曲線運動與萬有引力定律-2025年新高考物理

大題笑:曲線運前與萬有弓I力定律

目錄

考情分析......................................................................................1

題型分類訓練.................................................................................2

題型一拋體運動..........................................................................2

題型二圓周運動..........................................................................4

題型三萬有引力定律及其應用............................................................6

刷模擬........................................................................................8

刷真題.......................................................................................17

舞情分析

曲線運動與萬有引力定律是高考物理的高頻模塊，在全國卷及新高考卷中占比約10%~15%,2025年高

考對“曲線運動與萬有引力定律”的考查將延續“重基礎、強應用、拓創新”的風格，突出物理模型構建與實際

問題轉化能力。備考需緊扣核心素養，強化天體運動與曲線運動的綜合分析，同時關注航天科技熱點與跨學

科融合，做到“以模型破萬題，以思想馭變化”。

題sg翁類訓練

題型一拋體運動

1.（2024山東煙臺三模）跑酷,又稱自由奔跑，是一種結合了速度、力量和技巧的極限運動。如圖甲所示的

是一城墻的入城通道，通道寬度乙=6小,一跑酷愛好者從左墻根由靜止開始正對右墻加速運動，加速

到雙點時斜向上躍起,到達右墻壁P點時,豎直方向的速度恰好為零，P點距離地面高點=0.8然后

立即蹬右墻壁，使水平方向的速度變為等大反向，并獲得一豎直方向速度，恰好能躍到左墻壁上的Q點，

P點與Q點等高，飛躍過程中跑酷愛好者距地面的最大高度為2.05m,重力加速度g取10m/s2,整

個過程中跑酷愛好者的姿態可認為保持不變，如圖乙所示，則：

L-

乙

（1）跑酷愛好者助跑的距離是多少？

（2）跑酷愛好者剛離開墻壁時的速度大小是多少？

（3）跑酷愛好者剛離開P點時的速度方向與豎直方向夾角的正切值是多少？

2.（2024廣東二模）如圖所示，傾角8=30°的足夠長斜面固定于水平地面上，將一小球（可視為質點）從斜

面底端O以速度。。斜向上方拋出，速度方向與斜面間的夾角為叫經歷一段時間，小球以垂直于斜面方

向的速度打在斜面上的P點。已知重力加速度為g,不計空氣阻力,求：

（1）小球拋出時的速度方向與斜面間的夾角a的正切值tana；

（2）小球到斜面的最大距離；

（3）小球到水平地面的最大高度。

0

1.平拋運動（類平拋運動）問題的求解方法

_____將平拋運動（類平拋運動）分解為沿初

平拋速度方向的勻速直線運動和垂直于初

運動吊規分_速度方向（即沿合外力的方向）的勻加

（類平〔解法J速直線運動。兩分運動彼此獨立，互不

拋運影響，且與合運動具有等時性

-

題的過拋出點建立適當的直角坐標系，將］

彳寸緋刀

求解解沖加速度。分解為%、%,初速度為分解為

、方法,%、力然后分別在%、y方向歹方程求解

2斜拋運動（類斜拋運動）的處理方法

（1）斜拋運動是勻變速曲線運動，以斜上拋運動為例（如圖所示）

速度：vx=v0cos6,

vy—fosin6—gt

NICCS

位移：=（）>64,y=vosin0-t—產。

（2）當物體做斜上拋運動至最高點時，運用逆向思維,可轉化為平拋運動。

3.拋體運動在各類體育運動項目中很常見，如乒乓球運動?，F討論乒乓球發球問題，設球臺長2L、網高區

乒乓球反彈前后的水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，且不考慮乒乓球的旋轉和空氣阻

力。（設重力加速度為g）

（1）若球在球臺邊緣。點正上方高度加處，以速度g水平發出，落在球臺上的8點（如圖中實線所示）,

求PI點距。點的距離Ti；

（2）若球從。點正上方某高度處以速度機水平發出，恰好在最高點時越過球網落在球臺上的2點（軌跡

如圖中虛線所示），求”2的大?。?/p>

（3）若球從O點正上方水平發出后，球經反彈恰好越過球網且剛好落在對方球臺邊緣屈點，求發球點距

。點的高度％3。

題型二圓周運動

4.如圖所示為賽車場的一個“梨形”賽道，兩個彎道分別為半徑R的大圓弧和半徑「的小圓弧，直道與彎道

相切，直道長度。賽車沿彎道路線行駛時，路面對輪胎的最大徑向靜摩擦力是賽車重力的k倍,假設賽

車在直道上做勻變速直線運動，在圓心角為120°和240°的彎道上做勻速圓周運動，且五=4r.若賽車不

側滑且繞賽道一圈時間最短，發動機功率足夠大，重力加速度為g.求：

（1）賽車行駛的最大速率.

