三角形的證明(壓軸專練)(十大題型)

目錄：

題型1:手拉手模型

題型2：倍長中線、類倍長中線模型

題型3：截長補短模型

題型4：三角形的傳統解答證明題

題型5：旋轉問題

題型6：折疊問題

題型7：動點問題

題型8：最值問題

題型9：數學活動題

題型10：三角形的證明在平面直角坐標系的應用

題型1：手拉手模型

1.(1)問題發(fā)現：如圖1,和AOCE均為等邊三角形，當應轉至點A,D,E在同一直線上,

連接易證ABCE當"CD,則①/3EC=_；②線段力D,2E之間的數量關系」

(2)拓展研究：如圖2,AZCB和ADCE均為等腰三角形，且//C8=/DCE=90。，點A,D,E在同

一直線上，若/￡=12,DE=7,求4B的長度；

(3)如圖3,P為等邊三角形N3C內一點，且/4PC=150。，ZAPD=^°,AP=4,CP=3,DP=1,

求BD的長.

【答案】(1)①120°；②AD=BE；⑵13；(3)2回

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定及性質和勾股定理的應用，

(1)證明ANCD咨A8C￡(SAS).得到/4DC=/BEC.利用SCE為等邊三角形，得到

ZCDE=ZCED=60°,再利用點N,D,￡在同一直線上，可得Z4DC=120。，即可得/8EC=120。；

(2)證明絲A8CE(SAS),可得AD=BE=AE-DE=15-7=8,/ADC=/BEC,再證明

ZAEB=/BEC-/CED=90。,利用勾股定理求解即可；

(3)把“尸。繞點C逆時針旋轉60。得△BEC,連接尸石，可得ABEC知APC,證明/CE是等邊三角形,

證明/3￡。=90。，再證明。、尸、后在同一條直線上，求出0日利用勾股定理求解即可.

【解析】解：(1)①???△ZCB和△QCE均為等邊三角形，

:?CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°.

：.ZACD=ZBCE.

'AC=BC

在和△BCE中，＜/ACD=/BCE,

CD=CE

：."CD名△BCE(SAS).

???/ADC=/BEC.

???△￡＞《￡為等邊三角形，

???/CDE=/CED=60。.

???點4,D,E在同一直線上，

ZADC=nO°.

：.ZBEC=120°.

②由①得：AACD知BCE,

：.AD=BE；

故答案為：①120。；②AD=BE.

(2),??△4C3和均為等腰直角三角形，

：.CA=CBfCD=CE,NACB=NDCE=90。.

：./ACD=NBCE.

"AC=BC

在△4CQ和△BCE中，＜ZACD=ZBCE,

CD=CE

：.△4CQ%BCE(SAS),

:?AD=BE=AE-DE=\2-7=5,NADC=NBEC,

???△DCE為等腰直角三角形

???NCDE=NCED=45。.

??,點A,D,E在同一直線上,

—4DC=135°.

/BEC=135°.

：.ZAEB=/BEC-ZCED=90°.

???AB=4AE^+BE2=J144+25=13；

(3)把A/PC繞點C逆時針旋轉60。得ABEC,連接尸E,如圖所示：AP=4,CP=3,DP=7

圖3

則ABEC以APC,

：.CE=CP,ZPCE=60°,BE=AP=A,/BEC=/APC=15。°,

：.APCE是等邊三角形，

ZEPC=/PEC=60°,PE=CP=3,

：./BED=/BEC-ZPEC=90°,

ZAPD=30°,

：.ZDPC=150°-30°=120°,

又ZDPE=ZDPC+/EPC=120°+60°=180°,

即。、尸、E在同一條直線上，

：.DE=DP+PE=l+3=10,

在Rt^BDE中，BD=^BE1+DE2=2729,

即8。的長為2a.

【點睛】本題涉及全等三角形的判定及性質，等邊三角形的性質，勾股定理，旋轉的性質等知識點，解題

的關鍵是利用旋轉構造全等三角形，把分散的已知條件集中到同一個三角形中.

2.【探究發(fā)現】（1）如圖所示，A/8C和ACDE均為等邊三角形，ACDE繞點C旋轉，其中，4c交BD于點

M,AE交CD于點、N,NE交BD于點。，如圖1所示當ACDE旋轉到點2、C、E在同一條直線上時，以下

結論成立的是：

①AE=BD；②/4QB=60。；③OC平分/MON；④AACN%ABCM.

【類比探究】⑵當ACDE旋轉到“5C外部時，且點3、C、￡不在同一條直線上時，如圖2,⑴中結論

仍然成立的是：_（只填序號）若②正確請進行論證，若不正確，請說明理由；

【類比應用】（3）當ACDE旋轉到與有部分重疊時，如圖3,（1）中結論仍然成立的是：_（只填序

號）若③正確請進行論證若不正確，請說明理由；

A

A

【答案】（1）①②③④；（2）①②③，理由見解析；（3）①②③，理由見解析

【分析】（1）①根據全等三角形的判定和性質及等邊三角形的性質即可證明；②利用三角形內角和定理及

等量代換即可證明；③連接0C,過點C作CELBDCGVAE,由全等三角形的性質及角平分線的性質即

可證明；④利用等邊三角形的性質及全等三角形的判定即可證明；

（2）證明方法同（1）類似；

（3）證明方法同（1）類似.

