平面向量及其應用知識歸納與題型突破

（28類題型）

01思維導圖

定義：向量是既有大小又有

方向的量。

表示方法：幾何表示（有向

線段）、字號表示、坐標表

木。

向量的分類：

單位向量：長度為1的向量。

平行向量：方向相同或相反

的向量。

加法：平行四邊形法則、三

角形法則。

減法：加法的逆運算，可視

為加一個相反向量。

數乘：向量與實數相乘，改

變向量的長度。

02知識速記

知識點1.向量的相關概念

向量名

定義

稱

零向量°1長度為0的向量叫做零向量,記作0

單位向量02長度等于1個單位長度的向量,叫做單位向量

——

平行向量°3方向相同或相反的非零向量叫做平行向量:向量”與〃

（共線向

平行，記作司"規定：田零向量與任意向量平行

量）

05長度相等且方向相同的向量叫做相等向量；向量a與，

相等向量

相等，記作

［注意］（1）單位向量有無數個，它們大小相等，但方向不一定相同.

（2）共線向量中的向量所在的直線可以平行，也可以重合.相等向量■一定是共線向

量，但共線向量不一定是相等向量.

⑶判斷兩個向量的關系：一要判斷大小，二要判斷方向，如遇上零向量，必須注

意其方向的任意性.

知識點2.向量的表示

具有方向的線段叫做有向線段.它包含三個要素：起點、方面、氏度，如圖所

示.以力為起點，5為終點的有向線段記作港，線段45的長度也叫做有向線段

成的長度，記作避L

（終點）

<4（起點）

幾何表示：用有向線段來表示向量,有向線段的長度表示向量的

表

大小，有向線段的方向表示向量的方向

示

字母表示：向量也可以用字母a,b,c,…表示（E［J刷用黑體a,

法

b,c,書寫用凌，t,：）

向量心的大小稱為向量焦的長度（或稱模），記作曲.

［注意］向量有兩要素，有向線段有三要素，因此這是兩個不同的量.向量可以

用有向線段表示，但這并不是說向量就是有向線段.

知識點3.向量的夾角

條件兩個非零向量a,b

0aA

產生過程

O是平面上的任意一點，作扇="，OB=b,則乙405=8

叫做向量”與'的夾角

范圍0-兀

記法〈“，/＞〉

0=0a與b同向

0=71a與b反向

特殊情況

e=-a與b垂直,記作alb

2

知識點4.向量的加法

(1)向量加法的定義

求兩個向量和的運算,叫做向量的加法.

(2)向量加法的運算法則

向

量角已知非零向量a,b,在平面內取任意一點4,作坊=a,BC

求形

=b,則向量&叫做“與'的和，記作a+b,即”+〃=心

和法

的則+BC=AC.

法

這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則

則

平1i__________

行（產---------

四以同一點。為起點的兩個已知向量a,b,以。/,OB為

邊鄰邊作口。4c5,則以O為起點的向量無就是向量”與〃

形

的和.

法

我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊

則

形法則

06也移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型，力的合成可以看作向量

加法平行四邊形法則的物理模型.

對于零向量與任意向量“，規定"+0=0+“=”.

［注意］(1)三角形法則適用于任意兩個非零向量求和，平行四邊形法則只適用于

兩個不共線的向量求和.

(2)在使用三角形法則時，應注意“首尾連接”，這個方法可推廣得到向量求和的多

邊形法則：瓦^2+石+/X+…+4-14=/7工.特別地，當4和4重合時，/扇2

+^43+???+4—/1=0.

知識點5.向量加法的運算律

(1)交換律：a+b=b+a.

(2)結合律：(?+Z>)+c=?+(Z>+c).

知識點6.向量的減法

向量a加上b的相反向量,叫做“與b的差，即“一〃=”+(—

定義

〃)?求兩個向量差的運算叫做向量的減法

作法已知向量a,b,在平面內任取一點。，作a="，OB=b,則后

a-b,如圖所示

幾何如果把兩個向量“，3的起點放在一起，則“一5可以表示為叢

意義向量I的終點指向向量4的終點的向量

［注意］對任意兩個向量，總有向量不等式成立:\\a\-\b\\<\a-b\<\a\+\b\.