（2）賽車繞賽道一圈的最短時間.

5.如圖所示，裝置BO'O可繞豎直軸O'O轉動，可視為質點的小球A與兩細線連接后分別系于B、。兩點,

裝置靜止時細線水平,細線入。與豎直方向的夾角6=37°o已知小球的質量巾=1kg,細線AC長

L—lHi,口點到。點的水平和豎直距離相等。（重力加速度g取10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8）

（1）若裝置勻速轉動的角速度為g,細線上的張力為零而細線AC與豎直方向夾角仍為37°,求角速

度g的大??；

（2）若裝置勻速轉動的角速度為g時，細線AB剛好豎直，且張力為零,求此時角速度g的大小。

1.解決IH周運動問題的主要步驟

2求解豎直平面內圓周運動問題的思路

判斷是輕繩模型還是輕桿模型

。臨=病?對輕繩模型來說是能否通過

逢典甌汁最高點的臨界點;而對輕桿模型來說，

是&表現為支持力還是拉力的臨界點

F焉主、通常情況下豎直平面內的圓周運動只

涉及最高點和最低點的運動情況

II對物體在最高點或最低點時進行受力

—分析，根據牛頓第二定律列出方程，

尸合二尸向

廠端屋運用動能定理或機械能守叵定律將初、

末兩個狀態聯系起來列方程

6.（2024山東青島一模）很多青少年在山地自行車上安裝了氣門嘴燈，夜間騎車時猶如踏著風火輪,格外亮

眼。圖甲是某種自行車氣門嘴燈,氣門嘴燈內部開關結構如圖乙所示,彈簧一端固定，另一端與質量為

m的小滑塊（含觸點a）連接，當觸點a、b接觸，電路接通使氣門嘴燈發光，觸點b位于車輪邊緣。車輪靜

止且氣門嘴燈在最低點時觸點a、b距離為乙，彈簧勁度系數為半，重力加速度大小為g,自行車輪胎半

徑為不計開關中的一切摩擦，滑塊和觸點a、

乙

（1）若自行車勻速行駛過程中氣門嘴燈可以一直亮，求自行車行駛的最小速度；

（2）若自行車以/硒的速度勻速行駛，求車輪每轉一圈，氣門嘴燈的發光時間。

題型三萬有引力定律及其應用

7.（2024江蘇南通三模）兩顆相距較遠的行星48的半徑分別為瑪、&,且&=2瑪,距行星中心r■處的

衛星圍繞行星做勻速圓周運動的線速度的平方"隨「變化的關系如圖所示。行星可看作質量分布均勻

的球體,忽略行星的自轉和其他星球的影響。

（1）求行星4B的密度之比pA-.pB-,

（2）假設有相同的人形機器人在行星人、口表面的水平地面上從肩位水平射出相同的鉛球，在初速度相

同的情況下,求鉛球射程的比值以:%。

天體所及和密度的計算

已知g（或可

［重力加.

