思想02融合數形結合思維以直觀闡釋數學關系

目錄

01考情透視?目標導航.................................................2

02知識導圖?思維引航.................................................3

03知識梳理?方法技巧................................................4

04真題研析?精準預測................................................5

05核心精講?題型突破................................................12

題型一：研究函數的零點、方程的根、圖象的交點12

題型二：解不等式、求參數范圍、最值問題18

題型三：解決以幾何圖形為背景的代數問題23

題型四：解決數學文化、情境問題31

考情透視?目標導航

高考命題中，以知識為載體，以能力立意、思想方法為靈魂，以核心素養為統領，兼顧試題的基礎

性、綜合性、應用性和創新性，展現數學的科學價值和人文價值.高考試題一是著眼于知識點新穎巧妙的

組合，二是著眼于對數學思想方法、數學能力的考查.如果說數學知識是數學的內容，可用文字和符號來

記錄和描述，那么數學思想方法則是數學的意識，重在領會、運用，屬于思維的范疇，用于對數學問題的

認識、處理和解決.高考中常用到的數學思想主要有分類討論思想、數形結合思想、函數與方程思想、轉

化與化歸思想等.

〃用識導圖?思維引航\\

㈤3

知識—?，方法技TH

1、以形助數（數題形解）：借助形的生動性和直觀性來闡述數與形之間的關系，把抽象問題具體化，把

數轉化為形，即以形作為手段，數作為目的解決數學問題的數學思想.

2、以數輔形（形題數解）：借助于數的精確性、規范性、嚴密性來闡明形的某些屬性，把直觀圖形數量

化，即以數作為手段，形作為目的解決問題的數學思想.

0

心真題砒標?精御皿\\

1.（2024年北京高考數學真題）已知M=｛（x,y）|y=;c+r（尤2-x）,lWxW2,0<r<l｝是平面直角坐標系中的

點集.設d是M中兩點間距離的最大值，S是Af表示的圖形的面積，則（）

A.d=3,S<1B.d=3,S>1

C.d=>/wfS<1D.d=,S>1

【答案】C

【解析】對任意給定尤<1,2],則d-x=x（x-1）2且

可知尤4元+/（尤2—x）4尤+尤2—尤=尤？，即尤VyV尤2,

y<x2

再結合x的任意性，所以所求集合表示的圖形即為平面區域，ywx,

l<x<2

如圖陰影部分所示，其中4（1,1）,8（2,2）,C（2,4）,

可知任意兩點間距離最大值d=|AC|=7（1-2）2+（1-4）2=回,

陰影部分面積S<SBC=：X1X2=L

故選：C.

2.（2024年北京高考數學真題）如圖，在四棱錐夕-ABCD中，底面ABC。是邊長為4的正方形,

A.1B.2C.72D.73

【答案】D

【解析】如圖，底面A2CD為正方形，

當相鄰的棱長相等時，不妨設PA=PB=AB=4,PC=PD=2叵,

分別取A8,CD的中點瓦尸，連接尸瓦尸尸，瓦"

則PEJ_AB,￡FJ_A3,且PEcEF=E,尸瓦石尸u平面「￡尸，

可知AB_L平面PEF,且ABu平面ABC。，

所以平面PEF±平面ABCD,

過尸作砂的垂線，垂足為0,即尸。_LEF,

由平面PEBCl平面ABCD=EF,POu平面PEF,

所以PO_L平面ABCD,

由題意可得：PE=2'PF=2,EF=4,貝U「序+尸產=石尸，即尸石,作，

PF.PFr-

則一1PEPF=—1POEF,可得尸。=------二后,

22EF

所以四棱錐的高為力.

故選：D.

3.(2024年高考全國甲卷數學(文)真題)曲線一3無與y=-(x-iy+a在(0,+。)上有兩個不同的交

點，則。的取值范圍為.

