浙教版中考數(shù)學(xué)第一輪專題復(fù)習(xí)講義

第五單元四邊形

O21講矩形、菱形、正方形》

【知識(shí)梳理】

1.矩形

(1)定義:有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.

(2)性質(zhì)定理：

①矩形的四個(gè)角都是直角.

②矩形的對(duì)角線相等.

(3)判定方法：

①有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.

⑷拓展：

①矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì).

②矩形的兩條對(duì)角線把矩形分成四個(gè)面積相等的」^三角形.

③矩形是軸對(duì)稱圖形，它有2條對(duì)稱軸,矩形還是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是對(duì)角線

的交點(diǎn).

④矩形的面積等于兩鄰邊的乘積.

2.菱形

(1)定義:一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

(2)性質(zhì)定理：

①菱形的四條邊都相等.

②菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

(3)判定方法：

①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

②四條邊都相等的四邊形是菱形.

③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

(4)拓展:

①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì).

②菱形是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)；菱形也是軸對(duì)稱圖形,兩條對(duì)角線

所在的直線是它的對(duì)稱軸.

③因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直平分，所以其對(duì)角線將菱形分成四個(gè)全等的直角三角形,故

菱形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半.

④因?yàn)榱庑问瞧叫兴倪呅危粤庑蔚拿娣e也等于底乘高.

3.正方形

(1)定義:有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.

(2)性質(zhì)定理：

①正方形的四個(gè)角都是直角,四條邊相等.

②正方形的對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

(3)判定方法：

①有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.

②有一組鄰邊相等的矩形是正方形.

③有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.

(4)拓展:

①正方形具有矩形、菱形的一切性質(zhì).

②正方形既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有4條,對(duì)稱中心是對(duì)角線的交

__?

4.中點(diǎn)四邊形

(1)定義:順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形，我們稱之為中點(diǎn)四邊形.

(2)常用結(jié)論：

①任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形.

②對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形.

③對(duì)角線互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形.

④對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是

5.梯形

(1)定義:一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形.梯形分為一般梯形和特殊

梯形，特殊梯形包括等腰梯形和直角梯形相等的梯形叫做等腰梯形；有一個(gè)角是直

圖—的梯形叫做直角梯形.

⑵等腰梯形的性質(zhì)與判定：

①性質(zhì)定理:等腰梯形的兩腰相等，同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等;等腰梯形的對(duì)角線相等.

②判定方法:兩腰相等的梯形是等腰梯形;同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形;對(duì)角線相

等的梯形是等腰梯形.

(3)梯形的中位線：

①定義:連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線.

②定理:梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半.

(4)研究梯形問(wèn)題的主要方法(轉(zhuǎn)化思想)：

將梯形問(wèn)題通過(guò)作輔助線轉(zhuǎn)化成三角形、平行四邊形或矩形來(lái)解決.

(5)梯形常用的七種輔助線：

①平移一腰;②過(guò)頂點(diǎn)作高;③平行一條對(duì)角線;④延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn);⑤過(guò)一腰中點(diǎn)和另一腰的

頂點(diǎn)作直線;⑥過(guò)一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線;⑦作梯形的中位線.

【考題探究】

類型一矩形的性質(zhì)

【例1][2023?杭州]如圖，矩形A3CD的對(duì)角線AC,3。相交于點(diǎn)Q若NAO3=60。，則若=

BC

(D)

典例1圖

A.-B等

2

c.—

2

［解析】?.?四邊形ABCD是矩形，

：.AO=BO=CO=DO,NA5C=90°.

又?.,NAO5=60°,

AABO是等邊三角形，

：.ZBAO=60°,：.ZACB=3d°,

—=tan30°=—.

BC3

變式1［2024?包頭］如圖，在矩形A3CD中，E,R是邊上兩點(diǎn)，且BE=EF=FC,連結(jié)DE,

AF,DE與AR相交于點(diǎn)G,連結(jié)3G.若AB=4,BC=6,貝UsinNG3R的值為（A）

3V10

Aq?

D.-

o0

BEHFC

變式1答圖

【解析】如答圖，過(guò)點(diǎn)G作GHLBC于點(diǎn)H.

