熱點06全等三角形與特殊三角形

明考情■知方向，

中考數學中全等三角形與特殊三角形部分主要考向分為四類：

一、與三角形有關的線段（每年1~2道，3~6分）

二、與三角形有關的角（每年1~2道，3~6分）

三、全等三角形（每年1~3道，3~18分）

四、等腰三角形（每年1~2道，3~12分）

五、直角三角形（每年1~2道，3~18分）

六、勾股定理（每年1~3道，3~8分）

中考中全等三角形是必考內容，結合幾何變換（平移、翻折、旋轉）設計題目，常與特殊三角形

（如等腰三角形、直角三角形）結合，要求全等關系解決周長、面積和線段比例關系等問題。選擇題

或填空題中直接考查全等三角形的判定條件,在解答題中常作為中間步驟,或結合函數探究動點問題。

在考試中也常結合輔助線（添加高線、中線或角平分線構造可解的直角三角形或等腰三角形）和方程

（利用勾股定理和全等三角形的關系列方程）考查，熟練掌握全等三角形和特殊三角形的性質與判定

是得分關鍵。

熱點題型解讀

【題型1】三角形三邊關系

【題型2】利用三角形三邊關系求最值

?考向一：與三角形有關的線段

【題型3】三角形的高、中線和垂直平分線

【題型4】與平行線有關的

【題型5】與垂直平分線有關的

?考向二：與三角形有關的角

【題型6】與旋轉和翻折有關的

【題型7】全等三角形的性質和判定

【題型8】添加一個條件使得全等

【題型9】全等三角形綜合

考向三：全等三角形

【題型10】角平分線的性質與判定

。全等三角形和特殊三角形【題型11】垂直平分線的性質與判定

【題型12】等腰三角形的性質與判定

考向四：等腰三角形【題型13】等腰三角形手拉手模型

【題型14】含30°的直角三角形

0考向五：直角三角形【題型15】斜邊上的中線等于斜邊的一半

【題型16】勾股定理與網格問題

【題型17】勾股定理與折疊問題

【題型18】以弦圖為背景的計算

?考向六：勾股定理

【題型19】勾股定理的應用

【題型20】勾股定理逆定理的應用

考向一：與三角形有關的線段

【題型1三角形三邊關系】

與三角形有關的線段是中考中常考的題型，難度中等，核心題型分析如下：

①直接判斷三邊關系

典型題例：已知兩邊長，求第三邊可能的取值范圍。

方法：利用三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊，例如：若三角形兩邊為4和9,第

三邊c需滿足5<c<13,選項中符合的為6；

易錯點:忽略隱含條件（如第三邊為整數、周長為偶數等）導致多解或漏解。

③等腰三角形分類討論

典型題例：已知等腰三角形一邊長，求周長或另一邊的可能值。

方法：需分情況討論底邊和腰，并驗證是否滿足三邊關系。例：等腰三角形兩邊為5和6,周長為

16或17；

易錯點：未分類討論或未排除不滿足三邊關系的解。

③方程與三邊關系結合

典型題例：已知三角形兩邊是方程的根，求參數范圍或周長；

方法：利用方程求根公式，結合三邊關系篩選有效解。例：等腰三角形腰長為方程x2-mx+6=0的根,

需驗證根的合理性；

易錯點：未檢驗方程的根是否滿足三角形存在條件。

④幾何證明中的三邊關系應用

典型題例：證明線段不等關系或角度關系，

方法：通過構造輔助線或利用外角定理，結合三邊關系推導；

易錯點:忽略輔助線對三邊關系的間接影響。

1.（2024?四川攀枝花?一模）已知等腰三角形的三邊長分別是2,x,6,則這個等腰三角形的周長是

（）

A.8+xB.10C.10或14D.14

2.（2023?四川達州?一模）已知實數。，6滿足|。-3|+=0,則以a,6的值為兩邊長的等腰三

角形的周長為.

3.（2024?四川樂山?二模）已知△ABC的三邊分別為2,x,5,化簡&-6x+9+卜-7|=.

4.（2023?四川廣安?二模）已知等腰三角形的兩邊長滿足+/-46+4=0,那么這個等腰三角形

的周長為.

5.（2023?四川涼山?一模）已知等腰三角形ABC的一邊長a=6,另外兩邊的長6,c恰好是關于x的一

元二次方程d-（3Z+3）x+%=0的兩個根，則AABC的周長為

6.（2024?四川南充?二模）已知關于x的一元二次方程彳2-（加-3卜+2優-10=0.

