重難點05三角形全等、相似及綜合應用（三角形全等、

三角形相似、折疊問題、旋轉問題）

題型解篌?模型構建.?真題強化制練?模擬通關試練

［模型01三角形全等及其應用

模型02三角形全等及其應用

模型03三角形折疊問題探究

模型04三角形旋轉問題探究

口時我解讀

三角形的相關知識是解決后續很多幾何問題的基礎，所以是中考考試的必考知識點。在考察題型上，

三角形基礎知識部分多以選擇或者填空題形式，考察其三邊關系、內角和/外角和定理、“三線”基本性質

等。特殊三角形的性質與判定也是考查重點，年年都會考查，最為經典的“手拉手”模型就是以等腰三角

形為特征總結的，且等腰三角形單獨出題的可能性還是比較大。直角三角形的出題類型可以是選擇填空題

這類小題，也可以是各類解答題，以及融合在綜合壓軸題中，作為問題的幾何背景進行拓展延伸。

④摸翅狗建

模型01三角形全等及其應用

浮.....................................

三角形全等的判定及應用該題型近年考試中綜合性較高，在各類考試中以解答題為主。解這類問題的關

鍵是準確迅速的在全等三角形的5種判定方法中，選用合適的方法，取決于題目中的已知條件，若已

知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，

且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊。

答|題|技|巧

1.認真分析題目的已知和求證；

2.分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯系;

3.在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形；

4.最后把實際問題先轉化為數學問題，再轉化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉化為三角

形中的邊角關系是關鍵.

［題型守停I

1.（2024?上海）如圖，點尸是他上任一點，ZABC=ZABD,從下列各條件中補充一個條件,

不一定能推出=的是（）

A.BC=BDB.ZACB=ZADBC.AC=ADD.ZCAB=ZDAB

【答案】C

【詳解】解：A、補充=先證出AABC三AABD,后能推出AAPC=AAPD,故此選項錯誤;

B、補充NACB=NADB,先證出AASCvAASD,后能推出AAPC=AAPO,故此選項錯誤.

C、補充AC=AD,不能推出AAPC=AAPD,故此選項正確；

D、補充NC4B=NZMB,先證出AABC=AABZ）,后能推出AAPC=AAPO,故此選項錯誤；

故選：C.

）支式

1.如圖，把長短確定的兩根木棍AB、AC的一端固定在A處，和第三根木棍■擺出VABC,再將木棍AC

繞A轉動，得到△ABZ）,這個實驗說明（）

A.有兩角和其中一角的對邊分別相等的兩個三角形不一定全等

B.有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形一定不全等

C.有兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形不一定全等

D.有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等

【答案】D

【分析】本題考查的知識點是全等三角形的判定方法，解題關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法.

根據全等三角形的判定方法求解即可.

【詳解】解：由題意可知：AB=AB,AC^AD,ZABC^ZABD,

滿足有兩邊和其中一邊的對角分別相等，但是，ABC和「43。不全等,

，有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等.

故選：D.

2.下面是"作角的平分線"的尺規作圖方法：

（1）如圖，以點。為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OB于點D,E；

（2）分別以O,E為圓心，以大于的同樣長為半徑作弧，兩弧交于點C；

2

（3）作射線OC.

所以射線OC即為所求.

上述方法通過判定△OCE四得到/3OC=NAOC,其中判定△OCE四的依據是（）

A.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等

B.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等

C.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等

D.三邊分別相等的兩個三角形全等

【答案】D

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，以及基本作圖，由作圖可得EO=DO，EC=DC,根據三

角形全等的判定方法"SSS"解答，熟練掌握三角形全等的判定方法，讀懂題目信息是解題的關鍵.

【詳解】解回連接EC,DC,

由作圖可得EO=DO,EC=DC,

在△OEC和二ODC中，

EC=DC

<CO=CO,

OD=OE

0OEC空ODC(SSS),

0ZA(9C=ZBC>C,

130。平分ZAg

故選：D.

3.綜合探究

問題情境：VABC是等邊三角形，點。是AC上一點，點E在2C的延長線上，且AZ)=CE,連接AE,DE.

圖1圖2圖3

猜想證明團

(1)如圖L當點。是AC的中點時，DBDE-,(填"V"或"=")

(2)若點。為AC邊上任意點時，同學們經討論發現結論依然成立，并且可以通過構造一個三角形與.a圮

全等來證明.以下是他們的部分證明過程：

證明：如圖2,過點￡＞作小〃BC,交于點E.(請完成余下的證明過程)

問題解決：

(3)如圖3,當點。是AC邊上任意一點時，取3。的中點尸，連接AF.求的度數.

