山西省2025屆高三下學期一模數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知復數Z[=6-5i,z2=3+2i,其中i為虛數單位，則4+2?=()

A.9-3iB.9+3iC.9-7iD.9+7i

2.若直線4x-3y-m+2=0被圓尤2+丁=16所截得的弦的長度為4/，則機=()

A.12B.8C.12或-8D.8或一12

3.方差的單位是原數據單位的平方，為了使其與原數據的單位一致，對方差開方得到標準

差.利用方差和標準差可以刻畫數據的離散程度或波動幅度.觀察下面兩組數據：

1,2,3,4,5

1001,1002,1003,1004,1005

它們的方差和標準差相等，但兩組數據的數量級不同，兩個個位數相差1與兩個四位數相差

1,直觀感覺應該是不同的.那么，最適合刻畫這兩組數據離散程度的統計量是()

A.方差B.標準差

原始數據的方差原始數據的標準差

'該組數據的平均數'該組數據的平均數

4.。>1是函數/。)=叫(3“.1/為增函數的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知向量a,5,滿足I61=2,且石在苕上的投影向量為—a,則cos〈"=()

4

A.--B.IC.--D.-

2244

2

6.若。=1(^2,6=0.3S,c=_；則a,氏c的大小關系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

2025

7.已知函數的定義域為R,且/(2x)+/(l—2x)=1,=則￡")=

i=0

()

2025

A.0B.2025C.——D.1013

2

8.設A5為圓錐SO底面的一條直徑，C為底面圓周上異于A3的一點，。為SO靠近。的

一個三等分點，且二面角S-4。-5與二面角。-3。-4的大小相等，則該圓錐的體積與三

棱錐S-ASC的體積之比是（）

.5口5c小c上

A.一兀B.—71C.--兀D.----7T

4332

二、多選題

9.已知函數/（尤）=4$m（。1+0）（4>0,0>0,0<。<無）的部分圖象如圖所示，貝！］（）

A.函數/（x）的最小正周期是2

B.（3）=1

2

C.（p=-7t

3

D.函數y=/（x）的圖象向右平移!個單位得到一個偶函數的圖象

0

22

10.已知橢圓C:土+匕=1,左，右焦點分別為尸I，工，點P是C上的動點，點

164

則下列結論正確的是（）

A.橢圓C的離心率為孚B.|「團+IPMI的最大值為10

C.|尸胤+|9|的最小值為5D.被點Af平分的弦所在直線的斜率為-日

11.已知函數〃x）=：ln尤（”>0）,過點A/（0,a）作平行于x軸的直線交曲線y=f（x）于點N,

曲線y=〃x）在點N處的切線/交y軸于點尸.則（）

2

A.當〃=1時，切線/的方程為》=—冗B.當a=l時，APMN的面積為

e2

C.點尸的坐標為。,“一D.APMN面積的最小值為4至

2

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.已知等比數列｛q｝的前〃項積為(，若4=32,貝1]。3=.

13.已矢口cos[1+=2c°s(i—0),貝I]tan6=.

14.投擲兩枚質地均勻的骰子，正面朝上的點數分別記為機、n,則能使〃“723帆+〃成立的

數對(m,H)共有對.

四、解答題

15.在VABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.

cTi—A.B+C.

(I)求證：2cos---sm---=sinA；

(2)若2(c-a)cossin。=csinC-Z?sinB.

(i)求8；

(ii)若6=5,且VABC的面積為8囪，求VABC的周長.

16.已知函數/■(尤)=/-4/-4(aeR).

(I)判斷函數f(x)的單調性；

⑵若存在尤[-4,0],使得/(%)20,求。的取值范圍.

17.在三棱柱A8C-A瓦￡中，點。在8。上，且用。=2OC,E為線段A。上的動點.

AAl

⑴若E為AC的中點，

(i)在圖中畫出△ABC的重心G,并說明點G與線段BE的位置關系；

(ii)求證：AC〃平面BDE.

