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文檔簡介
平面向量及其應用
(11大易錯訓練與7大壓軸訓練)
01思維導圖
目錄
易錯題型1忽視零向量出錯.............................................................1
易錯題型2.忽視向量共線情況出錯......................................................2
易錯題型3.對向量加、減法的幾何意義理解不透致誤.....................................3
易錯題型4向量線性運算時忽略圖形的性質致誤.........................................4
易錯題型5忽視向量共線的方向出錯......................................................5
易錯題型6.對基的理解不準確致誤........................................................5
易錯題型7誤把向量的坐標當作點的坐標運算致誤.........................................6
易錯題型8.忽視向量共線的特殊情況出錯.................................................7
易錯題型9.考慮不全面致錯..............................................................8
易錯題型10.忽略構成三角形的條件出錯..................................................8
易錯題型11.解三角形時忽略隱含條件出錯...............................................10
壓軸題型1.余弦定理邊角互化的應用、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍..............11
壓軸題型2.三角恒等變換的化簡問題、余弦定理解三角形、幾何圖形中的計算...............15
壓軸題型3.用和、差角的余弦公式化簡、求值、二倍角的正弦公式、正弦定理解三角形、余弦定
理解三角形............................................................................21
壓軸題型5.三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形、數量積的運算律.................30
壓軸題型6.平面向量共線定理證明點共線問題壓軸題型2.三角恒等變換的化簡問題、余弦定理解
三角形、幾何圖形中的計算.............................................................33
壓軸題型7.由正(余)弦函數的性質確定圖象(解析式)、余弦定理解三角形...............37
02易錯題型
易錯題型一忽視零向量出錯
例1.已知向量a,b,c滿足a〃"b//c,則"與c一定平行嗎?
解析:分兩種情況說明:
①當向量〃=0,向量a與向量c均為非零向量時,不能保證。〃c.
②當向量bWO時,因為a//b,所以向量”與向量〃具有相同或相反方向.又
因為Z>〃c,所以向量c與向量方具有相同或相反方向,所以向量a與向量c具有
相同或相反方向,故“〃c
綜上所述,當向量AW0時,向量”與c平行;當向量8=0時,向量”與c
不一定平行.
易錯警示
易錯原因糾錯心得
求解向量問題時,要注意題目中的
忽視零向量,誤認為向量能否為零向量.零向量是特殊
a,b,c都是非零向的向量,方向是任意的.所有的零
量,則由a〃"向量都相等.零向量的起點與終點
b//c,得b〃c是同一點,故不能用有向線段表示
出來.
易錯題型2.忽視向量共線情況出錯
例2.已知非零向量a,b,c,以表示a,b,c的有向線段構成三角形的充要
條件是“+〃+c=0,這個判斷正確嗎?
解析:不正確
因為“,、共線時,即使a+Z>+c=O成立,
但不能構成三角形.
當a,b,c不共線時,?+Z>+c=O,則以表示a,b,c的有向線段能構成三
角形.
易錯警示
易錯原因糾錯心得
忽視了向量共線的特殊解決向量問題時不要忽視特殊情形,如零向
情況.量、向量同向、向量反向、向量相等.
易錯題型3.對向量加、減法的幾何意義理解不透致誤
例3.[多選題]如圖,點O是平行四邊形43CZ)兩條對角線的交點,則下列等
式一定成立的是()
A.AB+AD=ACB.0A+OC=0
C.BD-CD=BCD.BO+OC=DA
解析:AB+AD=AC,A正確;0A+OC=0#0,B錯誤;BD-CD=BD+DC
BC,C正確;B0+OC=BC=AD,D錯誤.故選AC.
答案:AC
易錯警示
易錯原因糾錯心得
(1)向量加法運算時,應做到“首尾順
對向量的加、減法的幾何意
次相連”.
義理解不透,致使錯選A、
(2)向量加法或減法運算后結果仍是向
B、C或A、C、D.
量.
