九年級（上）期中數學試卷

一、選擇題（每一道小題都給出代號為A、B、C、D的四個選項，其中有且只有一個選項

符合題目要求，把符合題目要求的選項的代號直接填在答題框內相應題號下的方框中，不

填、填錯成一個方框內填寫的代號超過一個，一律得0分；共10小題，每題3分，共30

分）

1.關于x的一元二次方程x2+x+m2-4=0的一個根是0,那么m的值是1）

A.0B.1C.2D.2或-2

2.用配方法解方程X2-8X+3=0,以下變形正確的選項是（〕

A.[x+4）2=13B.（x-4）2=19C.（x-4）2=13D.[x+4）2=19

3.如圖，AB是。。的直徑，弦CD_LAB,垂足為M,以下結論不一定成立的是〔）

A.CM=DMB.OM=MBC.BC=BDD.ZACD=ZADC

4.以下一元二次方程有實數根的是（）

A.x2-2x-2=0B.X2+2X+2=0C.X2-2x+2=0D.x2+2=0

5.關于x的一元二次方程[k-2）x2+2x-1=0有兩個不相等的實數根，那么k的取值范圍

為（）

A.k>lB.1<>-1且上0€：.k>l且k*2D.k<l

6.觀察如以下列圖形，它們是按一定規律排列的，依照次規律，第n的圖形中共有210個

*

??

小棋子，那么n等于（）?????????

①②?3??④??

A.20B.21C.15D.16

7.假設點（-1,4]，（3,4）是拋物線y=ax2+bx+c上的兩點，那么此拋物線的對稱軸是〔）

A.直線x=-乜B.直線x=lC.直線x=3D,直線x=2

a

8.如圖，0C過原點O,且與兩坐標軸分別交于點A、B,點A的坐標為（0,4）,點M

是第三象限內笳上一點，NBMO120。，那么。。的半徑為（）

A.4B.5C.6D.273

9.如圖，AB為。O直徑，C為。。上一點，NACB的平方線交。0于點D,假設AB=10,

AC=6,那么CD的長為〔）

A.7B.7->/2C.8D.8證

10.二次函數y=ax?+bx+c的圖象如下列圖，那么a的取值范圍為1)

5515

A.-l<a<0B.-l<a<-C.0<a<-D.-<a<-

2228

二、填空題(本大題共6小題，每題3分，共18分)

11.拋物線y=[(x+3)2+1的頂點坐標是.

12.ab#0,且a2-3ab-4b2=0,那么總的值為.

b

13.關于x的方程a(x+m)2+c=0(a,m,c均為常數，axO)的根是xi=-3,x2=2,那么

方程a[x+m-1)2+c=0的根是.

14.如圖，AB,AC是。O,D是CA延長線上的一點，AD=AB,NBDC=25。，那么NBOC=.

15.△ABC的三個頂點都在。O上，AB=AC,0O的半徑等于10cm,圓心O到BC的距

離為6cm,那么AB的長等于.

16.二次函數y=ax?+bx+c〔axO)的圖象如下列圖，圖象與x軸交于A(xp0)B(x2,0)

兩點，點M(xo，y0)是圖象上另一點，且xo>l.現有以下結論：①abc>0；②b<2a；

③a+b+c>0；④a(x()-xi)(XQ-xo)<0.

其中正確的結論是.(只填寫正確結論的序號)

三、解答題(本大題共9小題，共72分)

17.解方程：

(1)X2+2X-15=0

⑵3x(x-2)=我(2-x)

18.拋物線的頂點是(4,2),且在x軸上截得的線段長為8,求此拋物線的解析式.

19.定義：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(axO〕滿足a+b+c=O,那么我們稱這個方程為“鳳

凰〃方程.x2+mx+n=0是"鳳凰〃方程，且有兩個相等的實數根，求nP+M的值.

20.為響應黨中央提出的“足球進校園〃號召，我市在今年秋季確定了3所學校為我市秋季

確定3所學校諛我市足球基地實驗學校，并在全市開展了中小學足球比賽，比賽采用單循環

制，即組內每兩隊之間進展一場比賽，假設初中組共進展45場比賽，問初中共有多少個隊

參加比賽

21.如圖，在0O中，益=去，ZACB=60°.

(1)求證：NAOB=NBOC=NAOC；

12)假設D是品的中點，求證：四邊形OADB是菱形.

