平面向量及其應用

（11大易錯訓練與7大壓軸訓練）

01思維導圖

目錄

易錯題型1忽視零向量出錯.............................................................1

易錯題型2.忽視向量共線情況出錯......................................................2

易錯題型3.對向量加、減法的幾何意義理解不透致誤.....................................3

易錯題型4向量線性運算時忽略圖形的性質致誤.........................................4

易錯題型5忽視向量共線的方向出錯......................................................5

易錯題型6.對基的理解不準確致誤........................................................5

易錯題型7誤把向量的坐標當作點的坐標運算致誤.........................................6

易錯題型8.忽視向量共線的特殊情況出錯.................................................7

易錯題型9.考慮不全面致錯..............................................................8

易錯題型10.忽略構成三角形的條件出錯..................................................8

易錯題型11.解三角形時忽略隱含條件出錯...............................................10

壓軸題型1.余弦定理邊角互化的應用、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍..............11

壓軸題型2.三角恒等變換的化簡問題、余弦定理解三角形、幾何圖形中的計算...............15

壓軸題型3.用和、差角的余弦公式化簡、求值、二倍角的正弦公式、正弦定理解三角形、余弦定

理解三角形............................................................................21

壓軸題型5.三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形、數量積的運算律.................30

壓軸題型6.平面向量共線定理證明點共線問題壓軸題型2.三角恒等變換的化簡問題、余弦定理解

三角形、幾何圖形中的計算.............................................................33

壓軸題型7.由正（余）弦函數的性質確定圖象（解析式）、余弦定理解三角形...............37

02易錯題型

易錯題型一忽視零向量出錯

例1.已知向量a,b,c滿足a〃"b//c,則"與c一定平行嗎？

解析：分兩種情況說明：

①當向量〃=0,向量a與向量c均為非零向量時，不能保證。〃c.

②當向量bWO時，因為a//b,所以向量”與向量〃具有相同或相反方向.又

因為Z>〃c,所以向量c與向量方具有相同或相反方向，所以向量a與向量c具有

相同或相反方向，故“〃c

綜上所述，當向量AW0時，向量”與c平行；當向量8=0時，向量”與c

不一定平行.

易錯警示

易錯原因糾錯心得

求解向量問題時，要注意題目中的

忽視零向量，誤認為向量能否為零向量.零向量是特殊

a,b,c都是非零向的向量，方向是任意的.所有的零

量，則由a〃"向量都相等.零向量的起點與終點

b//c,得b〃c是同一點，故不能用有向線段表示

出來.

易錯題型2.忽視向量共線情況出錯

例2.已知非零向量a,b,c,以表示a,b,c的有向線段構成三角形的充要

條件是“+〃+c=0,這個判斷正確嗎?

解析：不正確

因為“，、共線時，即使a+Z>+c=O成立，

但不能構成三角形.

當a,b,c不共線時，?+Z>+c=O,則以表示a,b,c的有向線段能構成三

角形.

易錯警示

易錯原因糾錯心得

忽視了向量共線的特殊解決向量問題時不要忽視特殊情形，如零向

情況.量、向量同向、向量反向、向量相等.

易錯題型3.對向量加、減法的幾何意義理解不透致誤

例3.［多選題］如圖，點O是平行四邊形43CZ）兩條對角線的交點，則下列等

式一定成立的是（）

A.AB+AD=ACB.0A+OC=0

C.BD-CD=BCD.BO+OC=DA

解析：AB+AD=AC,A正確；0A+OC=0#0,B錯誤；BD-CD=BD+DC

BC,C正確；B0+OC=BC=AD,D錯誤.故選AC.

答案：AC

易錯警示

易錯原因糾錯心得

(1)向量加法運算時，應做到“首尾順

對向量的加、減法的幾何意

次相連”.

義理解不透，致使錯選A、

(2)向量加法或減法運算后結果仍是向

B、C或A、C、D.

量.