易錯題型4向量線性運算時忽略圖形的性質致誤
例4.已知點E,b分別為四邊形48cZ)的對角線AC,AD的中點,設玩=",
DA=Z>,則用“,〃表示.
解析:如圖,取48的中點連接ERFP.
在△48C中,E尸是中位線,所以血=揚=、.
在△4BZ)中,//是中位線,
所以PF=|AD=—TDA=
在AEFP中,EF=EP+PF=-PE+PF=--a--b=~-(a+b).
1
答案:一式a+Z>)
易錯警示
易錯原因糾錯心得
四邊形48cZ)不一定是在根據平面幾何圖形進行化
梯形,只是一般的四邊簡、證明時,要準確應用平面
形,有的同學誤認為四邊幾何圖形的性質.首先應根據
形48CZ)是梯形出錯.題意判斷所給圖形是否是特殊
圖形,不能盲目運用特殊圖形
的性質進行求解.
易錯題型5忽視向量共線的方向出錯
例5.設兩向量勺,以不共線,若向量2旬+7e2與向量ei+&共線,求實數,
的值.
解析:二,向量2%1+7/與向量勺+心共線,
???存在實數人使得2的+762="勺+徒2),
即2/=九且7=力,解得/=士手.
故所求實數,的值為士手.
易錯警示
易錯原因糾錯心得
忽視兩非零向量反向共線的情況而向量共線應分同向與反向兩
漏掉一解.種情況.
易錯題型6.對基的理解不準確致誤
例6.已知eiWO,AGR,”=61+融2,b=2e\,則“與〃共線的條件為()
=
A.A0B.?2=。
C.勺〃《2D.C\//?2或2=0
解析:當時,”〃的.因為〃=2ei,所以A〃ei.又因為eiWO,所以“與
〃共線;當7=0時,a//ei,因為〃=2約,所以〃〃q.又因為e】WO,所以“與b
共線.故選D.
答案:D
易錯警示
易錯原因糾錯心得
本題中勺,以沒指明不共線,應考在應用平面向量基本定理時
不能忽略向量作為基的條
慮兩種情況.本題易忽略el//e2的
情況致錯選A.件,否則就會出錯.
易錯題型7誤把向量的坐標當作點的坐標運算致誤
例7.已知點4(2,3),3(5,4),C(7,10),若品=靠+%前(幾金R),試求當
點戶在第三象限時力的取值范圍.
解析:由已知得AP=AB+2AC=(5—2,4—3)+2(7—2,10—3)=(3,1)+
2(5,7)=(3+5九1+7-),
設點P(x,y),則AP=(%—2,y—3).
于是(x―2,歹一3)=(3+5九1+77),即歡
又點尸在第三象限,所以建8;解得k—L
故人的取值范圍為(一8,—1).
易錯警示
易錯原因糾錯心得
誤把向量的坐標當作點。向量的坐標反映的是向量的長度和
的坐標運算致錯,得到錯誤向量的方向,與終點坐標無關,只
答案(—8,—有當向量的起點是坐標原點時,向
量的坐標與終點的坐標才是一致
的.
易錯題型8.忽視向量共線的特殊情況出錯
例8.設兩個向量的,色滿足H|=2,\e2\=1,ex,/的夾角為60。,若向量2旬
+7以與e+心的夾角(9為鈍角,求實數,的取值范圍.
解析:由向量2?+7以與的+心的夾角夕為鈍角,得
八.(2tei+7e2>(ei+te2)”
COS
u—|O.~,
|2te1+7e2|-|ei+te21
(2/ei+7?2),(g+%?2)v。,化簡得2Z2+15/+7<0.
1
解得一7</<一5
當向量2處+7^2與ei+電的夾角為18為時,也有(2處+7e2>?+%2)<0,但
此時夾角不是鈍角.
設2的+762=461+/62),丸<0,貝U
(2t=入,Q=-V14,
?7=世解得{V14
(入VO,It二一7
二?所求實數,的取值范圍是(一7,一日馬)U(—1^,—
易錯警示
易錯原因糾錯心得
(2/ei+7e2)-(ei+/e2)<0包括若兩向量的夾角為鈍角,
了向量共線反向的情況,若則這兩向量的數量積為
忽視了這種情況,就得到了負,反之不成立.所以解
錯誤的答案(一7,-|)題時注意結論的應用.
