2.4圓的方程

目錄

【題型歸納目錄】...............................................................2

【思維導圖】...................................................................2

【知識點梳理】.................................................................2

【典型例題】...................................................................4

題型一：圓的標準方程...........................................................4

題型二：圓的一般方程...........................................................7

題型三：點與圓的位置關系.......................................................9

題型四：二元二次曲線與圓的關系................................................11

題型六：軌跡問題..............................................................15

題型七：與圓有關的對稱問題....................................................19

【題型歸納目錄】

題型七：與圓有關的對稱問題

題型歸納

題型四：二元二次曲線與圓的關系7

【思維導圖】

【知識點梳理】

知識點一：圓的標準方程

(x—a)2+(丁一瓦)2=/，其中c(a㈤為圓心，r為半徑.

知識點詮釋：

(1)如果圓心在坐標原點，這時4=0,6=0,圓的方程就是必+丁2=/.有關圖形特征與方程的轉

化:如：圓心在x軸上:6=0；圓與y軸相切時：|。|=廠；圓與x軸相切時：\b\=r\與坐標軸相切時：|a|=|Z?|=r；

過原點：a2+b2=r2

(2)圓的標準方程(x—ar+(y—6)2=r=圓心為(°,與，半徑為廠，它顯現了圓的幾何特點.

(3)標準方程的優點在于明確指出了圓心和半徑.由圓的標準方程可知，確定一個圓的方程，只需要

a、b.廠這三個獨立參數，因此，求圓的標準方程常用定義法和待定系數法.

知識點二：點和圓的位置關系

如果圓的標準方程為（尤-”）2+（,-加2=產，圓心為C（a,。），半徑為r,則有

（1）若點M（x（）,%）在圓上o|CM卜r。（豌）—-bp=r*2

（2）若點加00,%）在圓外白。^|>廠0（尤0—4）2+（%-6）2>/

-22

（3）若點M（Xo，%）在圓內<=>|CM|<r<=>（x0-a）+（j0-Z?）<r

知識點三：圓的一般方程

當獷+人裝〉。時，方程f+V+Dx+Ey+BuO叫做圓的一般方程.為圓心，

-y/D2+E2-4F為半徑.

2

知識點詮釋：

由方程V+^+m+硝+尸=o得（x+]y+g：="+

（1）當Z>2+E，-4/=0時，方程只有實數解尤=-《f=-1.它表示一個點（一~—,-■—）.

（2）當獷+石2_”<0時，方程沒有實數解，因而它不表示任何圖形.

（3）當￡>2+彥_4/>0時，可以看出方程表示以1-為圓心，^也。+E?—4F為半徑的圓.

知識點四：用待定系數法求圓的方程的步驟

求圓的方程常用“待定系數法”.用“待定系數法”求圓的方程的大致步驟是：

（1）根據題意，選擇標準方程或一般方程.

（2）根據已知條件，建立關于a、b、廠或。、E、尸的方程組.

（3）解方程組，求出a、枚r或D、E、b的值，并把它們代入所設的方程中去，就得到所求圓的方程.

知識點五：軌跡方程

求符合某種條件的動點的軌跡方程，實質上就是利用題設中的幾何條件，通過“坐標法”將其轉化為關于

變量x,y之間的方程.

1、當動點滿足的幾何條件易于“坐標化”時，常采用直接法；當動點滿足的條件符合某一基本曲線的定

義（如圓）時，常采用定義法；當動點隨著另一個在已知曲線上的動點運動時，可采用代入法（或稱相關點

法）.

2、求軌跡方程時，一要區分“軌跡”與“軌跡方程”；二要注意檢驗，去掉不合題設條件的點或線等.

3、求軌跡方程的步驟：

（1）建立適當的直角坐標系，用（羽丁）表示軌跡（曲線）上任一點M的坐標；

（2）列出關于的方程；

(3)把方程化為最簡形式；

(4)除去方程中的瑕點(即不符合題意的點)；

(5)作答.