易錯題型4向量線性運算時忽略圖形的性質致誤

例4.已知點E,b分別為四邊形48cZ)的對角線AC,AD的中點，設玩=",

DA=Z>,則用“，〃表示.

解析：如圖，取48的中點連接ERFP.

在△48C中，E尸是中位線，所以血=揚=、.

在△4BZ)中，//是中位線，

所以PF=|AD=—TDA=

在AEFP中，EF=EP+PF=-PE+PF=--a--b=~-(a+b).

1

答案：一式a+Z>)

易錯警示

易錯原因糾錯心得

四邊形48cZ)不一定是在根據平面幾何圖形進行化

梯形，只是一般的四邊簡、證明時，要準確應用平面

形，有的同學誤認為四邊幾何圖形的性質.首先應根據

形48CZ)是梯形出錯.題意判斷所給圖形是否是特殊

圖形，不能盲目運用特殊圖形

的性質進行求解.

易錯題型5忽視向量共線的方向出錯

例5.設兩向量勺，以不共線，若向量2旬+7e2與向量ei+&共線，求實數，

的值.

解析：二,向量2%1+7/與向量勺+心共線，

???存在實數人使得2的+762="勺+徒2）,

即2/=九且7=力,解得/=士手.

故所求實數，的值為士手.

易錯警示

易錯原因糾錯心得

忽視兩非零向量反向共線的情況而向量共線應分同向與反向兩

漏掉一解.種情況.

易錯題型6.對基的理解不準確致誤

例6.已知eiWO,AGR,”=61+融2，b=2e\,則“與〃共線的條件為（）

=

A.A0B.?2=。

C.勺〃《2D.C\//?2或2=0

解析：當時，”〃的.因為〃=2ei，所以A〃ei.又因為eiWO,所以“與

〃共線；當7=0時，a//ei，因為〃=2約，所以〃〃q.又因為e】WO,所以“與b

共線.故選D.

答案:D

易錯警示

易錯原因糾錯心得

本題中勺，以沒指明不共線，應考在應用平面向量基本定理時

不能忽略向量作為基的條

慮兩種情況.本題易忽略el//e2的

情況致錯選A.件，否則就會出錯.

易錯題型7誤把向量的坐標當作點的坐標運算致誤

例7.已知點4(2,3),3(5,4),C(7,10),若品=靠+%前(幾金R),試求當

點戶在第三象限時力的取值范圍.

解析：由已知得AP=AB+2AC=(5—2,4—3)+2(7—2,10—3)=(3,1)+

2(5,7)=(3+5九1+7-),

設點P(x,y),則AP=(%—2,y—3).

于是(x―2,歹一3)=(3+5九1+77),即歡

又點尸在第三象限，所以建8；解得k—L

故人的取值范圍為(一8,—1).

易錯警示

易錯原因糾錯心得

誤把向量的坐標當作點。向量的坐標反映的是向量的長度和

的坐標運算致錯，得到錯誤向量的方向，與終點坐標無關，只

答案(—8,—有當向量的起點是坐標原點時，向

量的坐標與終點的坐標才是一致

的.

易錯題型8.忽視向量共線的特殊情況出錯

例8.設兩個向量的，色滿足H|=2,\e2\=1,ex,/的夾角為60。，若向量2旬

+7以與e+心的夾角(9為鈍角，求實數，的取值范圍.

解析：由向量2?+7以與的+心的夾角夕為鈍角，得

八.(2tei+7e2>(ei+te2)”

COS

u—|O.~,

|2te1+7e2|-|ei+te21

(2/ei+7?2),(g+%?2)v。，化簡得2Z2+15/+7<0.

1

解得一7</<一5

當向量2處+7^2與ei+電的夾角為18為時,也有(2處+7e2>?+%2)<0,但

此時夾角不是鈍角.