?.?田邊形A5CD是矩形，：.AB=CD=4,AD//BC,ZABC=ZC=90°.

,:BC=6,BE=EF=FC,：.BE=EF=CF=2,

：.BF=CE=4,：.AB=BF=CE=DC=4,

/.AABF和4DCE是等腰直角三角形，

:.ZAFE=ZDEC=45°,

1

AEGF是等腰直角三角形，...GH=EH=；EF=1,

：.BH=3,：.BG=BH2+HG2=V10,

：.sinZGBF=^=意=答?故選A.

類型二矩形的判定

【例2][2024?新疆]如圖，ZkABC的中線3D,CE相交于點(diǎn)。，F(xiàn),G分別是。3,0c的中點(diǎn).

⑴求證泗邊形DEFG是平行四邊形.

(2)當(dāng)3D=CE時(shí)，求證:回DERG是矩形.

典例2圖

證明和CE是AABC的中線，

：.E,D分別為AB,AC的中點(diǎn)，

.?.DE是△A5C的中位線，

1

：.DE//BC,DE=-BC.

2

同理可得，F(xiàn)G//BC,FG=^BC,

：.DE//FG,DE=FG,

eg邊形DEFG是平行四邊形.

⑵「AABC的中線50,CE相交于點(diǎn)0,

：.0是△A5C的重心，

：.B0=20D,C0=20E.

又TF,G分別是。5,。。的中點(diǎn)，

29

：.0F=FB,0G=GC,：.DF=-BD,EG=-CE.

33

,:BD=CE,：.DF=EG.

又田邊形DEFG是平行四邊形，

.?.[2OEFG是矩形.

變式2T[2023?寧波]如圖，以鈍角三角形ABC的最長(zhǎng)邊BC為邊向外作矩形BCDE,連結(jié)

AE,AD,設(shè)△AED,AABE,反4。。的面積分別為S,Si,S2,若要求出S—Si—S2的值，只需知

道（C）

A.XABE的面積B.AACD的面積

C.AABC的面積D.矩形BCDE的面積

變式2—1圖

變式2—1答圖

【解析】如答圖，過(guò)點(diǎn)A作AFLE5交E5的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,AHLOC交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

H.

=邊形BCDE為矩形，

：.BC±EB,BC±CD,BE=CD,BC=DE,

：.AF//BC,AH//BC,

：.AF,A,H在同一條直線上.

易知NF=NH=ZBED=90°,

四邊形FEDH是矩形，

：.FH=DE.

11

9：S=-DE?DH,Si=-AF?BE,

22

11

S1=-2AH?C2D=-AH?BE,

-1-1-id-1

...S-S1-S2=S-(S1+S2)=；DE?DH-|BE(AF+AZ/)=WE?DH~^BE?FH=：DE?DH~

111

-BE?DE=-DE(DH-BE)=^BC?CH=S&ABC，

???若要求出S—SI—S2的值，只需知道△△5c的面積.

變式2—2[2023?內(nèi)江]如圖，在AABC中，。是3c的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AR〃

3C交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E

⑴求證:剛=3D

(2)連結(jié)若A3=AC,求證:四邊形AD3R是矩形.

證明:(1)YAF〃5C,

:.ZAFE=ZDCE,ZFAE=ZCDE.

YE為AO的中點(diǎn)，：.AE=DE,

：.XAEF空△DEC(AAS),

：.AF=DC.

■:D為5c的中點(diǎn)，

：.BD=CD,：.AF=BD.

(2)'：AF=BD,AF//BD,

?7邊形ADBF是平行四邊形.

'：AB=AC,。為5c的中點(diǎn)，

：.AD±BC,：.ZADB=9Q°,

：.EAPBF是矩形.

類型三菱形的性質(zhì)

【例3][2024?浙江]如圖，在菱形A3CD中，對(duì)角線AC,3。相交于點(diǎn)。，翌=：.線段A3與

BD3

AB關(guān)于過(guò)點(diǎn)。的直線/對(duì)稱，點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)9在線段0C上，A?交CD于點(diǎn)E,則ABCE與

四邊形OB'ED的面積比為q_.