22.關于x的一元二次方程X2-〔2m+l〕x+m[m+1)=0.

(1)求證：無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數根；

[2)假設AABC的兩邊AB、AC的長是這個方程的兩個實數根，且BC=8,當△ABC為等

腰三角形時，求m的值.

23.如圖，。為正方形ABCD對角線上一點，以點0為圓心，0A長為半徑的。。與BC相

切于點E.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)假設正方形ABCD的邊長為10,求的半徑.

24.某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的

售價每上漲1元，那么每個月少賣10件〔每件售價不能高于65元).設每件商品的售價上

漲x元[X為正整數)，每個月的銷售利潤為y元.

(1)求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；

(2)每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤最大的月利潤是多少元

[3)每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元根據以上結論，請你直接寫

出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元

25.如圖，拋物線y=ax?+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線1與拋物線交于點C,

其中A點的坐標是(1,0),C點坐標是(4,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在11)中拋物線的對稱軸上是否存在點D,使△BCD的周長最小假設存在，求出點

D的坐標，假設不存在，請說明理由；

(3)假設點E是11)中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求AACE的最

大面積及E點的坐標.

九年級(上)期中數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題(每一道小題都給出代號為A、B、C,D的四個選項，其中有且只有一個選項

符合題目要求，把符合題目要求的選項的代號直接填在答題框內相應題號下的方框中，不

填、填錯成一個方框內填寫的代號超過一個，一律得0分；共10小題，每題3分，共30

分)

1.關于x的一元二次方程x2+x+m2-4=0的一個根是0,那么m的值是()

A.0B.1C.2D.2或-2

【考點】一元二次方程的解.

【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數

的值.即把0代入方程求解可得m的值.

【解答】解：把x=0代入方程程x2+x+m2-4=0得至!!m2-4=0,

解得：m=+2,

應選D.

【點評】此題考察的是一元二次方程解的定義.能使方程成立的未知數的值，就是方程的解,

同時，考察了一元二次方程的概念.

2.用配方法解方程X2-8X+3=0,以下變形正確的選項是()

A.[x+4)2=13B.(x-4)2=19C.(x-4)2=13D.[x+4)2=19

【考點】解一元二次方程-配方法.

【專題】計算題.

【分析】先把常數項移到方程右邊，再把方程兩邊加上16,然后把方程左邊寫成完全平方

形式即可.

【解答】解:X2-8X=-3,

x2-8x+16=13,

[x-4)2=13.

應選C.

【點評】此題考察了解一元二次方程-配方法：將一元二次方程配成[x+m)2』的形式，

再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.

3.如圖，AB是。O的直徑，弦CDLAB,垂足為M,以下結論不一定成立的是〔)

A.CM=DMB.OM=MBC.BC=BDD.ZACD=ZADC

【考點】垂徑定理.

【分析】先根據垂徑定理得CM=DM,前=俞，熊=俞，得出BC=BD,再根據圓周角定理

得到NACD=ZADC,而OM與BM的關系不能判斷.

【解答】解：?；AB是。。的直徑，弦CDLAB,

CM=DM,=AC=AD)

BC=BD,ZACD=ZADC.

應選：B.

【點評】此題考察了垂徑定理，圓心角、弧、弦之間的關系定理，圓周角定理；熟練掌握垂

徑定理，由垂徑定理得出相等的弧是解決問題的關鍵.

4.以下一元二次方程有實數根的是()

A.x2-2x-2=0B.X2+2X+2=0C.X2-2x+2=0D.x2+2=0

【考點】根的判別式.

【分析】根據一元二次方程根的情況與判別式4的關系：(1)A>0=方程有兩個不相等的

實數根；［2)ARo方程有兩個相等的實數根；(3)△<0=方程沒有實數根判斷即可.

【解答】解：A、A=(-2)2-4xlx(-2］>0,

二原方程有兩個不相等實數根；

B、△=22-4xlx2<0,

???原方程無實數根；

C、,；△=〔-2〕2-4xlx2<0,

原方程無實數根；

D、-I?△=-4xlx2<0,

???原方程無實數根；

應選A.

【點評】此題考察了根的判別式與方程解的關系，一元二次方程ax2+bx+c=06旬］，當b?

-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數根；當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；當

b2-4ac<0時，方程無解.