求中心A以測g）和星-

天麻的f速度法

球半徑R…空-

質量和

」衛星環已知r（或。）

、密度"life1和軌道串徑不

注意：（1）天體表面的重力加速度9=駕，是9的決定式,具有普適性。

（2）若繞行天體繞中心天體表面（如近地）做勻速圓周運動時，軌道半徑「定五，則中心天體的密度p=*o

CTI

人造衛星運動問題的分析要點

（T中心戶萬有引力提供衛星做圓周運動的向心力

2

GMm=m^=mrw=mri—ma

［兩種思路1

GMm

a、o、s、八r只要一個量發生變化，其他量

一也發生變化

（三點說明）-a、0、3、T與衛星的質量無關

—當r=R地時,0=7.9km/s為第一宇宙速度

所有同步衛星繞地心做勻速圓周運動的

周期等于地球的自轉周期

靜止衛星在赤道上空相同的高度上

（四點提醒

注意靜止衛星與地球赤道上物體的區別

與聯系

區別軌道半徑與距天體表面的高度

8.（2024四川達州一模）2024年10月30日，神舟十九號載人飛船發射取得圓滿成功。不僅體現了中國航天

技術進步，也標志著中國在全球航天領域競爭力提升。下圖為神舟十九號載人飛船與天和核心艙對接

過程的示意圖，天和核心艙處于圓軌道IIL神舟十九號飛船處于圓軌道I,變軌操作后，飛船沿橢圓軌道

II運動到8點與天和核心艙對接。已知軌道I的半徑為八,軌道ni的半徑為A，神舟十九號飛船的質量

為小，地球質量為飛船在地球周圍的引力勢能4=一6則。求：

r

⑴神舟十九號載人飛船從軌道I變軌到軌道ni穩定運行的過程中外界需要提供的能量成不考慮整個

過程中質量的變化，不計一切阻力）；

（2）飛船通過軌道II到達B點時卻發現核心艙在其正前方，飛船通過向后噴氣使其加速追趕核心艙和側

向向外噴氣讓其在軌道III上運動。假設核心艙在飛船正前方，兩者間的圓弧長為S（S<<「3），飛船瞬間

向后噴氣加速后獲得恒定速率，經過時間土飛船追上核心艙。已知飛船側向每秒向外噴出質量為的

粒子。求向側向噴出粒子的速度”。

9.（2024山東煙臺三模）跑酷,又稱自由奔跑，是一種結合了速度、力量和技巧的極限運動。如圖甲所示的

是一城墻的入城通道,通道寬度乙=6m,一跑酷愛好者從左墻根由靜止開始正對右墻加速運動，加速

到M點時斜向上躍起，到達右墻壁P點時,豎直方向的速度恰好為零，P點距離地面高九=0.8然后

立即蹬右墻壁，使水平方向的速度變為等大反向，并獲得一豎直方向速度，恰好能躍到左墻壁上的Q點，

P點與Q點等高，飛躍過程中跑酷愛好者距地面的最大高度為2.05重力加速度g取lOm",整

個過程中跑酷愛好者的姿態可認為保持不變,如圖乙所示,則：

（1）跑酷愛好者助跑的距離是多少？

（2）跑酷愛好者剛離開墻壁時的速度大小是多少？

（3）跑酷愛好者剛離開P點時的速度方向與豎直方向夾角的正切值是多少？

__________________________

10.電磁炮滅火消防車（圖甲）采用電磁彈射技術投射滅火彈進入高層建筑快速滅火。電容器儲存的能量通

過電磁感應轉化成滅火彈的動能，設置儲能電容器的工作電壓可獲得所需的滅火彈出膛速度。如圖乙

所示，若電磁炮正對高樓，與高樓之間的水平距離L=60滅火彈出膛速度的=50m/s，方向與水平面

夾角8=53°,不計炮口離地面高度及空氣阻力，取重力加速度大小g=10m/s2,sin53°=0.80

高

樓

L仇

（1）求滅火彈擊中高樓位置距地面的高度

（2）已知電容器儲存的電能E=轉化為滅火彈動能的效率〃=15%,滅火彈的質量為3kg,電容

0=2.5X104〃尸，電容器工作電壓U應設置為多少？

11.如圖所示的是跳臺滑雪軌道簡化模型，48段光滑曲面為加速滑道，BCD段圓弧滑道為半徑r=16m

的姿態調整滑道,左側與AB段平滑連接，右側與水平跳臺。E連接，EF段為傾角30°的速降斜坡。質

量為60kg的滑雪運動員從加速滑道滑下后到達圓弧軌道的最低點。點時的速度大小%=20m/s,經過

。點時的速度大小為”2=15m/s,運動員整個運動過程的最高點P恰好在E點的正上方h=7.2巾處，

最后落在斜坡上的Q點。已知重力加速度為10m/s2,不計空氣阻力，速降斜坡足夠長，sin37°=0.6,

cos37°=0.8,求:

。平臺E

調整滑道

（1）運動員在。點時受到圓弧軌道的彈力；

⑵水平平臺。E的長度；

（3）經過尸點之后，運動員距斜坡的最遠距離（結果用根式表示）。

12.單板滑雪U型池比賽是冬奧會比賽項目，其場地可以簡化為如圖甲所示的模型：U形滑道由兩個半徑相

同的四分之一圓柱面軌道和一個中央的平面直軌道連接而成，軌道傾角為17.2°。某次練習過程中，運動

員以vM=10m/s的速度從軌道邊緣上的河點沿軌道的豎直切面ABCD滑出軌道,速度方向與軌道邊緣

線AO的夾角a=72.8°,騰空后沿軌道邊緣的N點進入軌道。圖乙為騰空過程左視圖。該運動員可視

為質點，不計空氣阻力，取重力加速度的大小g=10m/s2,sin72.8°=0.96,cos72.8°=0.30o求:

017.2°

'水平面

(1)運動員騰空過程中離開AD的距離的最大值d；

⑵之間的距離工。

13.（2024吉林長春模擬預測）我國為了防御小行星撞擊地球,計劃在2030年實現一次對小行星的動能撞

擊。已知地球質量為河,可視為質量分布均勻的球體，引力常量為G。若一顆質量為小的小行星距離

地心為r時,速度的大小”=，m遠小于M。不考慮地球運動及其它天體的影響。

（1）如圖（a）,若小行星的速度方向垂直于它與地心的連線，通過分析判斷該小行星能否圍繞地球做圓周

運動；

（2）如圖（6），若小行星的速度方向沿著它與地心的連線指向地心。已知取無窮遠處的引力勢能為零,則

小行星在距地心為r處的引力勢能號=-”o設想提前發射質量為0.1巾的無人飛行器,在距離地

r

心為r處與小行星發生迎面撞擊,撞擊過程視為完全非彈性對心碰撞且撞擊后均未解體。為徹底解除小

行星對地球的威脅（碰撞后運動到距地球無窮遠）,求飛行器撞擊小行星時的最小速度

_________?

14.（2024山西太原一模）在完成登陸任務后，登陸艇自某行星表面升空與飛船會合并與飛船一起繞行星做

圓周運動，其速率為外飛船與登陸艇的質量均為行星的質量為M,萬有引力恒量為G。已知質量

為小的物體與該行星的萬有引力勢能鼎=-9詈（以無窮遠處勢能為零，”為行星質量，r表示物體

到行星中心的距離）。

（1）求飛船與登陸艇繞行星做圓周運動的周期T和軌道半徑

（2）在啟動返程時，飛船上火箭作一短時間的噴射（噴出氣體的質量可忽略），使飛船相對登陸艇以速度1t

分離，且飛船分離時方向與速度。同向。若分離后飛船恰能完全脫離行星的引力。

i.求飛船相對登陸艇的速度成

ii.求飛船和登陸艇在火箭噴射過程中共獲得的機械能kE。

15.（2024重慶九龍坡三模）2024年4月25日神舟十八號載人飛船成功發射，標志著中國載人航天技術已走

在世界前列。有人對今后神舟系列飛船的發射構想：沿著地球的某條弦挖一通道，并鋪設成光滑軌道，

在通道的兩個出口分別將一物體和飛船同時釋放,利用兩者碰撞（彈性碰撞）效應，將飛船發射出去，已

知地表重力加速度g,地球的半徑為H；物體做簡諧運動的周期丁=2%/亳，小為物體的質量，R為簡諧

運動物體的回復力和其離開平衡位置的位移大小之比。

（1）若神舟十八號飛船貼近地球表面做勻速圓周運動，則其運行的線速度大小；

（2）如圖甲，設想在地球上距地心h處挖一條光滑通道從人點靜止釋放一個質量為m的物體,求物

體從A運動到8點的時間，以及物體通過通道中心。的速度大?。ㄙ|量分布均勻的空腔對空腔內的物

體的萬有引力為零）；

（3）如圖乙，若通道已經挖好，且九=忘7?,如果在處同時釋放質量分別為河和山的物體和飛船，

他們同時到達O,點并發生彈性碰撞，要使飛船飛出通道口時速度達到第一宇宙速度，河和m應該滿足

什么關系？

_________0

16.（2025云南昭通模擬預測）某固定裝置的豎直截面如圖所示，該裝置由弧形光滑軌道48、豎直光滑圓軌

道、水平粗糙直軌道8。、傾角為37°的粗糙斜軌道DE、圓弧形光滑管道即平滑連接而成。現將一質量

為0.1。kg、可視為質點的小滑塊mx由弧形軌道AB上高h處由靜止釋放仇未知），在經歷幾段不同的

運動后，小1在斤點與靜止在水平臺面上質量為0.4。kg的長木板M發生正碰。已知圓軌道半徑R=