【答案】(1)DE=DB；(2)見解析；(3)60°

【分析】(1)根據等邊三角形的性質得出NABC=NACB=NA=60。，再由"三線合一”的性質及角平分線得

出ZDBE=ZDEB,再由等角對等邊即可證明；

(2)如圖2,過點。作小〃BC,交AB于點廠.證明△相＞/是等邊三角形，可得BF=DC,證明

ZBFD=ZDCE,BFD四DCE,可得結論，

(3)延長AF至G,使AF=FG,連3G,根據全等三角形的判定得出."D四一GEB(SAS),

ABG^..ACE(SAS),再由其性質結合圖形找出各角之間的關系即可得出結果.

【詳解】證明：(1)在等邊VABC中，AB^BC^AC,

ElNABC=NACB=N4=60。，

回。是AC的中點，

S\AD=CD,8。平分NABC,

0AD=CE,

團CD=CE,

團ZDEC=ZCDE=-ZACB=30°,ZDBC=ZABD=-ZABC=30°,

22

⑦ZDBE=ZDEB,

?DB=DE.

(2)DE=DB,

理由如下：如圖2,過點。作。尸〃5C,交于點尸.

/.ZAFD=ZABC,ZADF=ZACB

一ABC是等邊三角形

/.AB=BC=AC,ZABC=ZACB=ABAC=60°

:.ZADF=ZAFD=6Q0,

.;4。廠是等邊三角形,

.\AD=DF=AF，

^.\AB-AF=AC-AD,^BF=DC

ZAFD=ZACB=60°,

；./BFD=/DCE,

AD=CE,

:.DF=CE,

在和△OCE中,

BF=DC

<NBFD=ZDCE,

DF=CE

BFDNDCE,

BD=DE，

(3)如圖所示，延長"至G,使AF=FG,連6G,

團尸為此的中點，

⑦BF=DF,

在△AFD和二GFB中,

FD=BF

</DFA=/BFG,

FA=FG

0AFD^GFB(SAS),

SAD=BG,ZADF=Z.GBF,

^BG//AC.

0Z.GBC=ZACB=60°,ZABG=ZABC+ZGBC=120°,ZACE=180°-ZACB=120°,

^}ZABG=ZACE

又E1AD=CE,

B1BG=CE

在，ABG和"CE中，

AB=AC

，ZABG=ZACE,

BG=CE

0ABG^.ACE(SAS),

0ZBAG=ZC4E,

0ZFAE=ZFAD+ZDAE=ZFAD+ZBAF=Z.BAC=60°.

4."綜合與實踐"課上，老師將一張長為4,寬為3的矩形卡紙沿一條對角線剪開，得到兩個全等的三角形

紙片,表示為VA2C和0砂(如圖①)，然后把這兩張全等的三角形紙片完全重合疊放，其中點8與點E

重合(標記為點B),在點B處訂個釘子，將尸逆時針旋轉.在旋轉的過程中，發現了以下問題，請你幫

忙解答：

(1)如圖②，若。即旋轉的角度為90。時，延長。尸交AC于點G,試判斷四邊形BCGb的形狀，并說明理

由；

(2)如圖③，若。呼旋轉的角度為銳角，。產的延長線交48于交AC于K,若一AHK為等腰三角形，

求CK的長；

⑶將旋轉一周，點M為DF的中點，點N為AM的中點，請直接寫出AN的最大值是多少.

【答案】(1)四邊形BCGF為正方形，理由見詳解

(2)而'一1或1.

⑶5+

【分析】⑴由旋轉的性質可得/FBC=90。，BC=BF,由正方形的判定可求解；

⑵分兩種情況討論，由等腰三角形的性質和勾股定理可求解，

⑶由勾股定理可求的長，則點M在以8為圓心，8M為半徑的圓上運動，即可求解.

【詳解】(1)解：四邊形3CG/為正方形，理由如下回

回旋轉角度為90。，

=90°,BC=BF,

0ZBFD=90°,

13/MG=90。，

又回NC=90°,

回四邊形BCG/為矩形，

又I3BC=BF,

回四邊形BCG/為正方形.

(2)解：依題意得3C=M=3,AC=DF=4,

0AB=BD=5,

①若=則ZAKH=ZAHK=NDHB,

由旋轉的性質可知NA=ND,

gNDHB=NKHA,

回NDBH=NDHB,

13DH=BD-5,

^HF=DH-DF=1,

在/如中，BHZBF+HP=如，

^\AK=AH=AB-BH=5-J10>

SCK=AC-AK=y(10-1

②若即=A?/,則NDK4=NA=ND

^\BD//AC,

BZDBA=ZA=ZD,

^BH=DH,

^\DK=AB=BD=5,

SKF=DK-DF=1,

如圖，連接BK,

D

SBC^BF,BK=BK,

0RtBCK烏RtBFK（HL）

SCK=KF=1,

③若此=印。則NAH^=NA,

同理①可得旋轉角

NDR4=/HK4=180。—2NA>90。，不為銳角不合題意.