⑴求證：此一元二次方程總有實數根；

（2）已知△ABC兩邊長a,6分別為該方程的兩個實數根，且第三邊長c=3,若仆ABC的周長為偶數，

求m的值.

【題型2利用三角形三邊關系求最值】

中考常見題型分析

①第三邊取值范圍判定

核心方法：根據三角形三邊關系|a-b|<c<a+b建立不等式，結合幾何或代數條件篩選結果；

②動態幾何中的最值問題

解題策略：通過構造輔助線（如中點、對稱點）將動態問題轉化為固定三角形的三邊關系。

典型模型：矩形/圓中的動點:取關鍵點（如中點），利用直角三角形斜邊中線性質或圓半徑不變性；

實戰技巧總結

①固定模型記憶：如“將軍飲馬”模型（對稱性轉化）、直角三角形斜邊中點性質。

②坐標系輔助：通過坐標計算幾何量，結合函數求極值。

③動態問題三步法：I確定動點軌跡；H構造輔助三角形或對稱點；III驗證共線條件是否滿足；

1.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，在△ABC中，AB=37I,AC=2,以3C為邊作RtZk5CD,3c=%）,

點。與點A在的兩側，則AD的最大值為（

DC

A.2+3收B.6+2近C.5D.8

2.（2024?四川自貢?一模）如圖，在RIAAOB中,ZAOB=90°,04=8,OB=\\,以。為圓心，4為

半徑作0。，分別交兩邊于點C,D兩點,P為劣孤上一動點，則的最小值—

3.（2024?四川成都?一模）如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB=8,點￡、尸分別為線段AD,BC上的

動點，且2AE=3/，四邊形但3關于直線斯對稱后得到四邊形A'EEg',連接C2',則C￡的最小

值為.

4.（2024?四川綿陽?二模）如圖，正方形ABCD中，AB=4,M是CD邊上一個動點，以CM為直徑

的圓與BM相交于點。，P為CO上另一個動點，連接AP,PQ,則AP+尸。的最小值

【題型3三角形的高、中線和垂直平分線】

3sw

三角形的高、中線和垂直平分線在四川中考中往往不會單獨考查，常出現在其他題型的中間步驟，

作為一個橋梁解整個題，常見的中考考查題型與解題思路如下：

①三角形的高：結合面積公式計算高線長度，或利用高線證明三角形全等/相似；

②三角形的中線：（a周長與面積計算：已知中線長度或分點比例，求邊長或面積（如中線分三角形為

面積相等的兩部分，結合重心性質（重心分中線為2:1）求線段比例或面積比；（b存在性討論：等腰三

角形邊長分類時，忽略“兩邊之和〉第三邊“導致多解錯誤。

易錯點：誤認為中線平分角度（中線僅平分對邊，不一定平分角），混淆中線與中位線概念，導致公式

誤用（中位線平行于第三邊且等于其一半）。

③垂直平分線：利用垂直平分線性質求線段相等或角度（如外心到頂點距離相等），證明某點為三角形

的外心，或判斷三角形類型（如外心在直角三角形斜邊中點）

易錯點：混淆垂直平分線與角平分線的性質（垂直平分線涉及線段端點等距，角平分線涉及角度相等）

忽略垂直平分線的“垂直”條件，僅關注距離相等導致證明不嚴謹。

1.（2024?四川瀘州?二模）在計算tanl5。的值時，可以借用“數形結合”思想構建幾何圖形的方法解決,

如圖，在Rt^ACB中，ZC=90°,ZABC=30°,延長CB到。使=連接AO,得"=15。,

設AC=a,則AB=r>8=2a,BC=?a,CO=(2+⑹a,RgACD中

AC12-石

=2-73.類比這種方法，可以得到tan22.5。的值為（

DC2+6(2+⑹(2-⑹

A.72+1B.V2-1C.亞D.1

2.（2023?四川眉山?中考真題）如圖，AABC中，AD是中線，分別以點A,點B為圓心，大于;4臺

長為半徑作弧,兩孤交于點M,N.直線MN交AB于點E.連接CE交AD于點E過點。作OG〃CE,

交于點G.若OG=2,則CP的長為.

3.（2024?四川綿陽?二模）如圖，線段A5〃CD,AD與BC相交于點E,ZB-ZA=30°,EMLCD

于點M,EN平分NCED交CD于點、N,則/MEN的度數是

4.（2024?四川南充?三模）如圖，在AABC中，AC=BC,A。，BC于。，CE平分/ACB,與AD交

于E,若4=54。，則/AEC的度數為.