【解析】解：（1）解：是等邊三角形，

：.AC=BC,ZBAC=ZACB=60°,

?/AE。是等邊三角形，

CE=CD,/DCE=60。,

：.ZACB=ZDCE=60°,

/ACB+/BCE=ZDCE+/BCE,

即/ACE=ZBCD，

AC=BC

在A/CE和A3C￡>中，<ZACE=ZBCD,

CE=CD

...A/CE四ABCD(SAS),

；.AE=BD,ZCAE=ZCBD,故結論①成立；

在AZBO中，ZAOB=\80°-(ZBAO+ZABO)

^iSO°-(ZBAO+ZCBO+ZABC)

=\S00-(ZBAC+ZABC)

=180°-(60°+60°)=60°,

/.ZAOB=60°,故結論②成立；

如圖所示：連接OC,過點C作CFIBDCGVAE,

：.AE=BD,

CF=CG,

：.OC平分/MON；結論③成立;

,?"CE絲ABCD,

ZCBD=/CAE,

ZACB=ZECD=60°,

/.ZACD=60°,

.../ACB=/ACD,

BC=AC,

:.AACN-BCM,結論④成立；

故答案為：①②③④；

(2)是等邊三角形,

:.AC=BC,/B4C=/4CB=6Q°,

,/AECA是等邊三角形，

/.CE=CD,ZDCE=60°,

/ACB=/DCE=60°,

：.ZACB+/BCE=ZDCE+/BCE,

即/ACE=/BCD,

AC=BC

在A/CE和中，＜ZACE=ZBCD,

CE=CD

：.AACE卷ABCD(SAS),

:.AE=BD,/C4E=NCBD,故結論①成立；

在AZBO中，ZAOB=\80°-(ZBAO+ZABO)

=180°-(/胡。+NCBO+NABC)

=^0°-(ZBAC+ZABC)

=180。一(60。+60。)=60。，

/.ZAOB=60°,故結論②成立；

如圖所示：連接OC,過點C作C/，5。，CGLAE,

A

?.?^ACEgABCD,

AE=BD,

?,.CF=CG,

???oc平分/MCW；結論③成立；

??,AACE^^BCD,

???/CBD=NCAE,

?：NACB=NECD=60。,

：./ACD>60°,

AZACB^ZACD,結論④不成立；

故答案為：①②③；

(3),??△43C是等邊三角形，

；.AC=BC,/BAC=/ACB=60。,

???△￡CD是等邊三角形，

:?CE=CD,ZDCE=60°,

?,.NACB=/DCE=60。,

：.ZACB-ZDCA=/DCE-ZDCA,

即/BCD=NACE,

AC=BC

在△4CE和△5CD中，\/ACE=/BCD,

CE=CD

：.△/C￡-8C0(SAS),

A

:.AE=BD,/CAE=/CBD,故結論①成立；

在中，ZAOB=\80°-[ZBAO+ZABO)

=180°-+ZCBO+NABC)

=180°-(^BAC+^ABC)

=180°-(60°+60°)=60°,

AZAOB=60°,故結論②成立；

如圖所示：連接OC,過點C作CGLAN,

,?"CE/ABCD,

AE=BD,

：.CF=CG,

：.OC平分/MON；結論③成立;

,/AACE之ABCD,

：.ZCBD=/CAE,

無法找出另外相同的兩個角，故結論④不成立；

故答案為：①②③.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，角平分線的判定等，理解題意作

出相應圖形，掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵.

題型2：倍長中線、類倍長中線模型

3.（1）如圖1,點。是線段8c的中點，連接/民8,則48與8的數量關系為，位置關系為

（2）①如圖2,在△4BC中，N/C8=90。，點。為△4BC內一點，連接AD,DC,延長。C到點E,使

CE=CD,連接4E,若8C/E,探究/氏8。,/E之間的數量關系，并說明理由；

②如圖3,在△/BC中，ZACB=90°,/C=8C,點。為48中點，點E在線段上（點E不與點8,點

。重合），連接CE,過點A作連接陽，若FD=3,CF=2,請直接寫出么尸的長.

