熱點(diǎn)09空間向量與立體幾何

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測(cè)

2024年棱錐的體積、直線與平面所成的角異面直線及其所成的角，空間中直線

與平面之間的位置關(guān)系、平面與平面之間的位置關(guān)系、空間兩條直線的位置關(guān)

系，二面角的平面角及求法、直線與平面垂直

空間關(guān)系與空間角

2023年棱錐的結(jié)構(gòu)特征，二面角的平面角及求法、直線與平面平行、異面直線

的判定，直線與平面所成的角、點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

2022年圓柱的側(cè)面積，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，棱柱、棱錐、棱臺(tái)

的體積，直線與平面所成的角

熱點(diǎn)題型解讀

遜1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

醒2空間幾何體的表面積與體積

空間向量與立體幾何

型3點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

避4空間向量與立體幾何

題型1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

00混

空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

（1）多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺(tái)

S

>D'

圖形

AB

ABAB

底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似

側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形

（2）旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球

[0

圖形Aa1

互相平行且相等，

母線相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

垂直于底面

軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓

側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)

1.（2025?上海?模擬預(yù)測(cè)）如圖，是正四棱臺(tái),則下列各組直線中屬于異面直線的是（）.

ac

AB

A.和G2；B.44］和CC］；C.瓦和耳。；D.4。和

2.（2023?上海虹口?模擬預(yù)測(cè)）在圓錐尸。中，已知高尸。=2,底面圓的半徑為4,M為母線尸8的中點(diǎn)，根

據(jù)圓錐曲線的定義，下列四個(gè)圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線及拋物線，下面四個(gè)命題，正

確的個(gè)數(shù)為（）

PPP

/\M/

①圓的面積為4兀；

②橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為歷；

③雙曲線兩漸近線的夾角正切值為；；

④拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為丫

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）己知正方體/BCD-44。。和點(diǎn)尸，有兩個(gè)命題：

命題甲：存在加條過點(diǎn)尸的直線/,滿足/與正方體的每條棱所成角都相等；

命題乙：存在"個(gè)過點(diǎn)尸的平面a,滿足a與正方體的每個(gè)面所成銳二面角都相等；

則下列判斷正確的是（）

A.m>nB.m=n

C.m<nD."八〃的大小關(guān)系與點(diǎn)尸的位置有關(guān)

4.（2023?上海）空間中有三個(gè)點(diǎn)/、B、C,且4B=BC=C4=1,在空間中任取2個(gè)不同的點(diǎn)D,E

（不考慮這兩個(gè)點(diǎn)的順序），使得它們與/、8、C恰好成為一個(gè)正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)，則不同的取法有

種.

5.（2023?上海崇明?一模）用易拉罐包裝的飲料是超市和自動(dòng)售賣機(jī)里的常見商品.如圖，是某品牌的易拉

罐包裝的飲料.在滿足容積要求的情況下，飲料生產(chǎn)商總希望包裝材料的成本最低，也就是易拉罐本身的

質(zhì)量最小.某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)此想法通過數(shù)學(xué)建模進(jìn)行驗(yàn)證.為了建立數(shù)學(xué)模型，他們提出以下3個(gè)假設(shè):

（1）易拉罐容積相同；（2）易拉罐是一個(gè)上下封閉的空心圓柱體；（3）易拉罐的罐頂、罐體和罐底的厚度

和材質(zhì)都相同.

你認(rèn)為以此3個(gè)假設(shè)所建立的數(shù)學(xué)模型與實(shí)際情況相符嗎？若相符，請(qǐng)?jiān)谝韵聶M線上填寫"相符";若不相符,

請(qǐng)選擇其中的一個(gè)假設(shè)給出你的修改意見，并將修改意見填入橫線.

6.（2024?上海閔行?二模）已知空間中有2個(gè)相異的點(diǎn)，現(xiàn)每增加一個(gè)點(diǎn)使得其與原有的點(diǎn)連接成盡可能多

的等邊三角形.例如，空間中3個(gè)點(diǎn)最多可連接成1個(gè)等邊三角形，空間中4個(gè)點(diǎn)最多可連接成4個(gè)等邊三

角形.當(dāng)增加到8個(gè)點(diǎn)時(shí)，空間中這8個(gè)點(diǎn)最多可連接成個(gè)等邊三角形.