【解析】如答圖，連結(jié)55',OE,A'O.

'：四邊形ABCD是菱形，

：.OA=OC,OB=OD,AC±BD.

又'.'AS與A'5'關(guān)于GH對(duì)稱，

1

ZBOG=ZB'OG=-ZBOC=45°,ZAOH=ZA'OH,AO=A'O,BO=B'O,

2

，ZAOH=ZB'OG=45°,

：.ZA'OH=45°,：.ZAOA'=90°,

：.A',D,。三點(diǎn)共線.

.?.AC_5，

BD3

.?.設(shè)AC=104，BD=6k,(fc>0)

：.AO=OA'=OC=5k,OB'=OB=OD=3k,

：.A'D=B'C=5k-3k=2k,

??S^B'CE:S&OEB,=2k:3k=2:3.

■:ZA'OB'=ZCOD=90°,

，易ilAA'OB'^ACOD(SAS),

：.ZA'=ZB'CE.

父：A'D=CB',ZA'ED=ZCEB',

/.△A，DE咨△CB'E(AAS),

：.DE=B'E.

又＜DO=B'O,OE=OE,

：.XDOE空AB'OE(SSS),

???SAOEB=SAOE。，

:.SAB'CE:SHOES':SAOED—2：3：3,

.1

S^B'CE:S四邊形OB，ED

變式3—1[2023?麗水]如圖，在菱形A3CD中，AB=1,ZDAB=60°,則AC的長(zhǎng)為（D）

A-lB.l

CTD.V3

變式3—1答圖

【解析】如答圖，連結(jié)5。，交AC于點(diǎn)。

■:四邊形ABCD是菱形，ZZ>AB=60°,

-1

：.OA=OC,ZBAO=-ZDAB=3Q°,AC±BD,

2

：.OA=AB?cosZBAO=—,

2

：.AC=2OA=yj3.

變式3-2[2023?溫州]圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME—7)的會(huì)徽，圖2由其主體圖案

中相鄰兩個(gè)直角三角形組合而成.作菱形CDEF使點(diǎn)。，E,歹分別在邊OC,OB,BC上,過(guò)

點(diǎn)E作EHLA3于點(diǎn)當(dāng)A3=5C,ZBOC=30°,DE=2時(shí)，EH的長(zhǎng)為(C)

圖2

變式3-2圖

A.V3B.-

2

C.V2D.-

3

【解析】?/四邊形CDEF是菱形，DE=2,

：.CD=DE=CF=EF=2,CF//DE,CD//EF.

,：ZCBO=90°,N50C=30°,

:.ZDEO=NC5O=90°,

：.OD=2DE=4,OE=43DE=2y/3,

：.CO=CD+DO=6,

：.BC=AB=^CO=3,：.OB=WBC=3?

:.BE=OB-OE=W.

VZA=90°,

：.AO=JoB2-AB2=3V2.

'：EH±AB,：.EH//OA,

工ABHEs^BAO,

.EH_BE.EH__V3

**OABO9>*3V23收

：.EH=y/2.

變式3—3[2023?嘉興、舟山]如圖，在菱形ABCD中，AE，BC于點(diǎn)E,AfUCD于點(diǎn)R連

結(jié)EE

(1)求證:AE=AE

(2)若/3=60。，求NAER的度數(shù).

變式3—3圖

解：(1):四邊形ABCD是菱形，

：.AB=AD,/B=/D.

'：AE±BC,AF±CD,：.ZAEB=ZAFD=90°.

'乙B=LD,

在AABE和△AOF中，:1乙AEB=UFD,

<AB=AD,

：.AABE^AADF(AAS),：.AE=AF.

(2)..?四邊形A5CD是菱形，

：.ZB+ZBAD=180°.

又,.?N5=60°,：.ZBAD=120°.

'：ZAEB=9d°,：.ZBAE=30°.

由(1)知△ABEgZXAOF,

/.ZDAF=ZBAE=30°,AE=AF,

：.ZEAF=120°-30°-30°=60°,

，△AEF是等邊三角形，，ZAEF=60°.