知識點7.數乘運算的定義

向量的數乘

定義實數丸與向量”的積是一個向量,記作%

長度\Xa\=\X\\a\

當2>0時，Aa的方向與a的方向相同

方向當2<0時，Aa的方向與a的方向相反

當A=0時，^?=0

總結向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算

知識點8.數乘運算的運算律

設九，〃為實數，那么

運算律

(2)—+〃)〃=癡+；

(3Wa+Z>)=Aa+

(—X)a=—(Aa)=2(-a)；

特別情況

4(a——b)=la——Xb

對于任意向量a,b,以及任意實數九41，〃

推廣形式

2，J恒有A(/ZJa±〃2〃)=入jig土入閃也

知識點9.共線(平行)向量基本定理

給定一個非零向量"則對于任意向量a,“I歷的充要條件是存在唯一一個實

數九使”=勸.

知識點10.直線的向量表示

通?？梢杂猛?溫表示過點4,5的直線/,其中靠稱為直線/的方向

向量.

知識點11.平面向量基本定理

條件的，4是同一平面內的兩個01不共線向量

對于這一平面內的任一向量”，有且只有一對實數均，幾2,使

結論^^=丸1￡］_+丸2^2

若約，02不共線,我們把￥’此1*1叫做表示這一平面內所有向

基底

量的一個基底

［注意］(1)基底不唯一.當基底確定時，分解形式唯一.

(2)設“，〃是同一■平面內的兩個不共線向量，若修"+為〃=，則

產1=%2,

\yi=yi.

(3)設｛6，七｝是平面內一個基底，若a=丸1的+丸262，當丸2=0時，”與的共線；

當丸1=0時，”與詼共線；當丸1=丸2=0時，〃=0.

(4)對于平面內任意一點。，使P,A,5三點共線的充要條件是：存在唯一的一

對實數九〃，使得耕=丸為+〃為，且丸+〃=1.

知識點12.平面向量的正交分解及坐標表示

(1)平面向量的正交分解

01把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

(2)平面向量的坐標表示

當軸方向相同

在平面正習坐標系中，設與02應、

建系選底

04

產的兩個單位向量分別為i,j,?。鹖,力作為基底

生對于平隹部1的任意一個向量”，由平面向量基本定理

線性表示

過

可知，05有且只有一對實數％,y,使得”=五十0

程

有序數對C6仁，邊叫做向量”的坐標，記作a=(x,

定義坐標

y)

特殊向量的坐上也①，尸降，1)，0=

降,Q1

標

知識點13.平面向量加、減運算的坐標表示

文字符號

兩個向量和的坐標分別等于右4=（為，%）,b—（X29”），則

加法

〃+〃='（%_[+X],y_L~hy?）

這兩個向量相應坐標的和

兩個向量差的坐標分別等于右4=（為，%）,b—（X29”），則

減法

>=件^-%2,兒―V2）

這兩個向量相應坐標的差

已知向量能的起點4a1，為)，

一個向量的坐標等于表示此

重要

向量的有向線段的終點的坐終點3(%2,》2)，則45=的(“2-

結論

標減去起點的坐標

期及二X1)

［注意］(1)設”為)，〃歹2)，則a==%2且乃=歹2.

(2)①向量的坐標只與起點、終點的相對位置有關，而與它們的具體位置無關；

②當向量確定以后，向量的坐標就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標

不變.

知識點14.中點坐標公式

(X=X1+X2

設點/(修，%)，5(X2,乃)，M是線段的中點，則_2

(y―^yi+―y.