A

5.（2024?四川廣元?中考真題）點尸是正五邊形ABCDE邊。E的中點，連接3/并延長與C。延長線

交于點G,則/3GC的度數為

6.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，△ABC中，^BCD=3Q°,，ACB=8O。，CD是邊AB上的高,

AE是—C4B的平分線，則NAEB的度數是

考向二：與三角形有關的角

【題型4與平行線有關的三角形內角和】

高頻題型分析

①平行線性質與判定的綜合應用

題型特征：常結合復雜圖形，要求通過添加輔助線或利用平行線性質（同位角內錯角、同旁內角）進行

角度計算或證明；

若出現“三線八角“模型，需注意區分不同位置角的性質，避免混淆；

②三角形內角和與角平分線結合

題型特征：涉及角平分線、高線、中線的綜合計算，或與折疊、動態問題結合。若題目給出角平分

線，需注意“等角代換"和三角形內角和為180。的隱含條件；

得高分需要注意：

①強化基礎定理：熟記平行線性質與判定、三角形內角和定理及其推論，明確各定理的適用條件。

②提升圖形分析能力：對復雜圖形進行分解，標記已知角和邊，優先尋找“三線八角“"A字型“"Z字

型“等基本模型。

③注重細節審題：遇到“至少““至多”“取值范圍”等關鍵詞時，注意分類討論計算后驗證結果是否符

合幾何常識（如三角形內角和是否為180°）

1.（2024?四川資陽?中考真題）如圖，AB//CD,過點。作OE）AC于點E.若/。=50。，則/A的

C.150°D.160°

2.（2024?四川廣安?中考真題）如圖，在AABC中，點￡）,E分別是AC,的中點，若NA=45。,

ZCED=70。，則NC的度數為（）

A.45°B.50°C.60°D.65°

3.（2024?四川德陽?中考真題）如圖是某機械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中鉆〃CD,

DE±BC,ZABC=10°,則ZEDC等于（）

4.（2023?四川眉山?中考真題）如圖，48切0。于點8,連接。4交0。于點C,交0。于

點。，連接CD,若NOCD=25。，則/A的度數為（）

5.（2023?四川達州?中考真題）如圖，AE//CD,AC平分/BCD,N2=35。,/。=60。則//=（）

A.52°B.50°C.45°D.25°

6.（2024?四川眉山?一模）在△ABC中，ZA=46。，ZB=54°,CD平分工AC3交43于。，DE//AC,

交BC于E,則NCDE的大小是（）

7.（2024?四川樂山?二模）如圖，四邊形ABCD內接于。。，BC//AD,ACJ.BD.若NA8=120。,

則NC4O的度數為（）

8.（2024?四川遂寧?二模）將一把直尺和一塊含30。和60。角的三角板ABC按如圖所示的位置放置,

如果NCDE=42。，那么/B4尸的大小為（）

C

D

E

A.10°B.12°C.18°D.20°

【題型5與垂直平分線有關的三角形內角和】

①垂直平分線性質與內角和的直接計算

題型特征：題干中給出垂直平分線條件，結合三角形內角和定理或外角性質求角度。

關鍵點：垂直平分線構造等腰三角形，結合內角和與外角定理；

②垂直平分線與角平分線綜合題

題型特征：同時涉及垂直平分線和角平分線，需綜合應用兩種性質；

③折疊問題中的垂直平分線

題型特征：圖形折疊后，折痕為某邊的垂直平分線，需利用對稱性求角度；

易錯點及規避策略

①混淆垂直平分線與角平分線

錯誤：誤認為垂直平分線會平分角；

糾正：垂直平分線僅保證線段相等，不涉及角度平分3；

②忽略等腰三角形的底角關系

錯誤：未利用垂直平分線構造的等腰三角形性質（如底角相等）

糾正：明確標注等腰三角形，列出角度方程。

③多步驟計算中的邏輯跳躍

錯誤：跳過中間角度的推導，直接得出結果

糾正：分步標注已知角和推導角，逐步驗證。

④折疊問題中的對稱性誤判

錯誤：未識別折痕為垂直平分線，導致對稱點找錯；

糾正：明確折痕是兩點連線的垂直平分線，利用對稱性確定對應角相等；

1.（2023?四川涼山?中考真題）如圖，在等腰VABC中，ZA=40°,分別以點4點B為圓心，大于JAB

為半徑畫弧，兩弧分別交于點M和點N,連接MN,直線"N與AC交于點。，連接貝U/DBC

的度數是（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

2.（2024?四川涼山二模）如圖，矩形43。。的對角線相交于點0,過點。作0萬，2。，交4￡＞于點￡,

連接BE.若/ABE=20。，則ZAOE的度數是（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

3.（2023?四川?中考真題）如圖，a//b,直線/與直線a,6分別交于8,A兩點，分別以點A,B為

圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點E,尸，作直線EF,分別交直線a,6于點C,D,

連接AC,若NCDA=34。，則/。R的度數為.