易錯題型9.考慮不全面致錯
例9.已知4(1,2),5(4,0),C(8,6),。(5,8),判斷由此四點構成的四邊
形的形狀.
解析:因為的=(4,0)-(1,2)=(3,-2),DC=(8,6)-(5,8)=(3,-2),
所以的=玩,故四邊形48CD是平行四邊形.
因為而=(5,8)-(1,2)=(4,6),
所以跖?AD=3X4+(-2)X6=0,
所以靠,而,故四邊形48cZ)是矩形.
因為|靠|=履,|而|=2回,]跖|汽起|,
所以四邊形/5CZ)不是正方形.
綜上,四邊形48C7)是矩形.
易錯警示
易錯原因糾錯心得
有的同學只求出屈=玩,
在判斷圖形的形狀
就判斷四邊形48CZ)是平
時,要從邊和角兩
行四邊形,沒有進一步分析
方面來考慮,從而
靠與而是否垂直,以及它
判斷出一個最準確
們的模是否相等,從而得到
的形狀.
錯誤答案.
易錯題型10.忽略構成三角形的條件出錯
例10.已知2a+l,a,2a—1是鈍角三角形的三邊,則實數。的取值范圍為
解析:..,2a+l,a,2a—1是三角形的三邊
f2a+1>0,
a>0,解得曲弓.
12a-1>0,z
要使2a+l,a,2a-1
(2a+1+a>2a—1,
構成三角形,需滿足{a+2a—1>2a+1,
(2a+1+2a—1〉a,
解得a>2.
由題知2a+l是三角形的最大邊,設其對應的角為伏鈍角),
a2+(2a-l)2-(2a+l)2
則cos3=2a(2a-l)-<o,
/.a2+(2a—l)2—(2a+l)2<0,即q?一8a<0,解得0<a<8.
又a>2,的取值范圍為(2,8).
答案:(2,8)
易錯警示
易錯原因糾錯心得
由于余弦定理的變形較多,且涉及
1
只能保證2a+l,a,2a~1平方和開方等運算,易因不細心而
都是正數,而要表示三角形的三導致錯誤.在利用余弦定理求三角
邊,還需滿足三角形的隱含條件形的三邊時,除了要保證三邊長均
“兩邊之和大于第三邊”.為正數,還要判斷一下三邊能否構
成三角形.
易錯題型11.解三角形時忽略隱含條件出錯
例11.在△48。中,若4=60。,BC=A有,AC=442,則角3的大小為()
A.30°B.45°
C.135°D.45?;?35°
解析:根據正弦定理得黑=焉,即黑=篇,解得sm"率又
BOAC,所以4>5,所以角5的大小為45。.故選B.
答案:B
易錯警示
易錯原因糾錯心得
已知三角形的兩邊及其中一邊的對
忽略5。=4e>4魚=角,利用正弦定理求另一邊的對角時,
這一條件,導致由于三角形內角的正弦都為正的,而
選D出錯.即忽略了三角這個內角可能為銳角,也可能為鈍角,
形中大邊對大角的條件.因此需要由題中的隱含條件來判斷角
的情況.
03壓軸題型
壓軸題型L余弦定理邊角互化的應用、求三角形中的邊長或周長的最
值或范圍
例題:已知UBC的內角4,B,。所對的邊分別為a,b,C,且a=b+2bcosC
⑴求證:C=2B.
⑵求等的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
⑵。,5)
【知識點】余弦定理邊角互化的應用、求三角形中的邊長或周長的最值或范圍
【分析】(1)結合正弦定理及正弦和角公式得sin(Cd)=sin凡結合角度范圍即可證
明;
⑵結合正弦定理及三角恒等變換等=4,s8+;j-;,結合5角范圍即可求解.