綜上所述，若二AHK為等腰三角形，CK的長為麗-1或L

（3）解：如圖，連接AM,

團點M為。廠的中點，點N為AM的中點，

11

SMF=DM=-DF=2,AN=-AM,

22

⑦BM=4FB?+FM。=,4+9=/，

團點M在以8為圓心，8M為半徑的圓上運動，當點M在AB的延長線上時，40有最大值為5+屈，

0AN的最大值是5+..

2

5.在學習了全等三角形和等腰三角形的相關性質后，我們通過進一步研究發現，等腰三角形中兩腰上的中

線有相等關系，可利用證明三角形全等得到此結論.根據此想法和思路，完成以下作圖和填空：

（D如圖，在VA2C中，AB=AC,點。是A8的中點，連接CD.用尺規作AC的垂直平分線分別交AC,AB

于點E,F,連接8E.（只保留作圖痕跡，不寫作法，不下結論）

(2)已知：在VA5c中，AB=AC,點。是A3的中點，跖垂直平分AC,求證：CD=BE.

證明：AB=AC

???①

點。是A3的中點，E尸垂直平分AC

:.BD=-AB,②

2---------------

:.BD=CE

在△BCD和△CBE中

BD=CE

<ZABC=ZACD

,一③

BCD^CBE(SAS)

CD=BE.

進一步思考，等腰三角形兩底角的平分線呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結論：④.

【答案】⑴見解析

(2)?ZABC=ZACB；@CE=1AC；③BC=CB；④等腰三角形的兩底角的平分線相等

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質和畫法，全等三角形的性質和判定，熟練掌握以上知識是解題

的關鍵.

(1)按照線段垂直平分線的尺規畫法畫圖，再連接對應點即可.

(2)根據等邊對等角得=根據垂直平分線的性質可得CE=3AC,結合3C=CB即可證明

BCD￡CBE(SAS),同理得出等腰三角形的兩底角的平分線相等，據此填空即可.

【詳解】(1)解：如圖，即為所作，

ZABC=ZACB,

.點。是AB的中點，EF垂直平分AC

:.BD=-AB,CE^-AC,

22

:.BD=CE

在△BCD和△€?￡中

BD=CE

</ABC=ZACD,

BC=CB

.?二BCD空CBE（SAS）

CD=BE.

進一步思考，等腰三角形兩底角的平分線呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結論：

等腰三角形的兩底角的平分線相等.

故答案為：①ZABC=ZACB②CE=gAC③3C=CB④等腰三角形的兩底角的平分線相等.

模型02三角形相似及其應用

—......................................................................

三角形相似的判定及綜合應用該題型主要是在綜合性大題中考試較多，一般情況下出現在與圓結合或

者利用相似求長度、類比探究題型，具有一定的綜合性和難度。解這類問題的關鍵是熟練應用三角形的

判定方法，兩組角對應相等，兩個三角形相似；兩組邊對應成比例及其夾角相等，兩個三角形相似；三組

邊對應成比例，兩個三角形相似。解答本題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理以及數形結合和方程

思想的應用.

答|題|技|巧

1.認真分析題目的已知和求證；

2.分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯系；

3.在應用三角形相似的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形

4.最后把實際問題先轉化為數學問題，再轉化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉化為三角

形中的邊角關系是關鍵。

［題型守停I

1.（2024?山西）如圖，AB//CD,AE//FD,AE,FD分別交8c于點G,H,則下列結論中錯

誤的是（）

，B

D

.DHCHGECGAFHGFH_BF

A-----------B----------

FHBH'DFCB~CE~~CGAG-FA

【答案】D

【詳解】解：MB回CD,

DHCH

*FH-BH'

.A選項正確，不符合題目要求；

?團CGE二團CH。，團CEG二回。，

.^CEG^CDH,

GECG

EGDH

'~CG~~CH'

F8回CD,

CHDH

'~CB~~DF'

DHDF

GEDF

'~CG~~CB'

GECG

?市一司'

.B選項正確，不符合題目要求；

'AB^CD,AE^DF,

.四邊形4EDF是平行四邊形，

.AF=DE,

DEGH

*CE-GC?

AF_HG

9~CE~~CG;

?,?C選項正確，不符合題目要求;

9

\AE^DFf

???回BF”釀BAG,

.FHBF

??而一耘’

9

：AB>FAf

.FHBF

--w-----

**AGFA

?,?D選項不正確，符合題目要求.

故選D.

'支K

1.如圖，在VABC中，ZB=60°,AB=6,BC=8,將VABC沿下列各圖中的DE剪開，剪下的陰影三角

形與VABC不一定相似的是（）

【答案】D

【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵.根據相似三角形

的判定逐一判斷即可.