4.（2023?四川眉山一模）如圖，在△ABC中，3C邊的垂直平分線交于。，交A8于E,若CE平

分NACB,ZB=4O°,則NA=度.

A

5.（2024?四川綿陽?二模）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以2,C為圓心，以大于;BC

的長為半徑作弧,兩弧相交于兩點M,N；②作直線MN交AB于點D,連接CD.若CD=AC,NA=48。,

則NACB=.

6.（2023?四川成都?二模）如圖，在△ABC中，分別以點A和C為圓心，以大于（AC的長為半徑作

弧，兩弧相交于點M和N,作直線交邊AB于點。.若AD=3C,ZA=35°,則4CB的度數

為（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

7.（2024?四川成都?三模）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,分別以點A和點B為圓心，大于

的長為半徑作弧，兩弧相交于M,N兩點，作直線"N,"N分別交AB,3C于點D,E,連接CD.若

/B=2/CDE,則一A等于.

【型6與旋轉和翻折有關的三角形內角和】

①旋轉類問題：旋轉題型常通過構造全等三角形、等腰三角形或特殊角度關系，結合三角形內角和

性質命題；

（a等腰三角形旋轉：旋轉后生成等腰三角形，利用底角相等、三線合一等性質解題；

（b直角三角形旋轉：常結合30。、45。等特殊角，通過勾股定理或銳角三角比計算邊長；

（c半角模型：旋轉角度為原角的一半，需結合相似三角形和方程思想；

②翻折類問題：翻折本質是軸對稱變換，需關注折疊前后對應邊角關系

（a構造特殊三角形：如折疊后形成等腰/直角三角形，利用內角和與邊角關系求解；

⑹一線三直角模型：翻折后出現三個直角，結合相似三角形或勾股定理；

（c動態分類討論：翻折后點位置不確定時，需分情況討論。

1.（2024?四川攀枝花?一模）如圖，在^ABC中，ZC4B=70°,將小ABC繞點A逆時針旋轉到△AB'C'

的位置，使得CC'〃AB,劃NBAS'的度數是（）

C.50°D.70°

2.（2024?四川達州?一模）如圖，△ABC^AADE,ZB=30°，Z￡=115°,則NBAC的度數是（

A.35°B.30°C.45°D.25°

3.（2024?四川南充?一模）如圖，△ABC中，ZACB=90。,=30。，將^ABC繞點C順時針旋轉90。

得對應A￡>EC,連接BE,貝IJNBBD的大小為（）

A.45°B.30°C.22.5°D.15°

4.（2023?四川瀘州?一模）如圖，四邊形ABCD中，AB//CD,將四邊形沿對角線AC折疊，使點B落

在點處，若N1=N2=44。，則為（）

C.114°D.124°

5.（2024?四川涼山?一模）如圖，在△ABC中，ZABC=90°,ZC=55°,將△ABC繞點3逆時針旋

轉得到△ABC',若點C'恰好落在線段AC上，AB.AC'交于點。，則NA'DB的度數是.

考向三：全等三角形

【題型7全等三角形的性質和判定】

全等三角形核心知識點

①基本性質

對應邊、角相等，周長、面積相等，對應高線、中線、角平分線相等;

隱含條件:公共邊、公共角、對頂角、平角180。等常被忽略。

②全等三角形的判定

判定方法適用條件

SSS三邊對應相等

SAS兩邊及夾角對應相等

ASA兩角及夾邊對應相等

AAS兩角及一角的對邊對應相等

HL（僅限直角三角形）斜邊及一條直角邊對應相等

4

1.（2024?四川成都?中考真題）如圖，△ABC四△CDE,若NO=35。，ZACB=45°,則，。CE的度

2.（2023?四川成都?中考真題）如圖，已知△ABC絲點8,E,C,尸依次在同一條直線上.若

3c=8,CE=5,則C/的長為.

3.（2024?四川成都?一模）如圖，AABC/AADE,且AE〃瓦〉NADB=45。，則/BAC的度數

為.

4.（2024?四川遂寧?中考真題）如圖1,△ABC與△A[31G滿足NA=NA,AC=,BC=B￡,

NCw/G，我們稱這樣的兩個三角形為“偽全等三角形”如圖2,在△ABC中，AB=AC,點RE在

線段BC上，且BE=8,則圖中共有“偽全等三角形”（）

cGA

4B4BiD

圖1圖2

A.1對B.2對C.3對D.4對

5.（2024?四川宜賓?一模）如圖，點E在△ABC邊AC上，AE=BC,BC//AD,ZBAC=ZADE.