知識點15.平面向量平行的坐標表示

a=(xp%),b=(x2,乃)

向量a,以厚0)共線的充要條件是為乃一xpi=O

知識點16.向量的數量積

已知條

兩個非零向量”與"它們的夾角為夕

件

定義°1數量㈤向cos6>叫做向量a與b的數量積(或內積)

記法記作^ab,即a?Z>=°3㈤-cos。

規定零向量與任一向量的數量積為040

［注意］向量的數量積是兩個向量之間的一種運算，其結果不再是向量，而是數

量，它的符號由夾角確定，當夾角為銳角或。時，符號為正；當夾角為鈍角或兀

時，符號為負；當夾角為直角時，其值為零.

知識點17.向量數量積的性質

設”，〃是非零向量，它們的夾角是仇e是與〃方向相同的單位向量，則

(l)a，e=。1|a|c0s'.

(2皿/>002口出=0

(3)當“與〃同向時，a-Z>=^|g||Z>|；

當“與〃反向時，a-Z>=^—|a||Z>|.

(4)?,?=的同2或\a\=yjaa=

⑸.〃性IM網.

知識點18.向量數量積的運算律

對于向量“，b,c和實數九有

。)°凡力=>“(交換律).

(2)(筋)力=°2取力)=03堂四(結合律).

(3)°4(“+/>)?c=4?c+/rc(分酉己律).

［拓展］(1)("±〃)2="2±2“力+〃.

(2)(?+Z>)-(?—Z>)=a2—Z>2=|?|2—|Z>|2.

(3)(?+Z>)(c+</)=ac+?<Z+Z>c+Z><Z.

知識點19.兩向量的數量積與兩向量垂直的坐標表示

已知”=(11，乃)，b—(Xi,乃).

兩個向量的數量積等于它優|。1對應坐標的乘積的和,即

數量積

兩個向量垂

a,〃是非零向量，alZ>o^x1%2+"1"2=0

直

知識點20.向量模的坐標表示

1.向量模的坐標表示

若a=(x,y),則|02=x2+y2,或同=Jx2+y2.

在平面直角坐標系中，若5X=a=(x,y),

則|5X|=IM，即IM為點力到原點的距離.

2.兩點間的距離公式

右A(X\)為),B(X2，為)，則AB=OB—0A=(%2—修，yi—yi)，|AB|=

J(%21%1)2+5-yi)2?

3.向量”的單位向量的坐標表示

因為向量a的單位向量"0=±4，

若“=(%,y),則|”|=Jx2+y2,所以”o=±而=±(jj2，J12)

知識點21.兩向量夾角余弦的坐標表示

設”=(%1，%)，b=(x2,刃)，。是“與b的夾角，則

ab小工2+曠/2

C0S6，=|a||b|=鋸萬福(同網知》

知識點22.余弦定理

三角形中任何一邊的平方，等于°】其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余

弦的積的兩倍.即42=°2陛+。2—2bccos4b2=03c2+a2-2cacosB,c?=也土

b2—2abcasC.

知識點23.余弦定理的推論

d^—b-03|a-+Z)^-c-

cosA=■>cosB=,cosC=

2bclea2ab

知識點24.解三角形

(1)一般地，三角形的°】三個角4,B,C和它們的°?對邊q,b,￡叫做三角形的

元素.

(2)冏已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.

知識點25.余弦定理及其推論的應用

應用余弦定理及其推論可解決兩類解三角形的問題：一類是已知田兩邊及其夾角

解三角形，另一類是已知隹邊解三角形.

［提示］判定三角形形狀時常用到的結論

(1)在&45。中，若。2<〃+。2,則0。</<90。；反之，若0。<A<90°,則。2<按

+c2.例如：在不等邊三角形/3C中，4是最大的邊，若a2<〃+c2,則60°

<A<90°.

(2)在&45。中，若42=按+。2,則/=90°;反之，若/=90°,則。2='+。2.

(3)在&45。中，若a2>〃+c2,則90°</<180°;反之，若90°</<180°,則

a2>b2-t-c2.