【答案】（1）相等；平行

（2）?AB2=AE2+BD2,詳見解析；②AF=3?+2

【分析】（1）由中點的定義可得。/=。。，0B=0C,然后可證AO/BGAODC,然后根據全等二角形的性

質和平行線的判定定理即可解答；

（2）①延長2C到T,使得C7=/C,連接ET,DT,BT.先說明CE=CD、AC=CT、

AE=DT,AE//DT,平行線公理得出/ZD8=90。，由勾股定理可得8〃+=/爐+臺。2,然后

利用等腰三角形三線合一的性質得出37=胡，最后運用等量代換即可解答；②長FD到T,使得

DT=DF,連接87,延長CE交87于點J.再證尸C=AC"（AAS）可得C/=3J=2,AF=CJ,再說明

△7LR是等腰直角三角形，最后根據直角三角形的性質即可解答.

【解析】（1）解：結論：AB=CD,AB//CD,理由如下：.

如圖1中，：點。是線段/D,CB的中點，

/.OA^OD,OB=OC,

在△045和△0DC中，

0A=OD

<ZAOB=/DOC,

OB=OC

：.△CUB%O"SAS）,

/.AB=CD,ZA=ND,

：.AB//CD.

故答案為：相等；平行.

⑵解：①結論：AB2=AE2+BD2.

A

理由：延長4c到T,使得CT=ZC,連接石丁，DT,BT.

9：CE=CD,AC=CT,

???同理（1）可證4￡=QT,AE//DTf

'：BD1AE,

：.BDLDT,

：.ZTDB=90°,

BT2=DT2+BD2=AE2+BD2,

VCB1AC,AC=CTf

???BT=BA,

AB2=AE2+BD2;

②如圖3中，延長ED到T,彳吏得DT=DF=3,連接BT,延長CE交BT于點/

A

圖3

?.?AD=DB,FD=DT,

二同理可證/尸=5T,AF//BT,

丁AFLCJ,

：.CJ1BT,

；?/AFC=NCJB=90。,

VZACF+ZBCJ=90°,ZBCJ+ZCBJ=90°f

：.ZACF=ZCBJ,

???AC=CB,

：.△//。絲△CTB(AAS),

：.CF=BJ=2,AF=CJ,

：.JF=CJ-CF=AF-CF=AF-2,

JT=BT-BJ=AF-CF=AF-2f

：.JF=JT=AF-2

???△兀不是等腰直角三角形，

:?FT=6FJ，即后(/尸-2)=3+3.

AF=342+2.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、平行線的性質、勾股定理、等腰三角形的判定與性質、

直角三角形的性質等知識點，靈活運用相關判定和性質定理成為解答本題的關鍵.

4.已知：等腰放△45C和等腰放△4DE中，AB=AC,AE=AD,ABAC=ZEAD=90°.

(1)如圖1,延長。K交8c于點尸，若/A4E=68。，則/。尸C的度數為二

(2)如圖2,連接EC、BD,延長區(qū)4交3。于點若乙4￡C=90。，求證：點"為AD中點；

(3)如圖3,連接EC、BD,點G是CE的中點，連接/G,交2。于點/7,AG=9,HG=5,直接寫出△/EC

的面積.

【答案】(1)68°；(2)見解析；(3)36

【分析】(1)由已知條件可得ND=ZC=45°,對頂角ZAQD=ZCQF,則ZCMC=ZDFC,根據ZDAE=NCAB

即可的/D尸C=/8/E；

(2)過點B作ME1的垂線交EM的延長線于N,證明△/EC電△8及4,得/￡=8N,進而可得40=NS,再

證明ADAM”ABNM即可得證點〃■為AD中點；

(3)延長ZG至K,使得GK=/G=9,連接CK,設/E交于點P,先證明A48EgzUCZ),進而證明

AAEG^AKCG,根據角度的計算以及三角形內角和定理求得N84D=NKC4,進而證明△43。段/XC/K,

再根據ZCAG=ZABD,ABAC=90°，證明，加，根據已知條件求得S》'D最后證明S"EC=S“皿即可.

【解析】（1）設。尸交/C于。，如圖1,

X

BFC

圖1

???△45。是等腰耳△/5C和△4DE是等腰如

/D=/C=45°

ZAQD=ZCQF

?.?ZDAQ=1SO-ZD-ZAQD,ZQFC=180—NC—ZCQF

/.ADAQ=ZQFC

??,ABAC=ZEAD=90°

即/BAE+ZEAQ=ZEAQ+ZQAD

?,./BAE=ZQAD

ZDFC=/BAE

???/BAE=68°

/.ZDFC=68°

故答案為68。

（2）如圖2,過點8作ME的垂線交瓦〃的延長線丁N,

D

ZN=90°

???ZAEC=90°

ZN=ZAEC

???ABAC=90°

ZEAC+ZNAB=90°

???/NAC+/ACE=90。

/./NAB=Z.ECA

??,△48。是等腰耳△/5C和zx4。石是等腰瓦△4Z）￡

AB=AC,AD=AE

又??,AC=AB

△AE8ABNA

NB=AE

???AE=AD

...AD=NB

???NDAE=9。。

:.ZDAM=90°

ZDAM=NN

又?.?/DMA=4BMN

ADAM”ABNM

:.DM=BM

即“是5。的中點

(3)延長/G至K,使得GK=4G=9,連接CK,設/月交3C于點尸，如圖

???ABAC=ZEAD=90°

即/BAE+/EAC=ZEAC+ACAD

/BAE=/CAD

???ZX/BC是等腰和是等腰

/.AB=AC9AE=AD

在與△ZC。中，

AE=AD

</BAE=/CAD

AB=AC

:?小ABE/小ACD(SAS)