(1)求證：

⑵若/C4D=30。，求/BCD的度數.

【題型8添加一個條件使得三角形全等】

在解決中考中“添加一個條件使三角形全等”的題型時，需要結合全等三角形的判定定理和題目特征,

靈活補充邊、角或特殊線段條件。以下從題型分析和解題技巧兩方面進行總結；

一、題型分類與條件補充思路

①已知兩邊對應相等

補充條件

夾角相等(SAS)：若圖形中存在公共角或隱含角度關系(如垂直、平行等)，可補充夾角相等；

第三邊相等(SSS)：適用于需要構造穩定結構的情況，如正方形、等邊三角形等。

②已知一邊一角對應相等

補充條件：

另一角相等(ASA/AAS)：若已知角為夾邊角，補充另一角；若已知角為非夾邊角，補充對應邊。

另一邊相等(SAS/AAS)：注意邊角位置關系；

二、解題技巧與策略

①逆向分析法：從全等結論出發，反推所需條件。例如，若需用SSS定理，則需補充第三邊；若

需用AAS,則需補充一對角。

②圖形特征觀寨

公共邊/角：利用圖形中的公共邊、對頂角、平行線內錯角等隱含條件；

對稱性：在正方形、等邊三角形中，對稱邊或角可直接作為補充條件。

③排除法：若選項中存在多個可能條件，需逐一驗證是否符合判定定理，排除不符合的選項（如SSA

不能作為一般判定）；

④特殊構造法

截長補短：當需證明線段和差關系時，截取或延長線段構造全等三角形；

旋轉/翻折：通過旋轉或翻折圖形，將分散條件集中。

1.（2023?四川涼山?中考真題）如圖，點亂/在上，BE=CF,NB=NC,添加一個條件，不能

證明AAB/四△OCE的是（）

ZAFB=ZDECC.AB=DCD.AF=DE

2.（2023?四川甘孜?中考真題）如圖，與CD相交于點0,AC//BD,只添加一個條件，能判定

A.ZA=ZDB.AO^BOC.AC=BOD.AB=CD

3.（2022?四川成都?中考真題）如圖，在丫48（7和^0防中，點A，E,B,。在同一直線上，AC//DF,

AC=DF,只添加一個條件，能判定△ABC四的是（）

AC

\

F'D

A.BC=DEB.AE=DBC.ZA=ZDEFD.ZABC=ZD

4.（2024?四川成都?二模）如圖,已知A3與CD相交于點。，AC//BD.只添加一個條件，能判定

△AOC四△300的是（）

C

一

D

A.AO=DOB.AO==BOC.ZA=ZBD.ZAOC^ZBOD

5.（2023?四川成都?二模）如圖，在菱形ABCD中，E是CO邊上一點，連接AE,點FG均在AE上,

連接8尸，DG,且ZBFE=ZBAD,只添加一個條件，能判定的是（）

B

C<^A

D

A.ZDGE=ZBADB.BF=DG

C.AF=DGD./EDG=/BAD

6.（2024?四川成都一模）如圖，點B、F、C、E都在一條直線上，AC=DF,BC=EF,添加下列

一個條件后，仍無法判斷△ABC/ADEF的是（）

A

D

A.ZA=ZD=90°B.ZACB=ZDFEC.ZB=ZED.AB=DE

7.（2023?四川成都?三模）如圖，AB=DF,ZB=ZF,下列四個條件中再添加一個，不能判定

AABC絲△/）尸E的是（）

AD

BECF

A.AC=DEB.ZA=ZDC.BE=FCD.ZACB=ZDEF

8.（2023?四川成都?二模）如圖，已知=D石，AD=CF,添加下列條件，能判定產

的是（）

A.AC=DFB.ZA=NFDEC.ZACB^ZDFED.ZB=ZE

9.（2023?四川成都?二模）如圖，在AABC與△￡?尸中，若AB=BE,BC=BF,要使這兩個三角形

A.ZA=ZEB.NCBF=ZABFC.ZABE=Z.CBFD.NC=NF

10.（2023?四川眉山?二模）如圖，在AABC和△DER中，點8,F,C,E在同一直線上，BF=CE,

AB//DE,請添加一個條件，使△ABC四△DEF,這個添加的條件可以是（只需寫一個，不添

加輔助線）.