知識點26.正弦定理

在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等,即—=/_=工.

sinZsin-sinC

利用正弦定理可以解決的兩類解三角形問題：

①已知兩角和一邊,解三角形.

②已知兩邊和其中一邊的對角,解三角形.

［提示］(1)設三角形的三邊長分別為a,b,c,外接圓的半徑為凡正弦定理有

如下變形：

①a=2Asirk4,b=2RsinB,c=2,RsinC;

?abc

②sirk4=——，sinB=——，sinC=——;

2R2R2R

③a:bc=sirk4:sinBsinC;

不abca+b+c

④---=----=----=----------------.

sirk4sinBsinCsirk4+sinB+sinC

(2)判定三角形形狀通常有兩種途徑：①通過正弦定理、余弦定理，化邊為角(如:

q=2RsiiL4,。2+〃一。2=2仍cos。等)，利用三角變換得出三角形內角之間的關系

進行判斷.常見的三角恒等式所體現的角之間的關系.如：sirk4=$1118=4=5;

sin(4—5)=0=4=5;sin24=sin25=4=3或力+5=-等；②利用正弦定理、余

2一

(2/72+3一層

弦定理，化角為邊，如：sirk4=—，cos4=-------------等，通過代數恒等變換，求

2R2bc

出三條邊之間的關系進行判斷.

知識點27.三角形面積公式

111

S^ABc=~^bsinC=~cicsin5=—￡)csinA.

知識點28.涉及有關角的術語

1.仰角與俯角

術語名稱術語意義圖形表示

在同一鉛直平面內，目標視

線與水平視線所成的角中，1,目標

/視線

仰角與俯「信日角水平

目標視線在水平視線上方的工慳尸視線

角、目標

叫做仰角，目標視線在水平視線

視線下方的叫做俯角.

坡角坡面與水平面的夾角設坡角為a,坡度為i,則i=

h

坡面的垂直高度h和水平寬?

坡度h_____h

度/的比.Y—tana.i

2.方位角與方向角

術語名

術語意義圖形表示

稱

從指北方向順時針轉到it

方位角目標方向線的水平角叫廣等

做方位角.V

北偏東或東偏北90。

正北或正南方向線與目m°

-m°

標方向線所成的銳角，

方向角

通常表達為北偏東(西)、

少東

南偏東(西)義義度.

知識點29.向量在平面幾何中的應用

(1)證明線段平行或點共線問題，常用共線向量定理：a||b=a=，>(Z>#))=Xi為

一=0.

(2)證明垂直問題，常用數量積的運算性質：”_Lb=a必=0=/%2+義以=0.

ab%1%+7172

⑶求夾角問題，用夾角公式：2?誼為與的夾

cos6=⑶阿V^i+yiV^I+ylab

角).

22

(4)計算線段長度，常用模長公式：\AB\=|AB|=V(%2-%i)+(y2-yi).

知識點30.向量在物理中的應用

(1)物理問題中常見的向量有力，速度，加速度，位移等.

(2)向量的加減法運算體現在力，速度，加速度，位移的合成與分解.

(3)動量mv是向量的數乘運算.

(4)功是力F與所產生的位移s的數量積.

03題型歸納

題型1.向量的相關概念

例題：下列量中是向量的為（）

A.長度B.寬度C.頻數D.摩擦力

【答案】D

【知識點】平面向量的概念與表示

【分析】利用向量的定義判斷即可.

【詳解】向量是既有大小，又有方向的量，

因為長度，寬度，頻數只有大小，沒有方向，摩擦力既有大小，又有方向，

所以摩擦力是向量.

故選：D

鞏固訓練1.下列關于向量的說法正確的是（）

A.物理學中的摩擦力、重力都是向量B.平面直角坐標系上的x軸、了軸都是

向量

C.溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量D.身高是一個向量

【答案】A

【知識點】平面向量的概念與表示

【分析】根據向量有大小有方向的特點逐項判斷.