5.關于x的一元二次方程［k-2)x?+2x-1=0有兩個不相等的實數根，那么k的取值范圍

為()

A.k>lB.k>-1C.k>l且kx2D.k<l

【考點】根的判別式；一元二次方程的定義.

【分析】根據關于x的一元二次方程(k-2)x2+2x-1=0有兩個不相等的實數根，可得出

判別式大于0,再求得k的取值范圍.

【解答】解：..?關于x的一元二次方程(k-2)x2+2x-1=0有兩個不相等的實數根，

二△=4+4(k-2)>0,

解得k>-1,

k-200,

kx2,

，k的取值范圍k>-1且kw2,

應選C.

【點評】此題考察了根的判別式，總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：

(1)△>0o方程有兩個不相等的實數根；

(2)△=0=方程有兩個相等的實數根；

[3)△<0=方程沒有實數根.

6.觀察如以下列圖形，它們是按一定規律排列的，依照次規律，第n的圖形中共有210個

*

??

小棋子，那么n等于[)?????????

①②?3??④??

A.20B.21C.15D.16

【考點】規律型：圖形的變化類.

【分析】由題意可知：排列組成的圖形都是三角形，第一個圖形中有1個小棋子，第二個圖

形中有1+2=3個小棋子，第三個圖形中有1+2+3=6個小棋子，…由此得出第n個圖形共有

l+2+3+4+...+n=-in[n+1),由此聯立方程求得n的數值即可.

【解答】解：.??第一個圖形中有1個小棋子，

第二個圖形中有1+2=3個小棋子，

第三個圖形中有1+2+3=6個小棋子，

.第n個圖形共有l+2+3+4+...+n='n〔n+1),

—n(n+1)=210,

2

解得：n=20.

應選：A.

【點評】此題考察圖形的變化規律，找出圖形之間的聯系，得出點的排列規律，利用規律解

決問題.

7.假設點(-1,4),(3,4)是拋物線y=ax2+bx+c上的兩點，那么此拋物線的對稱軸是〔)

A.直線x=-2B,直線x=lC.直線x=3D,直線x=2

【考點】二次函數圖象上點的坐標特征.

【分析】因為兩點的縱坐標都為4,所以可判此兩點是一對對稱點，利用公式X=21t合求

2

解即可.

【解答】解：?.?兩點的縱坐標都為4,

此兩點是一對對稱點，

._.,x<+x-1+3

對稱軸X=---------9-=---------=1.

22

應選B.

【點評】此題考察了如何求二次函數的對稱軸，對于此類題目可以用公式法也可以將函數化

為頂點式或用公式求解.

2

8.如圖，0c過原點O,且與兩坐標軸分別交于點A、B,點A的坐標為〔0,4),點M

是第三象限內施上一點，NBMO=120。，那么。O的半徑為1)

A.4B.5C.6D.2次

【考點】圓內接四邊形的性質；含30度角的直角三角形；圓周角定理.

【分析】連接OC,由圓周角定理可知AB為。C的直徑，再根據NBMO=120。可求出NBAO

的度數，證明△AOC是等邊三角形，即可得出結果.

【解答】解：連接OC,如下列圖：

ZAOB=90°,

AB為。C的直徑，

ZBMO=120°,

ZBCO=120°,ZBAO=60°,

AC=OC,ZBAO=60",

△AOC是等邊三角形，

OC的半徑=OA=4.

應選：A.

【點評】此題考察了圓周角定理、圓內接四邊形的性質、等邊三角形的判定與性質；熟練掌

握圓內接四邊形的性質，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關鍵.

9.如圖，AB為。O直徑，C為。O上一點，NACB的平方線交。O于點D,假設AB=10,

AC=6,那么CD的長為〔)

A.7B.7yC.8D.85/2

【考點】圓周角定理；全等三角形的判定與性質；勾股定理.

【分析】作DF，CA,交CA的延長線于點F,作DG1.CB于點G,連接DA,DB.由CD

平分NACB,根據角平分線的性質得出DF=DG,由HL證明△AFDV△BGD,

△CDF^ACDG,得出CF=7,又△CDF是等腰直角三角形，從而求出CD.

【解答】解：作DFLCA,垂足F在CA的延長線上，作DGLCB于點G,連接DA,DB.

CD平分NACB,

/.ZACD=ZBCD,

DF=DG,弧AD=MBD,

DA=DB.