【詳解】(1)在△/火中,
由Q=b+2bcosC及正弦定理得:sin^4=sin5+2sin5cosC
又?.?4=兀一(3+C),
:.sinZ=sin[兀一(3+C)]=sin(3+C)=sinBcosC+cosBsinC
即sinBcosC+cos5sisC=sin5+2sinBcosC
sinBcosC+cosBsinC—2sinBcosC=sin5,
sin(C-5)=sin5
?.?0<sinS=sin(C-B),.-.0<C-B<C<TI,
?:B+(C-B)=C<7t,:.B=C-B,C=2B
(2)得:C=28得2+C=32e(0,嘰
711
0<5,/.—<cosB<1,
32
由題意。=6+2bcosC,C=28及正弦定理得:
a+c_b+2bcosC+c_sinS+2sin5cosC+sinC_sinS+2sinBcosC+sin2B
bbsin5sin5
sinB+2sinBcosC+2sin5cosB
=1+2cosC+2cos5=1+2cos25+2cosB
sin8
=1+2(2cos28-1)+2cos5=4cos2B+2cosB-\
2
二4卜osB+;5
4
*/-<cos5<l,/.I<4fcos5+-^|--<5,BPl<-^^<5
2I4J4b
故強的取值范圍為(1,5)
方法二:由正弦定理得:*叱?
A+B+C=Ti,4=?!?+C),
sinA+sinCsin[?—(B+C)]+sinCsin(B+C)+sinC
sinBsinBsinB
由(1)得:C=2B,故唱=sm(2+2?+sm25
bsin8
_sinBcosIB+cosBsinIB+sinIB
sinB
_sinBcosIB+cosB2sinBcos8+2sin5cosB
sin3
=cosIB+2cos2B+2cosB
=2cos25-l+2cos25+2cos5=4cos2B+2cosB-\
二4卜osB+;
由(1)得:C=22得2+C=38e(O,兀),
711
0<5,/.—<cosBel,
32
1<4[cosB+—"<5,即1<”5,
I4I4b
故管的取值范圍為(1,5)
鞏固訓練1.(2022?全國?模擬預測)已知四邊形內接于圓。,AB=2,
NADB=30°,/BAD是鈍角.
(1)求NC的最大值;
Q)BD=2粗,求四邊形N8CZ)周長的最大值.
【答案】⑴4
(2)4+473
【知識點】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形
【分析】(1)利用正弦定理求出圓。的直徑即得公的最大值;
(2)先在△N2D中根據所給條件,利用正弦定理求出/加。的值和功的長,然后
在△5C。中通過余弦定理和基本不等式求出2c與CD之和的最大值即可求解.
【詳解】(1)設圓。的半徑為公
OD——_
因為△N2D內接于圓O,且/3=2,/4DB=30。,由正弦定理得一sin乙。8一工
2
又如是圓。的弦,所以/CW4,所以"的最大值為4.
(2)在中,由正弦定理得BD=_絲—即2)=2
1f1
,中小小足些1寸sin々NDsinZADBsinZBADsin300
所以sinZR4O=0
2
因為ZB/。是鈍角,所以Z8/O=120。,所以//加=//8。=30。,即3=血=2.
由/8/。=120。得Z8CD=60。,設8C=x,CD=y,
在△5C。中,由余弦定理得BL)?=302+℃2_220*“^儂/88,
即12=x2+y2-xy=(x+y『-3xy2(x+y)2-3x[^^]=。;田,所以x+yW46,當且僅當
x=y=26時,x+y取得最大值46,
所以四邊形”58周長的最大值為4+46.
2.(2021?北京?模擬預測)在44BC中,a=G〃=則44BC的最大周長是()
A.2百B.3百C.3+V3D.4+73
【答案】B
【知識點】余弦定理解三角形、基本不等式求積的最大值
【分析】由余弦定理一2反3/變形為含6+C的式子,利用均值不等式求解.