類型四菱形的判定

[例4][2024?重慶A卷]在學(xué)習(xí)了矩形與菱形的相關(guān)知識(shí)后，智慧小組進(jìn)行了更深入的研究，

他們發(fā)現(xiàn)，過(guò)矩形的一條對(duì)角線的中點(diǎn)作這條對(duì)角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點(diǎn)和這條對(duì)

角線的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論.根據(jù)他們的想法與思

路，完成以下作圖和填空：

(1)如圖，在矩形ABCD中，。是對(duì)角線AC的中點(diǎn).用尺規(guī)過(guò)點(diǎn)。作AC的垂線，分別交A3,

CD于點(diǎn)E,F,連結(jié)ARCE(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡).

(2)(填空)已知:四邊形A3CD是矩形，點(diǎn)E,R分別在A3,CD上，ER經(jīng)過(guò)對(duì)角線AC的中點(diǎn)。，

且EfUAC.求證:四邊形AECT是菱形.

證明:?.?四邊形ABCD是矩形，

：.AB//CD,

：.①/CFO=/AEO,ZFCO=ZEAO.

?。是AC的中點(diǎn)，

.?.②OC=OA,

.*.△CFO部△AEO(AAS),

A@QF=OE.

又：。4=OC,

??.是平行四邊形.

'JEFLAC,

???四邊形AECT是菱形.

進(jìn)一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢?請(qǐng)你模仿題中表述，寫(xiě)出你猜想的結(jié)論:④々

邊形AECF是菱形.

典例4圖

解:⑴作圖如答圖所示:

變式4-1如圖，有兩張矩形紙片ABCD和EFGH,AB=EF=2cm,BC=FG=8cm.把紙片ABCD

交叉疊放在紙片ERGH上，使重疊部分為平行四邊形，且點(diǎn)。與點(diǎn)G重合.當(dāng)兩張紙片交叉所

成的角a最小時(shí)，tana的值為（D）

A

變式4—1答圖

【解析】如答圖，當(dāng)點(diǎn)5與點(diǎn)E重合時(shí)，兩張紙片交叉所成的角最小.

■:ZADC=ZHDF=90°,

,ZCDN+ZNDM=ZHDM+ZNDM,

:.ZCDN=ZHDM.

不：CD=HD,ZH=ZC=90°,

△CDN^AHDM(ASA),：.ND=MD.

又,/eg邊形BNDM是平行四邊形，

是菱形，：.BN=ND.

?i殳5N=ND=x(cm),則尸N=(8—x)cm.

在RS5FN中，由勾股定理，得

B^+FI^^BN2,即22+(8—X)2=*2,

斛得》=1"7，

4

、

???eFN—8-1-7--_---1(5c/m),???t4ana-_-B---F---_----8-.

44v7FN15

變式4—2[2024?廣西]如圖，兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為

60°,則重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD的周長(zhǎng)為8舊cm.

變式4—2圖

變我4—2答圖

【解析】如答圖，過(guò)點(diǎn)A作AEL5C于點(diǎn)E,AFLCD于點(diǎn)F,則NAE5=NAFD=90°.

'?,兩張紙條寬度均為3cm,四邊形ABCD為平行四邊形，JLAE=AF=3cm,

:.ZADF=ZABE=60°,△AOb也AABE(AAS),

：.AD=AB,:.⑦ABCD為菱形.

在RSAOF中，ZADF=60°,AF=3cm,

???3總=2療

四邊形ABCD的周長(zhǎng)為2bX4=8g(cm).

類型五正方形的性質(zhì)與判定

[例5][2024?拱墅區(qū)校級(jí)模擬]如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O.E是線段

上的點(diǎn)(不與點(diǎn)。，3重合)，連結(jié)CE,過(guò)點(diǎn)。作交BC于點(diǎn)、H.

(1)求證:OE=OG

(2)若CE平分NBC。，AB=2,求BE的長(zhǎng).

典例5圖

解:⑴,四邊形A5CD是正方形，DF1CE,

：.OD=OC,DOLCO,

：.ZODG+ZDGO=9Q°,ZODG+ZCEO^90°,

：.ZDGO=ZCEO,

：.&DGO必叢CEO(AAS),

：.OE=OG.