(2)若三棱柱ABC-44cl是棱長均為2的正三棱柱，當二面角E-AB-A為三時，求耳到

平面ABE的距離.

18.2025年冰雪節來臨之際，搭建冰雕主題樂園需要大量的冰塊，A,B,C三個工程隊負

責從冰凍的江中采出尺寸相同的冰塊.在雕刻的過程中，有時會導致冰塊碎裂，且一旦有裂

痕冰塊就不能使用了4,B,C三個工程隊所采冰塊總數之比為6：7：5,冰塊利用率即所

使用冰塊數占所采冰塊總數的比例分別為0.8,0,6,0.6.在計算以上數值的過程中忽略了少

量冰塊對計算結果的影響，這種思路可用于整個問題求解的過程中.現在從三個工程隊采出

的所有冰塊中隨機抽取冰塊，用頻率估計概率.

⑴若只取1塊，求它是由8隊所采的概率；

(2)若抽取2塊，其中由A隊采出的冰塊數記為求J的分布列和數學期望；

(3)假設每年使用的冰塊數一樣多，已知往年任意一塊冰被利用的概率為0.65,那么能否判

斷今年冰塊的利用率有顯著提升？你有什么好的建議？

19.定義：任取數列｛〃“｝中相鄰的兩項，若這兩項之差的絕對值為常數P(P>0),則稱數列

｛4｝具有“性質已知項數為〃的數列｛%｝的所有項之和為，且數列｛q｝具有“性質P”.

(1)若〃=4,數列｛凡｝具有“性質2"，且q=1,%=3,寫出加“的所有可能值；

⑵若數列｛%｝具有“性質2"，且％=985,n=202.5,證明：“〃25=5。33”是“>4

㈠=1,2,…,2024)”的充要條件；

(3)若數列｛%｝具有“性質P”，其中。為奇數，?1=0,n>2,Mn=0,證明：”或

〃=4〃?+1(相eN*).

試卷第4頁，共4頁

《山西省2025屆高三下學期一模數學試題》參考答案

題號12345678910

答案ACDAABDBACDABD

題號11

答案BCD

1.A

【分析】根據復數的加法運算求解即可.

【詳解】因為4=6-5i,z2=3+2i,則z+z2=(6-5i)+(3+2i)=9-3i.

故選：A.

2.C

【分析】根據條件計算圓心到直線的距離，結合點到直線的距離公式可得結果.

【詳解】由題意得，圓/+丁=16的圓心坐標為(0,0),半徑廠=4.

:弦長/=45/3,

圓心至直線的距離d=?/=而無=2,即點(。,0)至U直線4x—3y—根+2=0的距

離為2,

」_\-m+2\_n.

***d~/2/~2,解得機=12或機=一8.

出+(-3)

故選：C.

3.D

【分析】根據題干以及根據統計量構造的經驗，應該除以相同單位的數據更合理，即可選出

答案.

【詳解】題中已經明確指出，兩組數據的方差和標準差相等，而兩組數據的直觀感覺是不同

的，

所以排除選項A與B.為了將這種“直觀感覺應該是不同的”用統計量表達出來，

需要消除因兩組數據數量級不同造成的影響，根據統計量構造的經驗，

應該除以相同單位的數據更合理，即與鬻鬻寥W，所以排除C選擇D.

該組數據的平均數

故選：D

4.A

答案第1頁，共14頁

【分析】根據函數/(X)為增函數求出。的取值范圍，結合充分條件、必要條件的概念可得

結果.

2

【詳解】由函數/(x)=log(3i)x是增函數，得3a-1>1,解得

是函數，(無)=log。.無為增函數的充分不必要條件.

故選：A.

5.A

【分析】利用投影向量公式即可求解.

【詳解】設①,母=夕，由5在商上的投影向量為-1,知Wcos6?x力=—；匹解得cosd=-g.