S?BE~S^ABD，BE=CD

?「G點是EC的中點

EG=GC

???/AGE=/KGC,AG=GK

AAGE^AKGC(SAS)

AE=CK,/AEG=ZKCG

AE=KC=AD,

ZACK=ZACB+/BCE+ZKCG

=45。+/AEC+/BCE

=45°+ZABC+ZBAP

=90°+NBAE

=ZBAD

AAKC^^ABD(SAS)

；.BD=AK=\8,ZCAK=AABD

ZBAG+ZCAG=90°

:./ABD+/BAG=90。

即ZAHB=90°

vAG=9,HG=5

AH=AG—HG=9—5=4

?=

?S^LA\ARBnU—2BD-AH=—2xl8x4=36

S4AEC=SAJEG+SXAGC=S^GCK+S^AGC=^AACK=^AABD=36

S'AEC=36

【點睛】本題考查了三角形全等的性質與判定，等腰直角三角形的性質，三角形內角和定理，三角形外角

性質，構造輔助線是解題的關鍵.

題型3:截長補短模型

5.(1)閱讀理解：問題：如圖1,在四邊形4BCD中，對角線8。平分NZ8C,ZA+ZC=180°.求證：

DA=DC.

思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構造全等去解決問題.

方法1：在3c上截取即1=如，連接。M,得到全等三角形，進而解決問題；

方法2：延長切到點N,使得BN=BC,連接￡W,得到全等三角形，進而解決問題.

結合圖1,在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明.

(2)問題解決：如圖2,在(1)的條件下，連接/C,當4UC=60。時，探究線段N8,BC,3D之間

的數量關系，并說明理由；

(3)問題拓展：如圖3,在四邊形ABC。中，ZA+ZC=180°,DA=DC,過點。作。EL8C,垂足為點

E,請寫出線段42、CE、8c之間的數量關系.

A

【答案】(1)見解析；(2)AB+BC=BD,見解析；(3)BC-AB=2CE,見解析

【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定；

(1)方法1：在2。上截取W=連接。“，證明之AMSD(SAS),得出=

AD=MD,進而得出NC=NCML>,則。M=OC,等量代換即可得證；方法2：延長4B到N,使

BN=BC,連接DN,證明AA?。空AC8D(SAS),得出=ND=CD,進而得出

ZBND=ZNAD,則等量代換即可得證

(2)AB,BC,AD之間的數量關系為+=.方法1：在AD上截取段1=43,連接Z尸，由。)

知NB4O+N8C￡)=180。，得出△48尸，為等邊三角形，證明A/BC絲“ED(SAS),得出。尸=BC,

進而即可得證；方法2：延長C2到P,使2尸=創(chuàng)，連接北，由⑴知40=0則△NOC,“BP是等

邊三角形，證明AP4C0ABW(SAS),得出尸C=AD,進而即可得證；

(3)線段48、CE、3C之間的數量關系為8C-Z8=2C￡,連接AD,過點。作。尸，4B于點尸，證明

△DFA沿ADEC(AAS),RtABD尸絲和RtABOE(HL),得出BF=BE,進而即可得證.

【解析】解：(1)方法1：在2C上截取9=皿，連接。河，

圖①

ZABD=/CBD,

在△4AD和△"8。中，

BD=BD

</ABD=/MBD,

BA=BM

:.AABD^MBD（SAS）,

:"A=/BMD,AD=MD,

vABMD+ZCMD=180°,ZC+ZA=180°,

.??/C=/CMD,

:.DM=DC,

DA=DC；

方法2：延長到N,使BN=BC,連接。N,

B

/./NBD=/CBD,

在AABO和△CSD中，

BD=BD

<ZNBD=ZCBD,

BN=BC

.?.△AWZ）四△CBD（SAS）,

:.乙BND=/C,ND=CD,

ZNAD+/BAD=180。，ZC+/BAD=180。，

/./BND=/NAD,

:.DN=DA,

?.DA=DC；

(2)AB,BC,5。之間的數量關系為ZB+5。=AD.

方法1：理由如下：

如圖2,在AD上截取臺尸二孤，連接4月，

圖2

由（1）知N8/Q+NBC7）=180。，

ZABC+ZDAC=m0,

???ZDAC=60°,

ZABC=120°,

:"ABD=/DBC=60。,

:.AABF為等邊三角形,

AB=AF=BF,ZB/b=60。，

???AD=DC,

，"DC為等邊三角形，

AD=AC,ADAC=60°,

ZDAF=ABAC,

.-.AASC^AAFD（SAS）f

:.DF=BC,

:.BD^BF+DF=AB+BC.