【詳解】對于A,摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是

向量，A正確；

對于B,無軸，了軸有方向，但沒有大小，所以它們都不是向量，B錯誤；

對于C,溫度只有大小，沒有方向，所以溫度不是向量，c錯誤；

對于D,身高只有大小，沒有方向，所以身高不是向量，D錯誤；

故選:A.

鞏固訓練2.下列量中是向量的為（）

A.功B.距離C.拉力D.質量

【答案】C

【知識點】平面向量的概念與表示

【分析】根據向量的定義即可判斷.

【詳解】功，距離，質量只有大小沒有方向，不是向量；拉力既有大小又有方向,

是向量.

故選：C.

鞏固訓練3.下列量中是向量的為（）

A.頻率B.拉力C.體積D.距離

【答案】B

【知識點】平面向量的概念與表示

【分析】根據向量與數量的意義直接判斷即可.

【詳解】顯然頻率、體積、距離，它們只有大小，不是向量，而拉力既有大小,

又有方向，所以拉力是向量.

故選：B

狀元隨筆與向量相關的概念比較多，為了不致混淆，應牢記各概念的內涵

與外延，緊緊抓住各概念的本質.向量的核心為方向和長度，如：共線向量的核

心是方向相同或相反，長度沒有限制；相等向量的核心是方向相同且長度相等;

單位向量的核心是方向沒有限制，但長度都是一個單位長度；零向量的核心是方

向沒有限制，長度是0;規定零向量與任意向量共線.

題型2.向量的幾何表示

例題：下列命題正確的個數是（）

（1）向量就是有向線段；（2）零向量是沒有方向的向量；

（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的長度為0.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【知識點】零向量與單位向量、平面向量的概念與表示

【分析】（1）由向量的幾何表示判斷；（2）（3）（4）根據對零向量的規定判斷.

【詳解】（1）向量可以用有向線段表示，但不能把兩者等同，故錯誤；

（2）根據對零向量的規定零向量是有方向的，是任意的，故錯誤；

（3）根據對零向量的規定，零向量的方向是任意的，故正確；

（4）根據對零向量的規定，零向量的大小為0,所以零向量的長度為0,故正確.

故選：B

鞏固訓練1.已知向量）如下圖所示，下列說法不正確的是（）

M-^-N

A.向量「可以用而表示B.向量5的方向由屈指向N

C.向量a的起點是MD.向量"的終點是河

【答案】D

【知識點】平面向量的概念與表示

【分析】根據向量的幾何表示逐個選項分析可得答案.

【詳解】由圖可知，向量&可以用疝表示，故A正確；向量a的方向由M指向

N,故B正確；

向量”的起點是M,故C正確；向量2的終點是N,故D不正確.

故選：D

鞏固訓練2.如圖，在菱形N88中，若/D43=120。，則以下說法中正確的是（）

B.而的模恰為53模的百倍

C.與次的模相等的向量有9個（不含萬）

D.與方相等的向量只有一個（不含刀）

【答案】BCD

【知識點】向量的模、相等向量、平行向量（共線向量）

【分析】根據題意結合向量的相關概念逐項分析判斷.

【詳解】對于選項A：向量而與赤的方向是相反的，是平行向量，故A錯誤；

對于選項B:因為80=6。。，貝5]8。=百/。=百/。，

所以布的模恰為方模的百倍，故B正確；

對于選項C:根據菱形的性質結合/以8=120。，可知對角線"與菱形的邊長相等,

故與萬的模相等的向量有百，AD,DA,DC,CD,BC,在，AC,CA,共9個

向量，故C正確；

對于選項D：與冠相等的向量需要方向相同，模相等，只有反，故D正確；

故選：BCD.

方法歸他

用有向線段表示向量的步驟

題型3.相等向量、共線向量與向量的夾角

例題：下列敘述中正確的是（）

A.已知向量Kb,且萬孤,則乙與B的方向相同或相反

B.若|司=|1,則ZB

C.若d住,bile,則G//C

D.對任一非零向量環。是一個單位向量

【答案】D

【知識點】平面向量的概念與表示、零向量與單位向量、相等向量、平行向量

（共線向量）

【分析】對A,若入否有一個為零向量即可判斷；對B,向量相等定義即可判斷;

對C,若否=6即可判斷；對D,由單位向量的定義判斷.