故選：A

6.B

【分析】根據指數函數和對數函數的單調性即可判斷.

【詳解】因為函數y=Q3*在R上是減函數，-0.2<0,所以0.3?2>0.3°=1,

112

9

Xlog32=-log38<-log3=->所以a<c<6.

故選：B.

7.D

【分析】根據題干得到函數/(x)是周期為2的函數，又/(0)+/\1)=1,利用周期性即可得

到結果.

【詳解】由/(2無)+/(l-2x)=l得/(0)+/⑴=1,且函數/(x)關于點心』對稱；

由"1一x)=/(1+x)得/(X+2)=加+(1+X)]=/[1-(1+%)]=/(-%).

又由f(2x)+f(1-2x)=1得f(-x)=l-f(l+x)=l-f(l-x)=l-[l^/(%)]=/(x),

所以+2)=/(-X)=/(%),得函數/。)是周期為2的函數，

2025

當i=0時，/(20+f(2z+l)=7(0)+f⑴=1,故￡/(/)=1013[/(0)+/(I)]=1013.

z=0

故選：D

8.B

【分析】在圓。所在平面內，作。W_LAC,作0N_L3C,可得NSMO=NDNO,進而得

到黑=繪=3,設N0=〃7(〃7>°),在RtAABC中分析幾何性質可得代=10n?,表示幾

NODO

何體的體積可得結果.

答案第2頁，共14頁

【詳解】

在圓。所在平面內，過。作OMLAC,垂足為過。作ONJ.3C,垂足為N,

,:SA=SC,DB=DC,：.SM±AC,DNLBC,

NSMO為二面角S—AC—B的平面角，NEWO為二面角O—3C—A的平面角,

ZSMO=ZDNO.

???在RtASOM和?△DON中，tanZSMO=—,tanZDNO=—,

MONO

,SODO

MONO

為so上靠近。的一個三等分點，.??盥

設NO=皿〃2>0),則MO=3m,底面圓半徑為R,圓錐高SO=/z.

:點C在圓錐底面圓上，ACJ_3C,

:點。為AB中點，OM^AC,ONIBC,

：.AC=2ON=2m,BC=2OM=6m,

(2Ry=(2m)2+(6m)2,即尺？=10m2,

1112

???咚棱錐S-ABC=3S^ABC/=§,5,2m-6mh=2m?h,

%錐=/R2-h=L兀?lOn?/：?由器,

33

%錐二5兀

匕棱錐S-ABC3

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用二面角的平面角的概念得到NSMO=NDNO,

通過分析RtZXABC的幾何性質得到圓錐底面圓半徑與AC,的關系，由此可計算體積的比

值.

9.ACD

答案第3頁，共14頁

—2兀可得選項B錯誤；將點(g,代

【分析】根據圖象可得選項A正確；根據最小正周期丁=

CD

入函數解析式可得選項C正確；根據函數圖象平移求出平移之后的函數解析式，結合偶函

數的定義可得選項D正確.

4_￡

【詳解】.由圖可知最小正周期丁=正確.

AA=2,2x3-32,A

2兀

B.由7=2,得—=2,故口=兀，B錯誤.

3

42sinH+0)=0,

C.將點代入f(x)=2sing+。)中，得/

44

—7i+^=for(A;eZ),即0=兀+E(左￡Z),

2

0<^<7T,：,①=三,C正確.

D.由題意得，/(x)=2sinf7LX+|TI

y=/(x)的圖象向右平移;個單位，所得函數解析式為

0

2Z7兀1_.71

g(x)=2sinTiH------2sinTCXH—=2cos7rx,

32

由函數g(x)定義域為R,g(-尤)=2cos(-7tx)=2cos(7ix)=g(x)得g(尤)為偶函數，D正確.

故選：ACD.