方法2：理由：延長C5到P,使BP=B4,連接",

圖2

由（1）知/￡>=CD,

???ADAC=60°,

:.^ADC是等邊三角形,

:.AC=ADfZADC=60°,

???ZBCD+ZBAD=^0°,

/ABC=360°-180°-60°=120°,

/.ZPBA=180。—/ABC=60°,

???BP=BA,

尸為等邊三角形，

/.ZPAB=60°,AB=AP,

ADAC=60°,

/.ZPAB+ABAC=ADAC+ABAC,

即APAC=ABAD,

在△尸/C和△氏4。中，

"PA=BA

</PAC=/BAD,

AC=AD

..APAC^ABAD(SAS),

/.PC=BD,

???PC=BP+BC=AB+BC,

AB+BC=BD；

(3)線段/5、CE、5c之間的數量關系為5C-/5=2C￡.

連接50,過點。作。尸，4g于點尸，

/BAD+NC=180。ZBAD+ZFAD=180°,

圖3

ZFAD=ZC,

在△OE4和△D￡C中,

NDFA=/DEC

<ZFAD=ZC,

DA=DC

.-.ADFA^ADEC(AAS),

.-.DF=DE,AF=CE,

在RSDF和RtABDE中,

BD=BD

DF=DE>

RSB。/經Rb即E（HL）,

BF=BE,

BC=BE+CE=BA+AF+CE=BA+2CE,

BC-BA=2CE.

6.閱讀與理解：

折紙，常常能為證明一個命題提供思路和方法.例如，在△/呂。中，AB>AC（如圖），怎樣證明

呢？

分析：把/C沿的角平分線4。翻折，因為所以，點C落在上的點。處，即4C=/C,

據以上操作，易證明△NCO0ZX/CD,所以N/C'O=NC,又因為所以NC>ZB.

感悟與應用：

（1）如圖（a）,在△ABC中，AACB=90°,AB=30°,CD平分NACB,試判斷/C和4D、之間的

數量關系，并說明理由；

（2）如圖（b）,在四邊形4BC0中，4c平分NB4D,AC=16,AD=8,DC=BC=12,

①求證：Z8+ZD=180。；

②求48的長.

【答案】（1）BC-AC=AD；理由詳見解析；（2）①詳見解析；②AB=14

【分析】（1）在CB上截取CE=CA,連接DE,證4ACD咨Z\ECD得DE=DA,ZA=ZCED=60°,據此

NCED=2NCBA,結合NCED=NCBA+NBDE得出NCBA=NBDE,即可得DE=BE,進而得出答案;

(2)①在AB上截取AM=AD,連接CM,先證aADC之△AMC,得到ND=NAMC,CD=CM,結合

CD=BC知CM=CB,據此得NB=NCMB,根據/。^8+/。\4人=180。可得；

②設BN=a,過點C作CN_LAB于點N,由CB=CM知BN=MN=a,CN2=BC2-BN2=AC2-AN2,可得

關于a的方程，解之可得答案.

【解析】解：(1)BC-AC=AD.

理由如下：如圖(a),在CB上截取CE=CA,連接DE,

VCD平分NACB,

ZACD=ZECD,

又CD=CD,

.'.△ACD^AECD(SAS),

???DE=DA,NA=NCED=60。，

???NCED=2NCBA,

ZCED=ZCBA+ZBDE,

.,.ZCBA=ZBDE,

???DE=BE,

???AD=BE,

BE=BC-CE=BC—AC,

???BC—AC=AD.

(2)①如圖(b),在AB上截取AM=AD,連接CM,

VAC平分NDAB,

???NDAC=NMAC,

???AC=AC,

AAADC^AAMC(SAS),

???ND=NAMC,CD=CM=12,

VCD=BC=12,

，CM=CB,

.-.ZB=ZCMB,

VZCMB+ZCMA=180°,

.,.ZB+ZD=180°；

②設BN=a,

過點C作CN±AB于點N,

VCB=CM=12,

；.BN=MN=a,

在RtABCN中，CN2=BC2-BN2^n2-a2,

在RtAACN中，CN2=AC2-AN2=162-(8+a)2,

貝!]12?-me?-(8+a)?,

解得：a=3,

即BN=MN=3,

則AB=8+3+3=14,

.\AB=14.

以及全等三角形的判定與性質、勾股定理、等腰三角形的判定與性

質；本題有一定難度，需要通過作輔助線證明三角形全等才能得出結果.

題型4：三角形的傳統解答證明題

7.已知：在Rt^4BC中，/48C=90°,點。在邊上，ZACD+ZBDC=90°,

圖1圖2圖3

⑴如圖1,求證：CD平分NACB；

(2)如圖2,點E在48延長線上，且/C=/E,過點E作EF人CD于點F,EF交.BC于點、H.求證：

DE=CH-

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點C作CGLNC交NE延長線于點G,若。為4E中點，AC=4,求2G

的長.