222
【詳解】由余弦定理知,a=b+c-2bccOSA,
即3bc=伍+域-3,
故猊=伍+域-343[>J,當且僅當6=c時等號成立
解得(6+?!海?2,又b+c〉a=6,
所以百<b+c426,
故周長a+6+c43vL
故選:B
【點睛】關鍵點點睛:由余弦定理建立方程后,需要根據所求問題合理變形是解
題的關鍵,變形后利用均值不等式求最值,屬于中檔題.
壓軸題型2.三角恒等變換的化簡問題、余弦定理解三角形、幾何圖形
中的計算
例題:記必臺。的內角A、B、C的對邊分別為。、b、c,已知bcosN-acosBi-c
⑴求A;
(2)若點。在8c邊上,且CD=28。,cosB=g,求tan/BAD.
【答案】=m
⑵tanNBAD=M-6
【知識點】三角恒等變換的化簡問題、余弦定理解三角形、幾何圖形中的計算
【分析】(1)由余弦定理化簡可得出"+。2-/=比,可求出cos"的值,再結合角A
的取值范圍可求得角A的值;
(2)求出Sin3、sinC的值,設=*貝ljNC4O=g-e,分別在和中,
利用正弦定理結合等式的性質可得出sin。、cos。的等式,即可求得tan。的值,即為
所求.
【詳解】(1)解:因為6cosN-acos8=6一c,
由余弦定理可得心2+1"“/+;―、一,
2bc2ac
化簡可得〃+/_/=兒,由余弦定理可得叫/=立丁號,
因為0</<兀,所以,/=(.
(2)解:因為cos8=*,則8為銳角,所以,sinB=A/1-COS2B=^1-,
07T
因為久+3+。=兀,所以,C=-^~-B,
所以,sinC-sinf-5^)=sin-cosB-cos—sinB=x+—x-,
"'八I3)33232326
設貝U/czz>=1—e,
AC
RDAD1jn_________=_____=______
在△42。和“CD中,由正弦定理得;^=編方=下,sm[2_e「smC-3+后,
sin(7sinD7b^11110J
因為CQ=25Q,上面兩個等式相除可得指sin]-e]=(3+V^sin%
得^^^cos6-;sin“=(3+V^sinS,艮|]后cos6=(2+布卜山6,
/y
所以,tan/BAD=tan6=---『=6—V2.
2+。6
鞏固訓練1.記△N5C是內角A,B,C的對邊分別為%b,。.已知〃=qc,點。在邊
AChBDsin/ABC=asinC9
(1)證明:BD=b;
(2)若4D=2DC,求cosN/BC.
【答案】(l)證明見解析;(2)COSZABC=2-.
【知識點】正弦定理邊角互化的應用、幾何圖形中的計算
【分析】(1)根據正弦定理的邊角關系有手,結合已知即可證結論.
(2)方法一:兩次應用余弦定理,求得邊。與。的關系,然后利用余弦定理即可
求得C0S//3C的值.
【詳解】(1)設ANBC的外接圓半徑為凡由正弦定理,
kc
得sin//5c=——,sinC=——,
B2R2R
g|BDsinZABC=asinC,所以&0.2=0上,gpBDb=ac.
2R2R
又因為〃=改,所以以)=6.
(2)[方法一]【最優解】:兩次應用余弦定理
因為/Q=2QC,如圖,在zug中,cosC=P,①
2ab
A
〃+(2)2_/
在△58中,cosC=------'—?②
2a-'
3
由①②得/+〃一c?=3卜+令一4整理得2。2-?〃+,=0.
又因為〃=qc,所以6〃-1lac+3c之=0,解得”?或。苫,
當“=:萬=ac=5時,a+b=1|+W江<c(舍去).
3331
“專7
r3c3c2工片:
當a_于/_a°--^-時,cosAABC=2
2.至/、2?
2
7
所以cosN/8C=內.
[方法二]:等面積法和三角形相似
2
如圖,已知/O=2OC,貝l]S"m=§S~BC,
1921
BP—x—b2sinZADB=—x—acxsinZABC
12332
A
而〃=ac,即sinNADB=sinZABC,
故有AADB=/ABC,從而/ABD=Zc.