【答案】(-2,1)

【解析】令V-3x=-(x-1)~+a,§Pa=x3+x2—5x+l,令g(x)=x，-5x+l(x>。)，

則g,(x)=3x2+2x-5=(3x+5)(x-l),令g'(x)=0(x>0)得x=I,

當xe(O,l)時，g'(x)<0,g(x)單調遞減,

當xe(l,+8)時,g〈x)>0,g(x)單調遞增,g(O)=l,g⑴=-2,

因為曲線y=d-3x與y=-(x-l)2+a在(0,+oo)上有兩個不同的交點，

所以等價于y="與g(x)有兩個交點，所以ae(-2,1).

iiy=g(x)

故答案為：(-2,1)

4.(2024年天津高考數學真題)已知正方形ABCD的邊長為1,許=2反，若麗=2麗+〃肥,其中九〃

為實數，貝|彳+〃=；設/是線段班上的動點，G為線段"的中點，則行.礪的最小值為.

【答案】7-白

3lo

1_,1_,uuruunuuriutruun

【解析】解法一：因為CE=—OE,BPCE=-BA,則2E=2C+CE=-BA+2C,

233

,14

可得2=4,4=1,所以X+4=￡；

。J

由題意可知：I阮1=1麗1=1,麗?而=0,

因為下為線段班上的動點，設麗左礪=3麗+左配水?0』，

貝||/=而+阱=通+左而=1;左一1]反4+左於，

又因為G為AF中點，則方存=方+/=一就+=麗+134一：11前，

可得而?礪=(1^-ljBA+^BC?

1215

=-\-k-lI+k\上k-l

232I-w

又因為％e[0,l],可知：當左=1時，標.方小取到最小值

18

解法二：以8為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示，

可得麗=(-1,0),配=(0,1),而

因為3￡=2瓦1+〃交=(-彳,〃)，貝|]<'3,所以幾+〃=3；

〃=13

因為點尸在線段BE：>=—3x,尤e——,0上，設尸(a,—3a),ae——,0

且G為AF中點，則G

可得AF=(q+1,-3〃),DG=

3

貝1衣.方存二

10

旦ae0,所以當°=一：時，否?.方G取到最小值為-工；

一33lo

45

故答案為：

5.(2024年北京高考數學真題)設函數〃x)=x+左ln(l+x)(左/0),直線/是曲線y=/(x)在點

(/"⑺)(/>0)處的切線.

(1)當左=—1時,求/(無)的單調區間.

⑵求證：/不經過點(0,0).

(3)當k=1時，設點⑺)?>o),C(o,/(?)),0(0,0),B為/與y軸的交點,《AC。與LB。分別表示

△ACO與AABO的面積.是否存在點A使得2s△.。=1554^。成立？若存在，這樣的點A有幾個？

(參考數據：1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)

1y

【解析］(1)/(x)=x-ln(l+x)，r(x)=l---=.(尤>一1),

1+x1+尤

當xe(-l,0)時，r(x)<。；當xe(0,+e),//(x)>0；

/(x)在(-1,0)上單調遞減,在(0,+8)上單調遞增.

則/(x)的單調遞減區間為(-1,0),單調遞增區間為(0,+◎.

kk

(2)/(%)=1+#-,切線/的斜率為1+4，

1+x1+t

則切線方程為y-/⑺=[1+(x-t\t>0),

將(0,0)代入則-/⑺=t11+占)"⑺=++小)，

“tt

即/+—n(l+/)=，+/——,貝lJln(l+，)=——，ln(l+Z)-----=0,

1+tl+t1+Z

令F⑺=ln(l+f)-j

假設/過(。,。)，則尸⑺在，e(0,y)存在零點.

/⑺=J-一與二尸⑺在(0,+s)上單調遞增，F(r)>F(0)=0,

1+r(1+1)(1+ty

二尸⑺在(0,+8)無零點，.?.與假設矛盾，故直線/不過(0,0).

1x+2

(3)左=1時，/(x)=x+ln(l+x),fr(x)=1+----=---->0.

1+X1+X

S?co=；獷⑺，設/與y軸交點B為(0,4),

7>0時，若q<°,貝q此時/與/(尤)必有交點，與切線定義矛盾.

由(2)知4工0.所以“0,

則切線/的方程為了―%—in?+i)="+，Y)(x—,)，

令x=0,貝!Jy=<7=y=ln(l+0——.

t+1

■.-2S^ACO=15SABO,則紂⑺=15/ln(l+r)-*,

.-.13ln(l+/)-2?-15—=0,記h(t)=131n(l+t)-2t--(t>0),

1+t1+t

???滿足條件的A有幾個即g)有幾個零點.