【典型例題】

題型一：圓的標準方程

【典例11](2024?高二?河南南陽?階段練習)已知圓M經過P(U),Q(2,-2)兩點，且圓心M在直線

l:x-y+l=O,則圓”的標準方程是()

A.(x-2)*2+(y-3)2=5B.(x-3)2+(y-4)2=13

C.(x+3y+(y+2)2=25D.(x+3)2+(y-2)2=25

【答案】C

【解析】設圓心M的坐標為(。,匕).

因為圓心M在直線/：X-〉+1=0上，所以。-6+1=0①，

因為尸,。是圓上兩點，所以WP|=|M2],根據兩點間距離公式，有

J(a-以+(6-=J(a-2)2+(6+2)2,即a-3b-3=O@,

由①②可得a=-3,6=-2.所以圓心M的坐標是(-3,-2),圓的半徑r==1(1+3]+(1+2『=5.

所以，所求圓的標準方程是(x+3了+(y+2)2=25.

故選:C.

【典例12](2024.高二.河北張家口?階段練習)圓C:尤2+丁+6x-12y=0關于直線l:x-y+13=0對稱的圓

C的標準方程為()

A.(x+7)2+(y-10)2=45B.(x+7)2+(y+10)2=45

C.(x-7)2+(y-10)2=45D.(x-7)2+(j+10)2=45

【答案】A

【解析】圓C：Y+丁+6x—12y=0的標準方程為(x+3)2+^_6^=45)

所以圓心為C(-3,6),半徑廠=J45=3收.

設圓C'的圓心為C(a,〃)，

人-少+13=。

則廣2(2，解得。=-7/=10,

b-611

------xl=-I

、〃+3

圓C的半徑為3石，所以圓C'的標準方程為(x+7)2+(y-l0)2=45.

故選：A

【方法技巧與總結】

確定圓的方程的主要方法是待定系數法，即列出關于縱反r的方程組，求。、6、/■或直接求出圓心

(°,6)和半徑廠，一般步驟為：

(1)根據題意，設所求的圓的標準方程為(X-a)?-切2=/；

(2)根據已知條件，建立關于人氏廠的方程組；

(3)解方程組，求出a、b、廠的值，并把它們代入所設的方程中去，就得到所求圓的方程.

【變式11](2024?高二?四川成都?期末)已知圓C的圓心在直線x+y=0上，且圓C與》軸的交點分別為

A(0,4),B(0,-2),則圓C的標準方程為()

A.(x-l)2+(y+l)2=10B.(x+l)2+(y-Ip=10

C.(x-l)2+(y+l)2=A/H)D.(x+l)2+(y-l)2=V10

【答案】B

【解析】由題意設圓心坐標為

再由圓C與y軸的交點分別為4(0,4),磯0,-2),可得一°=專1=1，解得。=-1,

則圓心坐標為(—1,1),半徑r=J(o+i『+(4-l『=如.

,該圓的標準方程是(無+1丫+(y-1)2=。

故選：B.

【變式12](2024?高二.四川成都?階段練習)已知圓C的圓心C在直線上，且與x軸正半軸相切，點

C與坐標原點。的距離為&，則圓C的標準方程為()

A.(x+l)2+(y+l)2=lB.(x+l)2+(y+l)2=2

C.(x-l)2+(j-l)2=lD.(x-l)2+(j-l)2=2

【答案】C

【解析】由已知設圓心C(a,a),半徑r,再根據已知得|CO|=&/=歷,從而求出圓心和半徑，進而

得到圓的標準方程.因為圓心C在丁=%上，設圓心C(a,a),半徑r

又點C與坐標原點0的距離為亞，|CO|=JX+q2=應,解得：。=±1

又圓C與x軸正半軸相切，可知：。=1,r=l

所以圓C的標準方程為(XT)?+(k1)2=1.