10.ABD

【分析】根據橢圓標準方程可得選項A正確；結合橢圓的定義轉化求最值可得選項B正確,

選項C錯誤；利用點差法可得選項口正確.

【詳解】

A.由題意得。=4,b—2,c=J16—4=2百,故橢圓C的離心率6=￡=^^,A正確.

a2

B.由A得，4(—26,0),§(26,。)，=“26-6『+(0-1)2=2.

由橢圓定義得，|尸娟+歸閶=2。=8,

答案第4頁，共14頁

.?.|尸4|+|「河|=8—盧q+歸河|=8+（盧”|一戶閭）V8+|M^|=8+2=10,B正確.

C.|P^|+|PM|=8-|P^|+|PM|=8-（|P^|-|PM|）＞8-|M^|=8-2=6,C錯誤.

D.由6包+上＜1可知點”在橢圓內部，設過點”的直線與橢圓相交于點人占另），

164

3（.%），

f無2_|_4y2=]6

?,/；,＜，兩式相減，得9）&+龍2）+4（%-%）（%+%）=。，

[%+4%=16

?弦48被點M平分，，藥+%=2括，M+%=2,

???亙二達=-述=-且，即直線的斜率為-且，D正確.

玉一/4x244

故選：ABD.

11.BCD

【分析】由已知得N—M）,尸（無）=￡，由點斜式方程即可得切線方程，當X=O,可得尸

的坐標，即可判斷C；當0=1時，可判斷A；根據面積公式即可判斷B；由已知得S=—,

*PMN2a

通過求導即可求解最小值，即可判斷D.

【詳解】由已知得Nd@,廣（H=!，

過點N的切線方程為y一。二一了（x-e"）,當％=0時，y=a—,

則尸（0,。一；|,故C正確；

當4=1時，N（e,l）,則廣⑻=：,

以N為切點的切線方程為y-l=#x-e）,即y=5x,故A錯誤；

此時P（0,0）,APMN的面積S&MN=ge,故B正確；

因為M（O,a）,昨"刊，小,a-：）,

所以|MN|=e"2,\MP\=~,所以5謝=\'/=匚，

1111a"2a2a

令S（a）=:，所以5，伍）="二El,

2a—2a2

答案第5頁，共14頁

令S'(a)=O,即(2/一l)e『=0,解得°=］，

當0<〃<手寸，S⑷<0,所以函數5,)在?內單調遞減，

當時，S'(a)>0,所以函數S⑷在內單調遞增，

所以當.5時，函數S(a)有最小值，最小值為年，故D正確.

故選：BCD.

【點睛】關鍵點點睛：解決選項D的關鍵是確定點的坐標，構建關于三角形的面積的函數,

利用導數求單調性和最值.

12.2

【分析】根據等比數列下標和的性質計算可得結果.

【詳解】由題意得，4=%%。3。4。5，

(二〃3,a2a4=〃3，

??〃]〃2〃3〃4"5=〃3=32,

a3=2

故答案為：2.

【分析】根據兩角和差公式，化簡可得cos，-sine=2(cos6+sing),在由同角三角函數的基本

關系即可求解.

【詳解】因為cos(：+d所以孝C0S0_曰sin6?=2f—COS0+—sinA

122J

化簡得cos9-sin，=2(cos)9+sin(9),所以3sin〃=-COS，，得tan6)=-；.

故答案為：

14.12

【分析】用列表法把所有的基本事件一一列舉，即可得到答案.

【詳解】由題意知相，”的取值依次為1,2,3,4,5,6,因此可得沏-(3機+”)的取值如

答案第6頁，共14頁

下表.經檢驗，符合題中不等式加723根+”的在下表中用下劃線標注，相應的數對共有12

對.

\m

mn-(3m+n)\123456

1-3-5-7-9-11-13

2-3-4-5-6-7-8

3-3-3-3-3-3-3

4-3-2-1012

5-3-11357

6-336912

故答案為：12

15.⑴證明見解析

TT

⑵(i)B=~；(ii)16

【分析】(1)根據三角形內角和定理，結合二倍角的正弦公式，即可證明.