【詳解】解：A、.■ZC=ZC,ZDEC=/B=60。,

DECsABC,

故A不符合題意；

B、j/C=NC,ZCDE^ZB,

CDEs,CBA,

故B不符合題意；

C、由圖形可知，BE=AB-AE=6-2=A,

BD=BC-CD=8-5=3,

BE41BD31

8"2'AB-6-2'

.BE_BD

"BC-R4'

又，；/B=NB,

:.ABDEs/xBAC,

故c不符合題意；

D、由已知條件無法證明VAZ）E與VABC相似，

故D符合題意，

故選：D.

2.如圖，點。在VA2C的邊AC上，添加一個一條件，使..ADBsABC,以下是嘉嘉和淇淇的做法.下列

說法不正確的是（）

淇淇的做法：添加條件怨

嘉嘉的做法：添加條件=ACCn

證明：0ZABD=ZC,NA=NA.

證明：回N4=N4,—=—

ACCB

團ADBsABC（兩組角對應相

0ADBsABC（兩組對應邊成比例及一組

等的兩個三角形相似）

對應角相等的兩個三角形相似）

B

A.嘉嘉的做法證明過程沒有問題B.淇淇的做法證明過程沒有問題

C.嘉嘉的做法添加的條件沒有問題D.淇淇的做法添加的條件有問題

【答案】B

【分析】本題考查了相似三角形的判定，正確記憶相關知識點是解題關鍵.

根據題意已知NA=NA,故添加兩組對應邊成比例夾角為NA或者添加一組對應角相等，即可求解.

【詳解】解：依題意，44=4,添加一組對應角相等，可以使得ADB^ABC,故嘉嘉的做法以及過程

沒有問題，淇淇的做法添加的條件有問題，應為黑=喂，說法正確；證明過程中用到兩組對應邊成比例

ABAC

及一組對應角相等，不能證明兩個三角形相似，證明過程錯誤，故B選項符合題意；

故選：B.

3.如圖，在矩形ABC。中，AB=12cm,BC=6cm,點P由點A出發沿A3方向向點8勻速移動,速度為2cm/s,

點。由點D出發沿ZM方向向點A勻速移動，速度為lcm/s,如果動點P、Q同時從A、。兩點出發，連接尸。、

PC,設運動的時間為［sX0WrW6）.若以。、A、P為頂點的三角形與，3PC相似時，貝仔的值為.

D

AP-------?B

3

【答案】|■或9-3石

【分析】本題考查矩形的性質、相似三角形的性質、解一元二次方程，解題的關鍵是學會用分類討論的思

想思考問題.△APQ與3PC都是直角三角形，兩個三角形相似時，AP的對應邊是或BC.分兩種情形

構建方程，分別求解即可.

【詳解】解：由題意，。在上運動最大時間為6+l=6（s）,尸在A3上運動最大時間為12+2=6（s）,

DQ=tcm,AP=Item,AD=BC=6cm,

分兩種情況：

①當_時域=越

BPBC

口口6—t2t

即-----=——，

12—216

3

或，=6（舍去），

2

.2.

,f=T

②當APQs8PC時，器號,

口n6—A2t

即---=------，

612-2t

t2—18?+36=0,

.\t=9—3A/5或/=9+3^5，

經檢驗，r=9-36是分式方程的解，f=9+3若不符合題意，舍去，

.??當/或9-3逐時，以。、4尸為頂點的三角形與3PC相似.

3

故答案為：;或9-3

4.在菱形ABC。中，NZMB=60。，點E在射線上，連接CE、BD.

D

DD

⑴如圖1,當點E是邊AB的中點，求/ECD的正切值；

(2)如圖2,當點E在線段的延長線上，連接OE與邊BC交于點R如果AD=6,ENC的面積等于3如，

求斯的長；

⑶當點E在邊上，CE與BD交于點H,連接OE并延長OE與CB的延長線交于點G,如果AO=6,Va〃

與以點E、G、B所組成的三角形相似，求AE的長.

【答案】⑴3

2

(2)近

(3)9-3喬

【分析】(1)連接證△m￡>和△CBD均為等邊三角形，再由點E為A5的中點得

ZEDB=^ZADB=3Q°,貝i」NCDE=90°,設=則AD=CZ)=2a,DE=^a,進而在Rt^CDE中可

求出/EC。的正切值；

(2)過點。作DMIAB于先求出口0=3小，則SQCE=：Q>BW=9g,從而得S%E：SEFC=3,

進而得DE:￡F=3,則。F=2EF,EF:DF=1:2,證AEFBs^DFC得BE:CD=EF:DF=1:2,則

BE=gcD=3,ME=MB+BE=6,再由勾股定理求出Z)E=3A/7,進而可得ER的長；

(3)過點E作EN，CG于N,先證點C只能和點G是對應點得NG=NECG,則EG=EC,從而得GN=CN,

設AE=x,則BE=A5-AE=6—x,在RtABEN中由cos/EBG=空得BN=((6-x),進而得

BE2

GB=GN+BN=12—x,再證，4)屏&氏龍得4):56=46:班；，即6:(12-x)=x:(6-x),由此解出x即

可得AE的長.