故選：C.

【變式13](2024?北京?模擬預測)已知圓C與x軸的正半軸相切于點A,圓心在直線y=2x上，若點A在

直線x-y-4=0的左上方且到該直線的距離等于&,則圓C的標準方程為()

A.(%-2)2+(y+4)2=4B.(x+2>+(y+4)z=16

C.(無一2y+(y-4)2=4D.(%-2)2+(y-4)2=16

【答案】D

【解析】?..圓C的圓心在直線y=2x上，則可設C(a,2a),

?圓C與x軸正半軸相切與點A,，a>0且圓C的半徑r=2a,A(a,O).

，心陪什=拒，解得:

A到直線x_y_4=0的距離[=應,。=6或a=2,

V1+1

..A(2,0)或4(6,0),

A在直線x-y-4=0的左上方，，A(2,0),:.C(2,4),r=4,

.?.圓C的標準方程為：(x-2)2+(y-4產=16.

故選：D.

【變式14](2024?高二.內蒙古包頭?期中)已知圓C的圓心是直線x-y+l=0與y軸的交點，且圓C與直

線x+y+3=0相切，則圓C的標準方程為().

A.(x-iy+G+l)?=8B./+(y+l)2=2

C.x2+(j-l)2=8D.x2+(y-l)2=2

【答案】C

【解析】圓c的圓心是直線x-y+i=。與y軸的交點，.?.c(o,l).

|0+l+3|r-

又圓C與直線x+y+3=0相切，r=1,1=2V2.

Vl2+12

圓C的標準方程為/+"-丁=8.

故選：C.

【變式15](2024.高三.重慶.階段練習)若圓C與'軸相切于點尸(0」)，與x軸的正半軸交于A,3兩點,

且|AB|=2,則圓C的標準方程是()

A.(x+V2)2+(y+l)2=2B.(x+1)2+(y+^)2=2

22

C.(x-y/2)+(y-l)=2D.(x-lf+Cy-偽2=2

【答案】C

【解析】根據題意畫出圖形，結合圖形求出圓的半徑和圓心坐標，即可寫出圓的標準方程.如圖所示，

由題意，圓C的半徑為

22

r=Vl+l=A/2>

圓心坐標為(四,1),

???圓C的標準方程為(x-偽2+(―；

故選：C.

y,

題型二：圓的一般方程

【典例21］（2024.高一.浙江.期末）圓心為（1,-1）且過原點的圓的一般方程是（）

A.尤?++2x-2y+1=0B.x?+—2x+2y+1=0

C.x?++2x-2y=0D.x?+-2x+2y=0

【答案】D

【解析】原點與（I,」）的距離為夜,

則圓心為1）半徑為&的圓的方程為（尤-I,+（y+iy=2,

則該圓的一般方程是d+歹-2x+2y=0

故選：D

【典例22］（2024?高二?浙江寧波?期中）過三點4（4,-2），以1,-1）,C（l,4）的圓的一般方程為（）

B.尤2+y?+7x+3y+2=0

C.y~—7x+3y+2=0D.x2+y2-7x-3y+2=0

【答案】D

【解析】設圓的方程為無2+/+0》+4+尸=0,將A,8,C三點的坐標代入方程,

D-E+F=-2?。=一7

整理可得D+4E+F=-17?,解得.E=-3,

4D-2￡+F=-20F=2?

故所求的圓的一般方程為Y+/_7x-3y+2=0,

故選：D.

【方法技巧與總結】

（1）若一個圓可用一般方程表示，則它具備隱含條件》+爐一4尸＞0,解題時，應充分利用這一隱含

條件.

（2）一般地，當給出了圓上的三點坐標，特別是當這三點的橫坐標和橫坐標之間、縱坐標和縱坐標之

間均不相同時，選用圓的一般方程比選用圓的標準方程簡捷；而在其他情況下的首選應該是圓的標準方程,

此時要注意從幾何角度來分析問題，以便找到與圓心和半徑相聯系的可用條件.