設2的+762=461+/62)，丸<0,貝U

(2t=入，Q=-V14,

?7=世解得｛V14

(入VO,It二一7

二?所求實數，的取值范圍是(一7,一日馬)U(—1^,—

易錯警示

易錯原因糾錯心得

(2/ei+7e2)-(ei+/e2)<0包括若兩向量的夾角為鈍角，

了向量共線反向的情況，若則這兩向量的數量積為

忽視了這種情況，就得到了負，反之不成立.所以解

錯誤的答案(一7,-|)題時注意結論的應用.

易錯題型9.考慮不全面致錯

例9.已知4(1,2),5(4,0),C(8,6),。(5,8),判斷由此四點構成的四邊

形的形狀.

解析：因為的=(4,0)-(1,2)=(3,-2),DC=(8,6)-(5,8)=(3,-2),

所以的=玩，故四邊形48CD是平行四邊形.

因為而=(5,8)-(1,2)=(4,6),

所以跖?AD=3X4+(-2)X6=0,

所以靠，而，故四邊形48cZ)是矩形.

因為|靠|=履，|而|=2回，］跖|汽起|,

所以四邊形/5CZ)不是正方形.

綜上，四邊形48C7)是矩形.

易錯警示

易錯原因糾錯心得

有的同學只求出屈=玩，

在判斷圖形的形狀

就判斷四邊形48CZ)是平

時，要從邊和角兩

行四邊形，沒有進一步分析

方面來考慮，從而

靠與而是否垂直，以及它

判斷出一個最準確

們的模是否相等，從而得到

的形狀.

錯誤答案.

易錯題型10.忽略構成三角形的條件出錯

例10.已知2a+l,a,2a—1是鈍角三角形的三邊，則實數。的取值范圍為

解析：..,2a+l,a,2a—1是三角形的三邊

f2a+1>0,

a>0,解得曲弓.

12a-1>0,z

要使2a+l,a,2a-1

(2a+1+a>2a—1,

構成三角形，需滿足｛a+2a—1>2a+1,

(2a+1+2a—1〉a,

解得a>2.

由題知2a+l是三角形的最大邊，設其對應的角為伏鈍角),

a2+(2a-l)2-(2a+l)2

則cos3=2a(2a-l)-<o,

/.a2+(2a—l)2—(2a+l)2<0,即q?一8a<0,解得0<a<8.

又a>2,的取值范圍為(2,8).

答案：(2,8)

易錯警示

易錯原因糾錯心得

由于余弦定理的變形較多，且涉及

1

只能保證2a+l,a,2a~1平方和開方等運算，易因不細心而

都是正數，而要表示三角形的三導致錯誤.在利用余弦定理求三角

邊，還需滿足三角形的隱含條件形的三邊時，除了要保證三邊長均

“兩邊之和大于第三邊”.為正數，還要判斷一下三邊能否構

成三角形.

易錯題型11.解三角形時忽略隱含條件出錯

例11.在△48。中，若4=60。，BC=A有,AC=442,則角3的大小為()

A.30°B.45°

C.135°D.45?；?35°

解析：根據正弦定理得黑=焉，即黑=篇，解得sm"率又

BOAC,所以4>5,所以角5的大小為45。.故選B.

答案：B

易錯警示

易錯原因糾錯心得

已知三角形的兩邊及其中一邊的對

忽略5。=4e>4魚=角，利用正弦定理求另一邊的對角時，

這一條件，導致由于三角形內角的正弦都為正的，而

選D出錯.即忽略了三角這個內角可能為銳角，也可能為鈍角，

形中大邊對大角的條件.因此需要由題中的隱含條件來判斷角

的情況.

03壓軸題型

壓軸題型L余弦定理邊角互化的應用、求三角形中的邊長或周長的最

值或范圍

例題：已知UBC的內角4,B,。所對的邊分別為a,b,C,且a=b+2bcosC

⑴求證：C=2B.

⑵求等的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

⑵。，5)

【知識點】余弦定理邊角互化的應用、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍

【分析】(1)結合正弦定理及正弦和角公式得sin(Cd)=sin凡結合角度范圍即可證

明；

⑵結合正弦定理及三角恒等變換等=4,s8+；j-；,結合5角范圍即可求解.