7.（2024?上海崇明?二模）已知底面半徑為1的圓柱，。是其上底面圓心，A、B是下底面圓周上兩個(gè)不同

的點(diǎn)，8c是母線.若直線。4與所成角的大小為W，則8C=.

8.（2024?上海?三模）已知點(diǎn)C在以48為直徑的球面上，若BC=2,則次.反.

9.（2023,上海寶山?一模）如圖，在圓錐S-O中，/C為底面圓。的直徑，SO=OC=1,點(diǎn)3在底面圓周

上，且=若E為線段42上的動(dòng)點(diǎn)，則ASEC的周長(zhǎng)最小值為

10.（2024?上海?三模）日常生活中，較多產(chǎn)品的包裝盒呈正四棱柱狀，烘焙店的包裝盒如圖所示，正四棱

柱/BCD-48cA的底面/BCD是正方形，且⑷?=3,AAX=\.

（A）（B）

店員認(rèn)為在彩繩扎緊的情況下,按照?qǐng)D/中H-E-g-月-F-G-&的方向捆扎包裝盒會(huì)比按照?qǐng)D

8中的十字捆扎法更節(jié)省彩繩（不考慮打結(jié)處的用繩量和彩繩的寬度）.則圖N比圖8最多節(jié)省的彩繩長(zhǎng)度

為.

11.（2024?上海青浦?二模）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體/BCD-43cA中，P、0、R在棱BC、8片上,

且尸=（腦=；,以《尸。尺為底面作一個(gè)三棱柱尸。尺-勺0圈，使點(diǎn)6,0,與分別在平面

AADD^DQCCJ44GA上，則這個(gè)三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為.

12.（2023?上海嘉定?一模）中國歷史悠久，積累了許多房屋建筑的經(jīng)驗(yàn).房梁為柱體，或取整根樹干而制

為圓柱形狀，或作適當(dāng)裁減而制為長(zhǎng)方體形狀，例如下圖所示.

材質(zhì)確定的梁的承重能力取決于截面形狀，現(xiàn)代工程科學(xué)常用抗彎截面系數(shù)少來刻畫梁的承重能力.對(duì)于

兩個(gè)截面積相同的梁，稱少較大的梁的截面形狀更好.三種不同截面形狀的梁的抗彎截面系數(shù)公式，如下

表所列,

圓形截面正方形截面矩形截面

條件廠為圓半徑a為正方形邊長(zhǎng)〃為矩形的長(zhǎng)，6為矩形的寬，h>b

1

抗彎截面系數(shù)%=-r3W2=%%=%bh?9

14

⑴假設(shè)上表中的三種梁的截面面積相等，請(qǐng)問哪一種梁的截面形狀最好？并具體說明；

⑵宋朝學(xué)者李誡在《營造法式》中提出了矩形截面的梁的截面長(zhǎng)寬之比應(yīng)定為3:2的觀點(diǎn).考慮梁取材于

圓柱形的樹木，設(shè)矩形截面的外接圓的直徑為常數(shù)。，如下圖所示，請(qǐng)問〃力為何值時(shí)，其抗彎截面系數(shù)取

得最大值，并據(jù)此分析李誡的觀點(diǎn)是否合理.

題型2空間幾何體的表面積與體積

1.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積

(l)Sg1梗例=2兀“，Sg|"=2m(F+/)(r為底面半徑，/為母線長(zhǎng)).

(2)S9W=nrl,S國4Mt=w(r+/)&為底面半徑，/為母線長(zhǎng)).

(3)S求表=4成2(尺為球的半徑).

2.空間幾何體的體積公式

(1)叱￡=S〃(S為底面面積，〃為高).

1

(2)%隹=/S/?(S為底面面積，〃為高).

1.______

(3)嗅=](S上+上6下+S/(S上,5下分別為上、下底面面積，〃為高).

4

⑷產(chǎn)球=1R3(R為球的半徑).

1..(2022?上海5已知圓柱的高為4,底面積為9萬，阮「圓柱的側(cè)面積為

2.（2024?上海長(zhǎng)寧?一模）已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為2,則該圓錐的體積是（結(jié)果保留兀）.

3.（2024?上海青浦?一模）已知圓柱”的底面半徑為3,高為百，圓錐N的底面直徑和母線長(zhǎng)相等.若圓柱

M和圓錐N的體積相同，則圓錐N的底面半徑為.

4.（2024?上海楊浦?一模）已知一個(gè)正四棱錐的每一條棱長(zhǎng)都為2,則該四棱錐的體積為.

