山東省淄博實驗中學2024-2025學年高二上學期1月期末模擬

數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若方程工一-己=1表示橢圓，則實數加的取值范圍是（）

4-mm

A.（-8,0）B.（0,4）C.（4,+功D.（-8,0）30,4）

2.拋物線夕=:一的焦點坐標是（）

4

A.（1,0）B.（0,1）C.（2,0）D.（0,2）

3.平面內點P到月（0,-2）,月（0,2）的距離之和是8,則動點尸的軌跡方程是（）

乙《+片=

A.2+=1B,1c=1D-i?+E=1

1241612-<4

r22

4.如圖，F、、月分別是雙曲線C：I=1（a>0,6>0）的左、右焦點，過耳的直

a

線I與C的左、右兩支分別交于點A、B.若與為等邊三角形，則雙曲線C的離心率

2百

D.也

5.在直三棱柱4AG-ABC中，NBCA=90。，2,片分別是44,4G的中點，BC=C/=CC、,

則/。與24所成角的余弦值是（）

V30

IF"f

試卷第1頁，共4頁

6.若圓/+/+依+島+2。-3=0與x軸沒有交點，則實數。的取值范圍為（）

A.（2,6）B.（3,5）

C.（2,3）U（5,6）D.（2,3）U（6,+s）

7.如圖，在三棱錐尸-48C中，V48C與△尸48都是邊長為2的等邊三角形，且尸C=VJ,

則點P到平面ABC的距離為（）

A.1B.2C.-D.叵

224

22

8.已知O為坐標原點，橢圓E:1r+}=1（a>6>0）的左，右焦點分別為耳工，左、右

頂點分別為4B,焦距為2c,以FtF2為直徑的圓與橢圓E在第一和第三象限分別交于

M,N兩點.且麗7.方=2技c,則橢圓E的離心率為（）

A.—B.V2C.—D.—

233

二、多選題

22

9.已知雙曲線土-L=sin?。（。卡k兀，kwZ）,則不因。改變而變化的是（）

42

A.焦距B.離心率C.頂點坐標D.漸近線方程

10.在一次歌唱比賽中，以下表格數據是5位評委給甲、乙兩名選手評出的成績（分數），則

A.甲選手成績的極差大于乙選手成績的極差

B.甲選手成績的75%分位數小于乙選手成績的75%分位數

3

C.從甲的5次成績中任取2個，均大于甲的平均成績的概率為二

試卷第2頁，共4頁

D.從乙的5次成績中任取3個，事件“至多1個超過平均分”與事件“恰有2個超過平均

分”是對立事件

11.如圖所示，在棱長為2的正方體-44GA中，P,。分別是線段5Q,NC上的

動點，則下列說法正確的有（）

A.線段尸。長度的最小值為2

B.滿足產。=20的情況只有4種

C.無論尸，。如何運動，直線尸。都不可能與2。垂直

D.三棱錐尸-的體積大小只與點。的位置有關，與點尸的位置無關

三、填空題

12.若點尸（2,2）是圓。：/+/一2了+3-冽=0外的一點，則機的取值范圍是.

13.短軸長為2石，離心率e=；的橢圓的兩焦點為耳，耳，過耳作直線交橢圓于A、5兩點,

則△/3g周長為.

22

14.已知雙曲線C：彳=1（?>0,b〉0）的左、右焦點分別為月（-c,0）,月（c,0）,

直線/：加+即-慶=0與c相交于點“，若|町|28|煙|,則離心率e的取值范圍

為.

四、解答題

15.已知動點〃到點（6,0）的距離比它到直線x+8=0的距離小2,記動點M的軌跡為C.

⑴求C的方程；

試卷第3頁，共4頁

(2)直線/與C相交于48兩點，若線段的中點坐標為(4,-2),求直線/的方程.

