算及不等式的性質求解即可.

【詳解】解:?.?27>16,

373>4,

2G-4>-劣,

;.V3-2>-—,

2

故答案為:〉

2.(23-24七年級下?遼寧大連?期末)比較大小:V2立二L.

2

【答案】>

【知識點】實數的大小比較

【分析】此題主要考查了實數大小比較的方法.作差法判斷即可.

【詳解】解:后一1二1=理二Y1上工=立土1>o,

222

2

故答案為:>,

題型九實數的簡單運算

例題:(23-24七年級下?全國?期末)計算:

(1)7(-3)2+^^64-|1-73|;

(2)J(—10)~-13—句+27;

【答案】⑴-6

(2)10-71

【知識點】實數的混合運算、求一個數的立方根、求一個數的算術平方根、化簡絕對值

【分析】此題考查了算術平方根和立方根,化簡絕對值,解題的關鍵是掌握以上運算法則.

(1)首先計算算術平方根和立方根,化簡絕對值,然后計算加減;

(2)首先計算算術平方根和立方根,化簡絕對值,然后計算加減.

【詳解】(1)J(-3)2+U-64一卜一四

=3+(-4)-(V3-l)

=3+(-4)-V3+l

=-Vs;

(2)J(-10)~—13—TT|+W-27

=1O-(TI-3)+(-3)

=10-兀+3+(-3)

=10-71.

鞏固訓練

1.(23-24八年級上?全國?期末)計算:

(l)-l2024+V16+(-6)^^8

(2)736+(-l)2-V125

【答案】(1)6

(2)2

【知識點】實數的混合運算

【分析】本題考查實數的混合運算,掌握實數運算法則是解題的關鍵

(1)依次算乘方、算術平方根和立方根,再算除法,最后算加減;

(2)依次算算術平方根、乘方、立方根,再算加減.

【詳解】(1)

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