,,1315_13/+13-2卜°+2/+1)_15__2/+9_4_(-2/+1)(/-4)

⑺一幣一一1+以~(Z+1)2-(Z+1)2--(Z+1)2-

當衣(0,；)時,〃⑺<0,此時/z⑺單調遞減；

當此口』時，/⑺>0,此時入⑺單調遞增；

當/44,+⑹時，”⑺<0,此時/?）單調遞減;

因為/7（O）=O,/（jo,/7（4）=131n5-2O13xl.6-2O=O.8>O,

15x247272

/z（24）=131n25-48-------=261n5—48——<26x1.61-48——=-20.54<0,

2555

所以由零點存在性定理及陽的單調性，h（t）在］;，4）上必有一個零點，在（4,24）上必有一個零點，

綜上所述，力⑺有兩個零點，即滿足2sAe0=155.。的A有兩個.

22

6.（2024年北京高考數學真題）已知橢圓E：，+斗=1包>6>0）,以橢圓E的焦點和短軸端點為頂點

ab

的四邊形是邊長為2的正方形.過點（0,。卜>忘）且斜率存在的直線與橢圓E交于不同的兩點A,3,過點A

和C（0,l）的直線AC與橢圓E的另一個交點為D.

⑴求橢圓E的方程及離心率；

⑵若直線BD的斜率為0,求t的值.

【解析】（1）由題意6=c=3=應，從而a=Jj+c?=2,

所以橢圓方程為反+其=1,離心率為e=】2；

422

（2）直線AB斜率不為0,否則直線48與橢圓無交點，矛盾,

從而設=W0,/>點），>

工+匕=1

聯立42~化簡并整理得（1+2左2）必+4依+2/一4=0,

y=kx+t

由題意八=16公產一8（2公+川產—2）=8（4左2+2-巧>0,即理應滿足耐+2">0,

-4kt2『-4

所以石+%=石光2

1+2左22F+1

若直線BD斜率為0,由橢圓的對稱性可設。（-9,%），

所以在直線A。方程中令彳=0,

再+x2

把y_玉%+入2y_X1（質2+1）+%2（%+%）_2g尤2+，（石+%2）_4%（?-2）+,_2

?（玉+%尤1+%尤1+%-4ktt

所以，=2,

此時%應滿足尸+2-產=4〃-2＞0,即左應滿足左＜一也或心立，

k^O22

綜上所述，/=2滿足題意，此時女＜一立或女〉1.

22

㈤5

孩心精說，題型突破

題型一：研究函數的零點、方程的根、圖象的交點

a

XH---,X>0

【典例1-1]已知函數/(%)={X與，=，有恰有四個交點，則。的取值范圍為()

|x+^|,x<0

A.[4,+oo)B.(4,+oo)C.(-oo,-2]u[4,+oo)D.(-oo,-2)U(4,+oo)

【答案】B

【解析】由題意知/(X)為分段函數，在x>0時為函數〃x)=x+￡,在時為絕對值函數

/(x)=|x+4*

①如果a=0,則〃尤)=M，與y=0只有一個交點，不符合題意；

②如果。<0,則函數/(x)=x+,為雙刀函數，在x>0時單調遞增，此時位于無軸下方，與/(X)只

有一個交點，不符合題意；

③如果。>0,則函數/(無)=X+?為對勾函數，在第一象限的最小值為/(6)=26，絕對值函數

/(%)=卜+4與〉軸相交于點(0,°),此時y經過點(0,。).

如果y=a經過點(后,26),即a=26,解得a=4,即當。=4時，y=4恰好與〃龍)有三個交點.

要使得存在四個交點，則”2右，解得。>4,畫出圖象如圖所示，滿足題意.

【典例1-2】如圖所示，直線>=區+機與曲線y=/(x)相切于尤2))兩點，其中玉<%.若

當xe(O,%)時，f'[x)>k,則函數-履在(0,+8)上的極大值點個數為()

3

D.

根據圖象，可分別作出“X)斜率為左的另外三條切線：y=b-+m;(z=1,2,3),切點分別為耳，后，匕，

如圖所示：當無?0,再)5電,%)5斗天)時,f'[x)>k-當工?%,鼻)5馬,王)。(%,+8)時,f'[x)<k-

設g(X)=/(x)-履，則g，a)=r(x)-%,

.??8(力在(0巧),(玉,%),(4%)上單調遞增，在(國,W)，(孫丁)，(%，+8)上單調遞減，

二g(x)=/(x)-質有了=%，尤=%和x=三三個極大值點.