【答案】(1)詳見解析

(2)詳見解析

(3)1

【分析】此題考查了全等三角形的的判定和性質、勾股定理、等腰三角形的判定和性質等知識.

(1)設//CD=a,證明/加C=90-fz,在△BCD中，證明/8CZ)=a,則=即可得到結

論；

(2)證明AECH絲AFED(ASA),即可得到結論；

(3)延長CG,FE相交于點/,過點/作/JLCD于點J.證明GZ?=GC,再證明“OJ之甲(AAS),

得到FE=4/=CF,證明A4/C￡AC"(ASA),得至IJ/C=C/=4,Z/=ZACD,證明

ZI=AFED=ZGEI,貝l]EG=/G,設EG=IG=x,貝lj￡G=/G=x,得至ljC7=CG+/G=x+2+x=4,解

[01A

得x=l.則EG=/G=1,得至IJCG=3,AG=AE+EG=5,BC=《,勾股定理求出/8=不，貝！]

BD=AB-AD=*2=*,即可得到8G的長.

【解析】(1)證明：設/ZCD=a,

,?ZACD+ZBDC=90

：.ZBDC=90-a

?：ZABC=90

...在ABC〃中，ZBCD=180°-90°-(90°-a)=a,

:.ZACD=/BCD

：.8平分//C8；

(2)設//CJD=(Z,

在△N8C中，ZA=180°-a-a-90°=90°-2a,

AC=AE,

NACE=ZAEC=45。+a,

ZBCE=45°-a,

：.ZFCE=a+45。—a=45。，

???EF1CD,

：.ZCEF=45,/FED=a,

???ZFCE=ZCEF,

：.FC=FE,

：.AFCH咨AFED(ASA),

二DE=CH-

(3)延長CG,FE相交于點/,過點4作4/1。。于點/

?.?/BCD+ZCDG=NACD+ZDCG=90°

???ZCDG=ZGCD,

???GD=GC,

???。為4E中點，

AD=DE,

?.?/ADJ=/EDF,ZAJD=ZEFD=90°,

??.小ADJ注△EDF(AAS),

???FE=AJ=CF,

ZACD+ZCAJ=ZACD+ZDCG=90°

???ZCAJ=ZDCG,

??ZAJC=ZCFI=90°,

.??△4/C%C"(ASA),

AAC=CI=4,ZI=ZACD,

???Z/=/BCD,

?.?/BCD+/BDC=ZFED+ABDC=90°,

???/BCD=/FED,

???ZZ=/FED=ZGEI,

：.EG=IG,

設EG=/G=x,貝l」EG=/G=x,

-AC=AE=4,。為/E中點，

.?.AD=DE=-AE=2,

2

???DG=CG=DE+EG=2+x,

：.CI=CG+IG=x+2+x=4,

解得x=L

???EG=IG=\,

：.CG=3fAG=AE+EG=5,

'：S.ABC=-ACCG=-BCAG,

22

???4x3=58。，

55

69

?,.BG=AG-AD-BD=5-2——=一

55

8.如圖1,已知4ABC，/ACB=90°,/ABC=45。，分別以，B、BC為邊向外作AABD與△5C￡,^DA=DB,

EB=EC,/ADB=NBEC=90。,連接￡)￡父/5于點尸.

DD

一

CEcECE

圖1圖2圖3

⑴探究：N尸與8尸的數量關系，請寫出你的猜想，并加以證明.

(2)如圖2,若乙”C=30。，NADB=NBEC=60。，題目中的其他條件不變，(1)中得到的結論是否發(fā)生變化?

請寫出你的猜想并加以證明；

(3)如圖3,若N4DB=NBEC=mZABC，題目中的其他條件不變，使得(1)中得到的結論仍然成立，請直接

寫出用的值.

【答案】(1)4尸=38尸.理由見解析

(2)AF=3BF成立,理由見解析

(3)m=2

【分析】(1)作。GL/8于G,證明A。尸G妾AE尸B,根據全等三角形的性質證明結論；

(2)仿照(1)的證明方法證明；

(3)作于a,要使得結論/尸=38尸成立，則有/DGF=/EAF=90°,可得

^(18O°-mZABC)+ZABC=9O°,可得加=2.

【解析】(1)解:結論：AF=3BF.

理由：如圖1,過點。作。G,48于G,則/DG8=90。，

:.AC2+BC2=AB2,

V2

BC=-AB,

2

???DA=DB,AADB=90°,

.-.DG=AG=BG=-AB,

2

在RtA^EC中，ZBEC=90°,EB=EC,

:.BE=-BC=-AB,

22

DG-BE,

在A。尸G和△￡尸3中，

ZDFG=ZEFB

<ZDGF=/EBF,

DG=BE

:.ADFG^EFB(AAS),

/.FG=BF,

AF=3BF；

(2)解：猜想：AF=3FB.

