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文檔簡介
專題八平面解析幾何——高考數學二輪復習重難點突破
?典例分析
考查方式
直線與圓的方程在高考中可單獨以選擇題、填空題的形式考查,也可與圓錐曲線綜合在解
答題中考查.直線主要考查直線的斜率和方程、兩直線的交點與距離問題、對稱問題等;圓主
要考查圓的方程的求解、與圓有關的最值問題、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系等.復
習的重點在于立足基礎,培養推理論證能力,提高運算能力,注重解題的通性通法.
圓錐曲線在高考中占據極其重要的地位,是高考的重點、熱點和難點,更是每年的必考內
容.簡單題主要考查圓錐曲線的定義、方程、簡單性質,難題主要考查圓錐曲線幾何性質的綜
合應用、直線和圓錐曲線的位置關系、利用解析幾何知識解決圓錐曲線綜合應用,這類題目的
綜合性較強,對計算能力要求較高.復習的重點在于重視基礎知識的掌握,重視思想方法的訓
練,提高計算能力和綜合解題能力.
高考真題
22
1.[2023年新課標I卷]設橢圓G:三+y2=i(q〉i),。,:土+丁=1的離心率分別為華,江.
a4
若e2=也,,貝I。=()
A.-B.y[2,C.y/3D.,\/6
2.[2024年新課標II卷]已知曲線C:f+V=胎⑶〉0),從C上任意一點尸向x軸作垂線PP',
P為垂足,則線段PP的中點”的軌跡方程為()
2222
A.^-+^-=l(y>0)B.J+J=l(y〉0)
164168
W,〉o)
3.[2023年新課標I卷]過點(0,-2)與圓必+9—以-1=0相切的兩條直線的夾角為tz,則
sina=()
R岳「回C娓
A.1D.L.U.
444
2
r
4.[2023年新課標H卷]已知橢圓C:j+/=1的左、右焦點分別為耳,F2,直線y=x+m與
C交于A,3兩點,若△耳A3面積是面積的2倍,則機=()
A.2cV22
3333
5.[2024年新課標I卷](多選)設計一條美麗的絲帶,其造型p可以看作圖中的曲線C的
一部分.已知C過坐標原點。,且C上的點滿足:橫坐標大于-2,到點歹(2,0)的距離與到定直
線x=a(a<0)的距離之積為4,貝心)
A.a——2
B.點(2夜,0)在C上
CC在第一象限的點的縱坐標的最大值為1
D.當點(如陽)在c上時,兒<—
九0十,
22
6.[2024年新課標I卷]設雙曲線C:三-==1(a>0,Z?>0)的左、右焦點分別為百,凡,
ab
過F2作平行于y軸的直線交C于A,3兩點,若山H=13,||=10,則C的離心率為.
7.[2024年新課標I卷]已知A(0,3)和小胡為橢圓。:,%=1(。〉6〉0)上兩點.
(1)求C的離心率;
(2)若過P的直線/交C于另一點3,且△砂0的面積為9,求/的方程.
?重難突破
22
1.已知橢圓C:1+與=1(。〉心0)經過點(0,2),當左變動時,C截得直線,=區的最大弦長
a2*8b1
為4后,則C的方程為()
22222222
A.土+2L=iB.±+2L=iC.土+2L=iD.土+匕=1
8442322324
2.已知直線/]:(〃z+l)x+2y+l=0與直線":3x+wzy+l=0平行,則機的值為()
A.-3B.-lC.2D.-3或2
3.已知圓/+,2+4為一2丁+1=0關于直線x+y—m=0對稱,則實數機=()
A._1B.lC._2D.2
4.過拋物線f=分的焦點R作直線/,交拋物線于A,3兩點.若線段中點的縱坐標為3,則
\AB\等于()
A.10B.8C.6D.4
5.圓好+9=4與圓必+,2一4%一4丁+4=0的公共弦長為()
A.0B.百C.2V2D.2月
22
6.若直線/:2%-丁=0是雙曲線0:27_£=1(。〉0力〉0)的一條漸近線,則該雙曲線的離心率
為()
A.石B.石C巫D正
22
7.已知圓c:(x-2)2+(y-4)2=35,直線/:(2〃?+l)x+(〃?+l)y—7m—4=0則直線/被圓C截得
的弦長的最小值為()
A.5B.4&C.10D.2出
8.拋物線繞它的對稱軸旋轉所得到的曲面叫拋物面,用于加熱水和水壺食物的太陽灶應用了拋
物線的光學性質:一束平行于拋物線對稱軸的光線,經過拋物面的反射后,集中于它的焦點.