【詳解】(1)在△/火中，

由Q=b+2bcosC及正弦定理得：sin^4=sin5+2sin5cosC

又?.?4=兀一(3+C),

:.sinZ=sin[兀一(3+C)]=sin(3+C)=sinBcosC+cosBsinC

即sinBcosC+cos5sisC=sin5+2sinBcosC

sinBcosC+cosBsinC—2sinBcosC=sin5,

sin(C-5)=sin5

?.?0<sinS=sin(C-B),.-.0<C-B<C<TI,

?：B+(C-B)=C<7t,：.B=C-B,C=2B

(2)得：C=28得2+C=32e(0,嘰

711

0<5,/.—<cosB<1,

32

由題意。=6+2bcosC,C=28及正弦定理得：

a+c_b+2bcosC+c_sinS+2sin5cosC+sinC_sinS+2sinBcosC+sin2B

bbsin5sin5

sinB+2sinBcosC+2sin5cosB

=1+2cosC+2cos5=1+2cos25+2cosB

sin8

=1+2（2cos28-1）+2cos5=4cos2B+2cosB-\

2

二4卜osB+；5

4

*/-<cos5<l,/.I<4fcos5+-^|--<5,BPl<-^^<5

2I4J4b

故強的取值范圍為（1，5）

方法二：由正弦定理得：*叱?

A+B+C=Ti,4=?！?+C）,

sinA+sinCsin[?—（B+C）]+sinCsin（B+C）+sinC

sinBsinBsinB

由（1）得：C=2B,故唱=sm（2+2?+sm25

bsin8

_sinBcosIB+cosBsinIB+sinIB

sinB

_sinBcosIB+cosB2sinBcos8+2sin5cosB

sin3

=cosIB+2cos2B+2cosB

=2cos25-l+2cos25+2cos5=4cos2B+2cosB-\

二4卜osB+；

由（1）得：C=22得2+C=38e（O,兀），

711

0<5,/.—<cosBel,

32

1<4[cosB+—"<5,即1<”5,

I4I4b

故管的取值范圍為（1，5）

鞏固訓練1.（2022?全國?模擬預測）已知四邊形內接于圓。，AB=2,

NADB=30°,/BAD是鈍角.

（1）求NC的最大值；

Q）BD=2粗，求四邊形N8CZ）周長的最大值.

【答案】⑴4

（2）4+473

【知識點】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形

【分析】（1）利用正弦定理求出圓。的直徑即得公的最大值；

（2）先在△N2D中根據所給條件，利用正弦定理求出/加。的值和功的長，然后

在△5C。中通過余弦定理和基本不等式求出2c與CD之和的最大值即可求解.

【詳解】（1）設圓。的半徑為公

OD——_

因為△N2D內接于圓O,且/3=2,/4DB=30。，由正弦定理得一sin乙。8一工

2

又如是圓。的弦，所以/CW4,所以"的最大值為4.

(2)在中，由正弦定理得BD=_絲—即2)=2

1f1

,中小小足些1寸sin々NDsinZADBsinZBADsin300

所以sinZR4O=0

2

因為ZB/。是鈍角，所以Z8/O=120。，所以//加=//8。=30。，即3=血=2.

由/8/。=120。得Z8CD=60。，設8C=x,CD=y,

在△5C。中，由余弦定理得BL）?=302+℃2_220*“^儂/88,

即12=x2+y2-xy=（x+y『-3xy2（x+y）2-3x[^^]=。；田,所以x+yW46,當且僅當

x=y=26時，x+y取得最大值46，

所以四邊形”58周長的最大值為4+46.

2.（2021?北京?模擬預測）在44BC中，a=G〃=則44BC的最大周長是（）

A.2百B.3百C.3+V3D.4+73

【答案】B

【知識點】余弦定理解三角形、基本不等式求積的最大值

【分析】由余弦定理一2反3/變形為含6+C的式子，利用均值不等式求解.