【詳解】對A,零向量與任意向量共線，且零向量的方向是任意的，若”6或%6

時，&與B的方向不是相同或相反，故A錯誤；

對B,內=向,且kB方向相同才可判斷”坂，故B錯誤；

對C,當5=0時，若切區，bHc,￡與工是任意向量，故C錯誤；

對D,對任一非零向量入后表示與7方向相同且模長為1的向量，故D正確.

故選：D

鞏固訓練1.下列命題正確的是（）

A.若“、刃都是單位向量，則2=1

B.若益=覺，則四點4、B、C、。構成平行四邊形

C.市與成是兩平行向量

D.若k-2川@京），則￡是否的相反向量

【答案】C

【知識點】平行向量（共線向量）、相等向量、零向量與單位向量

【分析】對于A,根據單位向量的定義分析判斷，對于B,根據相等向量的定義

分析判斷，對于C,根據平行向量的定義分析判斷，對于D,根據相反向量的定

義分析判斷.

【詳解】對于A,因為單位向量的方向不同時，兩向量不相等，所以A錯誤，

對于B,當池=皮，且4B,C,Q四點共線時，四點4B、C、Q不能構成平

行四邊形，所以B錯誤，

對于C,因為萬=一瓦，所以在與襦是兩平行向量，所以C正確，

對于D,相反向量的長度相等，顯然3=-2電啊時，Z不是書的相反向量，所以D

錯誤.

故選：C.

鞏固訓練2.以下命題中正確的個數是（）

①兩個相等向量的模相等；

②若］和B都是單位向量,則zJ；

③相等的兩個向量一定是共線向量；

④零向量是唯一沒有方向的向量；

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【知識點】零向量與單位向量、相等向量、平行向量（共線向量）

【分析】由相等向量、零向量、單位向量以及共線向量的定義逐一判斷各個序號

即可求解.

【詳解】對于①，兩個相等向量的模相等，且它們的方向也相同，故①正確；

對于②，若萬和不都是單位向量，當它們的方向不同時，則,4不成立，故②錯

誤；

對于③，相等的兩個向量方向相同，所以它們一定是共線向量，故③正確；

對于④，任何向量都有大小以及方向，零向量也是向量，只不過零向量是方向任

意的向量，故④錯誤.

故正確的有①③，共兩個.

故選：B.

方法歸他

（1）尋找共線向量的技巧：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段,

再找同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，

起點為終點的向量.

（2）尋找相等向量的技巧：先找模與表示已知向量的有向線段長度相等的向量,

再確定哪些是同向共線向量.

題型4.向量的加法運算

例題：已知為不共線向量，AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3（a-b）,則（）

A.4瓦。三點共線B.C三點共線

C.3C。三點共線D.4C,。三點共線

【答案】A

【知識點】平面向量共線定理證明點共線問題

【分析】運用向量的加法運算，求得筋=運，從而得出結論.

【詳解】因為而=前+5=-2々+礪+3135=之+55=在，所以4瓦。三點共線,

故選：A.

化簡下列各向量的表達式：

(1)28+5C-ZD；

⑵(方-函-證-麗)；

(3)(^C+BO+ft4)-(DC-DO-O3)；

【答案】⑴覺.

(2)0.

⑶。

【知識點】向量加法的運算律、向量減法的運算律

【分析】根據平面向量的加法運算和減法運算法則可求出結果.

【詳解】(1)AB+BC-AD=AC-AD=DC.

(2)(AB-CD)-(AC-BD)=^B-^C+BD-CD=CB+BD+~DC

=CB+~BC=CB-CB=0.