0.5°m,LBD=LDE=l0m；m,與軌道BD、DE間的動摩擦因數均為Z=0.25,雙與水平臺面間的動

摩擦因數“2=0.3,M■最右端停放一質量為0.1。kg、可視為質點的小滑塊小2,M'與小2間的動摩擦因

數“3=0.2;水平臺面和木板及足夠長；從軌道上滑下后進入圓弧軌道,運動到與圓心O等高的

。點時對軌道的壓力為10。No忽略空氣阻力，重力加速度g取10。m/s2,sin37°=0.6、cos37°=0.8。

⑴求九的大小。

（2）求mi剛到達F點時的速度大小。

（3）若mi與M碰撞時間極短，且碰后立即粘在一起,求最終m2與M最右端之間的距離。

17.（2024福建福州二模）如圖所示，在豎直向下的勻強電場中有軌道ABCDFMNP，其中8C部分為水平軌

道,與曲面平滑連接。CDF和9AW是豎直放置的半圓軌道，在最高點F對接，與8c在。點相切。

NP為一與FMN相切的水平平臺，P處固定一輕彈簧。點。、N、P在同一水平線上。水平軌道8c粗

糙，其余軌道均光滑，可視為質點的質量為巾=0.02kg的帶正電的滑塊從曲面上某處由靜止釋放。

已知勻強電場的場強E=2N/C,BC段長度L=1的半徑R=0.2m=的半徑r=

0.1mo滑塊帶電量q=0.1。，滑塊與間的動摩擦因數〃=0.5,重力加速度g=lOm/s?；求：

（1）滑塊通過半圓軌道CD尸最高點F的最小速度vF-,

（2）若滑塊恰好能通過F點,求滑塊釋放點到水平軌道BC的高度h0；

（3）若滑塊在整個運動過程中，始終不脫離軌道，且彈簧的形變始終在彈性限度內，求滑塊釋放點到水平

軌道的高度％需要滿足的條件。

________0

刷真題

18.（2024北京高考真題）科學家根據天文觀測提出宇宙膨脹模型:在宇宙大尺度上，所有的宇宙物質（星體

等）在做彼此遠離運動，且質量始終均勻分布，在宇宙中所有位置觀測的結果都一樣。以某一點O為觀

測點，以質量為m的小星體（記為P）為觀測對象。當前P到O點的距離為0,宇宙的密度為p0o

（1）求小星體P遠離到2ro處時宇宙的密度p；

（2）以。點為球心，以小星體尸到O點的距離為半徑建立球面。P受到的萬有引力相當于球內質量集

中于。點對P的引力。已知質量為mj和小2、距離為R的兩個質點間的引力勢能珞=—G嗎乜，G為

引力常量。僅考慮萬有引力和P遠離。點的徑向運動。

a.求小星體P從小處遠離到20。處的過程中動能的變化量△及；

b.宇宙中各星體遠離觀測點的速率v滿足哈勃定律”=防，其中r為星體到觀測點的距離，H為哈勃系

數。H與時間土有關但與r無關，分析說明H隨力增大還是減小。

19.（2023北京高考真題）螺旋星系中有大量的恒星和星際物質,主要分布在半徑為R的球體內，球體外僅有

極少的恒星。球體內物質總質量為河，可認為均勻分布，球體內外的所有恒星都繞星系中心做勻速圓周

運動，恒星到星系中心的距離為r,引力常量為G。

（1）求r>R區域的恒星做勻速圓周運動的速度大小”與r的關系；

（2）根據電荷均勻分布的球殼內試探電荷所受庫侖力的合力為零，利用庫侖力與萬有引力的表達式的相

似性和相關力學知識，求rWR區域的恒星做勻速圓周運動的速度大小”與r的關系；

（3）科學家根據實測數據，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做勻速圓周運動的速度大小。隨r的變化