222

【詳解】由余弦定理知,a=b+c-2bccOSA,

即3bc=伍+域-3,

故猊=伍+域-343[＞J,當且僅當6=c時等號成立

解得（6+?！海?2,又b+c〉a=6,

所以百＜b+c426,

故周長a+6+c43vL

故選：B

【點睛】關鍵點點睛：由余弦定理建立方程后，需要根據所求問題合理變形是解

題的關鍵，變形后利用均值不等式求最值，屬于中檔題.

壓軸題型2.三角恒等變換的化簡問題、余弦定理解三角形、幾何圖形

中的計算

例題：記必臺。的內角A、B、C的對邊分別為。、b、c,已知bcosN-acosBi-c

⑴求A;

(2)若點。在8c邊上，且CD=28。，cosB=g,求tan/BAD.

【答案】=m

⑵tanNBAD=M-6

【知識點】三角恒等變換的化簡問題、余弦定理解三角形、幾何圖形中的計算

【分析】(1)由余弦定理化簡可得出"+。2-/=比，可求出cos"的值，再結合角A

的取值范圍可求得角A的值；

(2)求出Sin3、sinC的值，設=*貝ljNC4O=g-e,分別在和中，

利用正弦定理結合等式的性質可得出sin。、cos。的等式，即可求得tan。的值，即為

所求.

【詳解】(1)解：因為6cosN-acos8=6一c,

由余弦定理可得心2+1"“/+；―、一,

2bc2ac

化簡可得〃+/_/=兒，由余弦定理可得叫/=立丁號，

因為0</<兀，所以，/=(.

(2)解：因為cos8=*,則8為銳角，所以，sinB=A/1-COS2B=^1-,

07T

因為久+3+。=兀，所以，C=-^~-B,

所以，sinC-sinf-5^)=sin-cosB-cos—sinB=x+—x-,

"'八I3)33232326

設貝U/czz>=1—e,

AC

RDAD1jn_________=_____=______

在△42。和“CD中，由正弦定理得;^=編方=下，sm[2_e「smC-3+后，

sin(7sinD7b^11110J

因為CQ=25Q,上面兩個等式相除可得指sin]-e]=(3+V^sin%

得^^^cos6-；sin“=(3+V^sinS,艮|]后cos6=(2+布卜山6,

/y

所以,tan/BAD=tan6=---『=6—V2.

2+。6

鞏固訓練1.記△N5C是內角A,B,C的對邊分別為％b,。.已知〃=qc,點。在邊

AChBDsin/ABC=asinC9

（1）證明：BD=b；

（2）若4D=2DC,求cosN/BC.

【答案】（l）證明見解析；（2）COSZABC=2-.

【知識點】正弦定理邊角互化的應用、幾何圖形中的計算

【分析】（1）根據正弦定理的邊角關系有手，結合已知即可證結論.

（2）方法一：兩次應用余弦定理，求得邊。與。的關系，然后利用余弦定理即可

求得C0S//3C的值.

【詳解】（1）設ANBC的外接圓半徑為凡由正弦定理，

kc

得sin//5c=——,sinC=——,

B2R2R

g|BDsinZABC=asinC,所以&0.2=0上，gpBDb=ac.

2R2R

又因為〃=改,所以以）=6.

（2）［方法一］【最優解】：兩次應用余弦定理

因為/Q=2QC,如圖，在zug中，cosC=P,①

2ab

A

〃+(2)2_/

在△58中，cosC=------'—?②

2a-'

3

由①②得/+〃一c?=3卜+令一4整理得2。2-？〃+，=0.

又因為〃=qc,所以6〃-1lac+3c之=0,解得”?或。苫，

當“=：萬=ac=5時，a+b=1|+W江＜c（舍去）.

3331

“專7

r3c3c2工片:

當a_于/_a°--^-時，cosAABC=2

2.至/、2?