16.在如圖所示的多面體NFDCBE中，48_L平面BCE,ABHCDHEF,BE1EC,48=4,

E

(1)在線段8C上是否存在一點G,使得EG//平面/FC?如果存在，請指出G點位置并證明;

如果不存在，請說明理由;

(2)當三棱錐。-/FC的體積為8時，求二面角4F-C的余弦值.

17.寫出下列試驗的樣本空間：

(1)隨意安排甲、乙、丙、丁4人在4天節日中值班，每人值班1天，記錄值班的情況；

(2)從一批產品(次品和正品的個數均大于3件)中，依次任選三件，記錄出現正品與次品

的情況.

18.已知橢圓C:1r+方=1(°>6>0)的焦距為2,且經過點《1,

(1)求橢圓C的方程；

(2)點乙尸是橢圓C上的兩個動點，若直線/E的斜率與直線/尸的斜率互為相反數，證明直

線砂的斜率為定值，并求出該定值.

19.已知尸為拋物線C:/=2pxS>0)的焦點，O為坐標原點，M為C的準線/上的一點,

直線MF的斜率為-LOFM的面積為1.

(1)求C的方程；

⑵過點廠作一條直線交C于42兩點，試問在/上是否存在定點N,使得直線N4與A?

的斜率之和等于直線NF斜率的平方？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

試卷第4頁，共4頁

《山東省淄博實驗中學2024-2025學年高二上學期1月期末模擬數學試題》參考答案

題號12345678910

答案ABDBACCDBDABD

題號11

答案ABD

1.A

【分析】利用標準的橢圓方程即可判斷參數范圍.

【詳解】方程上一-片=1變形得：上+￡=1,

4-mm4-m-m

4-m>0

該方程要表示橢圓，則需要滿足卜加〉0,解得：m<0,

4-m-m

故選：A.

2.B

【分析】根據題意，化簡方程為f=4y,結合拋物線的幾何性質，即可求解.

【詳解】由拋物線y=可得拋物線的標準方程為工2=4%

所以拋物線的焦點坐標為尸(0,1).

故選：B.

3.D

【分析】利用橢圓的定義，求得瓦c,從而得解.

【詳解】由題意，平面內點尸到耳(0,-2),月(0,2)的距離之和是8,

所以動點尸的軌跡E為橢圓，焦點在了軸上，且c=2,2a=8,即。=4,

所以〃=a2-c2=16-4=12,

22

所以動點尸的軌跡方程為匕+'=1.

1612

故選：D.

4.B

【分析】根據雙曲線的定義求出在4/4月中，\AF^=2a,\AF2\=^a,則由工為等邊三

角形得N不48=120。，再利用余弦定理可得c=V70,從而可求出雙曲線的離心率

【詳解】解：根據雙曲線的定義可得|列|-|叫|=%,

答案第1頁，共13頁

因為匕為等邊三角形，所以忸用=ZFtAF2120°

所以忸耳|一|/叫=|/用=2,

因為|4月卜|/耳|=%,所以|4名|=W凰+勿=刊，

因為在△/4工中，|/周=20,|/工|=4a,=120°,

所以陽凡『=|/父+/寸-2M|.\4F2|COS120P,

BP4c2=4a2+16a2—2義2。x4ax28優,

所以c=y/la,

所以雙曲線的離心率為e=￡=J7,

a

故選：B

5.A

【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求得所成角的余弦值，從而求得所求.

【詳解】以點C為坐標原點，分別以在，CA,西為x軸，y軸，z軸的正方向,

建立空間直角坐標系，如圖所示，^BC=CA=CCl=2,

則/(0,2,0),"(1,1,2),5(2,0,0),￡(1,0,2),

.?.語=(1,-1,2),西=(-1,0,2),

ADX-BFX3V30

：.直線g和直線BK所成角的余弦值為

珂阿76x75-10,

【分析】求出圓心坐標利用幾何法得到不等式，解出即可.

答案第2頁，共13頁

【詳解】x2+y2+Qx+G〉+2q—3=o即++y+-^-=：/-2。+^,

—a2-2a-\>0,解得a<3或Q>5,

44

且其圓心坐標為-彳，-+，若該圓與％軸沒有交點，

I22J

則%一2a+g,解得ae（2,3）U（5,6）

故選：C.