【變式21］（2024?高二.廣東佛山?階段練習）已知A（2,0）,B（3,3）,C（-l,l）,則VABC的外接圓的一般方程

為（）

A.尤2+丁-2x+4y=0B.x?+y?—2x+4y+2=0

C.x2+y2-2x-4y=QD.x2+y2-2x-4y+l=0

【答案】C

22

【解析】設VABC外接圓的方程為：x+y+Dx+Ey+F=O,

22+02+2D+0￡+F=0D=-2

由題意可得:<32+32+3Z)+3E+F=0,解得:E=-4,

(-1)2+12-D+E+F=oF=0

即VABC的外接圓的方程為：r+/-2x-4y=0.

故選：C.

【變式22］（2024.高二.全國.課后作業）經過點A（l,6）和8（2,-2形），且圓心在x軸上的圓的一般方程為

（）

A.x2+y2-6y=0B.x2+y2+6y=0

C.無?+y~+6尤=0D.x?+y2-6x=0

【答案】D

【解析】設圓的方程為Y+y2+m+份+/=0（。2+片2-4/>。）,

P

因為圓心在無軸上，所以一一=0,即E=0.

2

又圓經過點A（l,百）和8（2,-2應），

F+(舟+。+尸=0,。+尸+6=0,D=-6,

所以《即2￡>+歹+12=0,解得

22+(-2A/2)2+2D+F=0,F=0.

故所求圓的一般方程為爐+/-6彳=0.

故選：D

【變式23］（2024.高二.全國.課后作業）已知圓￡（過三點A（L2）,磯1,-2）,C（2,@,點網6,2）,則圓。

的一般方程為，點尸在圓。（內/上/外）.

【答案】x2+y2-2x-3=0外

【解析】設圓。的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F^0,（D2+E2-4F>0）,

5+D+2E+F=0

因為圓。過A瓦C三點，可得5+O-2E+尸=0,解得。=-2,￡=0,歹=一3,

7+2D+>/3￡+F=0

滿足￡>2+n_4尸>0,所以圓。的方程為f+y2-2x-3=0,

將點尸（后2）代入方程得（石『+22一2石-3=4-2代＞0,所以點P在圓。外.

故答案為：尤?+/-2x-3=0；外.

【變式24】（2024.高二.安徽合肥?期中）已知點4（0,5）,B（1-2）,C（-3,Y）,O（2,a）四點共圓，則

a=.

【答案】1

【解析】設過A,B,C的圓的方程為/+必+.+4+尸=0,。2+5一4尸＞0）,

'25+5E+F=0

貝川5+D-2E+P=0,

25-3D-4E+尸=0

D=6

解得￡=-2,

F=-15

所以過A,B,C的圓的方程為無2+丁+6*一2,-15=0,

又點。在此圓上，

所以4+。2+12-2。-15=0,

即々2-24+1=0,

所以4=1,

故答案為：1

題型三：點與圓的位置關系

【典例31］（2024.高二.全國?隨堂練習）對于圓C：x2+y2-4x+l=0,下列說法正確的為（）

A.點A（L-l）圓C的內部B.點A（L-l）圓C的外部

C.圓C的圓心為（-2,0）D,圓C的半徑為3

【答案】A

【解析】對于A,B,將點A（1,T）代入圓C中，得12+（_l）2_4xl+l=-l＜0,所以點A（1,T）圓C的內

部，故A正確，B錯誤；

對于C,D,由犬+丫2-?+1=0得（x-2）2+V=3,所以圓C的圓心為（2,0）,半徑為r=石，故C,D錯

誤.

故選：A.

【典例32］（2024.高二.河北石家莊?期末）點尸（1,1）與圓/+/=1的位置關系為（）

A.點尸在圓外B.點尸在圓上C.點尸在圓內D.無法確定

【答案】A

【解析】因為圓f+V=l的圓心為：(0,0),半徑為：1.