2

7

所以cosN/8C=內.

［方法二］:等面積法和三角形相似

2

如圖，已知/O=2OC,貝l］S"m=§S~BC，

1921

BP—x—b2sinZADB=—x—acxsinZABC

12332

A

而〃=ac,即sinNADB=sinZABC,

故有AADB=/ABC,從而/ABD=Zc.

由〃=ac,BP-=f,即0=>,即AACBS44BD,

2b

故塔嘿即至,,

cb

7

又甘=ac,所以c=§a,

c2+a2-b27

則cos/ABC=

2ac12

［方法三］:正弦定理、余弦定理相結合

21

由(1)知80=6=/。，^.^AD=2DC^AD=-h,CD=-b.

在“加中，由正弦定理得

sin/ABDsinA

2,?

又NABD=NC,所以3_b,化簡得sinC=[Sin/.

-5

sinCsinA

在UBC中，由正弦定理知C=ga,又由所以〃=ga2.

24222

2.2_/2aH—u—a

在UBC中，由余弦定理，得cos4BC=°*；一=93

2ac2x2/

3

7

故cos//5C=—.

回12

［方法四］:構造輔助線利用相似的性質

如圖，作交BC于點E,貝IJZVJECSZ^BC.

(立)2+—)2一一

在ABED中，cosABED=二~——

2,—,—

33

22_72

在l\ABC中cosNABC=~~~.

2ac

因為cosZ.ABC=-cos/BED,

(爭+(f)j

a1+c2-b2

所以2ac

lac」,—,—

33

整理得6a2-llb2+3c2=0.

又因為〃=ac,所以6a2-Wac+3c2=0,

即"I■或0=|c.

下同解法1.

［方法五］:平面向量基本定理

因為ND=2AC,所以而=2虎.

以向量瓦成為基底，有前=萍+那.

所以前2=期2+灑.~BC+孤左，

441

即b1=—a2+—accos/.ABC+—c2,

1999

又因為〃=ac,所以9ac=4〃+4。。?cos/ABC+c2.③)

由余弦定理得/=tz2+c2-2accos/ABC,

所以QC=/+/一2accosZABC(4)

聯立③得6〃—114+3c2=o.

所以”=|c或“=gc.

下同解法I.

［方法六］:建系求解

以Q為坐標原點，公所在直線為X軸，過點Q垂直于/C的直線為y軸,

DC長為單位長度建立直角坐標系，

如圖所示，則D(0,0),」-2,0),C(l,0).

1

cy*

由（1）知，BD=b=AC=3,所以點3在以。為圓心，3為半徑的圓上運動.

設2（x/）（-3<x<3）,則x'+/=9.⑤

由〃=%知，\B^\-\BC\=\AC^,

即7（%+2）2+/-7（^-1）2+/=9.⑥

聯立⑤⑥解得'=￡或x=六3（舍去）,

4216

代入⑥）式得a=|BC\=^^-,c=\BA|=46,b=3,

由余弦定理得cos/4C=《±H=；

2ac12

【整體點評】（2）方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角

形的性質和正余弦定理的性質解題；

方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數學問題利用等面積法使得問題轉化

為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；

方法四：構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊

長比例關系的不錯選擇；

方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理

和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結合到一起；

方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數形結合充分挖掘

幾何性質使得問題更加直觀化.

2.在△N8C中，角A、B、C的對邊分別是“、b、c且6sin/=獨zcosB.

⑴求角8的大??；

（2）若。=4,c=3,。為2c的中點，求△/8C的面積及"）的長度.

【答案】（1）2后

⑵“8c的面積為36，AD=5

【知識點】正弦定理邊角互化的應用、三角形面積公式及其應用、余弦定理解三

角形

【分析】（1）利用正弦定理化簡可得出tanB的值，結合角5的取值范圍可求得角8

的值；

（2）利用三角形的面積公式可求得△/g的面積，利用余弦定理可求得的長度.