關系圖像,如圖所示,根據在r>R范圍內的恒星速度大小幾乎不變,科學家預言螺旋星系周圍（r>R）

存在一種特殊物質，稱之為暗物質。暗物質與通常的物質有引力相互作用，并遵循萬有引力定律，求『=

nR內暗物質的質量AT。

_________________________E

20.（2024江西高考）雪地轉椅是一種游樂項目，其中心傳動裝置帶動轉椅在雪地上滑動。如圖a、b所示，傳

動裝置有一高度可調的水平圓盤,可繞通過中心O點的豎直軸勻速轉動。圓盤邊緣人處固定連接一輕

繩，輕繩另一端B連接轉椅（視為質點）。轉椅運動穩定后，其角速度與圓盤角速度相等。轉椅與雪地之

間的動摩擦因數為〃，重力加速度為g,不計空氣阻力。

a圓盤在水平雪地

（1）在圖a中，若圓盤在水平雪地上以角速度g勻速轉動，轉椅運動穩定后在水平雪地上繞O點做半徑

為n的勻速圓周運動。求與之間夾角a的正切值。

（2）將圓盤升高，如圖6所示。圓盤勻速轉動，轉椅運動穩定后在水平雪地上繞Oi點做半徑為r2的勻速

圓周運動,繩子與豎直方向的夾角為6,繩子在水平雪地上的投影A.B與O】B的夾角為仇求此時圓盤

的角速度g。

21.（2022江蘇高考真題）在軌空間站中物體處于完全失重狀態，對空間站的影響可忽略，空間站上操控貨物

的機械臂可簡化為兩根相連的等長輕質臂桿,每根臂桿長為L,如題圖1所示，機械臂一端固定在空間站

上的。點，另一端抓住質量為小的貨物，在機械臂的操控下，貨物先繞O點做半徑為2L、角速度為3的

勻速圓周運動,運動到/點停下，然后在機械臂操控下,貨物從/點由靜止開始做勻加速直線運動,經時

間1到達8點，A、8間的距離為Lo

（1）求貨物做勻速圓周運動時受到合力提供的向心力大小叫；

（2）求貨物運動到B點時機械臂對其做功的瞬時功率P。

（3）在機械臂作用下，貨物、空間站和地球的位置如題圖2所示，它們在同一直線上，貨物與空間站同步做

勻速圓周運動，已知空間站軌道半徑為r,貨物與空間站中心的距離為d,忽略空間站對貨物的引力，求

貨物所受的機械臂作用力與所受的地球引力之比4月。

貨物

圖1

22.（2021福建高考真題）一火星探測器著陸火星之前，需經歷動力減速、懸停避障兩個階段。在動力減速階

段，探測器速度大小由96m/s減小到0,歷時80s。在懸停避障階段，探測器啟用最大推力為7500N的變

推力發動機，在距火星表面約百米高度處懸停，尋找著陸點。已知火星半徑約為地球半徑的火星質

量約為地球質量的擊，地球表面重力加速度大小取10m/s2,探測器在動力減速階段的運動視為豎直向

下的勻減速運動。求：

（1）在動力減速階段,探測器的加速度大小和下降距離；

（2）在懸停避障階段,能借助該變推力發動機實現懸停的探測器的最大質量。

大題曲線運就與萬有引力定律

目錄

考情分析..........................................................................1

題型分類調練......................................................................2

題型1枇體運動.................................................................2

題型二圄周運動................................................................4

題型三萬有引力定律及其應用....................................................7

刷模擬............................................................................9

刷真題...........................................................................18

舞情分析

曲線運動與萬有引力定律是高考物理的高頻模塊，在全國卷及新高考卷中占比約10%~15%,2025年高

考對“曲線運動與萬有引力定律”的考查將延續“重基礎、強應用、拓創新”的風格，突出物理模型構建與實際

問題轉化能力。備考需緊扣核心素養，強化天體運動與曲線運動的綜合分析，同時關注航天科技熱點與跨學

科融合，做到“以模型破萬題，以思想馭變化”。

題sg翁類訓練

題型1拋體運動

1.（2024山東煙臺三模）跑酷,又稱自由奔跑，是一種結合了速度、力量和技巧的極限運動。如圖甲所示的

是一城墻的入城通道，通道寬度乙=6小,一跑酷愛好者從左墻根由靜止開始正對右墻加速運動，加速

到雙點時斜向上躍起,到達右墻壁P點時,豎直方向的速度恰好為零，P點距離地面高點=0.8然后

立即蹬右墻壁，使水平方向的速度變為等大反向，并獲得一豎直方向速度，恰好能躍到左墻壁上的Q點，

P點與Q點等高，飛躍過程中跑酷愛好者距地面的最大高度為2.05m,重力加速度g取10m/s2,整

個過程中跑酷愛好者的姿態可認為保持不變，如圖乙所示，則：

*

甲乙

（1）跑酷愛好者助跑的距離是多少？

（2）跑酷愛好者剛離開墻壁時的速度大小是多少？

（3）跑酷愛好者剛離開P點時的速度方向與豎直方向夾角的正切值是多少？

答案（1）3.6m（2）V61m/s（3）§

5

解析（1）跑酷愛好者到達右墻壁P點時，豎直方向的速度恰好為零，根據逆向思維可知，從河點到P點的逆過

程為平拋運動，則仁而，從P點到Q點的過程為斜拋運動，根據對稱性可得仁

解得力1=0.4s,t2—1s,3=6m/s,跑酷愛好者助跑的距離為x—L——3.6m。

（2）跑酷愛好者剛離開墻壁時豎直方向的速度大小為%=9X卷=5m/s,跑酷愛好者剛離開墻壁時的速度大

小為。=夜喬1^=，^1m/so

（3）跑酷愛好者剛離開P點時的速度方向與豎直方向夾角的正切值為tan夕=也=今。

vy5

2.（2024廣東二模）如圖所示，傾角5=30°的足夠長斜面固定于水平地面上，將一小球（可視為質點）從斜

面底端。以速度的斜向上方拋出，速度方向與斜面間的夾角為心經歷一段時間，小球以垂直于斜面方

向的速度打在斜面上的P點。已知重力加速度為g,不計空氣阻力，求：

（1）小球拋出時的速度方向與斜面間的夾角a的正切值tana-,

（2）小球到斜面的最大距離；

（3）小球到水平地面的最大高度。

答案（1）彳（2）于（3）等

27g56g;