5.（2024?上海普陀?一模）若圓錐PO的體積為逆E,它的母線與底面所成的角的余弦值為?，則圓錐尸O

33

的表面積為.

6.（2024?上海寶山?一模）將棱長(zhǎng)為2的正四面體繞著它的某一條棱旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為.

7.（2024?上海楊浦,一模）將一個(gè)半徑為1的球形石材加工成一個(gè)圓柱形擺件，則該圓柱形擺件側(cè)面積的最

大值為.

8.（2024?上海徐匯?一模）徐匯濱江作為2024年上海國際鮮花展的三個(gè)主會(huì)場(chǎng)之一，吸引了廣大市民前往

觀展并拍照留念.圖中的花盆是種植鮮花的常見容器，它可視作兩個(gè)圓臺(tái)的組合體，上面圓臺(tái)的上、下底面直

徑分別為30cm和26cm,下面圓臺(tái)的上、下底面直徑分別為24cm和18cm,且兩個(gè)圓臺(tái)側(cè)面展開圖的圓弧所

對(duì)的圓心角相等.若上面圓臺(tái)的高為8cm,則該花盆上、下兩部分母線長(zhǎng)的總和為cm.

9.（2024?上海奉賢?一模）上海市奉賢區(qū)奉城鎮(zhèn)的古建筑萬佛閣（圖1）的屋檐下常系掛風(fēng)鈴（圖2）,風(fēng)吹

鈴動(dòng)，悅耳清脆，亦稱驚鳥鈴，一般一個(gè)驚鳥鈴由銅鑄造而成，由鈴身和鈴舌組成，為了知道一個(gè)驚鳥鈴

的質(zhì)量，可以通過計(jì)算該驚鳥鈴的體積，然后由物理學(xué)知識(shí)計(jì)算出該驚鳥鈴的質(zhì)量，因此我們需要作出一

些合理的假設(shè)：

假設(shè)1：鈴身且可近似看作由一個(gè)較大的圓錐挖去一個(gè)較小的圓錐；

假設(shè)2：兩圓錐的軸在同一條直線上；

假設(shè)3：鈴身內(nèi)部有一個(gè)掛鈴舌的部位的體積忽略不計(jì).

截面圖如下（圖3）,其中O03=2Ocm,aa=18cm,^5=16cm,則制作100個(gè)這樣的驚鳥鈴的鈴身至少

需要千克銅.（銅的密度為8.9g/cn?）（結(jié)果精確到個(gè)位）

圖3

10.(2025?上海?模擬預(yù)測(cè))在三棱錐尸-/BC中，平面尸NC_L平面/8C,PA=AC=CP=2,

B

(1)若。是棱/C的中點(diǎn)，證明：8。/平面尸/C,并求三棱錐2-。?/的體積;

⑵求二面角8-尸C-N的大小.

11.(2024?上海靜安?一模)如圖的封閉圖形的邊緣由拋物線「和垂直于拋物線對(duì)稱軸的線段組成.已知

AB=4,拋物線的頂點(diǎn)到線段所在直線的距離為2.

(1)請(qǐng)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)這個(gè)封閉圖形的邊緣；

(2)在該封閉圖形上截取一個(gè)矩形CDEV,其中點(diǎn)C、。在線段上，點(diǎn)瓦尸拋物線「上.求以矩形CDE尸為

側(cè)面，CF為母線的圓柱的體積最大值；

⑶求證：拋物線「的任何兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一條直線上.

12.(2024?上海嘉定?一模)如圖所示，在三棱柱中，AB=AC,側(cè)面夕斗弓。，底面23C,點(diǎn)

瓦F分別為梭BC和4G的中點(diǎn).

(1)若底面A/BC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，且CG=2C,側(cè)棱CO與底面/8C所成的角為60。，求三棱柱

的體積；

(2)求證：E///平面444瓦

13.（2024?上海靜安?一模）如圖所示，正三棱錐的側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形.

C

（1）求正三棱錐A-BCD的體積/；

⑵設(shè)E、F、G分別是線段NC、/Z）WC的中點(diǎn).

求證：①CD//平面跖G；②若平面E-G交2。于點(diǎn)“，則四邊形EFHG是正方形.

14.（2024?上海）如圖為正四棱錐尸-/BCD,。為底面4BCD的中心.