證明：如圖2中，過點。作。于G,則/DGB=90。.

D

;DA=DB,ZADB=60°.

圖2

/.AG=BG,△。比1是等邊三角形.

/.DB=BA.

ZACB=90°,/ABC=30。,

:.AC=-AB=BG.

2

/.RMQBG也RMB4C(HL).

/.DG=BC.

???BE=EC,/BEC=60°,

是等邊三角形.

BC=BE,/CBE=60°.

DG=BE,ZABE=ZABC+ZCBE=90°.

???ZDFG=/EFB,ZDGF=/EBF,

在ADFG和AEFB中,

ZDFG=ZEFB

<ZFGD=ZFBE,

DG=BE

:ADFG知EFB(AAS).

:.GF=BF,

故4尸=3尸B；

(3)結論：m=2,

理由：如圖3中，過點。作。于G,則/DGB=90。.

要使得結論/尸=35尸成立，則有/DG廠=/￡3尸=90。，

1(180°-mZABC)+ZABC=90°,

/.90°--m-/ABC+/ABC=90°,

2

:.m=2.

【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查的是等腰直角三角形的性質、三角形全等的判定和性質，掌握全等

三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵.

題型5：旋轉問題

9.如圖1,△4BC為等腰直角三角形，ZACB=90°.將邊/C繞點A順時針旋轉a(0°<aV90。)得到MV,

連接CN,將NC繞點N逆時針旋轉90。得到M0,連接NM,BN.

⑴求證：ABCN”AANM；

⑵當8,N,M三點共線時，求A*N的值；

(3)若ABCN是等腰三角形，請直接寫出a的度數.

【答案】(1)證明見解析

(3)a為30°或60°或90°.

【分析】(1)先證明NC7W=9()o=N/NC+N/W,ZANC=ZACN,結合4C=8C,

NACN+NBCN=90°,可得/N=8C,ZANM=ZBCN,再進一步可得結論；

(2)如圖，過A作4FLCN于尸，可得AF〃MN,CF=FN,結合8,N,M三點共線，

△BCNmAANM,可得N8NC=//AW=90°,AM=FN,AM=FN=CF=^CN,MN=2AM,求解

AN=NAM?+MN?=下AM，從而可得答案；

(3)如圖，Asav是等腰三角形，分三種情況：當NC=A?時，如圖，當CN=CB時，如圖，當BC=BN

時，再畫出圖形，利用數形結合解答即可.

【解析】(1)證明：由題意得NC=NM,AC=AN,ZCNM=90°=ZANC+ZANM,

：.ZANC=ZACN,

?.?△48C為等腰直角三角形，44c8=90。.

AAC=BC,NACN+NBCN=90°,

：.AN=BC,AANM=ZBCN,

：./\BCN^/\ANM；

(2)解：如圖，過A作/尸_LCN于尸，而NQW=90。，ACAN,

：.AF//MN,CF=FN,

,:B,N,M三點共線，△BCN”AANM,

/.ZBNC=ZAMN=90°,

：.AM//CN,

由平行線間距離處處相等可得：AM=FN,

：.AM=FN=CF=-CN,

2

°：CN=MN,

：.MN=2AM,

AN=ylAM2+MN2=45AM，

.AN_45AM_V5,

??CN-2AM~2，

(3)解：如圖，???△8CW是等腰三角形，

當NC=NS時，而/\BCN空AANM,

：.AM=MN=CN=BN,ZNCB=ZNBC=AMAN=ZMNA,

:?設4NCB=/NBC=/MAN=4MNA=/3,NNMB=NNBM,

:?/CNB=\8O0—20,而NC43=NCR4=45。,ZCNM=90°,

.?./MNB=360°-90°-180°+2/7=90°+2/7,

.?./NMB=/NBM=45°-/7,

而乙45N=45。-尸，

???/在上，

??.45。一夕二4+4，

解得：0=15。,

???a=NG4N=45。—15。=30。，

如圖，當CN=C5時，

AC=AN=BC,

：.AC=AN=CN,

為等邊三角形,

a=ZCAN=60°,

如圖，當2C=8N時，

：.AACB為ANB,

NCAB=ANAB=45°,

a=ZCAN=90°；

綜上：a為30。或60。或90。.

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，平行線的性質，勾股定理的應用，等腰三角形的定義與

性質，等邊三角形的判定與性質，三角形的外角的性質，旋轉的性質，作出圖形利用數形結合，清晰的分

類討論是解本題的關鍵.

10.如圖，在等腰三角形/3C中，AB=AC=4,M為平面內一點.