已知一束平行于x軸的入射光線的一束光線與拋物線2內的交點為4(4,4),則反射光線
所在直線被拋物線截得的弦長為()
9.已知耳,工是橢圓c:[+;=i的左、右焦點,直線/與橢圓C相切于點過左焦點
耳作直線/的垂線,垂足為。,則點Q與原點。之間的距離為()
A.石B.2C.3D.4
22
10.已知橢圓「=+與=1(。〉6〉0)的左、右焦點分別為耳,F2,過工的直線/與橢圓「相
交于A、B兩點,與y軸相交于點C.連接耳C,耳4.若。為坐標原點,F,CLFXA,=2SAAf]f2,
則橢圓r的離心率為()
A.叵B正C.叵D正
551010
2
11.已知。為雙曲線U±_y2=i右支上一點,過點。分別作C的兩條漸近線的平行線,與另
4-
外一條漸近線分別交于點A,B,則|。從口目=()
A.2B.J?C.-D.-
42
12.已知拋物線0:丁2=20%(0>0)過點4(2,4),動點M,N為C上的兩點,且直線AM與A7V
的斜率之和為0,直線/的斜率為-1,且過C的焦點F/把△AW分成面積相等的兩部分,
則直線的方程為()
A.x+y-6=0B.%-y+6=0
C?%一y+4A/2-6=0D.%+y+4后-6=0
22
13.(多選)已知橢圓曰二+匕=1的左頂點為A,左、右焦點分別為月,F2,過點耳的直線
43
與橢圓相交于尸,。兩點,則()
A[耳耳|=1
B.|PQ|W4
C.當心,P,。不共線時,△&PQ的周長為8
D.設點P到直線1=T的距離為d,則]=2忸周
14.(多選)已知。為坐標原點,點4(2,1)在拋物線C:f=2py(p〉0)上,拋物線的焦點為R
過點8(0,-1)的直線/交拋物線C于P,。兩點(點尸在點5,。的之間),則()
A.直線A3與拋物線。相切
^-OPOQ=6
C.若P是線段BQ的中點,則2|「尸|=|。下|
D.存在直線I,使得\PF\+\QF\^2\BF\
22
15.(多選)已知雙曲線0.二—21l(a〉0力〉0)的左焦點為R尸為C右支上的動點,過P
-916
作C的一條漸近線的垂線,垂足為A,。為坐標原點,則下列說法正確的是()
A.點R到C的一條漸近線的距離為2
B.雙曲線C的離心率為3
3
C.則P到C的兩條漸近線的距離之積大于4
D.當歸山+1P周最小時,則△PAF的周長為10+2^/13
16.已知直線依-y+1-2左=0,當左變化時,所有的直線恒過定點
22
17.已知雙曲線三=1(。〉0力〉0)的兩條漸近線與拋物線V=2px(p>0)的準線分別交于
A,3兩點,。為坐標原點.若雙曲線的離心率為2,Z\AOB的面積為逝,則P=.
18.古希臘數學家阿波羅尼奧斯(約公元前262?公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代
世界光輝的科學成果,著作中這樣一個命題:平面內與兩定點距離的比為常數左(左>0且左wl)
的點的軌跡是圓,后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓,已知點4(-1,0),5(2,0),圓
C:(x-2)2+(y-m)2=1(m>0),在圓上存在點「滿足|申|=2戶到,則實數機的取值范圍是
19.已知橢圓的任意兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是圓,這個圓被稱為“蒙日圓”,它的圓
心與橢圓的中心重合,半徑的平方等于橢圓長半軸長和短半軸長的平方和.如圖為橢圓
。:二+4=1(。〉6〉0)及其蒙日圓的離心率為四,點A,5C,D分別為蒙日圓。與坐標
ab3
軸的交點,分別與。相切于點瓦EG,H,則四邊形ABCD與四邊形環GH的
面積的比值為.