(3)(AC+Bd+OA)-(DC-DO-OB)=AC+BA-(OC-OB)

=BC-BC=Q.

方法帕他

向量加法運算律的應用原則及注意點

(1)應用原則：利用代數方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相接”,

通過向量加法的結合律調整向量相加的順序.

(2)注意點：①三角形法則強調“首尾相接”，平行四邊形法則強調“起點相

同“；②向量的和仍是向量；③利用相等向量轉化，達到“首尾相連”的目的.

題型5.向量的加減運算

例題：化簡就-麗+麗-萬得()

A.ABB.DAC.BCD.6

【答案】D

【知識點】向量加法的法則、向量減法的法則

【分析】利用向量的加減運算法則化簡即可.

【詳解】AC-BD+CD-AB=4C+CD-(BD+4B)=AD-AD=G.

故選：D

鞏固訓練1.化簡3m+2B)-2(1+B)的結果為()

A.a+4bB.a+bC.2a+bD.a-b

【答案】A

【知識點】向量加法的運算律、向量減法的運算律

【分析】由向量的加減運算法則即可求解.

【詳解】解:3(a+2b)-2(a+b)=a+4b,

故選：A.

方法歸他

向量加、減法運算的基本方法

(1)利用相反向量統一成加法(相當于向量求和)；

(2)運用減法公式跖一部=而(正用或逆用均可)；

(3)運用輔助點法，利用向量的定義將所有向量轉化為以一確定點為起點的向

量，使問題轉化為有共同起點的向量問題.

題型6.向量數乘的定義

例題：已知心團是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是()

A.2=0,3=5+4B.。=3,+3c2，b=ex+e2

—>—>—>—?-?—?—?—>—>—?-?—?

C.a=ex-2e2,b=e1+e2D.a=ex-2e2,b=2e1-4e2

【答案】c

【知識點】向量數乘的有關計算、基底的概念及辨析

【分析】由零向量與任意向量共線判斷A,根據"3右判斷B,設好雙，建立方程,

根據方程解的情況判斷C,根據好?判斷D.

【詳解】對于A：零向量與任意向量均共線，所以此兩個向量不可以作為基底；

對于B:因為"=3w+3qb=ex+~e2,所以2=3石，所以此兩個向量不可以作為基底；

對于C:設"刀，即:2小川［+可，則，：；二，所以無解，所以此兩個向量不共

線，可以作為一組基底；

對于D:設心3=21-4］,所以好］，所以此兩個向量不可以作為基底；

故選：C.

題型7.向量的線性運算

例題：如圖所示，△/如中，點Q是線段5c的中點，E是線段/D的靠近4的三等

分點，則而=()

BDC

A.5-—BA?―1―—BC?B.-2B—A?+-1—BC?C.1-—BA?+-1—BC.D?-—BA?+-1—BC?

33363333

【答案】B

【知識點】用基底表示向量

【分析】利用平面向量的線性運算計算可得結果.

【詳解】由題意：BE=BA+AE=BA+^AD=BA+~(BD-BA)=BA+^^-BA^BA+^-BC.

33'7312\36

故選：B

鞏固訓練1.在UBC中，為5c邊上的中線，2亞=而，則而=()

5—?1—?1—.S—?

A.——AB+-ACB.--AB--AC

6666

5—■1—.]—.S—?

C.__AB__ACD.--AB+-AC

6666

【答案】A

【知識點】向量加法的法則、向量的線性運算的幾何應用、用基底表示向量

【分析】根據圖形的幾何性質，以及向量加減法、數乘運算的幾何意義，即可得

出答案.

【詳解】

E

BD

因為2荏=而，所以荏=；而

由已知可得，AD=^（AB+AC）,

所以，AE=^CAB+AC）,

6,7

所以，BE=AE-AB=-（AB+AC）-AB=--AB+-AC,

6''66

故選：A.

方法歸他

向量線性運算的基本方法

（1）向量的數乘運算可類似于代數多項式的運算，例如實數運算中的去括號、

移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用，但是

在這里的“同類項”“公因式”指向量，實數看作是向量的系數.