7.C

【分析】根據題意，取NB中點。，連接P2C。，由線面垂直的判定定理可得N5，平面尸8,

從而可得平面48C，平面尸C。，則點尸到平面N3C的距離為點尸到直線C。的距離，即可

得到結果.

【詳解】

取NB中點。，連接尸2C。，

因為V/BC與A尸48都是邊長為2的等邊三角形，

所以PZ）_L/3,CD_L/3,PD=CD=5

且PDccr>=。，pz）,cr>u平面PCD,

所以481,平面PC。，且/8u平面NBC,所以平面/8C_L平面尸CD,

所以點尸到平面/8C的距離為點P到直線CD的距離，

過點尸做PE，CO,所以點P到直線CD的距離即為尸￡,

又尸C=g,且尸。=CD=JL所以△尸CD為等邊三角形，

所以PE=/cos30o=6x/=-,

22

3

即點P到平面ABC的距離為7.

2

故選：C

8.D

答案第3頁，共13頁

【分析】求得耳耳為直徑的圓的方程為V+y2=c2,與橢圓方程聯立方程組可得

--，根據已知可是丑?上=26無，求解即可得

橢圓E的離心率.

【詳解】以用￡為直徑的圓的方程為/+J?=c2,

V+V

解得X2="(C2J2),「=*,

聯立

b2x2+a2y2=b2a2cc

又4(-〃,0),3(Q,0),

所以而7=(生晝也)，AB=(2a,Q),

ac

所以NM-AB=4。力。0I=2?c，

c

LU4tZ2(c2-b2)=3c4,所以442c2-4/(42一°2)=3°4,

所以3。4—8。2。2+4。4=0,所以34—8/+4=O,

解得e2=：或e?=2（舍去）.

所以e=色

3

故橢圓E的離心率為逅.

3

故選：D.

9.BD

【解析】將雙曲線方程整理為標準方程，寫出焦距，離心率，頂點坐標和漸近線方程，判斷

是否因e改變而變化，即可得解.

22

【詳解】整理雙曲線方程可得-----J=i，c=7^^萬

4sin02sin0

該雙曲線焦距為：2j6sin2。，

離心率為：”V6

2

頂點坐標為（24而00）和卜2r而仇0卜

答案第4頁，共13頁

漸近線方程為y=土楙，

不因。改變而變化的是離心率與漸近線方程.

故選：BD.

【點睛】本題考查了雙曲線的簡單性質的應用，屬于基礎題.

10.ABD

【分析】直接由極差、百分位數、古典概型概率以及對立事件的概念依次判斷4個選項即可.

【詳解】對于A選項，根據極差的概念，可知甲選手成績的極差為96-86=10,乙選手成

績的極差為95-86=9.故A正確；

對于B選項，5x75%=3.75,則甲成績的75%分位數是91,乙成績的75%分位數是92.故B

正確；

對于C選項，甲的平均成績為gx(87+90+96+91+86)=90,從甲的5次成績中任取2次成

績樣本空間

有。={(87,90),(87,96),(87,91),(87,86),(90,96),(90,91),(90,86),(96,91),(96,86),(91,86)),共

10個樣本點，

其中均大于甲的平均成績的樣本點只有1個為(96,91),故所求概率為故C錯誤.

對于D選項，乙的平均成績為gx(90+86+92+87+95)=90，抽到不超過平均分的個數為0,

1,2,

所以事件“至多1個超過平均分”與事件“恰有2個超過平均分”是對立事件，故D正確；

故選：ABD.

11.ABD

【分析】對于A選項，當尸，。分別是線段與0，/C的中點時，滿足;對于B選項，P。=2亞

只能是四種；對于C選項，當尸與皮點重合，點。與C點重合時，故

PQ1BD、；對于D選項，由于點尸到平面的距離是2,底面的面積隨著點。的

移動而變化即可得答案..