【題型9全等三角形綜合】

全等三角形的綜合是中考中常考的題型，在選擇填空中多以綜合題型出現，往往結合到函數、相似

特殊四邊形進行考查，在解答題中常常位于前三道，難度中等；

①基礎證明題：題目直接要求證明兩個三角形全等，常結合以下條件已知邊、角相等（如公共邊、對

頂角、垂直平分線等）、中點、角平分線、中線等特殊點或線的性質；

②線段和差問題：需證明線段的和、差、倍分關系（如AB+BC=CD）。

截長補短法：在長線段上截取或延長短線段構造全等；

中線倍長法：延長中線至原長，構造全等三角形；

③動態幾何題：涉及旋轉、翻折、平移后的全等關系，需分析動態變化中的不變量旋轉后對應邊、

角相等（如正方形中繞頂點旋轉）。

1.（2024?四川自貢?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，。（4,-2）,將RtAOCD繞點。逆時針旋

轉90。到△OAB位置，則點B坐標為（）

A.（2,4）B.（4,2）C.（-4,-2）D.（-2,4）

2.（2024?四川南充?一模）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,=35°,將△ABC沿AB邊所在

直線翻折得△ABC,連接CC'交A3于點。，則N3CC的度數為（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

3.（2024?四川雅安?中考真題）如圖，點。是DABCD對角線的交點，過點。的直線分別交AD,BC

于點E,F.

⑴求證：△ODE四△O3P；

（2）當砂時，DE=15cm,分別連接BE,DF,求此時四邊形3EDF的周長.

4.（2024?四川?中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，ZA=90°,連接8。，過點C作CE1AB,垂

足為E,CE交BD于點、F,Z1=ZABC.

⑴求證：N2=N3；

⑵若N4=45°.

①請判斷線段3C,8。的數量關系，并證明你的結論;

②若3C=13,AD=5,求EF的長.

5.（2024?四川內江?中考真題）如圖，點、A、D、B、E在同一條直線上，AD=BE,AC=DF,BC=EF

（1）求證：△ABC四△DEF；

⑵若ZA=55。，NE=45。,求NF的度數.

6.（2024?四川南充?中考真題）如圖，在△ABC中，點。為3C邊的中點，過點2作班〃AC交AD

的延長線于點E.

(1)求證：ABDE沿KDA.

(2)若AD13C,求證：BA=BE

7.（2024?四川德陽?中考真題）如圖，在菱形ABCL（中，ZABC=60°,對角線AC與80相交于點0,

點廠為BC的中點，連接AF與80相交于點E,連接CE并延長交48于點G.

(1)證明：ABEFSABCO；

⑵證明：ABEG四△AEG.

8.(2023?四川內江?中考真題)如圖，在△ABC中，。是BC的中點,E是AD的中點，過點A作A產〃3c

交CE的延長線于點E

⑴求證：AF=BD；

(2)連接正，^AB=AC,求證：四邊形ADBF是矩形.

9.(2023?四川遂寧?中考真題)如圖，四邊形ABCD中，AD〃BC,點。為對角線3。的中點，過點

。的直線/分別與AD、BC所在的直線相交于點及F.(點￡不與點。重合)

(1)求證：ADOE*BOF；

(2)當直線/_L3D時，連接BE、DF,試判斷四邊形EBED的形狀，并說明理由.