（2）向量也可以通過列方程組來解，把所求向量當作未知數，利用代數方程的

方法求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當運用運算律，簡化運算.

題型8.用已知向量表示相關向量

例題：如圖，已知。為平行四邊形48c7）內一點，OA=a,OB=b,OC=c,則

OD=.

【答案】a+c-b

【知識點】向量加法法則的幾何應用、向量減法法則的幾何應用

【分析】根據幾何圖形，利用相等向量轉化，結合向量的加減運算公式，即可求

解.

【詳解】由已知萬5=而，貝（］麗=刀+N5=E+與e=d+雙一無=1+己_6.

故答案為：a+c-b

鞏固訓練L如圖，在“BC中，AM=-AB,BN=-BC^AB=a,AC=b.

(1)用表示就，礪；

⑵若尸為UBC內部一點，且N求證：MEN三點共線.

【答案】⑴數=31,而=/1

⑵證明見解析

【知識點】向量加法法則的幾何應用、向量減法法則的幾何應用、向量的線性運

算的幾何應用、平面向量共線定理的推論

【分析】(1)由圖中線段的位置及數量關系，用公,篇表示出就，須，即可得結

(2)用表示而+赤，得到萬=2而+〃赤，根據向量共線的結論彳+〃=1即證結

【詳解】(1)由題圖，BC=AC-AB=b-a

___??1o___1__n_[_]_

MN=BN-BM=—BC+—AB=-(b-a)+—a=—b+—a

232326,

(2)^AM+AN=-AB+AC+CN=-AB+AC--BC=-a+b--(b-a)=-2+-b,

又N=+所以方=g而+g不，故MRN三點共線.

N

AMB

方法歸他

用已知向量表示其他向量的兩種方法

（1）直接法

畫圖結合圖形的特征，把待求向量放在三■角形或平行四邊形中）

結合向量的三角形法則或平行四邊形法則及向量共線定理

表示

用已知向量表示未知向量

（2）方程法

當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關

于所求向量和已知向量的等量關系，然后解關于所求向量的方程.

題型9.向量共線的判定

例題：如圖，在正六邊形中,點。為其中點，則下列判斷錯誤的是（）

A.~AB=OCB.AB//DE

c.R=RD.AD=JC

【答案】D

【知識點】向量的模、相等向量、平行向量（共線向量）

［分析］根據正六邊形的性質逐項判斷后可得正確的選項.

【詳解】對于A,由正六邊形的性質可得四邊形。/8C為平行四邊形，故漏=反,

故A正確.

對于B,因為故在〃詼，故B正確.

對于C,由正六邊形的性質可得|叫=阿，故阿卜網，故C正確.

對于D,因為/AFC交于。，故而=元不成立，故D錯誤，

故選：D.

鞏固訓練1.已知單位向量以b,則下列說法正確的是（）

A.a=bB.a+b=6C.同=|同D.a1!b

【答案】c

【知識點】平面向量的概念與表示、零向量與單位向量、相等向量、平行向量

（共線向量）

【分析】利用向量的有關概念及單位向量的定義依次判斷即得.

【詳解】對于A,向量"B為單位向量，向量"日的方向不一定相同，A錯誤;

對于B,向量"B為單位向量，但向量以B不一定為相反向量，B錯誤；

對于C,向量"B為單位向量，則同=,=i,C正確；

對于D,向量B為單位向量，向量KB的方向不一定相同或相反，即4與B不

一定平行，D錯誤.

故選：C.

題型10.證明三點共線

例題：已知I，1是平面內兩個不共線的向量，君=%+2心BC=-ei+^,

麗=1+（1-為心且力，C,Q三點共線，則人（）

A.7B.2C.4D.；

【答案】D

【知識點】向量加法的運算律、已知向量共線（平行）求參數

【分析】根據已知求出就=3。（幾+2）:根據已知可得就，比共線