由〃=ac,BP-=f,即0=>,即AACBS44BD,
2b
故塔嘿即至,,
cb
7
又甘=ac,所以c=§a,
c2+a2-b27
則cos/ABC=
2ac12
[方法三]:正弦定理、余弦定理相結合
21
由(1)知80=6=/。,^.^AD=2DC^AD=-h,CD=-b.
在“加中,由正弦定理得
sin/ABDsinA
2,?
又NABD=NC,所以3_b,化簡得sinC=[Sin/.
-5
sinCsinA
在UBC中,由正弦定理知C=ga,又由所以〃=ga2.
24222
2.2_/2aH—u—a
在UBC中,由余弦定理,得cos4BC=°*;一=93
2ac2x2/
3
7
故cos//5C=—.
回12
[方法四]:構造輔助線利用相似的性質
如圖,作交BC于點E,貝IJZVJECSZ^BC.
(立)2+—)2一一
在ABED中,cosABED=二~——
2,—,—
33
22_72
在l\ABC中cosNABC=~~~.
2ac
因為cosZ.ABC=-cos/BED,
(爭+(f)j
a1+c2-b2
所以2ac
lac」,—,—
33
整理得6a2-llb2+3c2=0.
又因為〃=ac,所以6a2-Wac+3c2=0,
即"I■或0=|c.
下同解法1.
[方法五]:平面向量基本定理
因為ND=2AC,所以而=2虎.
以向量瓦成為基底,有前=萍+那.
所以前2=期2+灑.~BC+孤左,
441
即b1=—a2+—accos/.ABC+—c2,
1999
又因為〃=ac,所以9ac=4〃+4。。?cos/ABC+c2.③)
由余弦定理得/=tz2+c2-2accos/ABC,
所以QC=/+/一2accosZABC(4)
聯立③得6〃—114+3c2=o.
所以”=|c或“=gc.
下同解法I.
[方法六]:建系求解
以Q為坐標原點,公所在直線為X軸,過點Q垂直于/C的直線為y軸,
DC長為單位長度建立直角坐標系,
如圖所示,則D(0,0),」-2,0),C(l,0).
1
cy*
由(1)知,BD=b=AC=3,所以點3在以。為圓心,3為半徑的圓上運動.
設2(x/)(-3<x<3),則x'+/=9.⑤
由〃=%知,\B^\-\BC\=\AC^,
即7(%+2)2+/-7(^-1)2+/=9.⑥
聯立⑤⑥解得'=£或x=六3(舍去),
4216
代入⑥)式得a=|BC\=^^-,c=\BA|=46,b=3,
由余弦定理得cos/4C=《±H=;
2ac12
【整體點評】(2)方法一:兩次應用余弦定理是一種典型的方法,充分利用了三角
形的性質和正余弦定理的性質解題;
方法二:等面積法是一種常用的方法,很多數學問題利用等面積法使得問題轉化
為更為簡單的問題,相似是三角形中的常用思路;
方法三:正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路;
方法四:構造輔助線作出相似三角形,結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊
長比例關系的不錯選擇;
方法五:平面向量是解決幾何問題的一種重要方法,充分利用平面向量基本定理
和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結合到一起;
方法六:建立平面直角坐標系是解析幾何的思路,利用此方法數形結合充分挖掘
幾何性質使得問題更加直觀化.
2.在△N8C中,角A、B、C的對邊分別是“、b、c且6sin/=獨zcosB.
⑴求角8的大??;
(2)若。=4,c=3,。為2c的中點,求△/8C的面積及")的長度.
【答案】(1)2后
⑵“8c的面積為36,AD=5
【知識點】正弦定理邊角互化的應用、三角形面積公式及其應用、余弦定理解三
角形
【分析】(1)利用正弦定理化簡可得出tanB的值,結合角5的取值范圍可求得角8
的值;
(2)利用三角形的面積公式可求得△/g的面積,利用余弦定理可求得的長度.