【題型10角平分線的性質與判定】

oooa

角平分線的性質與判定在四川數學中考中是常考題型，難度中等，掌握以下解題技巧與策略是得分

的關鍵：

①性質與判定的靈活轉換

性質應用：已知角平分線時，優先考慮“作垂線”構造距離相等的線段，結合全等三角形或勾股定理

計算

判定應用：需證角平分線時，通過驗證“到角兩邊距離相等“實現，常需作輔助垂線并證明其相等。

②輔助線構造方法

補垂線：向角的兩邊作垂線段，利用距離相等性質；

截等長線段：在角兩邊截取等長構造全等三角形；

延長線構造對稱性：通過延長角平分線或相關線段，形成對稱圖形；

③典型模型歸納與應用

面積法：利用角平分線將三角形分為等高模型，通過面積比求解線段比例；

1.（2024?四川南充?中考真題）如圖，在RMABC中，ZC=90°,ZB=30°,BC=6,AZ）平分NC4B

交3C于點。，點E為邊A3上一點，則線段DE長度的最小值為（）

A.&B.73C.2D.3

2.（2023?四川南充?中考真題）如圖，在中，ZC=90°,AC=6,AB=10,以點A為圓心,

適當長為半徑畫弧，分別交AG于點M,N,再分別以N為圓心，大于;的長為半徑畫

弧，兩弧在—CAB的內部相交于點P,畫射線AP與3c交于點Q,DEJ.AB,垂足為E.則下列結

論錯誤的是（）

A.ZCAD=ZBADB.CD=DEC.AD=5的D.CD:BD=3:5

3.（2022?四川南充?中考真題）如圖，在MAABC中，/。=90。,/衣4。的平分線交8。于點D,DE//AB,

交AC于點區于點孔DE=5,DF=3,則下列結論錯誤的是（）

A.BF=1B.DC=3C.AE=5D.AC=9

4.（2024?四川綿陽?一模）如圖,在Rt△ABC中，NC=90。，N54c的平分線AE交BC于點E,EDYAB

于點。，若AABC的周長為12,則△BDE的周長為4,則4。為（）

BEC

A.3B.4C.6D.8

5.（2024?四川綿陽?二模）如圖，在RtAABC申,ZC=90°,AC=6,BC=8,AD平分NBA。，

則CD的長是（）

BDC

A-TB-Tc-3D.5

6.（2024?四川德陽?二模）如圖，在等腰直角△ABC中，AE,BE,CE分別平分NA4C,ZABC,

NACB,EDLBC于點D,CE=2貶,△ABC的周長為21,則^ABC的面積為（）

A

k

CDB

A.21B.36C.42D.24

7.（2023?四川樂山?二模）如圖，矩形紙片ABC。中，點E是邊2c的中點，連結AE,過點A對折矩

形紙片，使點。落在射線AE上，折痕為若AB=2,AD=3,則（）

8.（2023?四川樂山?二模）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC^BC,按以下步驟作圖：①以點A

為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交AC,A8于點M,N；②分別以Af,N為圓心，以大于/MN

的長為半徑作弧,兩弧在/BAC內交于點。；③作射線AO,交于點。.若點。到的距離為2,

則BC的長為（）

C.2&D.2&-2

9.（2023?四川成都?一模）如圖，在△ABC中，9c=90°,AD是NA角平分線，DEJ.AB于點、E,

CD=2,BC=6,則BE=()

C.2A/3D.6

【題型11垂直平分線的性質與判定】

垂直平分線是中考幾何的核心考點，其性質與判定常與三角形、四邊形、最值問題結合。以下結合

近年中考題型和解題技巧如下：

一、核心性質與定理

①性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；

應用場景：求線段長度、證明線段相等、最值問題；

關鍵技巧：將分散的線段轉化為已知線段的和差（如將三角形周長轉化為某邊長）；

②判定定理：到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上。

應用場景：證明某直線是垂直平分線、確定點的位置（如選址問題）

二、中考常見題型分析

題型1:求線段長度或周長

特征：涉及三角形、四邊形的周長計算，或已知部分線段求未知長度；

技巧：（a利用垂直平分線性質將多段未知線段轉化為已知線段；（b結合全等三角形

題型2：角度計算

特征：涉及三角形內角、外角或角平分線的綜合計算。

技巧：（a結合垂直平分線與等腰三角形性質；（b利用全等三角形對應角相等

1.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC=6,BC=4,分別以點A,點B為圓

心，大于gAB的長為半徑作弧，兩弧交于點E,F,過點E,尸作直線交AC于點。，連接80,則

△BCD的周長為（）

A.7B.8C.10D.12

2.（2024?四川成都?一模）如圖，△ABC為銳角三角形，點。在邊上，ZB=ZBAD=ZCAD.分

別以點A,C為圓心、大于（AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點E,F,作直線所交AD于點尸.若

—△ABC的面積為8,則△口）「的面積為.

3.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，在RtAABC中，NACB=90°,OE垂直平分AB交于點。,

若AACD的周長為50cm,則AC+BC=()

4.（2022?四川巴中?中考真題）如圖，在菱形A5CD中，分別以C、。為圓心，大于g。為半徑畫弧，

兩弧分別交于點M、N,連接MN,若直線恰好過點A與邊CD交于點E,連接3E,則下列結

論錯誤的是（）

A.-----------------------7n

2^。

A./BCD=120B若AB=3,貝ljBE=4

C.CE=—BCE1?5）E=—S

2AAiAABE

5.（2024?四川樂山?二模）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點B和C為圓心，以大于

的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N；；②作直線交邊AB于點E.若AC=5,BE=4,

2

4=45。，貝UcosA=（）

A

味

3「4一4

A.—B.—C.一D.3

5534

6.（2024?四川廣元?一模）如圖，在中，ZACB=90。，根據步驟作圖：①分別以點A,C為

圓心，大于‘AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點M,N；

②作直線MN,交AB于點。，交AC于

2

點、E.若工ABC=9則S.ADE()