故選：D.

【變式1?1[函數〃x)=(x-〃)lnx-X有兩個極值點，則實數。的取值范圍是()

A.--,+ooIB.I__,+oo

【答案】D

【解析】由=/'(%)=Inx+^-^-l=lnx--,

因為/(%)=(%-〃)1nx-x有兩個極值點，

所以「(x)=lnx-2=0有兩個不等的正根，

即。=xlnx有兩個不等的正根，

令g(%)=%lnx(x>0),則g'(x)=lnx+l(x>0),

當0<尤<!時，g'(x)<0,當x>工時，g'(x)>o,

ee

所以g(x)在[o，B上遞減，在上遞增，

所以g(x)m,n=g(j

eee

當x->0時，g(x)->0,當x->+8時，g(x)->-KO,

所以g(x)的大致圖象如圖所示,

a與g(x)的圖象有兩個不同的交點,

所以當-，〈尤<0時，/(X)有兩個極值點.

故選：D

—x—,x<0

【變式1-2]若函數/(》)=[+]；的圖象與丁=。的圖象恰好有四個交點，則實數。的取值范圍是

-----+2,x>0

、x

()

A.(L+⑹B.(0,2)U{-2}C.(2,3)D.[2,3)

【答案】C

【解析】當x<o時，/(%)=-%--,可得廣(力=-1+!=三二=土土學曰，

XXXX

當xe(-co,-l)時，/(%)<0；當xe(-l,0)時，f(x)>0,

所以函數/(x)在(-叫-1)上單調遞減，在(-1,0)上單調遞增，且/(-1)=2,

當x>0時，〃到=笠*2,可得尸(無)=一竽

當xw(0,l)時，/(無)>0；當xe(l,+oo)時，/(%)<0,

所以函數在(0,1)上單調遞增，在(L+◎上單調遞減，且〃1)=3,

當x30時，/(%)->^20；當xf+8時，-

函數〃x)的圖象，如圖所示，

要使得函數y=〃x)與y=a的圖象有4個交點，則2<a<3,

所以實數。的取值范圍為（2,3）.

故選：C.

命題預測

X+1

-----,X<

X

1.（多選題）函數〃x）=<,關于X的方程/（尤）-可/'（x）|=o（meR）,則下列正確的是（)

3x、八

——,x>0

、e"

A.""-1））=0

B.函數的單調減區間為（口,0）,[1,—）

C.當機=1時，則方程有4個不相等的實數根

D.若方程有3個不相等的實數根，則機的取值范圍是+8）

【答案】ABD

y11

【解析】當XV。時，/（%）=——=1+—,〃%）在（華⑼上是減函數，且漸近線為y軸和直線y=i,

XX

3尤\3ex-3xe%3（1-x\

當XN。時，/?=-,

當0<x<l時，/（左）>。，“X）在（。,1）上增函數，當X>1時，-⑺<0,〃尤）在（1,E）上是減函數,

3

所以/Q）￡/Xl）=-,函數圖象如圖所示：

A./(-I)=^=0,/(/(-l))=/(0)=-^=0,選項A正確.

B.函數的單調減區間為(3刀)，［L+s),選項B正確.

C.當機=!■時，尸(x)-時/(到=0可化為，⑸=0或=

函數y=|/(x)|的圖象如圖所示：

由圖可知，直線y=o與y=|/(x)|有兩個交點，直線y與y=|/(x)|有4個交點，故方程有6個不相等的

實數根，選項c錯誤.

D.若方程有3個不相等的實數根，即，(尤)|=0與|/(x)|=”共有3個不相等的實數根.

因為|/("|=0有兩個不相等實數根。，-1，所以|/(尤)|=根有且僅有一根，且不為0,-1,

所以直線'=相與y=|〃x)|有1個交點，由圖象可知加時滿足題意，選項D正確.

故選：ABD.

?

2.若函數y=fe——些Inr——1—的圖象與直線y有4個交點，則實數a的取值范圍是

e-1xex-x

【答案】I5。］

【解析】因為函數y=fa—以—-Inr—-」1的圖象與直線丫=。有4個交點，

e-1xQX-X

?