【詳解】(1)解：連接。E,如圖1所示：

圖1

團四邊形ABCD為菱形，ZDAB=60°,

BAB=BC=CD=AD,/BCD=/ZMB=60°,AB//CD,AD//BC,

團△ABD和△8￡)均為等邊三角形，

0ZADB=ZCDB=60°,

回點E為A8的中點，

0DEJ.AB,ZEDB=-ZADB=30°,

2

0ZCDE=ZCDB+ZEDB=90°,

設AE=af則AD=CD=2a,

由勾股定理得：DE=dAD。-AE?=島,

團在Rt^CDE中，tan/ECD=^=叵=M

CDla2

(2)解：過點。作于M,如圖2所示：

圖2

團AD=6,△ABD和均為等邊三角形，AB//CD,

團AD=AB=BD=6,

BDMJ.AB.

BAM=MB=-AB=3

2f

由勾股定理得：DM=yjAD2-AM2=373，

團SDCF=_CD,DM=—x6x3A/3=9\/3,

22

又團nEFC的面積等于3g,

回SDCE：SEFC=96:3百=3，

EIADCE的邊。E和EFC的邊EF上的高相同，

團S：SEFC=DE:EF=3,

0EF=-￡)￡■,

3

國DF=2EF,

即防：叱=1:2,

B1AE//CD,

HAEFB^ADFC,

BBE:CD=EF:DF=1:2,

SBE=-CD=-x6=3,

22

^\ME=MB+BE=3+3=6,

在中，由勾股定理得：DE=7DM2+ME2=377>

0EF=-DE=A/7；

3

(3)解：過點E作ENLCG于N,如圖3所示：

團△ABD和△CBD均為等邊三角形，AD=6,AB//CD,AD//BC,

0NEBG=NHBC=60°,AB=BC=AD=6,

又自/GEB=/EBD+/EDB>3,ZHCB<NBCD=6U。,

⑦/GEBw/HCB,

aVBCH與以點、E、G、3所組成的三角形相似，

團點C只能和點G是對應點，

⑦NG=NECG,

團EG=EC,

又回石NLCG,

由GN=CN,

設AE=x,

^BE=AB-AE=6-x,則xv6,

在RtZkBEN中，cosNEBG==,

0BN=BE-cosNEBG=（6-x）-cos60°=g（6-x）,

0GN=CN,

aGB=GN+BN=CN+BN=BC+2BN=6+2x；（6-x）=12-x,

QAD//BC,

0ADEs,BGE,

^\AD:BG=AE:BE,即6乂12-力=x:（6—x）,

整理得：X2-18X+36=0,

解得：=9—3^5,x2=9+3y/5（不合題意，舍去），

故AE=9-3B

5.如圖1,在四邊形ABC。的邊AB上任取一點E,點E不與A,8重合，分別連結ED,EC,可以把四

邊形ABC。分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們把E叫做四邊形邊AB上的相似點;

如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABC。邊A8上的強相似點.

（1）如圖1,若ZA=/B=/DEC=40。，試判斷點E是不是四邊形ABC。的邊上的相似點？（填"是"

或"不是"）；

（2汝口圖2,在VABC中，NACB=90。，直角頂點C在直線DE上，分別過點A,8作于點O,BEJ.DE

于點E,試判斷點C是不是四邊形ABED邊OE上的相似點？并說明理由；

（3）如圖3,AD//BC,OP平分/ADC,CP平分/BCD交DP于點、P,過點P作AB,AD于點A,交BC于

點、B,求證：點尸是四邊形ABCD邊上的一個強相似點.

【答案】⑴是

（2）是，見解析

⑶見解析

【分析】本題考查的是相似三角形的綜合應用，理解新定義、掌握相似三角形的性質定理是解題的關鍵.

（1）根據題意證明NADE=/3EC和NA=N3,得到二ADE。BEC.

（2）證明△ADCs^c防即可；

(3)分別證明ADPS-PDC和△PDCS2\JBPC即可得出結論.

【詳解】(1)解：是

^ZA=ZDEC=40°,

^ZADE+ZAED=\AQ0,ZBEC+ZA￡D=140。,

⑦ZADE=/BEC,

又團NA=NB,

0ADEsBEC,

團點E是四邊形ABCD的邊A3上的相似點；

故答案為：是；

(2)解：點。是四邊形邊OE上的相似點，

理由：

ZACB=90°,

/.ZACD+ZBCE=90°.

AD±DE,

/.ZADC=90°.

:.ZACD+ZDAC=90°.