A

927

A.2B.-C.3D.—

44

7.（2024?四川南充?二模）如圖，分別以A,B為圓心，大于;長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M,

N,過點N作直線，分別與相，”交于點。，E,再以點D為圓心8。長為半徑畫弧，與AP交于

點C,連接2C.若3c=5,AC=12,則下列結論錯誤的是（）

A.AD=BDB.ZACB=90°C.DE=—D.sinZCBE=—

2413

8.（2024?四川廣元?二模）如圖，某考古學家要修復一面殘破的銅鏡，欲找到其圓心并確定其半徑,

按以下步驟操作：①作弦分別以A,8為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M,

N,作直線MV；②作弦BC,分別以8,C為圓心，大于‘BC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P,

2

。，作直線P。.直線MN,尸。的交點O即為圓心.連接OC,OC即為半徑.若直線P0交于

點。，交BC于點、E,且5C=1O,DE=1,則銅鏡的半徑OC長是（）

Q

A。

P

O

A.11B.12C.13D.14

考向四：等腰三角形

【題型12等腰三角形的性質與判定】

關于等腰三角形的性質與判定在四川中考中的考查，結合歷年真題和解題方法，以下從題型分析總

結

①角度計算問題

考查性質：等腰三角形“等邊對等角”“三線合一”，以及與平行線、外角定理的結合；

②邊長與周長問題

關鍵點：需分情況討論邊為“腰”或“底”，注意三角形三邊關系；

③三線合一與輔助線應用

核心技巧：利用等腰三角形底邊中線、高線、頂角平分線“三線合一”的性質簡化證明；

④存在性或多解問題

高頻考點：坐標系中構造等腰三角形，需分情況討論頂點位置，例如平面直角坐標系中給定兩點，

求第三點使三角形為等腰三角形（需分類討論，利用勾股定理或垂直平分線）

1.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，將AABC繞點A順時針旋轉90。得到AADE,點2,C的對應

點分別為點。，E,連接CE,點。恰好落在線段CE上，若CD=3,BC=1,則AD的長為（）

2.（2024?四川瀘州?二模）如圖，在△ABC中，AB=AC,按以下步驟作圖：①以點A為圓心，任意

長為半徑作弧，分別交AB,AC于點。和點E；②以點8為圓心，AD長為半徑作弧，交AB于點長

③以p為圓心，OE長為半徑作弧，在NABC內部交前面的弧于點G；④過點G作射線交AC于

點H若3c=6,ZC=2ZA,則A”的長為（）

A

3.（2023?四川宜賓?一模）如圖，在矩形ABC。中，AC為對角線，點B關于AC的對稱點為點E,連

接AE,CE,CE交AD于點,F,過點下作房人AC,垂足為G,過點G作垂足為點H,

FG

若AB=4,BC=8,則不一的值為（）

GH

4.（2023?四川綿陽?中考真題）如圖，矩形ABC。的對角線AC與8。交于點0,過點。作BD的垂線

交AD,BC于E、尸兩點，若AC=2g,ZAEO=120°,則尸C的長為（）

A.1B.2C.插D.6

5.（2023?四川宜賓?中考真題）如圖，邊長為6的正方形ABCD中，M為對角線8。上的一點，連接40

并延長交CD于點P.若PM=PC,則AM的長為（）

A.3（＞/3-1）B.3（3A/3-2）C.6（A/3-1）D.6（3A/3-2）

【題型13等腰三角形手拉手模型】

a

共頂點模型，亦稱“手拉手模型”是指兩個頂角相等的等腰或者等邊三角形的頂點重合兩個三角形的

兩條腰分別構成的兩個三角形全等或者相似。尋找共頂點旋轉模型的步驟如下：

①尋找公共的頂點；

②列出兩組相等的邊或者對應成比例的邊；

③將兩組相等的邊分別分散到兩個三角形中去，證明全等或相似即可。

兩個等邊三角形兩個等腰直角三角形兩個任意等腰三角形

常見題型：

連接AE、BD交于點F,連接CF,則有以下結論；

(a)ABCD^AACE；

(b)AE=BD；

(c)ZAFB=ZDFE；

(d)FC平分NBFE。

【基本模型】1、等邊三角形手拉手模型……出全等

BD

圖

2、等腰直角三角形手拉手-一出全等

兩個共直角頂點的等腰直角三角形，繞點C旋轉過程中(B、C、D不共線)始終有：

①ABCD0AACE；②)BDLAE(位置關系)且BD=AE(數量關系)；③FC平分N