【詳解】（1）解：由6sinZ=V§acos8及正弦定理可得sinBsin/=V^sin/cos8,

；/、8e（0,萬），則sin/>0,可得sinB=gcosB>0,tanB=6,故3=

（2）解：黑謝=gacsinB=gx4x3x曰=3出,

由余弦定理可得/-accos8=S.

壓軸題型3.用和、差角的余弦公式化簡、求值、二倍角的正弦公式、

正弦定理解三角形、余弦定理解三角形

例題：（2024?天津?高考真題）在“臺。中，角48，c所對的邊分別為a,b,c,已知

cos5=—,b=5,-=-

16c3

⑴求。的值；

⑵求sin4的值；

⑶求cos（8-2/）的值.

【答案】（1）4

【知識點】用和、差角的余弦公式化簡、求值、二倍角的正弦公式、正弦定理解

三角形、余弦定理解三角形

【分析】（1）a=2f,c=3f,利用余弦定理即可得到方程，解出即可；

（2）法一：求出sinB,再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos”,則

得到sin/;

（3）法一：根據大邊對大角確定A為銳角，則得到COS”,再利用二倍角公式和兩

角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可.

【詳解】（1）設a=2f,c=3f,/>0,則根據余弦定理得〃=/+c2_2accos2,

即25=4f+9/-2x2tx3/x2,解得公2（負舍）;

貝（JQ=4,c=6

（2）法一：因為3為三角形內角，所以sinB?l-府8=

45

再根據正弦定理得號=4，即研，解得sm/=

sinAsmD-------

16

法二：由余弦定理得cosN="+f-/=52+f-不=之,

（3）法一：因為cos3=，>0,且86（0,71）,所以

由（2）法一知sin8=4g,

16

因為a<6,則/<5,所以cos/=

3

則sin24=2sinAcosA=2xx—=,cos24=2cos2^!-l=2x-1

448?4

915773A/757

cos（B_2，）=cosBcos2A+sinBsin2A__x__?____x____—__

168168-64

占地

法二：sin242sin/c°s/=2x"

448

貝Ucos24=2COS?4-1=一l=g,

因為3為三角形內角，所以sinB=Jl-

-°s2/+sm3sm2N=2/+^L457

所以cos(5一2’)

16816864

鞏固訓練1.在△A8C中，點Q在8c上，AC=2AB=6,/A4c=120。.

(1)求sinC的值；

⑵若8Q=2DC,求的長.

【答案】⑴sinC=^

(2)屈

【知識點】已知數量積求模、數量積的運算律、余弦定理解三角形、正弦定理解

三角形

【分析】(1)利用余弦定理與正弦定理依次求得BGsinJ從而得解；

(2)利用向量的線性運算與數量積的運算法則即可得解.

【詳解】(1)在△N8C中，AC=2AB=6,ZBAC=120°,貝卜3=3,

^\^BC2=AB2+AC2-2AB-ACCOSZBAC

=3?+62-2x3x6x(-!|=63,所以8C=3萬，

73_

又西-=———,貝「ABsinZBAC3f而

(2)因為8O=2OC,則麗=和，

A

plc

D

^V）,Ai5=AB+BD=AB+^BC=AB+^iJC-AB）=^AB+^AC,

X|ZB|=3,|JC|=6,AB-IC=3X6XCOS120°=-9,

所以近J、方+：就;J方刀：就2

144

=-x32+-x（-9）+-x62=13,

99''9

則/￡>=畫=布.

2.（2024?上海松江?二模）設/（x）=sin2_|x+V^cos￡xsin￡x（0>O）,函數k/O）圖象的

兩條相鄰對稱軸之間的距離為兀.