:.ZDAC=ZECB.

BELDE,

:.ZBEC=ZADC=90°.

/.ADCsCEB.

點C是四邊形ABED邊DE上的相似點.

(3)證明：DP平分，ADC,

2ZADP=2ZPDC=ZADC.

CP平分/BCD,

2NBCP=2/PCD=/BCD.

AD\BC,

:.ZADC^ZBCD=180°.

2ZPDC+2ZPCD=180。.

:.ZPDC+ZPCD=90°.

:.ZDPC=90°.

ABLAD,

.\ZA=ZDPC=90°.

ZADP=ZPDC,

:./\ADPs/\PDC.

同理：APDCsABPC,

:./\ADPs/\PDCs/\BPC.

，點P是四邊形ABCD邊AB上的一個強相似點.

模型03三角形折疊問題探究

￥rsiwi'.................................

與三角形的性質有關的折疊問題，該題型近年主要以填空及綜合性大題的形式出現，一般屬于多解型

問題，難度系數較大。三角形的折疊問題注意折疊前后對應邊相等、對應角相等，在多解題型中，準

確畫出折疊后的圖形是我們解題的關鍵。結合三角形相關的性質及判定定理與推論和其它幾何的相關

知識點進行解題。

答I題I技I巧

1.運用折疊圖形的性質找出相等的線段或角；

2.在圖形中找到一個直角三角形（選不以折痕為邊的直角三角形），然后設圖形中某一線段的長為X,將此

直角三角形的三邊長用數或含有X的代數式表示出來；

3.利用勾股定理列方程求出x；

4.進行相關計算解決問題.

|題型三例

（2023?山東）對于題目：“如圖，點〃，“分別是長方形加口的邊相和比'上的點，沿榔折

疊長方形46繆，點6落在點夕處，若/MNB'與/CNB'兩個角之差的絕對值為45°,確定/時的所有

度數甲的結論是/〃為45°,乙的結論是/SW=60°.下列判斷正確的是（）

A.甲的結論正確

B.乙的結論正確

C.甲、乙的結論合在一起才正確

D.甲、乙的結論合在一起也不正確

【答案】D

【詳解】解：由折疊的性質可知：ZMNB'=ZBNM,

①當Z.MNB'與4CNB'兩個角之差為45。，即/用〃=ACNB'+45°Ht,ACNB'=4MNB'-45°=4BNM

-45°,

ZMNB'+AMNB^ACNB'=180°,

：.ABNM^ABNM^ABNM-45°=180°,

解得：4BNM=73°,

②當NCNB'與NMNB'兩個角之差為45°,即NJW'=ZCNB'-45°時，ZCNB'=AMNB'+45°=Z

曲冊45°,

VAMNB'+AMNB^ACNB'=180°,

胡冊/曲明NEWH5°=180°,

解得：Z^W=45°

綜上所述：/颯仁75°或45°.

故選：D.

＞麥K

1.如圖，將三角形紙片ABC沿直線OE折疊后，使得點B與點A重合，折痕分別交3C、AB于點。、E.如

果AC=4cm,△ADC的周長為10cm,那么BC的長為（）.

A

B

A.8cmB.6cmC.5cmD.4cm

【答案】B

【分析】本題考查了翻折變換的性質，由翻折變換的性質得出4）=3￡）是解題的關鍵.

由翻折變換的性質得出4。=血，進而由AD+CD=3C即可解答.

【詳解】解：回將VA3C沿直線OE折疊后，使得點8與點A重合，

13AD=BD,

0AC=4cm,AADC的周長為10cm,

0AD+CD=BC=lO-4=6cm.

故選:B.

2.如圖，在VABC中，AB=15,BC=12,沿過點B的直線折疊這個三角形，使點C落在AB邊上的點E

處，折痕為8。，若NC=2ZBDE,則OE的長為.

【分析】本題考查了折疊性質，角平分線的性質，等面積法的靈活運用，同角的補角相等，先過點A作

3c延長線于點過點。分別作。TL54于點T,作延長線于點連接WD,結合折

疊且/C=2NBDE,得出">=AE=3,然后結合折疊以及角平分線的性質得=最后結合等面積

法進行列式化簡，即可作答.