【詳解】(1)解:由6sinZ=V§acos8及正弦定理可得sinBsin/=V^sin/cos8,
;/、8e(0,萬),則sin/>0,可得sinB=gcosB>0,tanB=6,故3=
(2)解:黑謝=gacsinB=gx4x3x曰=3出,
由余弦定理可得/-accos8=S.
壓軸題型3.用和、差角的余弦公式化簡、求值、二倍角的正弦公式、
正弦定理解三角形、余弦定理解三角形
例題:(2024?天津?高考真題)在“臺。中,角48,c所對的邊分別為a,b,c,已知
cos5=—,b=5,-=-
16c3
⑴求。的值;
⑵求sin4的值;
⑶求cos(8-2/)的值.
【答案】(1)4
【知識點】用和、差角的余弦公式化簡、求值、二倍角的正弦公式、正弦定理解
三角形、余弦定理解三角形
【分析】(1)a=2f,c=3f,利用余弦定理即可得到方程,解出即可;
(2)法一:求出sinB,再利用正弦定理即可;法二:利用余弦定理求出cos”,則
得到sin/;
(3)法一:根據大邊對大角確定A為銳角,則得到COS”,再利用二倍角公式和兩
角差的余弦公式即可;法二:直接利用二倍角公式和兩角差的余弦公式即可.
【詳解】(1)設a=2f,c=3f,/>0,則根據余弦定理得〃=/+c2_2accos2,
即25=4f+9/-2x2tx3/x2,解得公2(負舍);
貝(JQ=4,c=6
(2)法一:因為3為三角形內角,所以sinB?l-府8=
45
再根據正弦定理得號=4,即研,解得sm/=
sinAsmD-------
16
法二:由余弦定理得cosN="+f-/=52+f-不=之,
(3)法一:因為cos3=,>0,且86(0,71),所以
由(2)法一知sin8=4g,
16
因為a<6,則/<5,所以cos/=
3
則sin24=2sinAcosA=2xx—=,cos24=2cos2^!-l=2x-1
448?4
915773A/757
cos(B_2,)=cosBcos2A+sinBsin2A__x__?____x____—__
168168-64
占地
法二:sin242sin/c°s/=2x"
448
貝Ucos24=2COS?4-1=一l=g,
因為3為三角形內角,所以sinB=Jl-
-°s2/+sm3sm2N=2/+^L457
所以cos(5一2’)
16816864
鞏固訓練1.在△A8C中,點Q在8c上,AC=2AB=6,/A4c=120。.
(1)求sinC的值;
⑵若8Q=2DC,求的長.
【答案】⑴sinC=^
(2)屈
【知識點】已知數量積求模、數量積的運算律、余弦定理解三角形、正弦定理解
三角形
【分析】(1)利用余弦定理與正弦定理依次求得BGsinJ從而得解;
(2)利用向量的線性運算與數量積的運算法則即可得解.
【詳解】(1)在△N8C中,AC=2AB=6,ZBAC=120°,貝卜3=3,
^\^BC2=AB2+AC2-2AB-ACCOSZBAC
=3?+62-2x3x6x(-!|=63,所以8C=3萬,
73_
又西-=———,貝「ABsinZBAC3f而
(2)因為8O=2OC,則麗=和,
A
plc
D
^V),Ai5=AB+BD=AB+^BC=AB+^iJC-AB)=^AB+^AC,
X|ZB|=3,|JC|=6,AB-IC=3X6XCOS120°=-9,
所以近J、方+:就;J方刀:就2
144
=-x32+-x(-9)+-x62=13,
99''9
則/£>=畫=布.
2.(2024?上海松江?二模)設/(x)=sin2_|x+V^cos£xsin£x(0>O),函數k/O)圖象的
兩條相鄰對稱軸之間的距離為兀.