斗
A
C
20.已知拋物線C:y2=4%的焦點為RA,3為C上的兩點.若直線E4的斜率為:,且E4.尸3=0,
延長AF,分別交C于P,Q兩點,則四邊形ABPQ的面積為1___________.
21.已知點P(l,4)與直線l:x+y-l=Q>圓(7:/+/_4》+3=0
(1)一條光線從點尸射出,經直線/反射后,通過點0(3,2),求反射光線所在的直線方程;
(2)過尸點作圓的切線,求切線方程.
22.已知拋物線C:x2=2py(p〉0),C的焦點是正
(1)若過原點。作兩條直線交曲線C于A,3兩點,且求證:直線A3過定點;
(2)若過曲線C上一點P(2,l)作兩條直線交曲線C于A,3兩點,且=求△AEB的
面積的取值范圍.
23.已知橢圓〃:+J=1(。〉6〉0)的焦距為2有,且點)日j在橢圓〃上.
(1)求橢圓M的標準方程;
(2)設。為坐標原點,A,B,C是橢圓"上的三個動點,且四邊形。43c恰為平行四邊形,
試判斷平行四邊形0A3C的面積是否為定值?若是,求出該定值,若否,請說明理由.
2
24.已知雙曲線=i的左、右頂點分別為4,4.
(1)若過點T(0,-3)的直線/交雙曲線E于A,3兩點,求直線/的斜率范圍;
(2)過原點的直線與雙曲線E相交于C,。兩點(C在x軸的上方),直線4C,4。與圓
/+丁=3分別交于點〃,N,直線CD與直線的斜率分別為左,k2,求左+質的值.
25.已知A,3分別是橢圓C:'+與=1(。〉6〉0)的左、右頂點.橢圓長軸長為6,離心率為一.0
ab3
為坐標原點,過點尸(0,-3),且與坐標軸不垂直的直線/交橢圓C于N兩個不同的點.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)當直線I的斜率為正時,設直線AM,AN分別交y軸于點S,T,記PS=APO,PT="PO,
求2+〃的取值范圍.
答案以及解析
高考真題
1.答案:A
解析:由橢圓G的方程知離心率4=互二,由橢圓。2的方程知62=走.又?=國,即
a2
=43■——-,化簡得/=4/_4,a2=—,a>l,a=.故選A.
2a33
2.答案:A
解析:設則P(/,2%),因為點P在曲線C上,所以其+(2陽)2=16(%>0),即
2222
迎+九=1(%〉0),所以線段PP的中點M的軌跡方程為j+J=l(y〉O),故選A.
164164
3.答案:B
解析:設圓/+4x-1=0為圓C,化簡得(x-2)2+V=5,圓心為C(2,0),半徑廠=君.如
、/5
圖,設NCB4=6>,則a=2。,sine=01=,代斗,易知cos6>0,則
\CP\7(2-0)2+[0-(-2)]22V2
cos0--^=,所以sin。=sin20=2sin9cos。=.故選B.
2724
解析:設直線y=與元軸交于點M(-引0),直線方程與橢圓方程聯立得
2
4%9294
-------卜2mx+m—1=0A=(2m)2-4~?(m2-l)>0,解得-2〈根<2.
3
設月(-0,0),耳(后,0)到直線A3的距離分別為4,d2,由題意得,2--\AB\-d2=^-\AB\-di,
所以4=2人.由三角形相似可得,《=出4=匕扛蛆=2,解得冽=一變或〃,=—3后.因為
,d2\F2M\\42+m\3
加
-2<m<2,所以根=----,故選C.
3
5.答案:ABD
解析:因為坐標原點。在曲線。上,所以2x|〃|=4,又〃<0,所以。=-2,所以A正確.
因為點(20,0)到點F(2,0)的距離與到定直線x=-2的距離之積為(2亞-2)(2應+2)=4,所以
點(20,0)在曲線C上,所以B正確.
設尸(x,y)(x>0,y〉0)是曲線。在第一象限的點,則有,(%—2>+。(%+2)=4,所以
/=一(X-2)2,令/(%)=一(X—2)2,則八X)=--^―—2(》—2),因為/(2)=1,
(x+2)(x+2)(x+2)
且/(2)<0,所以函數/(幻在x=2附近單調遞減,即必定存在一小區間(2-£,2+£)使得/(x)
單調遞減,所以在區間(2-£,2)上均有/(幻>1,所以P(x,y)縱坐標的最大值一定大于1,所
以C錯誤.