在RtAAFD和RtABGD中，

[BD=AD

1DF=DG,

△AFDVABGD[HL),

AF=BG.

在4CDF和ACDG中，

'NACD=NGCD

'NCFD=/DGC，

CD=CD

△CDF空△CDG〔AAS),

CF=CG.

AC=6,AB=10,

BC=V102-62=81

AF=1,

CF=7,

???ACDF是等腰直角三角形，

CD=7A/2-

應選B.

【點評】此題主要考察了圓周角的性質，圓心角、弧、弦的對等關系，全等三角形的判定，

角平分線的性質等知識點的運用.關鍵是正確作出輔助線.

10.二次函數丫=2*2+5*+<:的圖象如下列圖，那么a的取值范圍為1)

5515

A.-l<a<0B.-l<a<-C.0<a<-D.-<a<-

2228

【考點】二次函數圖象與系數的關系.

【分析】根據開口判斷a的符號，根據y軸的交點判斷c的符號，根據對稱軸b用a表示出

的代數式，進而根據當x=2時，得出4a+2b+c=0,用a表示c>-1得出答案即可.

【解答】解：拋物線開口向上，a>0

圖象過點(2,4),4a+2b+c=4

那么c-4-4a-2b,

對稱軸x=--=-1,b=2a,

2a

圖象與y軸的交點-l<c<0,

因此-1<4-4a-4a<0,

實數a的取值范圍是2<a<±.

28

應選：D.

【點評】此題考察二次函數圖象與系數的關系，對于函數圖象的描述能夠理解函數的解析式

的特點，是解決此題的關鍵.

二、填空題(本大題共6小題，每題3分，共18分)

11.拋物線y=-巳［x+3)2+1的頂點坐標是(-3,1).

【考點】二次函數的性質.

【分析】拋物線的頂點式，可直接寫出頂點坐標.

【解答】解：1.拋物線y-巳(x+3〕2+1,

，頂點坐標是(-3,1).

故答案為：1-3,1).

【點評】此題考察二次函數的性質，掌握頂點式y=a(x-h)2+k,頂點坐標是［h,k),對

稱軸是x=h,是解決問題的關鍵.

12.abM,且a2-3ab-4b2=0,那么總的值為-1或4.

b

【考點】解一元二次方程-因式分解法.

【專題】計算題.

【分析】把a2-3ab-4b2=0看作關于a的一元二次方程，利用因式分解法解得a=4b或a=

-b,然后利用分式的性質計算9的值.

b

【解答】解：(a-4b)(a+b)=0,

a-4b=0或a+b=O,

所以a=4b或a=-b,

當a=4b時，-=4；

b

當@=-13時，—=-1,

b

所以9的值為-1或4.

b

故答案為-1或4.

【點評】此題考察了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0,再把左邊通過

因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到

兩個一元■次方程的解，這樣也就把原方程進展了降次，把解■元二次方程轉化為解-元-

次方程的問題了(數學轉化思想〕.

13.關于x的方程a(x+m)2+c=0(a,m,c均為常數，a*0)的根是xi=-3,x2=2,那么

方程a(x+m-1)2+c=0的根是xi=-2,x?=3.

【考點】解一元二次方程-直接開平方法.

【分析】把后面一個方程中的x-1看作整體，相當于前面一個方程中的x,從而可得x-1=

-3或*-1=2,再求解即可.

2

【解答】解：關于x的方程a(x+m)+c=0的解是x1=-3,x2=2〔a,m,c均為常數,axO),

方程a(x+m-1)2+c=0變形為a[(x-1)+m]2+c=0,即此方程中x-1=-3或x-1=2,

解得x=-2或x=3.

故方程a(x+m-1)2+c=0的解為xi=-2,x2=3.

故答案是：xi=-2,X2=3.

【點評】此題主要考察了方程解的定義.注意由兩個方程的特點進展簡便計算.

14.如圖，AB,AC是。O,D是CA延長線上的一點，AD=AB,NBDC=25。，那么NBOC=

100°.

【考點】圓周角定理.

【分析】由AD=AB,NBDC=25。，可求得NABD的度數，然后由三角形外角的性質，求得

NBAC的度數，又由圓周角定理，求得答案.