(2)(i)結合(1)中的結論，結合正弦定理可得4+,2-巨=雙，再用余弦定理可求角反

(ii)利用三角形的面積公式，可得ac=32,再結合余弦定理，可求a+c,進而可求VA3C

的周長.

【詳解】(1)因為B+C=TT-A,所以sin"1￡=sin?——=cos—.

222

又因為cos^~=sin—,所以原式左邊=2sin4.cos4=sinA=右邊，得證.

2222

(2)(i)由(1)可得(c—a)sinA=csinC—6sin8.

又由正弦定理得(c-a)。=c2-b2,HPa2+c^~b1=ac.

由余弦定理得cosB=

2ac2

答案第7頁，共14頁

jr

因為0<3<兀，得B=耳.

(ii)由題知身板=8石，由小.=：acsinB,得ac=32.

又由余弦定理爐-a2+c2-2accosB，可得。°="+d-ac=(a+c)2-3ac,

即25=(a+eV-96,所以a+c=ll.

所以a+6+c=16,故VABC的周長為16.

16.(1)答案見解析

(2)y,-3］

【分析】(1)討論。的取值范圍，根據導函數的正負可得函數的單調性.

(2)討論。的取值范圍，分析函數f(x)在［-4,0］上的最大值，由此可求出”的取值范圍.

【詳解】(1)由題意得，/(x)的定義域為R,

：/(x)=x3-a%2-4,/.f\x)-3x2-lax=x(3x-2a).

由/'(x)=0得尤=0或;a.

當a=0時，/'(xRO恒成立；

o9

當〃>0時，由/'(%)>0得，xvO或%>§〃，由得0<%<1〃；

o2

當a<0時，由/'(x)>0得，尤>0或由/'(彳)<。得

綜上可得：當a=0時，在R上單調遞增；

當a>0時，/(x)在(-co,0),上單調遞增，在上單調遞減；

當a<0時，/(x)在,(0,+co)上單調遞增，在［ga,。］上單調遞減.

(2)由(1)得a?0時，/(元)在［-4,0］上單調遞增，在［-4,0］上最大值為/(0)=T,

故不存在x°e［-4,0］,使得/(%)之0.

當a<0時，若(aV-4,即aV-6,則了。)在HKO］上單調遞減，/(彳)在［-4,0］上的最大

值為/(-4)=-16。-68.

若存在X。€［-4,0］,使得〃飛”0,只需一16。―6820,解得aV-1，故aW-6.

若即-6<。<0,則/(x)在-4,y上單調遞增，在y,0上單調遞減，/(x)在

答案第8頁，共14頁

[TO]上最大值為=一》3一4,

若存在x°w[-4,0],使得〃1)2。，只需一孩/一心。，解得-6<aW-3.

綜上可得，。的取值范圍為(口，-引.

【點睛】關鍵點點睛：解決第(2)問的關鍵是結合〃的取值范圍，分析函數/Q)在[-4,0]上

的最大值，根據最大值大于等于0可求得。的取值范圍.

17.(1)(i)作圖見解析，點G在線段BE上；(ii)證明見解析

⑵百

【分析】(1)(i)利用重心的性質即可判斷點G在線段BE上.

(ii)利用重心性質與對應線段比例即可證明AC〃平面BOE

(2)建立空間直角坐標系，設迎=/1可，可知Xe(0,l),所以E(424月-四)，再利

用面面角的向量求法即可求出參數4,再利用點面距的向量求法即可求出結果.

【詳解】(1)(i)連結Af,A片交于點。，連結CO1交于點G.

因為01為的中點，E為的中點，

所以6為442(^的重心，所以CG=2GO[.

又因為CO1為耳C的中線，

所以點G也為△△4c的重心，所以點G在線段BE上.