典例5答圖

(2)如答圖，過(guò)點(diǎn)E作EMLBC于點(diǎn)、M.

■:CE平分N5C。，，設(shè)EM=OE=x.

'：ZEBM=45°,：.EB=y/2EM=y/2x.

'：AB=2,

.".OB=y/2,即

?*?x=2—A/2,

：.BE=242-2.

變式5—1[2023?杭州]在邊長(zhǎng)為1的正方形ABC。中，點(diǎn)E在邊AD上(不與點(diǎn)A,。重合),

射線BE與射線CD相交于點(diǎn)E

(1)若ED=g求DR的長(zhǎng).

(2)求證:AE?CF=1.

⑶以點(diǎn)3為圓心，3c長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交線段BE于點(diǎn)G若EG=ED,求ED的長(zhǎng).

變式5—1圖

解:(1):四邊形ABCD是正方形，

：.AD//BC,AB=AD=BC=CD=1,

:.ADEFSACBF,

.DE_DF.3—DF

??,??：,

BCCF1DF+1

1

：.DF=\

2

(I)9：AB//CD,：.ZABE=ZF.

又＜ZA=ZBCD=90°9

：.AABE^ACFB,

CFBC

：.AE?CF=AB?BC=1.

(3)設(shè)EG=ED=x,則AE=AO-ED=l-x,BE=BG+GE=BC+GE=l+x.

在Rt"5E中，AB2+AE2=BE2,

.*.l+(l-x)2=(l+x)2,

ii

將得x=：,即ED三.

變式5—2[2023?紹興]如圖，在正方形A3CD中，G是對(duì)角線3。上的一點(diǎn)(與點(diǎn)3,。不重合),

GE±CD,GFLBC,E,R分別為垂足，連結(jié)EEAG,并延長(zhǎng)AG交于點(diǎn)H.

⑴求證:NZMG=NEGH.

⑵判斷AH與■是否垂直，并說(shuō)明理由.

變灰5—2答圖

解:(1)在正方形ABCD中，ADLCD.

又丁6￡，。。，

：.AD//GE,,ZDAG=ZEGH.

(2)AH與EF垂直.理由如下：

如答圖，連結(jié)GC交EF于點(diǎn)O.

?.?5。為正方形ABCD的對(duì)角線，

，ZADG=ZCDG=45°.

父：DG=DG,AD=CD,

“ADG"△CDG(SAS),

:.ZDAG=ZDCG.

在正方形ABCD中，ZECF=90°.

GELCD,GF±BC,

四邊形FCEG為矩形，

:.0E=OC,：.ZOEC=ZOCE,

:.ZDAG=ZOEC.

由（1）,^ZDAG=ZEGH,

：.NEG"ZOEC,

:.ZEGH+ZGEH=ZOEC+ZGEH=ZGEC=90°,

...NGHE=90°,：.AH±EF.

類型六中點(diǎn)四邊形

［例6］若順次連結(jié)四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得的四邊形是正方形，則四邊形ABCD的兩條

對(duì)角線AC,BD一定是(D)

A.互相平分B.互相垂直

C.互相平分且相等D.互相垂直且相等

【解析】如答圖.

典例6卷圖

'：E,F,G,H分別是AB,BC,CD,AO的中點(diǎn),

：.EH//BD//FG,EF//AC//HG,

EF=^AC=HG,EH=^BD=FG.

"邊形EFGH是正方形，

：.EF±FG,FE=FG,

：.AC±BD,AC=5D.故選D.

變式6［2024?山西］在四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是邊AbBC,CD,D4的中點(diǎn)，

EG,切相交于點(diǎn)。若四邊形ABCD的對(duì)角線相等，則線段EG與一定滿足的關(guān)系為(A)

A.互相垂直平分

B.互相平分且相等

C.互相垂直且相等

D.互相垂直平分且相等

【解析】如答圖，連結(jié)5。，AC.

變式6答圖

,:H,E分別是AD,A6的中點(diǎn)，:.HE是&ABD的中位線，

1

：.HE=-BD,HE//BD.