【解答】解：AD=AB,ZBDC=25°,

.ZABD=ZBDC=25°,

ZBAC=ZABD+ZBDC=50°,

ZBOC=2ZBAC=100°.

故答案為：100°.

【點評】此題考察了圓周角定理以及等腰三角形的性質.注意在同圓或等圓中，同弧或等弧

所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

15.△ABC的三個頂點都在。。上，AB=AC,的半徑等于10cm,圓心。到BC的距

離為6cm,那么AB的長等于8世或4遂.

【考點】垂徑定理；等腰三角形的性質；勾股定理.

【專題】分類討論.

【分析】此題分情況考慮：當三角形的外心在三角形的內部時，根據勾股定理求得BD的長,

再根據勾股定理求得AB的長；當三角形的外心在三角形的外部時，根據勾股定理求得BD

的長，再根據勾股定理求得AB的長.

【解答】解：如圖1,當△ABC是銳角三角形時，連接AO并延長到BC于點D,

AB=AC,。為外心，

AD±BC,

在RtABOD中，

OB=10,OD=6,

BD=VoB2-OD2=V102-62=8-

在RtAABD中，根據勾股定理，AB=VAD2+BD2=V162+82=8Vs(cm)；

如圖2,當△ABC是鈍角或直角三角形時，連接AO交BC于點D,

在RtABOD中，

OB=10,OD=6,

BD=VoB2-OD2=V102-62=8-

AD=10-6=4,

在RtAABD中，根據勾股定理，得AB=JBD2+AD82+42=4娓(cm).

故答案為：8、月或4立.

【點評】此題考察的是垂徑定理，在解答此題時要注意進展分類討論，不要漏解.

16.二次函數y=ax?+bx+c6工0]的圖象如下列圖，圖象與x軸交于A(xp0)B(X2，0)

兩點，點M[xo，yo)是圖象上另一點，且xo>l.現有以下結論：①abc>0；②bV2a；

(§)a+b+c>0；④a〔x()-xi)(XQ-X2)<0.

其中正確的結論是①、④.〔只填寫正確結論的序號〕

【考點】二次函數圖象與系數的關系.

【專題】推理填空題；數形結合.

【分析】由拋物線的開口方向可確定a的符號，由拋物線的對稱軸相對于y軸的位置可得a

與b之間的符號關系，由拋物線與y軸的交點位置可確定c的符號；根據拋物線的對稱軸與

x=-1的大小關系可推出2a-b的符號；由于x=l時y=a+b+c,因而結合圖象，可根據x=l

時y的符號來確定a+b+c的符號，根據a、XQ-xi>xo-X2的符號可確定a(XQ-XI)(XQ-

X2)的符號.

【解答】解：由拋物線的開口向下可得a<0,

由拋物線的對稱軸在y軸的左邊可得x=-B<3那么a與b同號，因而b<0,

2a

由拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上可得c>0,

abc>0,故①正確；

由拋物線的對稱軸x=-4>-1(a<0),可得-b<-2a,即b>2a,故②錯誤；

da

由圖可知當x=l時y<0,即a+b+c<0,故③錯誤；

a<0,xo-xi>0,xo-X2>0,/.a(XQ-XI)(XQ-XQ)<0,故④正確.

綜上所述：①、④正確.

故答案為①、④.

【點評】此題主要考察二次函數圖象與系數的關系，其中a決定于拋物線的開口方向，b決

定于拋物線的開口方向及拋物線的對稱軸相對于y軸的位置，c決定于拋物線與y軸的交點

位置，2a與b的大小決定于a的符號及-占與-1的大小關系，運用數形結合的思想準確

獲取相關信息是解決此題的關鍵.

三、解答題(本大題共9小題，共72分)

17.解方程：

⑴X2+2X-15=0

[2)3x(x-2)=&(2-x)

【考點】解一元二次方程-因式分解法.

【專題】計算題.

【分析】(1)利用因式分解法解方程；

[2)先把方程變形得到3x(x-2)+V2(x-2)=0,然后利用因式分解法解方程.

【解答】解：⑴（x+5）[x-3）=0,

x+5=0或x-3=0,

x+5=0或x-3=0,

所以xi=-5,X2=3；

[2)3x〔x-2)+-&(x-2)=0,

(x-2)(3x+-../2)=0,

x-2=0或3x+-72=O,

所以X1=2,X2=--.