【詳解】對于A選項，當P,。分別是線段與，，NC的中點時，尸。是異面直線4口，AC

的公垂線，此時線段尸。長度最小，為2,故A選項正確；

對于B選項，尸0=2后只能是面對角線，此時尸?？梢允蔷欳氏四種，故B選

答案第5頁，共13頁

項正確；

對于C選項，當P與"點重合，點。與C點重合時，此時的直線產。（即4C）與平面8G。

垂直，故尸故C選項錯誤；

對于D選項，由于點P到平面的距離是2,底面A0A4的面積隨著點0的移動而變化,

所以三棱錐尸-/2。的體積大小只與點0的位置有關，與點尸的位置無關，故D選項正確.

故選：ABD

【點睛】本題考查空間線線，線面位置關系和距離體積的求法，考查運算和推理能力，轉化

思想，數形結合思想，是中檔題.本題解題的關鍵在于取特殊的點，尋找使得條件成立的實

例，進而求解.

12.（2,7）

【分析】根據點與圓的位置關系建立不等式組，解之即可求解.

【詳角單】圓C:尤2+/一2y+3-%=0的標準方程為f-m-2,

又點P（2,2）是圓C:x?+必-2y+3-7/7=0外的一點，

m—2>0

所以Ls,、2、，解得2〈加<7,即根的取值范圍是（2,7）.

22+（2-1）>m-2

故答案為：（2,7）

13.12

【分析】根據短軸長為2石，離心率e=；,求得長半軸，再由A/Bg周長為4a求解.

【詳解】因為短軸長為2百，離心率e=；,

所以6=石，e=—=—,

a3

又/=/+Y，

解得4=3,

所以△/陷周長為/=45+/+郎=4。=12,

故答案為：12

答案第6頁，共13頁

2_2

【分析】根據雙曲線的定義，漸近線的性質以及余弦定理求出|九里|=號1,

222

\MFX|='(J,在代入到不等式|阿|?8|中即可求解.

【詳解】如圖，雙曲線。的焦點為片(-。,0),旦(c,o),漸近線方程為v=±?x,

因為直線/的斜率上=-2,則直線/與雙曲線C的一條漸近線平行，且過點月,

a

設直線/與雙曲線C的另一條漸近線相交于點N,

可知NNOFL/NF?。,tan/NOE,=2,cosZNF2O=-,sinZNF2O=~,

acc

因為|西|-|四卜2%BP\MF\=\MF^\+2a,

山與「+照目一|叫『即4c2+根局2_(20+曬|)［一

且3/愕0=

2|甲訃|咋|、4C-\MF2\~C

解得|崢|=一之，|阿|=至士若"周,

2〃2。

「211女叵,又e>l,所以l<e<互.

，解得4WU,所以e=

a27a77

15.(1)/=24X

(2)6x+y—22—0

【分析】(1)根據已知得到動點亂到(6,0)的距離等于到直線x=-6的距離，滿足拋物線的

定義，根據定義即可求解；

(2)利用點差法求出直線/的斜率即可.

【詳解】(1)由題意知根據已知得到動點”到(6,0)的距離等于到直線x=-6的距離,

答案第7頁，共13頁

即動點M的軌跡是以（6,0）為焦點，x=-6為準線的拋物線，

所以軌跡C的方程為V=24X.

（2）設，（x1M，則爭，

［歹2=24%2，

0c/、V,—Vn24

兩式相減得弁-/=24（%1-%2）,整理可得J紅=-----.

X1~X2%

因為線段N5的中點坐標為（4,-2）,所以外+%=-4,

所以直線/的斜率/=必"===-6,

玉~X2-4

故直線I的方程為了+2=-6（x-4）,即6x+了-22=0經檢驗滿足題意.

16.（1）存在，點G為BC中點，證明見解析

【分析】（1）先找到G點位置，由面面平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標系，由

體積求解邊長，用空間向量求解二面角.