2

同理可得，GF=^BD,：.HE=GF,HE//GF,

8邊形HEFG是平行四邊形.

'：HE=-BD,HG=-AC,且AC=5。，

22

：.HE=HG,

.?.[2HEFG是菱形，

...EG與HF互相垂直平分.故選A.

類型七梯形

【例7】如圖，在梯形A3CD中，AD//BC,BD=CD,且NABC為銳角.已知AD=4,BC=12,

E為3C上的一點(diǎn)，連結(jié)DE.

⑴當(dāng)四邊形ABED是等腰梯形時(shí)，求CE的長(zhǎng).

(2)當(dāng)四邊形ABED是直角梯形時(shí)，求CE的長(zhǎng).

典例7圖

解：(1)當(dāng)四邊形A5ED是等腰梯形時(shí)，連結(jié)AE,

易知AE=5D=CZ),AB=DE.

又BE=EB,:.^ABE2△Z>E5(SSS),

ZAEB=ZDBE.

'：BD=CD,：.ZDBE=ZC,：.ZAEB=ZC,：.AE//CD,

四邊形AECD是平行eg邊形，

，CE=AD=4.

(2)當(dāng)四邊形ABED是直角梯形時(shí)，易知。E,5c.

1

又?：BD=CD,：.CE=-BC=6.

2

變式7如圖，在等腰梯形ABCD中，已知AD〃3C,AB=DC,AC與3。相交于點(diǎn)。，延長(zhǎng)BC

至點(diǎn)E,使得CE=AD,連結(jié)DE.

(1)求證:3D=DE.

(2)右AC_L3Z),AD=3,S等腰梯形ABCD=16,求AB的長(zhǎng).

變式7答圖

解:(1)YAD〃5C,CE=AD,

eg邊形ACED是平行四邊形，'.AC=DE.

'：四邊形ABCD是等腰梯形，

：.AC=BD,：.BD=DE.

(2)如答圖，過(guò)點(diǎn)D作。尸，5c于點(diǎn)F.

四邊形ACED是平行四邊形，

：.CE=AD=39AC//DE.

*：ACLBD,：.BDLDE.

父：BD=DE,

：.SABDE=~BD?DE^-BD2^-BE?DF^-(BC+CE)?DF=-(BC+AD)?DF=S等展核ABCD=16,

22222

：.BD=442,：.BE=V2BD=8,

1

:.易得DF=BF=EF=&BE=4,

；.CF=EF-CE=1,

工由勾股定理，得A5=CD=CF2+DF2=V17.

【課后作業(yè)】

L下列命題中，屬于真命題的是（B）

A.對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形

B.對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形

C.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

D.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形

2.[2024?瀘州]已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列條件中，不能判定團(tuán)A3CD為矩形的是

（D）

A.ZA=90°B.ZB=ZC

C.AC=BDD.AC±BD

3.[2024?甘肅]如圖，在矩形A3CD中，對(duì)角線AC,3。相交于點(diǎn)。，ZABD=6Q°,AB=2,

則AC的長(zhǎng)為（C）

BC

第3題圖

A.6B.5

C.4D.3

【解析】:四邊形A5CD為矩形，對(duì)角線AC,5。相交于點(diǎn)。，AB=2,

：.OA=OB=OC=OD.

又?.?NA5D=60°,.?.△0A5為等邊三角形，

：.0A=0B=AB=2,：.0C=0A=2,

：.AC=0A+0C^4.

4.[2023?樂(lè)山]如圖，菱形A3CD的對(duì)角線AC與3。相交于點(diǎn)。，E為邊3C的中點(diǎn)，連結(jié)OE.

若AC=6,BD=8,則OE=（B）

第4題圖

A.2B.-

2

C.3D.4

（解析】?.?田邊形ABCD是菱形，

：.OC=-AC,OB=-BD,ACLBD.

22

5CVAC=6,BD=8,

：.OC=3,OB=4,

：.CB=JoB2+OC2=5.