（詳解］解:過點A作AW，BC延長線于點M,過點。分別作。T，54于點T,作，3c延長線于點H,

連接WD,如圖所示：

'磐"

ATEB

團在VABC中，AB=15,BC=12,沿過點5的直線折疊這個三角形，使點C落在A5邊上的點石處，折痕

為BD,

BEB=CB=12,AE=AB-BE=15-12=3,

ZCDB=ZEDB,ZCBD=ZEBD,ZC=/DEB,DC=DE,

團NC=2/BDE,

團Z.DEB=2Z.BDE=ZCDE,

貝ij180°-/DEB=180。一ZCDE,

^ZAED=ZADE,

團AD=AE=3,

國DHLBC,DHYBA,且NCBD=NEBD,

國DH=DT,

iii27

貝IJS板=-ABxDT+-BCxDH=-（AB+BC）xHD=—HD,

團AW_L5C,BC=12,

則5ABC=^BCXAW=6AW，

27

團6AW=——HD,

2

9

i^AW=-HD

4f

回S“w=；AWxWC,SDCW^^DHxWC,

Socw_DH_4

回

SiAW9

回SAcw=gaC*AC邊上的高，Sww=^OCxOC邊上的高，且AC邊上的高=DC邊上的高,

SDCW_DC_4

團

SACWAC9

團DC=DE,AD=3,

DC4

團-----=—,

3+DC9

12

解得oc=《,

12

故答案為：—

3.如圖，將一張長方形紙片AB。沿對角線BO折疊后，點C落在點E處，連接8E交AD于尸，再將三角

形DEF沿。/折疊后，點E落在點G處，若DG剛好平分4DB,那么4DB的度數是

【答案】36。/36度

【分析】此題考查了角的運算，角平分線的定義，折疊的性質，根據折疊可得/3￡心=/班見,

NEDF=NGDF,由角平分線的定義可得N3D4=NGOR+/3￡)G=2NGE>b,然后根據長方形的性質及角

的運算可得答案，正確掌握折疊的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：由折疊可知，ZBDC=ZBDE,ZEDF=ZGDF,

EIDG平分NADB,

S1NBDG=NGDF,

?/EDF=/BDG,

0ZBDE=ZEDF+NGDF+Z.BDG=3ZGDF,

0ZBDC=ZBDE=3NGDF,ZBDA=ZGDF+ZBDG=2ZGDF,

0ZBDC+ZBDA=90°=3ZGDF+2ZGDF=5ZGDF,

SZGDF=18°,

BZADB=2ZGDF=2x18°=36°,

故答案為：36°.

12

4.如圖，在平行四邊形中，AB=9,AD=\?>,sinA=—,尸是射線AD上一點，連接PB,沿PB將

三角形APB折疊，得三角形AP3.

⑴當N9%'=10。時，ZAPB=度；

（2汝口圖，當時，ZAPB=度，并求此時線段E4的長度；

⑶當點A，落在平行四邊形ABC。的邊所在的直線上時，直接寫出線段E4的長度.

【答案】⑴85或95或5

,、-45—117

⑶9或萬或手

【分析】（1）分兩種情況，利用折疊的性質求解即可；

（2）作由于H,由sinA=U,可得粵，再利用勾股定理求出AH=,48?=獸,

即可解決問題；

（3）分三種情形分別求解即可.

【詳解】（1）解：如圖，當點P在線段A￡>上時,

當點PA'在直線4。的左側時，如圖,

DC

乙

當點P在AD的延長線上時，

AB

由折疊知，NAPB=ZA'PB=-ZDPA'=5°；

2

故答案為：85或95或5；

(2)解：如圖1中，

DC

.四邊形A2CD是平行四邊形,

:.AD//BC,

PAUBC,

.\PA±AD,

,

ZAPA=90°f

:.ZAPB=ZAPB=45°；

作BHJ.AD于H,

12

sinA=——,AB=9,

13

…“n?4八12108

BH=AB,sinA=9x——,

1313

在RtABHP中，ZBPH=45°,

...BH=PH=幽,

13

在RtZXABH中，AH7AB「BH?=竺,

13

153

AP=AH+PH=—

139

故答案為：45；

（3）解：①當點A在AD上時，

DC

圖2

AB=ArB=9,PA=PA

.\BP.LAD.

?A%

sinA=—,

13

nn125108

BP=—AB=——,

1313

在RtAB尸中，

PA=\IAB2-BP2=—；

13

②當A在BC上時，

DC

圖3

由折疊可知，AB=8A=9,AP=PA,

又：AD//BC,

ZAPB=ZPBA=ZABP,

:.PA=AB,

四邊形W尸為菱形,

:.PA=9.

③當A在AB的延長線上時，==

圖5

設尸3=尤，

sinA=—,

13

sinA12

在RtAB尸中，P^=AB2+BP2^

108—108

解得:x=----或1=-------（舍去）,

55

》=2=電

125

綜上，尸A的長為9或3或子.

模型04三角形旋轉問題探究（手拉手、半角模型）

.............................................