3

【點評】此題考察了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0,再把左邊通過

因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到

兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進展了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一

次方程的問題了〔數學轉化思想).

18.拋物線的頂點是(4,2),且在x軸上截得的線段長為8,求此拋物線的解析式.

【考點】待定系數法求二次函數解析式.

【專題】計算題.

【分析】根據拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的兩交點坐標為(0,0),(8,0),那么可

設交點式丫=2*(x-8),然后把頂點坐標代入求出a即可.

【解答】解：根據題意得拋物線的對稱軸為直線x=4,

而拋物線在x軸上截得的線段長為8,

所以拋物線與x軸的兩交點坐標為[0,0),[8,0),

設拋物線解析式為y=ax[x-8),

把[4,2)代入得a?4?〔-4)=2,解得a=-，

所以拋物線解析式為y=-Jx(x-8),即y=--^x2+x.

【點評】此題考察了待定系數法求二次函數的解析式：一般地，當拋物線上三點時，常選擇

一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析

式為頂點式來求解；當拋物線與X軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解.此

題的關鍵是利用對稱性確定拋物線與X軸的交點坐標.

19.定義：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(awO)滿足a+b+c=O,那么我們稱這個方程為“鳳

凰〃方程.x2+mx+n=0是"鳳凰"方程，且有兩個相等的實數根，求nP+i?的值.

【考點】根的判別式；一元二次方程的解.

【專題】新定義.

【分析】根據x2+mx+n=0是"鳳凰〃方程，且有兩個相等的實數根，列出方程組，求出m,

n的值，再代入計算即可.

【解答】解：根據題意得：

,?(nF-2

解nz得：\,

[n=l

那么m2+n2=(-2)2+l2=5.

【點評】此題考察了一元二次方程的解，根的判別式，關鍵是根據條件列出方程組，用到的

知識點是一元二次方程根的情況與判別式△的關系：

(1)△>0o方程有兩個不相等的實數根；

(2)△=0=方程有兩個相等的實數根；

(3)△<0o方程沒有實數根.

20.為響應黨中央提出的"足球進校園"號召，我市在今年秋季確定了3所學校為我市秋季

確定3所學校諛我市足球基地實驗學校，并在全市開展了中小學足球比賽，比賽采用單循環

制，即組內每兩隊之間進展一場比賽，假設初中組共進展45場比賽，問初中共有多少個隊

參加比賽

【考點】一元二次方程的應用.

【分析】賽制為單循環形式〔每兩隊之間都賽一場)，每個小組x個球隊比賽總場數='x(x

-1),由此可得出方程.

【解答】解：設初中組共有x個隊參加比賽，依題意列方程

-x(x-1)=45,

2

解得：xi=10,X2=-19(不合題意，舍去)，

答：初中組共有10個隊參加比賽.

【點評】此題考察一元二次方程的實際運用，解決此題的關鍵是讀懂題意，得到總場數與球

隊之間的關系.

21.如圖，在0O中，益=去，ZACB=60°.

(1)求證：ZAOB=ZBOC=ZAOC；

12)假設D是品的中點，求證：四邊形OADB是菱形.

【考點】圓心角、弧、弦的關系；菱形的判定；圓周角定理.

【專題】證明題.

【分析】[1)根據圓心角、弧、弦的關系，由窟=余得AB=AC,加上NACB=60。，那么可

判斷△ABC是等邊三角形，所以AB=BC=CA,于是根據圓心角、弧、弦的關系即可得到

ZAOB=ZBOC=ZAOC；

[2)連接OD,如圖，由D是俞的中點得益=前，那么根據圓周角定理得

ZAOD=ZBOD=ZACB=60",易得△OAD和4OBD者B是等邊三角形，那么OA=AD=OD,

OB=BD=OD,所以OA=AD=DB=BO,于是可判斷四邊形OADB是菱形.

【解答】證明：[1)???窟=京，

AB=AC,

???ZACB=60°,

△ABC是等邊三角形，

AB=BC=CA,

ZAOB=ZBOC=ZAOC；

⑵連接OD,如圖，

D是篇的中點，

ALFBD，

ZAOD=ZBOD=ZACB=60",

又?.?OD=OA,OD=OB,

△OAD和4OBD都是等邊三角形，

OA=AD=OD,OB=BD=OD,

OA=AD=DB=BO,

.四邊形OADB是菱形.