圖1圖2圖3

(1)當點M在氏4的延長線上時，連接MC；

①如圖1,若NR4c=90。，BDLMC交AC于點、N,AM=3,求CN的長；

②如圖2,若NB/C=60。，將線段MC繞點M逆時針旋轉120。得到線段洶/,連接若G為?的中點,

連接MG,請猜想線段MG,BC,之間的數量關系，并證明你的猜想；

⑵如圖3,若NB/C=60。，點河在N4BC的角平分線上運動（不與點8重合），取3c中點E,將線段￡4/

繞點￡逆時針旋轉60。得到線段E尸，連接PM,PB,設NBPE=a,請用含a的式子表示乙的度數.

【答案】（1）①CN=1,?MB=BC+2MG,理由見解析

（2）當點尸在期上方時，ZPMB=60°-1a；當點尸在5M與2C之間時，ZPMB=1a-60°；當點尸在BC下

方時，ZPMB=1200--a

【分析】（1）①證RL/BN也RtA/CM（ASA）即可得解；

②見中點構造倍長中線，延長MG至點尸，使得GF=MG,連接N尸，BF,易證ABGT7取（SAS）,再

證A/&^A/CM（SAS）,得到△如1/是等邊三角形，即可得解；

（2）分類討論，當點尸在5M上方時，當點尸在氏0與3c之間時，當點尸在BC下方時，由題易知AEPM

是等邊三角形，在8E下方作等邊連接尸。，易證—EM也AQEP（SAS）,從而得到尸。垂直平分班,

即可得解.

【解析】（1）解：解：①在RtAADM中，ZMBD+ZAMC=90°,

在RM/CM中，ZACM+ZAMC=90°,

Z.ZABN=ZACM,

又；AB=4C,ABAC=ACAM=90°,

/.RM/8N之RQ/CM（ASA）,

：.AN=AM=3,

；.CN=AC-AM=4-3=1；

?MB=BC+2MG,理由如下，

如圖，延長MG至點尸，使得GF=MG,連接BF,

BC

???G為瓦7的中點，

???BG=HG,

BG=HG

在ABGF和AHGM中,</BGF=ZHGM,

GF=GM

：.^BGF^AHGM(SAS),

BF=HM=CM,ZGBF=AH,

MH//BF,

/ABF=Z1,

AACM+AAMC=ABAC=60°,Z1+ZAMC=180°-ZCMH=60°,

.../ABF=Z1=ZACM,

又,:AB=AC,

：.AABF^AACM(SAS)f

：.ZBAF=ZCAM,AF=AM,

：.ZBAF-ZCAF=ZCAM-NCAF,艮ABAC=AMAF=60°,

4AFM是等邊三角形，

***MF=AM,

：.MB=BA+AM=BC+MF=BC+2MG；

(2)VAB=AC=4,4ZC=60。，點M在245C的角平分線上

???是等邊三角形，

/ABM=NCBM=30。,

當點尸在攻上方時，如圖，在放下方作等邊△BE。，連接尸0,

???線段亞繞點E逆時針旋轉60°得到線段EP,

EP=EM,ZPEM=60°,

**?AEPM是等邊三角形，

???△BE。是等邊三角形，

：.EB=EQ,ABEQ=60°,

.?./BEM=APEQ,

.??△困修△QEP(SAS),

.?.NBME=ZQPE,ZMBE=ZPQE=30°,則QP平分ABQE,

???尸0垂直平分則的==

NQPE二NBPE=1a,2PBM=ZPMB,

APMB=APME-ABME=60°--a；

當點P在■與3c之間時，如圖，在班下方作等邊ABE。，連接尸

同理可證A8￡A￡A0￡尸(SAS),

；.NBME=NQPE,NMBE=ZPQE=30°,貝I]QP平分NBQE,

P0垂直平分3E,則BP=PE=PAf,

ZPQE=|NBPE=1a,2PBM=NPMB,

NPMB=NBME-NPME=-a-60°；

當點尸在3c下方時，如圖，在8E下方作等邊A8￡。，連接尸

A

Q

同理可證△BE"四△0EP(SAS),

/.ZBME=ZQPE,/MBE=ZPQE=30°,貝IjQP平分ZBQE,

???直線尸。垂直平分班，則5尸=尸石=尸河，

/PQE——(360。—/BPE)—180°——cif,/PBM=/PMB,

APMB=ABME-ZPME=120°--a.

2

綜上，當點P在8M上方時，ZPMB=60°-^a；當點P在W與8C之間時，ZPAffi=1a-60°；當點P在8。

下方時，ZPMB=l20°-^a.

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質等內容，熟練掌握相

關知識是解題的關鍵.

題型6：折疊問題

11.如圖，=。，點M是射線04上的一個定點，點N是射線02上的一個動點，連接把

沿"N折疊，點。落在//O8所在平面內的點C處.

/BC/BCBA

UMAUMA°AA

圖1圖2圖3備用圖

(1)如圖1,點C在//。3的內部，若/CM4=20。，NCNB=G)°,貝!]4=_.

⑵如圖2,若a=45。，ON=也，折疊后點C在直線05上方,CM與08交于點￡,且MN=ME,求NOMN

的度數及折痕的長.

(3)如圖3,若折疊后，直線MC