解析⑴小球拋出后，將小球的速度與重力分別沿斜面與垂直于斜面分解，則小球在這兩個方向上均做勻變

速直線運動。小球以垂直于斜面方向的速度撞擊在斜面上的P點，表明此時沿斜面方向的分速度恰好減為

0,根據對稱性可知，小球打在P點時垂直于斜面方向的分速度與拋出時垂直于斜面方向的分速度等大反向，

……____——B

在沿斜面方向上，有geosa=^sin夕也在垂直于斜面的方向上，有一gsina=o（）sina—geos。上，則小球拋

出時的速度方向與斜面夾角&的正切值tan&=史烏=今。

coscz2

⑵由⑴可得sina—,cosa—2夸.,當小球垂直于斜面的分速度減為0時，距離斜面最遠，則有

（%sina）2=2gcosd/1m必，解得11m=^仇□

7g

（3）小球做斜拋運動，將其運動沿水平與豎直方向分解，當球體到達最高點時，豎直方向的速度減為0,則有

1

[-M0sin（?+6）『=2gHa，解得=等。

L平拋運動（類平拋運動）問題的求解方法

____將平拋運動（類平拋運動）分解為沿初

平拋速度方向的勻速直線運動和垂直于初

運動吊規分_速度方向（即沿合外力的方向）的勻加

（類平〔解法J速直線運動。兩分運動彼此獨立，互不

拋運

-影響，且與合運動具有等時性

題的過拋出點建立適當的直角坐標系，將]

|_彳寸緋刀

求解解沖加速度。分解為%、%,初速度為分解為

、方法,%、力然后分別在%、y方向歹I方程求解

2斜拋運動（類斜拋運動）的處理方法

（1）斜拋運動是勻變速曲線運動，以斜上拋運動為例（如圖所示）

速度：vx=v0cos0,

vy—t>osin0—gt

位移：c=uocos6-t,y—vosin6-t—^"9#。

（2）當物體做斜上拋運動至最高點時，運用逆向思維,可轉化為平拋運動。

3.拋體運動在各類體育運動項目中很常見,如乒乓球運動?，F討論乒乓球發球問題，設球臺長2乙、網高加

乒乓球反彈前后的水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，且不考慮乒乓球的旋轉和空氣阻

力。（設重力加速度為g）

（1）若球在球臺邊緣O點正上方高度砥處，以速度生水平發出，落在球臺上的E點（如圖中實線所示），

求E點距。點的距離g；

（2）若球從O點正上方某高度處以速度”2水平發出，恰好在最高點時越過球網落在球臺上的B點（軌跡

如圖中虛線所示），求s的大??；

（3）若球從O點正上方水平發出后，球經反彈恰好越過球網且剛好落在對方球臺邊緣打點，求發球點距

。點的高度％3。

解析（1）根據平拋運動規律得

'i=+g%0=。由

聯立解得0=仍聲1^。

（2）根據平拋運動規律得九2二"^g場/2=。2力2

且九2=無，2g=L

聯立解得v2=M°

（3）球的運動軌跡如圖所示，得

3=]g據

劣3=。3力3

且3g=2￡

設球從恰好越過球網到達到最高點所用的時間為力，水平距離為S,則有自一九=￡gi?

S=v3t

由幾何關系得力3+S=L

解得無3=?鼠

O

題型二圓周運動

4.如圖所示為賽車場的一個“梨形”賽道，兩個彎道分別為半徑五的大圓弧和半徑7■的小圓弧，直道與彎道

相切，直道長度二賽車沿彎道路線行駛時，路面對輪胎的最大徑向靜摩擦力是賽車重力的自倍,假設賽

車在直道上做勻變速直線運動，在圓心角為120°和240°的彎道上做勻速圓周運動，且A=4r.若賽車不

側滑且繞賽道一圈時間最短，發動機功率足夠大，重力加速度為g.求：

（1）賽車行駛的最大速率.

（2）賽車繞賽道一圈的最短時間.