⑴求函數V=/(x)的解析式;
(2)在△/8C中,設角A、8及C所對邊的邊長分別為“、b及c,若°=百,b=M,
/(/)=(,求角J
【答案】⑴〃x)=sin(x-a+;
⑵方
【知識點】余弦定理解三角形、三角恒等變換的化簡問題、由正(余)弦函數的
性質確定圖象(解析式)
【分析】(1)根據降幕公式,二倍角公式及輔助角公式化簡“X),再根據k了⑴
圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為兀求出。即可;
(2)由川)=|得出//,過點C作/81CD于點,得出48*分別求出皿8
的長,結合N8即可得出助=8,進而得出々CD,根據4c8=4。即可求
得答案.
1-COSCOX../兀、1
【詳解】(I)/(x)=--------dsincox=sin(s——)+—
2262
因為函數k圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為兀,
所以源,則7d=2兀,解得。”
所以/(x)=sin(x_g)+:.
o2
(2)由/⑷"得,/(/)=sin(/J)+!=:n/J=2析+三,林Z,
2o22o2
因為北(0,兀),所以即/=§,
623
cos小四—2+。2-3=-1解得c="2(舍負),
2bc26c
過點C作/81C。于點,如圖所示,
由/O=t,4/C=多得,ZACD=B,則/=變,CD=/Cxcos¥=",
2362262
所以BD=AB+AD=&"U^,則
222
所以NBCD=t,貝I]//C3=4CD-//CDU=A.
D
A/'、
B乙---------------:^C
3.已知△/5C的內角4,B,。的對邊分別是〃,b,C,△/5C的面積為S,且滿足
4s+6ctan(8+C)=0.
⑴求角4的大??;
⑵若。=4,求△N8C周長的最大值.
【答案】(1)4寸
⑵12
【知識點】三角形面積公式及其應用、余弦定理邊角互化的應用、求三角形中的
邊長或周長的最值或范圍、基本不等式求積的最大值
【分析】(1)由4S+3tan(8+C)=0結合三角形面積公式可化簡得到cos/=;,即可
求得答案;
(2)利用余弦定理得到"+C?-16=6c,進而化為伍+。)2=16+3左,結合基本不等式求
得即可得△N8C周長的最大值.
【詳解】(1)-:A+B+C=it,
4s=-betan(8+C)=-betan(兀一Z)=betanA,
貝U2bcsinA=bc包W,
cosA
,/Ae.(0,兀),/.sin/w0,/.cos4=;,
又.??/=/;
(2)??-a=4,/=|>
二由余弦定理得cos/=?m=;,
即b1+/—I6=bc,(fe+c)2=l6+3bc,
所以e+c)2-16=36cW3x也(當且僅當6=c=4時取“=”),
19
故彳9+c)(16,b+c<8,
■-b+c的最大值為8,a+b+c的最大值為12,
周長的最大值為12.
壓軸題型4.正弦定理邊角互化的應用、基本不等式求和的最小值
例題:(2022?新高考全國I卷?高考真題)記UBC的內角4B,。的對邊分別為
cos4sin25
a,b,c,已知
1+sin/1+cos25
(1)若。=竽,求5;
⑵求的最小值.
【答案】⑴,;
(2)472-5.
【知識點】正弦定理邊角互化的應用、基本不等式求和的最小值
【分析】(1)根據二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將產7化成
1+sinZ1+cos2/5
cos(/+8)=sin3,再結合0<8<],即可求出;
(2)由(1)知,C=*8,41-2B,再利用正弦定理以及二倍角公式將之?
ZZC
化成4c°s"+高-5,然后利用基本不等式即可解出.
cosAsin252sinBcosBsin5
(1)
【詳解】因為1+sinZ1+cos252cos2Bcos5,即
sinB=cosAcos5—sin力sinB=cos
而0<8、,所以人會
(2)由(1)知,sin5=-cosOO,所以]<C<7i,0<8<],
而sin8=-cosC=s"c-a
兀34
所以Cj+B,即有4=-2B,所以Be]。/,CG
5'彳
222222
所以3+bsinA+sinBcos25+1-cosB
C2sin2Ccos2B
8-1)+l-cos2B2
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