【詳解】（1）存在，點G為3C中點，理由如下：

取線段的中點〃，連接￡〃、HG、EG.

,/AH//EF,AH=EF=2,

答案第8頁，共13頁

，四邊形/“跖是平行四邊形，，HE〃/尸.

又：4Fu平面/FC,HE。平面//C,；.Effi1〃平面4FC.

,：H、G分別為48、BC的中點，

.?.HG是V/BC的中位線，/.HG//AC.

：/Cu平面/PC,平面/PC,"G〃平面/尸C.

■:HGcHE=H,HG、HEu平面EHG,

：.平面EHG//平面AFC.

：EGu平面E7/G,〃平面/尸C.

(2)設CZ>=/?>0),

,11一1t4r

11

*由~—nu—ArFcC=匕A-UDFCr=—3義—2義CDxCExBE=—3x—2x4x2=—3—8,

可得CD—t—6.

以E為坐標原點，EC、EB、E下所在直線分別為x、八z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系.

由題可知尸(0,0,2),C(4,0,0),/(O,2,4),D(4,0,6),

ZF=(O,-2,-2),=(-4,0,2),FD=(4,0,4).

設平面/FC的法向量為機=(x"”zj,

fmlAFb2M-2zi=0=-Z]

mLCF〔一4再+2Zj=0[z1=2x1

令玉=1,得必=一2,4=2,

所以平面/尸C的一個法向量為五=(1,-2,2).

答案第9頁，共13頁

設平面4FD的法向量為〃Ex2,%/?),

fnlAFf-2y-2z=0fy=-z

則s___=>q22=>I22

n_LFD[4X2+4Z2=0[x2=-z2

令Z?=1,得=>2=T，

所以平面/ED的一個法向量為1=(-L-1,1).

-l+2+2_

3x6'3，

由圖可知二面角。-4F-C為銳角,

故二面角尸-C的余弦值為且

3

17.(1)答案見解析

(2)答案見解析

【分析】(1)設甲、乙、丙、丁分別為1,2,3,4,然后可列出樣本空間;

(2)設正品為次品為T,然后根據題意列出樣本空間.

【詳解】(1)如圖,

丙一丁乙一丁一丙

丁一丙丁一乙一乙

甲(一丙《乙一丁丙^一乙《甲一丁一丙

丁一乙丁一甲一甲

乙一丙

T<甲一乙一乙

丙一乙乙一甲一甲

設甲、乙、丙、丁分別為1,2,3,4,

所以樣本空間5={(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),

(1,4,2,3),(1,4,3,2),(2,1,3,4),(2,1,4,3),(2,3,1,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(2,4,3,1),(3,1,2,4),

(3,1,4,2),(3,2,1,4),(3,2,4,1),(3,4,1,2),(3,4,2,1),(4,1,2,3),(4,1,3,2),(4,2,1,3),(4,2,3,1),

(4,3,1,2),(4,3,2,1)}.

(2)設正品為目，次品為T,樣本空間％={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT].

22

電⑴…I

(2)證明見解析，!

答案第10頁，共13頁

9

【分析】（1）由已知可得c=l,_L+且=1,結合。也。的關系可求得橢圓的方程；

/b2~

（2）設出直線方程與橢圓方程聯立，求出瓦廠兩點坐標，最后根據直線斜率的公式進行求

解即可.

【詳解】（1）因為焦距為2,所以c=l,

9

又

a2b2

且〃=/+C2,

解得a=2,b=V3>

22

橢圓。的方程為土+匕=1；

43

q22

（2）設直線NE方程：得>=左（苫-1）+：,代入,+?=1,

得（3+4左）x2+4左（3-2左）x+41|■-左］-12=0,

設后自E,為；）,尸（馬,力），

又直線N尸的斜率與/E的斜率互為相反數，在上式中以-左代左，可得

唱+“T2,

“3+九

yF=-kxF+^+k

所以直線跖的斜率

答案第11頁，共13頁

—（3+2--24j6-8^+6