丁E為邊5c的中A,:.OE=：BC=*

5.[2024?綏化]如圖，四邊形ABC。是菱形,。。=5,3。=8,4￡，3。于點(diǎn)后,則4￡的長(zhǎng)是（A）

第5題圖

24

A.-B.6

5

48

C.—D.12

5

【解析】?..四邊形A5CD是菱形，CD=5,BD=8,

：.BC=CD=5,50=00=4,0A=0C,AC±BD,

：.ZBOC=90°.

在RS05C中，由勾股定理得0C=JBC2~B02=J52—42=3,

：.AC=2OC=6.

-1

V菱形ABCD的面積=AE?BC=^BDXAC=OB?AC,

.?.A4E—=-O-B--?--A-C=——4X6=—2.4

BC55

6.[2024?上海]如圖，在菱形A3CD中，ZABC=66°,則NB4C=57°

C

第6題圖

【解析】?/四邊形ABCD是菱形，：.AB=BC,

：.ZBAC=ZBCA.

?：/ABC=66。,

1

:.ZBAC=j(180o-66°)=57°.

7.［2024?吉林］如圖，正方形A3CD的對(duì)角線AC,3。相交于點(diǎn)。，E是。4的中點(diǎn)，F(xiàn)是0D

上一點(diǎn)，連結(jié)EE若/在。=45。，則皆的值為2

BC2

Sc

第7題圖

［解析】?.?田邊形ABCD是正方形，

...N6AC=NZMC=45。，AD=BC.

'：ZFEO=45°,：.ZFE0=ZDAC,

：.EF//AD.

YE是。4的中點(diǎn)，是。。的中點(diǎn)，

；.EF是4A0D的中位線，

：,EF=\AD,：,EF=^BC,即藍(lán)氣

8.[2023?臺(tái)州]如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6.在邊AD上取一點(diǎn)E,使BE=BC,過(guò)

點(diǎn)C作CfUBE,垂足為R則的長(zhǎng)為2乘.

第8題圖

［解析】?/在矩形ABCD中，AD//BC,

ZAEB=ZFBC.

又,：BE=BC,ZA=ZBFC=90°,

：.XABE空^FCB(AAS),

：.FC=AB=4.

又?.?5C=AD=6,

工在RtAFCB中，BF=JBC2-FC2=2V5.

9.［2024?陜西］如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E和點(diǎn)R在邊3C上，且3E=CE求證:AR=

DE.

證明:丁四邊形ABCD為矩形，

：.AB=CD,ZB=ZC=90°.

,:BE=CF,

：.BE+EF=CF+EF,即5F=CE.

'AB=CD,

族,AABF和ADCE中，,Jz5=zC,

、BF=CE,

：.AABF^△DCE(SAS),:.AF=DE.

10.［2024.廣安］如圖，在菱形ABCD中，E,R分別是A3,3C邊上的點(diǎn)，BE=BF,求證:NDER

ZDFE.

第10題圖

證明:田邊形ABCD是菱形

：.AB=BC=CD=AD,ZA=ZC.

又,：BE=BF,：.AE=CF.

fDA=DC,

在ADAE和XDOF中，?:,z_A=Z-C,

、AE=CF,

/.ADAE^ADCF（SAS）,

：.DE=DF,:.ZDEF=ZDFE.

11.如圖，正方形紙片ABC。的邊長(zhǎng)為9,將正方形折疊，使頂點(diǎn)。落在5c邊上的點(diǎn)E處，折

痕為GH.若BE：EC=2：1,則線段CH的長(zhǎng)為（B）

第11題圖

A.3B.4

C.5D.6

【解析】設(shè)CH=x,

則由折疊易知，EH=DH=9~x.

'：BE：EC=2：1,BC=9,：.EC=3.

在Rt^ECH中，由勾股定理，得

EH2=EC2+CH2,即（9一刈2=32+爐，

解得x=4,即CH=4.

12.[2024?貴州]如圖，四邊形A3CD的對(duì)角線AC與3。相交于點(diǎn)。，AD〃3C,ZABC=90°,

有下列條件：

@AB//CD,?AD=BC.

⑴請(qǐng)從以上①②中任選一個(gè)作為條件，證明四邊形A3CD是矩形.

(2)