由點(U)與圓心(0,0)的距離為：^(1-0)2+(1-0)2=V2，

又應>1.

所以點(1,1)在圓/+9=1外.

故選：A

【方法技巧與總結】

如果圓的標準方程為(x-a)2+(y-加2=產，圓心為C(a,“，半徑為r,則有

(2

1)若點在圓上<=>|CM|=r<=>(x0-af+(%-6)~=r

(2)若點M(Xo，%)在圓外o|CM|>r。(不—<7)一+(%->r

(3)若點A/(x(),%)在圓內o|CM|<ro(%o—a)?+(%-/?)一<r2

【變式31](2024?高二.全國?課后作業)已知圓(x-ay+(y-l)2=2a(O<a<l),則原點。在()

A.圓內B.圓外C.圓上D.圓上或圓外

【答案】B

【解析】由圓的標準方程(x-of+bT=Za,知圓心為(a/)，

則原點與圓心的距離為Jq2+],因為

所以=即原點在圓外.

故選：B.

【變式32](2024.江西.模擬預測)若點。,1)在圓％2+V—%—。=0的外部，則〃的取值范圍為()

A.C.(-8,1)D.(l,+oo)

【答案】A

【角星析】因為％2+丁2一工一〃=0可化為+y2=a+J_,則〃+所以〃>一9.

12)444

又點(1,1)在圓爐+/一%一^二。的外部，所以r+V—i—a,。，故avl,

綜上，一■-<a<1.

4

故選：A.

【變式33](2024?高三,全國?專題練習)已知兩直線>與y=2x+k+l的交點在圓/+,2=4的內

部，則實數攵的取值范圍是().

A.--<k<-lB.--<k<l

55

C.—<kD.—2<女<2

3

【答案】B

【解析】圓f+y2=4的圓心為（0,0）,半徑為2,

y=x+2k\x=k-l

由y=2x+左+1解得［y=3左一1

則直線>=尤+2左與y=2x+Al的交點為

依題意，伏一1了+（3左一I）?<4,解得

所以實數k的取值范圍是-巳<k<l.

故選：B

題型四：二元二次曲線與圓的關系

【典例41］（2024,［Wj—^全國,課后作業）若方程爐+J—3+2〉+2=0,無2+J—2%—4y+〃=0均表不圓,

則實數。的取值范圍為（）

A.1<-2或〃>2B.a<5

C.aV—2或2<av5D.。<-2或2vav5

【答案】C

【解析】由題知方程％2+/一雙+2y+2=0,/+/-2%-4丁+。。均表示圓,

4/2+4—8>0_

則，解得aV—2或2va<5.

4+16-4。>0

故選：C.

【典例42］（2024?高二?江蘇南通?期中）若方程%2+/+4加x-2y+4加2一機=。表示一個圓，則實數機的取

值范圍是（）

A.m<-lB.m<lC.m>-lD.///>-1

【答案】C

【解析】由。2+￡2_4/>0，

得（4m）2+（—2）2-4（4m2-m）>o,

即4m+4>0,

解得功>-1.

故選：C.

【方法技巧與總結】

待定系數法

[變式41]（2024?高二?江蘇徐州?階段練習）方程/+V一2mx-4y+2m2-4m-l=0所表示的圓的最大面

積為（）

A.4兀B.9兀C.8兀D.16幾

【答案】B

【解析】由題意整理可得：（%-機）2+（,一2）2=一療+4根+5,

則一環+4根+5>0,解得一1<根<5,

且圓的半徑r=，-療+4%+5=J-（*2）2+9<3,

當且僅當加=2時，等號成立，

即圓的半徑最大值為3,所以圓的最大面積為97t.

故選：B.