所以方程fe——-Inx———i=a有4個不同實根,

e-1xex-x

即e"+in*+a_e)(Q%+lnx)—l=O有4個不同實根.

設，=ar+lnx,/(/)=ez+(1-e)Z-1,

則f(t)=ez+1-e.

令廣⑺>0,得1>ln(e-1)；令/⑺<0,得力<ln(e—1),

所以函數/⑺在(-s/n(e-1))上單調遞減，在(ln(e-1),+刃)上單調遞增.

又因為/(0)="1)=0,

所以/。)=。有2個不同實根。與1.

令av+lnx=0,得。=一^^.

x

設g(無)=-嗎

X

貝1g'(無)=_1龍€(0,+8).

令g'(x)>0,得x>e；令g，(x)<0,得0<%<e,

所以g(x)在(0,e)上單調遞減，在(e,+8)上單調遞增，

則g(x)min=g(e)=-L且X>1時g(x)<。，

e

作出函數g。)的草圖：

所以當。<-工時，直線y=a與函數g(x)的圖象沒有交點；

e

當。20或。=時，直線>與函數g(x)的圖象有1個交點;

e

當-!<。<0時，直線y=a與函數g(x)的圖象有2個交點.

e

令依+lnx=],得Q=^―^

設/九)=上也，

x

則〃(%)=42,%?0,+8).

令h\x)>0,得%>e?；令hr(x)<0,得0v尤ve?,

所以h(x)在(0,e2)上單調遞減，在(",+8)上單調遞增，

則/如X)血n=〃6)=--1，且X>e時，/z(-r)<0.

e

作出函數Mx)的草圖：

所以當時，直線y=a與函數飄龍)的圖象沒有交點；

當。20或。=-±時，直線與函數/z(x)的圖象有1個交點;

e

當-4<a<0時，直線y=a與函數以尤)的圖象有2個交點.

e

綜上可得：當-41<"0時，函數y=f產——-InY—-」1的圖象與直線y=a有4個交點.

ee—1xex—x

故答案為：

題型二：解不等式、求參數范圍、最值問題

【典例2-1】已知函數/(x)=x3+ax2_6x+c(a,6,ceR),若不等式〃x)<0的解集為{乂尤〈根，且

xH〃},S.m-n=l,則函數〃元)的極小值為()

【答案】B

【解析】由/(x)=x3+G?_bx+c得尸(x)=3x?+2辦,為二次函數且圖象開口向上.

若AVO,則尸(無)2。，函數f(x)在R上單調遞增，不符合題意；

若△>(),方程3/+2依-6=0有兩個不等實根%,務，

不妨設王〈尤2，當xe(-8,%)J'(x)>O,/(x)單調遞增，

xe(藥,當),/'(了)<0,/(x)單調遞減，xe(x,,+oo),/,(j;)>0,/(x)單調遞增,

若使/(x)<。的解集為｛x|x<〃z,且尤工7?,則/(x)的大致圖象如圖所示：

則，"，”為函數/(x)的兩個零點，且九為函數/(x)的極大值點,

所以/(尤)=(尤_m)2(尤_〃)或/(%)=(x-ni)(x一")2,

當f(x)=(x-〃z)2(x-〃)時，/(x)=2(x-m)(x-ri)+(.x-m)2,

/(n)^0,貝產不是函數/(尤)的極值點，不符合題意;

當/(無)=(x-m)(x-a)?時，f(x)=(x-〃)2+(x-機)?2(x-〃)=(尤--)(3尤-n-2>ri),

人,，，、ce-“t、n+2m〃+2(〃+1)2土…2,,..

令/(x)=0,貝1]X=九或x=---=-------------=〃+§，所以芯="+§為1極1小7值d點s;H.

所以/'(x)的極小值為/[〃+■!)=]"+：+=_(.

故選：B

【典例2-2]設0<6<。+1,若關于x的不等式(尤-bp>(公『的解集中的整數解個數恰為3個，則滿足條

件的實數。所在區間可以是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,3)D.(3,5)

【答案】C

【解析】原不等式等價于歸-4>|依不妨設不等式的解集為(%，%)，

作出函數y=|x-4，y=|ox|的圖象如圖所示,

易知當時＜1,此時不等式的解集不只有三個整數解,

要滿足題意需網＞1,

又a+l>O=>a>—1,所1以a>1,

EI7b.7b

貝!]ax=b—xx,=-----v1,—ax=b—x=------,

6Z+11—Q

h

此時還需-3W-----<-2,整理得2a-2<b43。-3n2a-2<6<a+lnl<a<3,

\-a

此時C正確，其余選項錯誤.