【點評】此題考察了圓心角、弧、弦的關系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、

兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.也考察了菱形的判定、

等邊三角形的判定與性質和圓周角定理.

22.關于x的一元二次方程X2-[2m+l)x+m[m+1)=0.

(1)求證：無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數根；

(2)假設AABC的兩邊AB、AC的長是這個方程的兩個實數根，且BC=8,當△ABC為等

腰三角形時，求m的值.

【考點】根的判別式；根與系數的關系；等腰三角形的性質.

【分析】門)先根據題意求出小的值，再根據一元二次方程根的情況與判別式△的關系即可

得出答案；

⑵根據AABC的兩邊AB、AC的長是這個方程的兩個實數根，設AB=xi=8,得出82-8

(2m+l)+m(m+1)=0,求出m的值即可.

【解答】解：[1)-[2m+l)]2-4m[m+1]=1>0,

不管m為何值，方程總有兩個不相等的實數根.

[2)由于無論m為何值，方程恒有兩個不等實根，故假設要△ABC為等腰三角形，那么

必有一個解為8；

設AB=xi=8,那么有：

82-8(2m+l)+m〔m+1)=0,即：m2-15m+56=0,

解得：mi=7,m2=8.

那么當△ABC為等腰三角形時，m的值為7或8.

【點評】此題考察了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：

[1)△>00方程有兩個不相等的實數根；

[2)△=0=方程有兩個相等的實數根；

[3)△<0=方程沒有實數根.

23.如圖，。為正方形ABCD對角線上一點，以點O為圓心，OA長為半徑的。。與BC相

切于點E.

[1)求證：CD是。O的切線；

〔2)假設正方形ABCD的邊長為10,求。。的半徑.

【考點】切線的判定；正方形的性質.

【分析】11)首先連接OE,并過點。作OF,CD,由OA長為半徑的。。與BC相切于點

E,可得OE=OA,OE±BC,然后由AC為正方形ABCD的對角線，根據角平分線的性質，

可證得OF=OE=OA,即可判定CD是。O的切線；

⑵由正方形ABCD的邊長為10,可求得其對角線的長，然后由設OA=r,可得OE=EC=r,

由勾股定理求得OC=。，那么可得方程r+J》=10后，繼而求得答案.

【解答】[1)證明：連接OE,并過點O作OFLCD.

???BC切。O于點E,

OE±BC,OE=OA,

文:AC為正方形ABCD的對角線，

ZACB=ZACD,

OF=OE=OA,

即：CD是。。的切線.

(2)解：■:正方形ABCD的邊長為10,

AB=BC=10,ZB=90°,NACB=45。，

AC=VAB2+BC2=10V2'

OE±BC,

OE=EC,

設OA=r,那么OE=EC=r,

OC=7OE2+EC2=V2T-

OA+OC=AC,

二r+"歷=10我，

解得：r=20-1072.

OO的半徑為：20-10后.

【點評】此題考察了切線的判定、正方形的性質、角平分線的性質以及勾股定理.注意準確

作出輔助線是解此題的關鍵.

24.某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的

售價每上漲1元，那么每個月少賣10件〔每件售價不能高于65元).設每件商品的售價上

漲x元[X為正整數)，每個月的銷售利潤為y元.

(1)求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；

(2)每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤最大的月利潤是多少元

(3〕每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元根據以上結論，請你直接寫

出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元

【考點】二次函數的應用.

【專題】綜合題.

【分析】(1)根據題意可知y與x的函數關系式.

⑵根據題意可知y=-10-〔x-5.5)2+2402.5,當x=5.5時y有最大值.

[3)設y=2200,解得x的值.然后分情況討論解.

【解答】解：(1)由題意得：y=〔50+X-40)

=-10X2+110X+2100(0〈xS15且x為整數)；

⑵由⑴中的y與x的解析式配方得：y=-10(x-5.5)2+2402.5.

a=-10<0,當x=5.5時，y有最大值2402.5.

0<x<15,且x為整數，

當x=5時，50+x=55,y=2400(元)，當x=6時，50+x=56,y=2400〔元〕

當售價定為每件55或56元，每個月的利潤最大，最大的月利潤是2400元.

⑶當y=2200時，-10x2+110x4-2100=2200,解得:xi=l,X2=10.

.,.當x=l時,50+x=51