4L+10兀廠

答案⑴J硒

3^/kgr

解析（1）根據題意，由牛頓第二定律有

kmg=晦%

解得最大速率為vm—^/kgR

（2）根據題意，由公式力二駕2力可得，賽車在兩直道的時間為

,2L4L4L

t-\—-----=-------------=-------

二所十師3師

小圓弧彎道的時間為《=2:二

3/kgT

大圓弧彎道的時間為t3=8工

3y/kgr

則賽車繞賽道一圈的最短時間

6y/kgr

5.如圖所示，裝置BO'O可繞豎直軸O'O轉動,可視為質點的小球A與兩細線連接后分別系于B、。兩點,

裝置靜止時細線水平，細線人。與豎直方向的夾角6=37°。已知小球的質量巾=lkg,細線AC長

L—lm,B點到。點的水平和豎直距離相等。（重力加速度g取10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8）

（1）若裝置勻速轉動的角速度為例，細線AB上的張力為零而細線AC與豎直方向夾角仍為37°,求角速

度g的大??；

（2）若裝置勻速轉動的角速度為g時，細線AB剛好豎直,且張力為零,求此時角速度。2的大小。

答案⑴立^rad/s⑵5*~rad/s

解析（1）細線48上的張力恰為零時有

mgtan370=ma^Lsin370

解得g=J=A/^rad/s=rad/s?

VLcos37V42

（2）細線AB恰好豎直,但張力為零時，由幾何關系得cos伊=§,則有伊=53°

5

又mgtan夕=ma^Lsin夕

解得Q）2=rad/so

1.解決19周運動問題的主要步事

2求解豎直平面內圓周運動問題的思路

判斷是輕繩模型還是輕桿模型

麟=質對輕繩模型來說是能否通過

臨穗?最高點的臨界點;而對輕桿模型來說，

是FN表現為支持力還是拉力的臨界點

通常情況下豎直平面內的圓周運動只

涉及最高點和最低點的運動情況

U對物體在最高點或最低點時進行受力

分析，根據牛頓第二定律列出方程，

尸合二"向

/端尢運用動能定理或機械能守叵定律將初、

末兩個狀態聯系起來列方程

6.（2024山東青島一模）很多青少年在山地自行車上安裝了氣門嘴燈，夜間騎車時猶如踏著風火輪,格外亮

眼。圖甲是某種自行車氣門嘴燈,氣門嘴燈內部開關結構如圖乙所示,彈簧一端固定，另一端與質量為

m的小滑塊（含觸點a）連接，當觸點a、b接觸，電路接通使氣門嘴燈發光，觸點b位于車輪邊緣。車輪靜

止且氣門嘴燈在最低點時觸點a、b距離為L,彈簧勁度系數為半，重力加速度大小為g,自行車輪胎半

徑為凡不計開關中的一切摩擦,滑塊和觸點a、b均可視為質點。

氣門嘴燈

甲

（1）若自行車勻速行駛過程中氣門嘴燈可以一直亮，求自行車行駛的最小速度；

（2）若自行車以，硒的速度勻速行駛，求車輪每轉一圈，氣門嘴燈的發光時間。

答案（1）前反（2）白至區

2g

解析⑴只要氣門嘴燈位于最高點時a、6接觸即可保證全程燈亮，彈簧原長時a、6間的距離為半+L=2乙

2

氣門嘴燈位于最高點時，對于小滑塊，有mg+2kL=2*

解得滿足要求自行車行駛的最小速度為v=J硒。

（2）速度為J硒時輪子滾動的周期為T=之嗎=匹了硒

/2gR9

此速度下氣門嘴燈所需的向心力為用=坐匚=2mg,

此力恰好等于a、6接觸時彈簧的彈力，即無重力參與向心力，對應與圓心等高的點，故當氣門嘴燈位于下半圓

周時燈競，即t=冬—~^—y/2gRo

22g

題型三萬有引力定律及其應用

7.（2024江蘇南通三模）兩顆相距較遠的行星A、B的半徑分別為Ra、RB，且AB=2RA，距行星中心r處的

衛星圍繞行星做勻速圓周運動的線速度的平方"隨「變化的關系如圖所示。行星可看作質量分布均勻

的球體,忽略行星的自轉和其他星球的影響。

（1）求行星4B的密度之比pA：pB；

（2）假設有相同的人形機器人在行星4、8表面的水平地面上從肩位水平射出相同的鉛球，在初速度相

同的情況下,求鉛球射程的比值xA-.xB.

AB

答案：（1）P：P=4:1;（i）xA--xB—1：V2

解析⑴設質量為nz的衛星繞行星做圓周運動

入Mmv2

G——=m—

r2r

整理得

v2^GM--

r

由7?B=2_RA，結合圖像得兩行星的質量關系

MB=2MA

密度

M=M_3M

v（危?34兀不

解得

pA:pB=4:1

（2）在每個行星表面

cMm

mg=G-^T

兩行星表面的重力加速度之比

9A:9B=2：1

鉛球做平拋運動，豎直方向

h=^gt2

水平方向