（1）若4P=5,AD=342,求APCM繞尸。旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積;

（2）若幺P=4D,￡為尸8的中點(diǎn)，求直線8。與平面/EC所成角的大小.

15.（2022?上海）如圖所示三棱錐，底面為等邊ZU2C,。為/C邊中點(diǎn)，且尸。，底面NBC,

AP=AC=2.

⑴求三棱錐體積腺一”c；

（2）若“為8C中點(diǎn)，求PK?與面尸/C所成角大小.

題型3點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

I-W

1.判斷空間直線、平面位置關(guān)系的常用方法

（1）根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷，解決問題.

（2）必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長(zhǎng)方體、四面體等模型觀察線、面的位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)

I行判斷.

2.證明線線平行的常用方法

!①三角形的中位線定理；②平行公理；③線面平行的性質(zhì)定理；④面面平行的性質(zhì)定理.

（2）證明線線垂直的常用方法

i①等腰三角形三線合一；②勾股定理的逆定理；③利用線面垂直的性質(zhì)證線線垂直.

1.（2023?上海）如圖所示，在正方體4BCD-4耳GR中，點(diǎn)尸為邊4cl上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終

與直線8P異面的是（)

C.ADXD.BXC

2.（2022?上海）上海海關(guān)大樓的頂部為逐級(jí)收攏的四面鐘樓，如圖，四個(gè)大鐘分布在四棱柱的四個(gè)側(cè)面,

則每天0點(diǎn)至12點(diǎn)（包含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)）相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直的次數(shù)為（）

A.0B.2C.4D.12

3.（2022?上海）如圖正方體/BCD-45cl2中，尸、0、R、S分別為棱BC、BBX>CD的中點(diǎn),

連接4S,BXD.空間任意兩點(diǎn)M、N,若線段上不存在點(diǎn)在線段4S、片。上，則稱兩點(diǎn)可視,

C.點(diǎn)RD?點(diǎn)0

4.（2024?上海）空間中有兩個(gè)不同的平面a,分和兩條不同的直線冽，n,則下列說法中正確的是（）

A.若a_L月，mLa,nL/3,貝U冽_L〃B.若a_L夕，m-La,m-Lnf貝6

C.若a//〃，加//a,〃///7,則冽//〃D.若a//尸，mIla,mlIn,則〃//夕

5.（2024?上海）已知四棱柱45CD—451GA底面45cz）為平行四邊形，441=3,5。=4且

ABtBC-AD,DC=5,求異面直線與3。的夾角.

6.(2022?上海)如圖，圓柱下底面與上底面的圓心分別為。、。「為圓柱的母線，底面半徑長(zhǎng)為1.

(1)若441=4,M為/4的中點(diǎn)，求直線與上底面所成角的大小；(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

(2)若圓柱過OQ的截面為正方形，求圓柱的體積與側(cè)面積.

7.(2024?上海)如圖，PA、PB、PC為圓錐三條母線，AB=AC.

(1)證明：PAVBC-,

(2)若圓錐側(cè)面積為岳,8C為底面直徑，BC=2,求二面角2-尸/-C的大小.

8.（2023?上海）已知直四棱柱43co-/4G。，AB1AD,AB//CD,AB=2,AD=3,CD=4.

（1）證明：直線48//平面DCCQi；

（2）若該四棱柱的體積為36,求二面角4-加-/的大小.

9.（2023?上海）己知三棱錐尸一48c中，P/_L平面48C,AB±AC,PA=AB=3,AC=4,M為BC

中點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作平行于平面尸48的直線交/C、PC于點(diǎn)E,F.

（1）求直線PMr與平面N5C所成角的大小；

7T

10.（2024?上海?三模）如圖，在四棱錐中，平面尸平面48c。，ADHBC,NABC=—,

2

PA=PB=3,BC=1,AB=2,AD=3,點(diǎn)。是48的中點(diǎn).

(1)求證：POLCD-,

(2)求直線CP與平面POD所成角的正弦值.

11.(2024?上海普陀?一模)圖1所示的平行四邊形中，CA=CB=1,CD=收現(xiàn)將AD/C沿/C折

起，得到如圖2所示的三棱錐P-/8C,記棱PC的中點(diǎn)為M,且.PB=^.

P

⑴求證：AMLBC-

⑵記棱48的中點(diǎn)為E,在直線CE上作出點(diǎn)N,使得PNH平面MAB，請(qǐng)說明理由，并求出二面角P-NB-A

的大小.