【變式42]（2024?高二?全國?課后作業）若方程無2+9+2以+2?+2/+。_1=0表示圓，則。的取值范圍

為（）

A.RB.<2<1C.a<lD.a>l

【答案】C

【解析】根據題意，若方程表示圓，

貝情（2ay+（2a『-4（2/+。-1）>0,解得a<l.

故選：C.

【變式43]（2024?高二?福建廈門?期中）若ae1-則方程/+丁+辦+2今+2a?+。一1=。表示

的圓的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】若方程/+/+依+2紗+2/+。一1=0表示圓，

貝lja2+（2〃y—4（2/+々-1）=一3〃2-4q+4>0n（3a-2）（a+2）<0,

解得

又a￡2,—,所以〃=—1或a=0,

即程x2+y~+ax+lay+2a~+<7—1=0表不的圓的個數為2.

故選：B

【變式44]（2024?高二.廣東.期末）已知方程/+；/+2彳-2沖+2。+4=0表示一個圓，則實數。取值范圍

是（）

A.（-oo,-l]u[3,+oo）B.[-1,3]

C.（-oo,-l）u（3,+oo）D.（-1,3）

【答案】C

【解析】因為方程f+丁+2_￥-2沖+2〃+4=0表示一個圓,

所以展+日）?-4x（2a+4）＞0,

BPa2-2a-3＞0,所以。＞3或“＜一1,

故選：C.

題型五：圓過定點問題

【典例51］（2024?高二?河北滄州?期末）已知點A為直線2x+y-10=0上任意一點，。為坐標原點.則以

（M為直徑的圓除過定點（0,0）外還過定點（）

A.（10,0）B.（0,10）C.（2,4）D.（4,2）

【答案】D

【解析】設OB垂直于直線2x+y-10=0,垂足為B,則直線08方程為：y=^x,

由圓的性質可知：以。4為直徑的圓恒過點B,

-2x+yT0=0屋=4

4

由=］_x得：.=2，，以。為直徑的圓恒過定點（42）?

y~2x

故選：D.

【典例52］（2024?高二?上海徐匯?期中）對任意實數施，圓/+丁_3〃a-6/+97〃-2=0恒過定點，則定

點坐標為

【答案】（L1）或匕3

【角星析】X2+y2—3mx-6my+9m-2=0,BPx2+y2-2-(3x+6y-9)m=0,

：

-2=01Tl7

mx=\y=l,或x=m，y=-

、13x+6y-9=0

所以定點的坐標是（LI）或

故答案為:

【方法技巧與總結】

合并參數，另參數的系數為零解方程即可.

【變式51］（2024?高二.江西南昌?階段練習）已知圓C:f+y2=4,點河（1,1）,平面內一定點N（異于點

\AN\,

M),對于圓C上的任意動點A,都有H寸為定值，定點N的坐標為.

【答案】(2,2)

【解析】設A(Xo，%),N(〃z,〃)，且考+y：=4,

222

|AZV|(x0-m)+(y0-n)l^—2m^xQ+^—2n^yQ+m+n+4

AM

1iv5-1)2+(%-1)2\(-2)x0+(-2)y0+6

因為曾為定值,設(-2加”(-22y：療y+4”.

\AM\(_2)/+(-2)%+6

化簡得：(22—2〃7)工0+(2/1—2〃)%+〃/+“2+4-64=0,與A點位置無關，

22—2m=0

所以22-2〃=0,

m2+/12+4-62=0

解得：祇=〃=1或〃?=〃=2,

因為異于點所以定點N為(2,2).

故答案為：(2,2).

【變式52](2024?高三?上海徐匯?期末)已知二次函數/(x)=/+2x+b(xeR)的圖像與坐標軸有三個不同

的交點，經過這三個交點的圓記為C,則圓C經過定點的坐標為(其坐標與6無關)

【答案】(0,1)和(-2,1)

【解析】二次函數/(x)=/+2x+6(xe&的圖像與坐標軸有三個不同的交點，記為

M(m,0),N(n,0\B(0,b),易知Z?w0,滿足〃z+〃=-2,〃?中及，加2+2m+6=0，rr+2n+b=0設圓

C方程為無2+丁+。.丫+4+尸=0,則

m2+Dm+F=00

<n2+Dn+F=0②,

b2+Eb+F=0?