故選：C.

【變式2-1】已知函數y=1和y=12的圖象與直線y=2-x交點的橫坐標分別為a,b,則

A.a>bB.a+b<2C.ab>\D.a2+b2>2

【答案】D

【解析】作出函數'=/和y=hu的圖象以及直線y=2-x的圖象，如圖,

由函數y=e，和y=lru的圖象與直線y=2-x交點的橫坐標分別為a,b,

結合圖象可知0＜。＜6A錯誤;

由題意知A(a,e°),B(b,\nb),也即A(a,2—由B(b,2—b),

由于函數＞=^和y=互為反函數,

二者圖象關于直線＞=彳對稱，而48為＞=d和y=lnx的圖象與直線y=2-x的交點,

故關于y=x對稱，故。=2—仇二。+6=2,B錯誤;

由0＜々＜"〃+。=2,故(m)2=葭c錯誤;

因為Ovavb,故/+/>2ab,2(a12+Z?2)>(a+b)2,

結合a+b=2,即得片+/〉？，D正確，

故選：D

【變式2-2】已知函數”x)=73-|2x-l|,若滿足了(尤)＞。的整數解恰有3個，則實數優的范圍為()

A/|,

【答案】A

【解析】〃力＞。得小＞|2%-1],所以滿足〃可＞。的整數解恰有3個，等價于函數y=|2x-l|的圖象在直

線y=/nr下方的部分有3個整點.

如圖，當直線'=皿的斜率加滿足壇七B時滿足題意，其中A(3,5),B(4,7)

5757

所以,七4二§，左06="所以1＜加47

命題預測

1.不等式x?+ln＞/x＜x的解集為.

【答案】(0,1)

【解析】設"石(r>0),則不等式為：f+lnt<t2,即lnr<r-4,

令"r)=lnr(r>0),g(r)=「?>0)

則g'("=2f_4戶=2/(1-2/)=_2d"+1)(萬一1),

令得，t=Q,t=q,t=-今(舍負)

t0也

2

g?)0+0—

1

g⑺0遞增遞減

4

(萬、1

g⑺小=gV="g(°)=g(i)=6

〃r)=ln(>o)與g(/)=/T4”>0)在同一坐標系中的圖像如下:

由圖像可得的解為即0<?<1,所以0<x<l

所以不等式d+ln&<x的解集為(0」).

故答案為：(0,1).

2.若關于x的不等式十/-6+。<0的解集為。〃，〃)(〃<0),且(加，〃)中只有一個整數，則實數。的取值

范圍是.

【答案】苴擊

【解析】由％?e”-Qx+〃<0,得x,e"<ax-a,

設g(x)=x-ex,y=ax-a,由題設原不等式有唯一整數解，

即g(x)=%?/在直線丁=改一。下方，g'(x)=(x+l),",

g(x)在(-8,-1)遞減，在(-1,+8)遞增,

故g（尤）min=g（T）=—,，y=G—。恒過定點P（1，O），

e

21

結合函數圖像得⑥怎B，即

故答案為：）

題型三：解決以幾何圖形為背景的代數問題

【典例3-1】已知拋物線C：產二房了的焦點為R過點4（7,1）作直線/；彳+--2y-70+4=0的垂線，垂

足為8,點尸是拋物線C上的動點，則|尸耳+|依|的最小值為（）

A.14-述B.—C.14D.25-3百

222

【答案】D

【解析】由/：尤+ay-2y-7“+4=0得x-2y+4+a（y—7）=0,

fx—2y+4=0/、

由1—710，得U丫=7,所以直線，過定點M（10,7）.

所以點的中點坐標為連接AM,

則河=j9+36=3氐由題意知點8在以AM為直徑的圓上，

所以點2的軌跡方程為卜—11+（y-4）2=.（不包含點4（7,1））,

記圓,=：+（>-"2=亨的圓心為"與“，

過點P,N分別作準線x=T的垂線，垂足分別為，H,

則\PF\+\PB\=\PD\+\PB\>\PD\+\PN\-^->\NH\-^=25一心,

當且僅當尸，D,N,H四點共線且點。在P,N之間時等號同時成立，

所以|P尸|+「目的最小值為空芋.