12.(2024?上海寶山?一模)如圖，四棱錐尸-N5CO中，底面為矩形，PA=PB=AD=3,4B=4,

且該四棱錐的體積為46.

(1)證明：平面P/8,底面N8CD；

(2)求異面直線PC和AB所成角的余弦值.

13.(2024?上海楊浦?一模)如圖，在正方體/BCD-中，點(diǎn)石、尸分別是棱8C的中點(diǎn).

AEB

(1)求證:EF1BD、；

(2)求二面角4-斯-2的大小.

14.(2024?上海奉賢?一模)如圖為正四棱錐尸-ABC。。為底面/BCD的中心.

⑴求證：CD〃平面尸48,平面尸/C_L平面P5D；

—2—

⑵設(shè)￡為年上的一點(diǎn)，BE=-BP.

在下面兩問中選一個(gè)，

①若AD=AP=3g，求直線EC與平面BE。所成角的大小.

②已知平面ECD與平面4BCD所成銳二面角的大小為arctan",若AD=3母,求/尸的長(zhǎng).

2

15.（2024?上海奉賢?三模）如圖，四棱錐P-N2CD的底面是梯形，AD//BC,AB1BC,AB=BC=1,

P/_L平面48CD,CDVPC.

⑴求證：CD_L平面尸NC

7[

（2）若二面角尸-CD-4的大小為求尸。與平面P/C所成的角的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

16.（2024?上海崇明?一模）如圖，在直三棱柱N5C-4圈G中，￡、尸分別為4G、2C的中點(diǎn),

(1)求證：GF〃平面48E；

(2)求點(diǎn)C到平面ABE的距離.

17.(2024?上海長(zhǎng)寧?一模)如圖所示，四棱柱/BCD-44G2的底面488是正方形，。是底面的中心,

4。-L平面ABCD,AB—AA1=-\[2.

(1)求證：4。，平面。0。4；

(2)求直線與平面443所成角的正弦值.

18.(2024?上海徐匯?一模)如圖，在四棱錐尸-48co中,

ADHBC,ZADC=ZPAB=],8C=CO=；ND.E為棱N。的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成角的大小為].

（1）求證：CZ）//平面PBE；

TT

⑵若二面角。-CQ-4的大小為二，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.

4

19.（2024?上海黃浦?二模）如圖，在四棱錐P-48CD中，底面N3CD為矩形，點(diǎn)E是棱尸。上的一點(diǎn)，PB//

平面AEC.

BC

⑴求證：點(diǎn)E是棱陽的中點(diǎn)；

⑵若尸平面/BCD,AP=2,40=2百，尸C與平面ZBCD所成角的正切值為g,求二面角。-ZE-C

的大小.

20.（2024?上海閔行?一模）在直三棱柱NBC-481G中，AB=AC=2,AAt=3,ZBAC=90°,連接4C,

M、E分別為4c和8C的中點(diǎn).

A

G

(1)證明：直線EM〃平面4/84;

⑵求二面角4-8C-月的大小.

21.(2024?上海寶山?二模)如圖，已知點(diǎn)尸在圓柱。。的底面圓。的圓周上，為圓。的直徑.

(1)求證：BP1AXP-

(2)若04=2,NB0P=60°,圓柱的體積為16近萬，求異面直線/尸與4^所成角的大小.

題型4空間向量與立體幾何

!00O0

1.用向量法求異面直線所成的角的一般步驟

II

（1）建立空間直角坐標(biāo)系.

（2）用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量.

（3）利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.

j（4）注意兩異面直線所成角的范圍是（o,1,即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕

對(duì)值.

II

2.解決立體幾何中探索性問題的基本方法

:（1）通常假設(shè)問題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在或結(jié)論成立，再在這個(gè)前提下進(jìn)行推理，如果能推出與條件吻合的數(shù)據(jù)

或事實(shí)，說明假設(shè)成立，并可進(jìn)一步證明，否則假設(shè)不成立.

1?

（2）探索線段上是否存在滿足條件的點(diǎn)時(shí)，一定注意三點(diǎn)共線的條件的應(yīng)用.