①一②得"z2-〃2+。(加一")=0，。=一("?+”)=2,“2+2〃+p=o,從而R=

代入③得E=-6-1,

...圓C方程為爐+/+216+1)>+6=0,

整理得尤2+丁2+2尤-y+b(一y+l)=0,

,[x2+y2+2x-y=0[x=0,(x=-2

由々1八得41或11?

[-y+l=0[y=l[y=l

.?.圓C過定點(0,1)和(一2,1).

題型六：軌跡問題

【典例61](2024.高二.江蘇徐州.階段練習)在平面直角坐標系xOy中，已知點A(2,0),若點"滿足

AM2+MO2=10，則點M的軌跡方程是—.

【答案】%2+/-2X-3=0

【解析】設”(x,y),則有"一2)2+(＞一0)2+尤2+/=10,

化簡得%2+/-2X-3=0,即點M的軌跡方程是%2+/-2X-3=0.

故答案為：X2+/-2^-3=0.

【典例62](2024.高二?全國?隨堂練習)長度為6的線段A3的兩個端點A和B分別在龍軸和V軸上滑動，

則線段A3的中點用的軌跡方程為.

【答案】x2+y2=9

【解析】當A(或8)中有一個在原點處時，則|OM|=：|A@=3.

當AB均不在原點處時，AB,。三點構成以。為直角頂點的直角三角形.

由M為線段的中點，則|OM|=：|AB|=3

所以|。閭=3,則M的軌跡是以。為圓心，2為半徑的圓，其方程為：無2+丁=9

故答案為：x2+y2=9

【方法技巧與總結】

用直接法求曲線方程的步驟如下：

(1)建系設點：建立適當的直角坐標系，設曲線上任一點坐標為M(x,y)；

(2)幾何點集：寫出滿足題設的點〃的集合尸={M|P(M)}；

(3)翻譯列式：將幾何條件尸(M)用坐標x、y表示，寫出方程〃x,y)=0；

(4)化簡方程：通過同解變形化簡方程；

(5)查漏除雜：驗證方程表示的曲線是否為已知的曲線，重點檢查方程表示的曲線是否有多余的點，

曲線上是否有遺漏的點.

求軌跡時常用的方法：代入法

對于“雙動點”問題，即若已知一動點在某條曲線上運動而求另一動點的軌跡方程時，通常用這一方

法.代入法是先設所求軌跡的動點坐標為(尤,y),在已知曲線上運動的點的坐標為(x',y')，用x,y表示x',

了，即無，=/(尤,H，y，=g(x,y),并將它代入到已知曲線方程，即求出所求動點的軌跡方程.一般情況下，

證明可以省略不寫，如有特殊情況，可適當予以說明，即扣除不合題意的解或補上失去的解.

【變式61](2024?高二.北京大興.期中)已知等腰三角形A3C的頂點為44,2),底邊的一個端點為

8(5,3),則底邊的另一個端點C的軌跡方程為.

【答案】爐+：/-8E-4丫+18=007-2*0或除去點(3,1),(5,3))

【解析】設底邊的另一個端點C的坐標為(x,y),則J(4一■+但一獷=J(4一5『+(2一3『,

化簡可得爐+9-8%-4、+18=0,

因為A,且C三點構成三角形，所以三點不共線且反C不重合，

當A,民C三點共線時，左加=泮=1,

由直線的點斜式可得y-2=1X(X-4),化簡可得x-y-2=0,

所以點C的軌跡方程為犬+丫2_8工-4〉+18=0(尤-、-2r0或除去點(3,1),(5,3)).