故選：D.

OFy

【典例3-2】正四面體的棱長為3,點M,N是它內切球球面上的兩點，P為正四面體表面上的動點，當

線段最長時，聞7.麗的最大值為（）

【答案】C

【解析】設正四面體ABCD的內切球球心為。，G為△3CD的中心，E為CD的中點，連接AG,BE,則

。在AG上，連接30,則40=30.

因為正四面體的棱長為3,所以BG=^BE=：x與X3=5所以AG=J6_的=^^=瓜

設內切球的半徑為「，貝限47-4=/+班;2,（新一4二產+百、解得一手，

3

當跖V為內切球的直徑時肱V最長，止匕時麗'+兩=0，OMON=-

8

TM-JN=^+（my^Pd+ON^=PO+Pd\OM+ON^+OMON=PO-^,

因為尸為正四面體表面上的動點，所以當尸為正四體的頂點時，|麗|最長，|而|的最大值為

亞=亞，所以兩.兩的最大值為

44

故選：C.

【變式3-1】已知點K為三棱柱ABC-A與G的棱4用上一點，經過頂點A,C及點K的平面將三棱柱分成

體積相等的兩部分，則笑的值為（）

A.1B.6C.2-y/3D.73-1

【答案】B

【解析】過K作KPIIAC一交B?于點尸,

則KPIIAC,

連接CP,則平面ACPK即為過頂點AC及點K的平面，如圖所示：

設三棱柱ABC-A片￡的底面面積為s,高為公

設藍="

BK1

則X

44i+x

又因為△用KP?△用AG，

所以兩三角形的相似比為工，

1+2

由相似三角形的性質可知S邛產（j7）2川4.=（『［fS,

易知△用KP~ABAC,側棱AK,CP,BBi交于BB,延長線上一點,

所以幾何體BtKP-BAC為三棱臺,

設三棱臺用KP-BAC體積為K,三棱柱ABC-ABC的體積為V，

則有

又因為乂=19S產+s+Js^~s)h

11I1~~"

=-((——)29S+S+J(——)2S-S)h

31+2V1+Z

111

=-((——y9+1+——)Sh,

31+21+2

又因為V=S/i,

所以:Jr)?+1+1—命=:s/7,

31+41+A2

113

所以q—7)2+1+~—~=~，

1+41+A2

(^)2+—---=0,

1+21+A2

令〉0,

1+2

貝|J有』+看一：=。，

解得””

所以6="

所以1+2=￡_]=若+1,

解得2=石.

故選：B.

【變式3-2］（多選題）在平面直角坐標系中，已知點尸和曲線C上不同兩點A8,記

M（F）=\AF\+\BF\-\AB\,則下列結論中正確的是（）

A.若點尸（0,0）和直線C:y=履信eR）上不同兩點A,B,則M（尸）的最小值為0

22

B.若點尸（1,0）和橢圓C：q+'=1上不同兩點A&則M仍）的最大值為0

C.若點/（0,0）和圓C:尤2_2》+/_2石y+3=。上不同兩點A8,|AB|=2,則M仍）的最大值為

2^/5-2

D.若點尸（-2,0）和雙曲線C:/-y2=2右支上不同兩點A,B,則M（尸）的最小值為4后

【答案】ACD

圖1圖2

M（F）>0.故A正確;

對于選項B,知仍）=|/用+怛目-|/明20,（4,8,下三點共線時取等號）.故B錯誤;

對于選項C,如圖3,

=2,故AB為圓C直徑，連接尸C,則

\FC\=2,

因為M刊2=|CF|2+|AC|2-2\AC\-\CF\-COSZFCA,|BF|2=ICF|2+1BC|2-21BC|-ICF|?COSZFCB,

MZFG4+ZFCB=7i,

所以：|AF|2+|BF|2=2（|CF|2+|AC|2）=2（22+12）=10,

又（|AF|+|BF|）2<2（|AF|2+|BF|2）=20,+\BF\<245（|AF|=忸同時取等號）.