~（2624^^$）"品又二不集答67集吝克素息至荷丙菽篌',臂敲不7豆：「薦茬元荃癡0詢聚￡

4，4，4，使得4函+4漉+4西=0.已知（1，o,o）eQ,則（0,o,1）e。的充分條件是（）

A.（0,0,O）eQB.（-1,0,O）eQC.（0,1,O）eQD.（0,0,-l）eQ

2.（2023?上海寶山?二模）在空間直角坐標(biāo)系。-平中，已知定點(diǎn)/（2,1,0）,8（0,2,0）和動(dòng)點(diǎn)

C（0,O+2）（/>0）.若.OAC的面積為S,以0,48,C為頂點(diǎn)的錐體的體積為囁則5的最大值為（）

A.—V5B.—y[5C.—"^5D.—y/s

155155

3.（2024?上海虹口?一模）已知邊長(zhǎng)為2的正四面體的內(nèi)切球（球面與四面體四個(gè)面都相切的球）

的球心為O,若空間中的動(dòng)點(diǎn)尸滿足麗=》無+>礪+z歷,X、了、ZG[0,1],則點(diǎn)尸的軌跡所形成的幾何體

的體積為（）.

A.41B.走C..2A/3D.回

33

4.（2024?上海靜安?一模）在四棱錐中，方=（4,-2,3）,通=（-4,1,0）,萬=（-6,2,-8）,則該四棱

錐的高為（）

A.4B.3C.2D.1

5.（2024?上海寶山?一模）如圖，正四棱柱48co的底面48CD邊長(zhǎng)為1，￡為上任意一點(diǎn)，F(xiàn)

為CG中點(diǎn)，若棱G2上至少存在一點(diǎn)尸使得PEL尸尸，則棱長(zhǎng)44的最大值為（）

A.—B.1C.V2D.2

2

6.（2024?上海徐匯?一模）已知向量Z=（2,5,l）［=（4,私5）,若＞各=3，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為.

7.（2024?上海崇明?一模）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（1,2,3）關(guān)于xQy平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.

8.（2023?上海奉賢?一模）在四面體尸-ABC中，若底面/8C的一個(gè)法向量為拓且屈=（2,2,-1）,

則頂點(diǎn)P到底面N3C的距離為.

9.（2023?上海）己知方、OB＞云為空間中三組單位向量，且礪、OA1OC,用與肉夾角為

60°,點(diǎn)尸為空間任意一點(diǎn)，且|礪|=1,滿足|存?］向方?歷萬?方|,則|9?云|最大值

為.

10.（2024?上海嘉定?一模）已知空間向量函，函,兩兩兩垂直，若空間點(diǎn)A滿足|福|=|礫|=|五瓦|=1,

記歷=西+西+西，且網(wǎng)＜1,則網(wǎng)的取值范圍為.

11.（2024,上海虹口?一模）如圖，已知正三角形N8C和正方形BCL見的邊長(zhǎng)均為2,且二面角

的大小為m則元?麗=

12.（2024?上海虹口?一模）如圖，已知在四棱柱288-斯中，及4J_平面NBC。，N、M分別是

EF、的中點(diǎn).

⑴求證：如〃平面如物；

⑵若底面NBC。為梯形，4B〃CD,4B=EA=2,AD=DC=1,異面直線與助所成角為;IT.求直線/N

與平面/尸N所成角的正弦值.

13.（2023?上海長(zhǎng)寧?三模）已知△N8C和所在的平面互相垂直，AD1AE,AB=2,AC=4,

/A4c=120。，。是線段BC的中點(diǎn)，AD=^3.

（1）求證：AD±BE；

⑵設(shè)NE=2,在線段/￡上是否存在點(diǎn)尸（異于點(diǎn)A）,使得二面角4-8尸-C的大小為45。.

14.（2023,上海閔行?二模）己知正方體N8CD-481GA，點(diǎn)E為4。中點(diǎn)，直線4G交平面CDE于點(diǎn)尸.

⑴證明：點(diǎn)廠為5G的中點(diǎn);

⑵若點(diǎn).為棱的上一點(diǎn)，且直線叱與平面所成角的正弦值為吟’求工的值.

15.（2022?上海崇明?二模）如圖，正方體/BCD-4片G。的棱長(zhǎng)等于4,點(diǎn)E是棱。。的中點(diǎn).

⑴求直線4月與直線8c所成的角；

⑵若底面上的點(diǎn)P滿足尸2，平面4EG，求線段。尸的長(zhǎng)度.

16.（2023?上海虹口?一模）如圖，在三棱柱/8C-44G中，底面/8C是以/C為斜邊的等腰直角三角形,

側(cè)面A4CC為菱形，點(diǎn)4在底面上的投影為/C的中點(diǎn)。，且A8=2.