(ii)連結與G,并延長交AC于點/，連結。G.

因為G為△AB。的重心，所以qG=2GF.

又因為B|D=2OC,所以。G〃b,即DG〃AC.

又因為ACC平面3￡)E,OGu平面3QE,所以AC〃平面出汨.

答案第9頁，共14頁

(2)取AB的中點。.

因為ABC-A耳G為棱長相等的正三棱柱，所以VA3C為正三角形，所以COLAS.

又因為在正三棱柱中8與，平面ABC,所以COJ.B與，ABVBBX.

以。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系。町z.

則C(0,0,?A(l,0,0),A(1,2,0),3(11,0,0),男(-1,2,0),

設區=4"，可知2e(0,l),所以￡U,2；l,聲-?I),

所以荏=(-2,0,0),BE=(A+1,22,73-^2).

m-AB=0,-2x=0,

設平面ME的法向量為抗=(x,y,z),則I__,所以＜

m-BE=0,(幾+l)x+2幾y+(用一后)Z=0.

令z=l,則可得-=]o,弋;石,1.

易知平面ABA的一個法向量為為=(0,0/),

11

兀I陽?為I-=-11

所以cosq」即23(52解得丸二—1(舍)，或％=

3h\*m\-\n\——一十13

VA422

(122,\/3)

所以石J5J,-，沅=(0,-6,1).又4A=(2,-2,0),

則修到平面小的距離公”

7

18.(1)—

18

答案第10頁，共14頁

2

（2）分布列見解析，§

⑶不能，建議見解析

【分析】）（1）利用比例關系即可求出概率.

（2）利用二項分布求出J的分布列，利用期望公式即可得到答案.

（3）利用條件概率求出今年冰塊的利用率約為0.67,即可得到判斷給出建議.

【詳解】（1）由題意知，冰塊之間是沒有差異的，所以，從三個工程隊采出的所有冰塊

中隨機抽取一塊抽到每一塊冰的可能性可以看作是相等的.

因為A,B,C三個工程隊所采冰塊總量之比為6：7：5,

77

所以若只取1塊，它是8隊所采的概率為尸=，r

（2）據題意知在計算過程中可以忽略少量冰塊對計算結果的影響，

即可以將“從三個工程隊采出的所有冰塊中隨機抽取”看作是有放回的抽取.

設事件A,B,C分別表示隨機抽取的一塊冰是由A,B,C二個隊分別采回的，

6

與（1）同理可求得若只取1塊，則尸（A）=[tu==,

6+7+53

由B,C兩隊所采的概率為P（A）=1-P（A）=§.

依題意可知&的取值為0,1,2,且4~（2,￡|.

所以人=。）=《朗|"，尸一）=小酒J,Pg=需冏e

所以4的分布列為：

012

44￡

P

999

412

數學期望E'?=1X3+2X§=§.

775

（3）設事件。表示冰塊被利用，由（2）知尸（8）=，rJU，^（O=—.

所以尸A）=0.8,尸（q8A0.6,P（￡>|C）=0.6.

又尸（￡））二尸（ADu班）uCD）=尸⑷尸（D|A）+尸⑻尸（D⑻+尸（C）尸（￡>|C）

1752

=—x0.8+—x0.6+—x0.6=—“0.67,即今年冰塊的禾!1用率約為0.67.

318183

答案第11頁，共14頁

可見，今年冰塊的利用率比往年提升了約0.67-0.65=2%.

但依據該數據還不能判斷今年冰塊的利用率有顯著提升.若要判斷提升是否顯著，

可以進一步查閱數據，構造相關統計量再進行判斷.

19.(1)4,8,12

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)根據定義計算出嗎的值，列出所有符合要求的數列，即可得到結果.

(2)從充分性和必要性兩個方面證明可得結論成立.

(3)令ck=&+「&*=1,2,…,”一