故答案為：/+丁-8%-4>+18=0(左-、-2-0或除去點(3,1),(5,3)).

【變式62](2024?高二?河南南陽?階段練習)已知圓O：/+丁=4,A,B是圓上兩點，點「。,0)且

PAYPB,則線段AB中點R的軌跡方程是.

【答案】

【解析】如圖所示，R(x,y)是線段A3的中點，則ORLAB,

因為出，尸3,于是|PR|=；|AB|=|R8],

2

在RSORB中，|。回=2,網=&+y,1^=\RP\=^x-iy+y,

由勾股定理得2?=人+》+(%—1)2+丁,

整理得R(x,y)的軌跡是+/=1.

故答案為：[彳-g]+'2=：.

【變式63](2024.高二.廣東佛山.期末)已知點A(2,0),圓O：/+產=10上兩動點3、C滿足ABL3C,且

四邊形ABCD是矩形.

(1)當點8在第一象限且橫坐標為3時，求AD邊所在直線的方程；

(2)求點。的軌跡方程.

1-0

【解析】(1)設點3(3,，)J>0,由32+產=10,得，=1,直線A3的斜率上=三3=1,而AD2A5,

所以直線AD的方程為y-0=-L(x-2),即x+y-2=0.

(2)由于線段3c是圓。：/+>2=10的弦，則線段BC的中垂線必過圓心0,

又線段BC的中垂線是矩形ABCD的對稱軸，因此該對稱軸垂直平分線段A。，即沖=2,

顯然民C不重合，當反C重合時，點A,。重合，則點。的軌跡是以。為圓心，2為半徑的圓(除點A

外)，

所以點。的軌跡方程是/+丁=4(xw2).

【變式64](2024?高二?全國?課后作業)已知圓辦-3=0,圓心坐標為(1,0).

(1)求圓C的一般方程；

(2)若點尸為圓C上的動點，定點。(-1,4),求滿足條件=0的點M的軌跡方程并判斷它的形狀.

【解析】(1)因為圓C的圓心為(1,0),

所以-?!=：!,即a=-2,

則圓C的一般方程為x2+r-2-r-3=0.

(2)設”的坐標為(x,y),P(x0,y0)>

易得PM=(x——=

=

X—XQ—1—X,x=2x+l,

由=0得解得0

=4-y,%=2y-4.

因為點POo,%)為圓C上的動點,

所以滿足X；+y：-2x0-3=0,

所以(2尤+l>+(2y-4)2—2(2尤+1)—3=0,

化簡得點”的軌跡方程為爐+丁-分+3=0.

因為。2+(-4)2-4x3=4>0,

所以點M的軌跡為圓.

【變式65](2024.高二.全國.專題練習)如圖，已知點5的坐標為(2,0),尸是以點。為圓心的單位圓上的

動點(不與點CD重合)，/PQB的角平分線交直線必于點。，求點。的軌跡方程.

【解析】由三角形的角平分線的性質，可得蕾=.=2,所以=

設點。(無,y),尸(%,%)(%*0),則(尤-2,y)=2(x0-x,y0-y),

x-2=2尤0-2x_3尤一2_3>

所以>所以也一一-一，%-可

y=2y0-2y

因為%片0,所以ywo,

又因為點尸在圓。上，所以(與遂y+(g)2=l,即(無一$2+y2=1(yw。)，

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即點Q的軌跡方程為(x--)2+V=0).

【變式66](2024?高二?全國?課后作業)如圖，已知點4(1,0)與點8(1,0),C是圓力+/勺上異于4B

兩點的動點，連接BC并延長至。，使得|C0=|8C|,求線段AC與。。的交點P的軌跡方程.

【解析】設動點P(x,y),由題意可知尸是△ABD的重心，由A(l,0),8(1,0),

令動點C(xo,yd),則。(2加1,2yd),

一1+1+2%-1

A-

由重心坐標公式得c

v=M