⑴求函數V=/（x）的解析式；

（2）在△/8C中，設角A、8及C所對邊的邊長分別為“、b及c,若°=百，b=M,

/（/）=（，求角J

【答案】⑴〃x）=sin（x-a+；

⑵方

【知識點】余弦定理解三角形、三角恒等變換的化簡問題、由正（余）弦函數的

性質確定圖象（解析式）

【分析】（1）根據降幕公式，二倍角公式及輔助角公式化簡“X）,再根據k了⑴

圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為兀求出。即可；

（2）由川）=|得出//，過點C作/81CD于點，得出48*分別求出皿8

的長，結合N8即可得出助=8,進而得出々CD,根據4c8=4。即可求

得答案.

1-COSCOX../兀、1

【詳解】（I）/（x）=--------dsincox=sin(s——)+—

2262

因為函數k圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為兀,

所以源，則7d=2兀，解得。”

所以/(x)=sin(x_g)+：.

o2

(2)由/⑷"得，/(/)=sin(/J)+!=：n/J=2析+三，林Z,

2o22o2

因為北（0,兀），所以即/=§,

623

cos小四—2+。2-3=-1解得c="2(舍負),

2bc26c

過點C作/81C。于點，如圖所示,

由/O=t，4/C=多得，ZACD=B,則/=變,CD=/Cxcos￥=",

2362262

所以BD=AB+AD=&"U^,則

222

所以NBCD=t，貝I]//C3=4CD-//CDU=A.

D

A/'、

B乙---------------:^C

3.已知△/5C的內角4,B,。的對邊分別是〃，b,C,△/5C的面積為S,且滿足

4s+6ctan(8+C)=0.

⑴求角4的大??；

⑵若。=4,求△N8C周長的最大值.

【答案】（1）4寸

⑵12

【知識點】三角形面積公式及其應用、余弦定理邊角互化的應用、求三角形中的

邊長或周長的最值或范圍、基本不等式求積的最大值

【分析】（1）由4S+3tan（8+C）=0結合三角形面積公式可化簡得到cos/=；,即可

求得答案；

（2）利用余弦定理得到"+C?-16=6c,進而化為伍+。）2=16+3左，結合基本不等式求

得即可得△N8C周長的最大值.

【詳解】（1）-：A+B+C=it,

4s=-betan（8+C）=-betan（兀一Z）=betanA,

貝U2bcsinA=bc包W,

cosA

,/Ae.（0,兀），/.sin/w0,/.cos4=；,

又.??/=/;

（2）??-a=4,/=|>

二由余弦定理得cos/=?m=；，

即b1+/—I6=bc,（fe+c）2=l6+3bc,

所以e+c)2-16=36cW3x也(當且僅當6=c=4時取“=”)，

19

故彳9+c)(16,b+c<8,

■-b+c的最大值為8,a+b+c的最大值為12,

周長的最大值為12.

壓軸題型4.正弦定理邊角互化的應用、基本不等式求和的最小值

例題：(2022?新高考全國I卷?高考真題)記UBC的內角4B,。的對邊分別為

cos4sin25

a,b,c,已知

1+sin/1+cos25

(1)若。=竽,求5;

⑵求的最小值.

【答案】⑴，;

（2）472-5.

【知識點】正弦定理邊角互化的應用、基本不等式求和的最小值

【分析】（1）根據二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將產7化成

1+sinZ1+cos2/5

cos（/+8）=sin3,再結合0<8<],即可求出；

（2）由（1）知，C=*8,41-2B,再利用正弦定理以及二倍角公式將之?

ZZC

化成4c°s"+高-5,然后利用基本不等式即可解出.

cosAsin252sinBcosBsin5

（1）

【詳解】因為1+sinZ1+cos252cos2Bcos5,即

sinB=cosAcos5—sin力sinB=cos

而0<8、，所以人會

（2）由（1）知，sin5=-cosOO,所以]<C<7i,0<8<],

而sin8=-cosC=s"c-a

兀34

所以Cj+B,即有4=-2B,所以Be］。/,CG

5'彳

222222

所以3+bsinA+sinBcos25+1-cosB

C2sin2Ccos2B

8-1)+l-cos2B2