三角形旋轉問題探究（手拉手、半角模型）該題型主要以解答題的形式出現，綜合性較強，有一定難度，

本專題重點分析旋轉中的兩類全等模型（手拉手、半角、對角互補模型），結合各類模型展示旋轉中的變與

不變，并結合經典例題和專項訓練深度分析基本圖形和歸納主要步驟，同時規范了解題步驟，提高數學的

綜合解題能力。

答?題?技?巧

1.找準旋轉中心；

2.確定以旋轉中心為頂點的旋轉角，旋轉角所在的兩個三角形不是全等就相似，全等的常用方法SAS；

3.學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題；

4.數形結合進行分析、解答。

|題型不例

1.如圖所示，在RtZSABC中，AB=AC,D、E是斜邊BC上的兩點，且NDAE=45°,將4ADC

繞點A按順時針方向旋轉90°后得到△AFB,連接EF,有下列結論：①BE=DC；②NBAF=NDAC；③

ZFAE=ZDAE；④BF=DC.其中正確的有（）

C.②③④D.③④

【答案】C

【詳解】解：「△ADC繞A順時針旋轉90°后得到aAEB,

.,.△ABF^AACD,

NBAF=NCAD,AF=AD,BF=CD,故②④正確,

AZEAF=ZBAF+ZBAE=ZCAD+ZBAE=ZBAC-ZDAE=90°-45°=45°=NDAE故③正確

無法判斷BE=CD,故①錯誤，

故選：c.

,支式

1.通過類比聯想，引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的，下面是一個案例，請補充完整.

【原題】如圖1,點E,尸分別在正方形ABC。的邊3C、CD上，ZEAF=45°,連接E尸，試猜想砂、BE、DF

之間的數量關系.

【模型】我們把這種模型稱為“半角模型"，在解決半角模型問題時，"旋轉"、"截長補短”均是常用的方法.

(1)思路梳理：

A旋轉法：把，睡繞點A逆時針旋轉90°

至△ADG,可使48與AD重合，則

BE=DG,ZADG^ZB^90°,可以得到

NFDG=180。，即點尸、D、G共線.

A截長補短法：延長CD至點G,使得易證,AFG0一，故EF、BE、DF之間的

DG=BE,由ZB=ZADG=90°,數量關系為一

AB^AD,即△ABE/AADG,可以得到

AG^AE.

(2)類比引申

如圖2,點E,尸分別在正方形ABC。的邊CB、。。的延長線上，ZE4F=45°.連接政，試猜想砂、BE、DF

(2)DF=EF+BE.

【分析】(1)把ABE繞點A逆時針旋轉90。至,ADG,可使A8與AD重合，根據四邊形A3CO為正方形，

ZADC=ZB^ZADF=90°,AB=AD,可得點足D、G共線，由旋轉N7MG=N54E,AE=AG,可

證cAFG9ME。得出砂=RG即可；

(2)把，ABE繞點A逆時針旋轉90。至.ADG,可使A8與AO重合，可證點C、。、G在一條直線上。由旋

轉EB=OG,AE^AG,NEAB=NGAD,可證4.E4廠絲式潛，得出EF=PG即可.

【詳解】(1)解：四邊形ABCD為正方形，

：.ZADC=ZB=ZADF^9G°,AB=AD,

把，ABE繞點A逆時針旋轉90。至△ADG,可使A3與AD重合，

NFDG=NADG+NADF=180。,

，點尸、D、G共線，

ADG^ABE,

:.ZDAG=ZBAEfAE=AGt

:.ZFAG=ZFAD+ZGAD=ZFAD+ZBAE=9G°-A5°=^°=ZEAFf^ZEAF=ZFAG,

在；AFG和.,4名中，

AF=AF

<NGAF=ZEAF,

AG=AE

AFG^AFE(SAS),

:.EF=FG,

EF=DF+DG=DF+BE,即EF=BE+DF,

故答案為：AFE,EF=BE+DF；

(2)DF=EF+BE,理由如下，

如圖所示，

/i.AB=ADf

FCGD

，把_ABE繞點A逆時針旋轉90°至；ADG,可使AB與AT>重合,

^ADC=^ABE=90°,

.,?點C、D、G在一條直線上，

AEB^AGD,

;.EB=DG,AE=AG,NEAB=NGAD,

ZBAG+ZGAD=9G0,

:.ZEAG=ZEAB+ZBAG=ZGAD+ZBAG=9Q0,

,\^EAG=^BAD=90°f

/E4尸=45。，

/.ZFAG=NEAG-NEAF=90°-45°=45°,

:.ZEAF=ZGAF,

在歹和G4月中，

EA=GA

<NEAF=ZGAF,

AF=AF

:.^EAF^GAF（SAS）f

.，EF=FG,

FD=FG+DG,

:.DF=EF+BE.

2.如圖1,在RtZXABC中，ZC=90°,AC=2BC=8,點。、E分另1J在邊5C、AC上，^DE//AB,將CDE

繞點C按逆時針方向旋轉，記旋轉角為

⑴問題發現

①當&=0。時，煞=；②當。=180。時，強=；

⑵拓展探究

Ap

試判斷：當0°〈。＜360°時，"的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明