⑴求證：BDLCC1；

（2）求點(diǎn)C到側(cè)面AA.B.B的距離；

⑶在線段4用上是否存在點(diǎn)E，使得直線。E與側(cè)面44出內(nèi)所成角的余弦值為如？若存在，請(qǐng)求出耳￡的

7

長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

17.（2024?上海?三模）如圖，在直三棱柱48C-&B|G中，AAt=AB=2,AC=1,ZACB=90°,。是棱

上的一點(diǎn).

W^AD=DB,求異面直線耳。與4G所成的角的大小;

（2）若COL5Q,求點(diǎn)2到平面4。的距離.

18.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）如圖，多面體/BCD及1是由一個(gè)正四棱錐/-BCDE與一個(gè)三棱錐尸拼

接而成，正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為3亞，曳AFHCD.

⑴在棱DE上找一點(diǎn)G,使得平面ABC，平面//G,并給出證明;

⑵若/尸求直線。尸與平面/8C所成角的正弦值.

19.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）如圖，PA、PB、尸C為圓錐三條母線，AB=AC.

⑴證明:尸

（2）若圓錐側(cè)面積為百私8C為底面直徑，BC=2,求二面角2-P/-C的大小

限時(shí)提升練

（建議用時(shí)：60分鐘）

一、填空題

1.（2024?上海楊浦?二模）正方體/BCD-481G，中，異面直線42與。G所成角的大小為.

2.（2024?上海?三模）如圖，矩形4BCD中，￡為的中點(diǎn)，AB=1,BC=2,連接￡8,EC,若4BEC

繞直線AD旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積為.

3.（2024?上海?三模）底面半徑長(zhǎng)為1cm,母線長(zhǎng)為亞cm的圓柱，體積為

4.（2023?上海崇明?一模）己知圓錐的母線與底面所成角為45。，高為1,則該圓錐的母線長(zhǎng)為.

5.（2024?上海?三模）已知空間向量2=（1,TO）,S=（0,1,1）,工=（1,2,加）共面,則實(shí)數(shù)羽=

6.（2024?上海徐匯?一模）己知見〃為空間中兩條不同的直線，44為兩個(gè)不同的平面，若

機(jī)uc,an夕=",貝1］加〃"是m〃夕的條件.（填："充分非必要"、"必要非充分"、"充要"、"既非充分

又非必要”中的一個(gè)）

7.（2023?上海普陀?一模）設(shè)圓錐的底面中心為。，PB,PC是它的兩條母線，且8c=2,若棱錐O-P2C

是正三棱錐，則該圓錐的側(cè)面積為.

8.（2024?上海靜安?二模）正四棱錐P-42。底面邊長(zhǎng)為2,高為3,則點(diǎn)A到不經(jīng)過點(diǎn)A的側(cè)面的距離

為.

9.（2025?上海,模擬預(yù)測(cè)）已知尸是一個(gè)圓錐的頂點(diǎn)，P/是母線，PA=2,該圓錐的底面半徑是1.B、C

分別在圓錐的底面上，則異面直線PA與BC所成角的最小值為.

10.（2024?上海奉賢?三模）如圖，已知三角形為直角三角形為直角），分別連接點(diǎn)B與線段。4的力

等分點(diǎn)4，4,4T得到〃個(gè)三角形依次為7,勺，…，將。43繞看08所在直線旋轉(zhuǎn)一周，記

、，勺，…，△“旋轉(zhuǎn)得到的幾何體的體積依次為匕，V2,....V?,若匕=1匕=49,則三角形048旋轉(zhuǎn)得

到的幾何體的體積V=.

B

O444-2An.\A

11.（2023?上海?模擬預(yù)測(cè)）空間內(nèi)存在三點(diǎn)4B、C,滿足/8=NC=8C=1,在空間內(nèi)取不同兩點(diǎn)（不

計(jì)順序），使得這兩點(diǎn)與/、B、C可以組成正四棱錐，求方案數(shù)為.

12.（2024?上海奉賢?三模）已知正方體43CO-48cA的棱長(zhǎng)為3,用，E2,心為正方形/BCD邊上

的《個(gè)兩兩不同的點(diǎn).若對(duì)任意的點(diǎn)耳，存在點(diǎn)約億，e{l，2,…，得/力