:.M（F）=\AF\+\BF\-\AB\<2y/5-2.故C正確;

對于選項D,如圖4,可知點/（-2,0）是雙曲線C的左焦點,

設右焦點為尸，.由雙曲線的定義，得M（廠）=|AF|+忸典—|AB|=|AF|+2a+忸曰+2a-|AB|,即

M（F）=|+|5F|-\AB\+4a>4a=4s/2（當點尸在線段A3上時取等號）.故D正確.

故選：ACD

命題預測

1.（多選題）已知曲線c：x2+j|y|=l,若直線y=h+b與C的交點的可能個數的集合記為人優力），則

A.c關于y軸對稱

B.A（匕-1）={1,2}

C.A（k,-2k）={l,2}

D.“A（4,2）={3}”的充要條件是“A網<后

【答案】ABD

【解析】當yNO時，曲線C的方程為犬+產=1,表示為圓心在原點、半徑為1的上半圓;

當y<0時，曲線C的方程為V-V=1,表示為焦點在X軸、對稱中心在原點的雙曲

線的X軸下方的部分，其漸近線方程為y=±x；

對于A,設點（x,y）在曲線C上，點（x,y）關于y軸對稱的點為（-x,y）,

因為（-4+〉卜=/+引3=1,所以曲線c關于y軸對稱，故A正確；

對于B,4（匕一1）時,直線y=，-l恒過定點（0,-1）,如圖，

當上21,或％V-1時，曲線C與直線丫=丘-1只有1個交點，

當曲線C與直線y=丘-1有2個交點，所以A（%,-1）={1,2},故B正確;

對于C當A（c—2左）時,直線產質-2左=左卜-2）恒過定點（2,0）點,

當曲線/+9=1320）與直線了=履-2后相切時，

圓心0,0到直線好質-2左的距離為1=^解得左=_組，

yjl+k3

當左21,或左v-1,或左=_@時，曲線。與直線）=丘-2左只有1個交點,

3

當-立〈發時，曲線C與直線y=履-2左沒有交點；

3

當-立＜上＜1時，曲線C與直線y=履-2左有2個交點;

3

所以4（k-24）={0,1,2},故C錯誤；

'"左Q-2)

對于D,A（%,2）時，直線丁=丘+2恒過定點（0,2）點，

當曲線Y+y2=l（yN0）與直線y=Ax+2相切時，

|2|_

圓心（0,0）到直線y=kx+2的距離為消溟=1,解得左=±6,

當直線丁=履+2過（—1,0）時，得左=2,

當直線丁=履+2過（1,0）時，得左=一2,

若曲線Y+y2=l（yN0）與直線、=履+2有2個交點時，

貝I］一2（左＜一/，或指＜%V2,

若曲線—+9=13?0）與直線、=履+2有1個交點時，

貝I］左＞2,或k＜-2,或左=±百，

當-6＜k＜有時，曲線*+9=1（岸0）與直線y=fcr+2沒有交點;

當直線丁=&+2與曲線y2=1（y＜0）相切時，聯立方程

得（-2卜2_4爪_5=0（”0）,

可得A=16^+2O（l—/）=0,解得心±&,

當Y〈k&-2,或2〈人＜逐時，

直線丫=丘+2與曲線d-y2=i（y＜0）有2個交點，

當一2＜左＜-1,或1（后＜2時，

直線、=履+2與曲線f-VTQvo)有i個交點，

當—14左41時，曲線f—y2=1(y<o)與直線丁=丘+2沒有交點;

所以當直線y="+2與曲線公+/.仙學。)與有2個交點、與

/一丁二耳”。)有1個交點時，-24左<一百，或也<k&2;

當直線>=丘+2與曲線d+y2=l(y20)有1個交點、與

X?-y2=i(y<0)有2個交點時，Y<k〈-2,或2<k〈下,

綜上所述，相<陶<石時，曲線C：f+yN=i與直線>=履+2交點個數為3個,

故D正確.

2.已知空間單位向量工,&,向，$+可=厘+可=啊+￡+/+可=1，則4W的最大值

是.

【答案】嗖

【解析】因為空間向量G,%,e3,是單位向量,

所以把向量1，［，3平移到以。為起點，終點在半徑為1的球面上，如圖:

I—?—?I__9o_______?...?>

由,+可=1,得G+e2+2e^e