因為點(%,為)在。上,所以小〉一2且—2)2+y;(/+2)=4,得
帚產2『三產再所以為4。鳥心[=71r所以D正確.
綜上,選ABD.
6.答案:-
2
解析:法一:由|AB|=10及雙曲線的對稱性得恒用=等=5,因為|明|=13,所以
22
2a=|AF;|-|AK|=13-5=8,2c=\FxF^=-\AF2f=V13-5=12,所以a=4,c=6,
則C的禺心率e=—=—=—.
a42
,右2i22_2
法二:因為|AB|=10,所以2=10,所以幺=二^=5,
aaa
又|然|=13,所以閨£|=2c=J|A片「-[號]=12,得c=6,
一r63
所以a?+5〃—36=0,得a=4,所以C的曷心率e.
a42
7.答案:(1)-
2
31
(2)l:y=-x-3^y=—x
22
解析:(1)由題知£c,解得卜=2?,
9,91b=3
[a24b2
c-_12-。的曷心率e=_£=J_.
a2
(2)|%|=卜+1|]=當,設點3到直線必的距離為人
則△回0的面積為S=g|PAH?=9,解得無=今5.易知直線PA:x+2y—6=0,
jx+2y-6|12逐
設3(x,y),則85解得F=°或3,,3(0,-3)或81-3,-3
22y=-3y=~^V2
%尸-1、乙
1129
故/:y=』x-3或y=1x.
重難點突破
1.答案:A
22
解析:由題意可得b=2,2a=4叵,所以〃=8,廿=4,所以橢圓方程為土+乙=1.
84
故選:A
2.答案:A
解析:由兩直線平行得:(m+l)〃?-2x3=0,解得加=2或加=-3.
當機=2時,A:3x+2y+l=0,4:3x+2y+l=0,兩直線重合,不合題意.
當機=_3時,I:-2x+2y+l=0,即2x—2y—1=0,/2:3x-3y+1=0,兩直線平行,符合題意.
故m的值為-3.
故選:A.
3.答案:A
解析:由d+J+dx—2y+i=。,得(x+2)2+(y—Ip=4,故圓心為(—2,1),
又因為圓Y+/+4》_2,+1=0關于直線尤+y-7w=0對稱,
故圓心(-2,1)在直線x+y—m=0上,貝!J?i=x+y=—2+1=—1.
故選:A
4.答案:B
解析:拋物線必=分的焦點為尸(0,1),準線方程為y=-l,
設人(%,%),5(%,%),
則%+%=2*3=6,
所以|AB|=|AE|+1|=%+1+%+1=8,
故選:B
5.答案:C
解析:圓/+/=4①與圓X?+_/-4x-4y+4=0②,
①一②得4x+4y-4=4,即公共弦方程為x+y-2=0,
又圓/+,2=4的半徑為r=2,圓心為0(0,0),
|0+0-2|
圓心0(0,0)到直線x+y-1=0距離d=A/2,
V2
所以公共弦長為2產方=2Q=20-
故選:C.
6.答案:D
22
解析:因為雙曲線斗一、=1(〃〉0/〉0)的焦點在y軸上,且直線/:2x-y=0即為y=2x,
由雙曲線W—.=l(a〉O力〉0)的漸近線方程是丁=±2一所以£=2,即?=;,
所以離心率e=£卜2+"2仄=心.
故選:D.
7.答案:C
解析:由/:(2m+l)x+(m+l)y—7m—4=0=>m(2x+y—7)+x+y—4=0,
尸+i°今產,即/過定點4(3,1),
2x+y-7=Q[y=l')
由C:(x—2y+(y—4)2=35得。(2,4),半徑廠=后,
則當AC,/時,C到/的距離最遠,此時/被圓C截得的弦長最小,
最小值為2^r2-|AC|2=10-
故選:C.
8.答案:C
解析:因為點4(4,4)在拋物線上,所以16=80,解得°=2,
所以拋物線的方程為V=4x,則焦點為尸(1,0),
又因為反射光線經過點4(4,4)及焦點廠(1,0),kAB=kAF=^=^,
所以反射光線AB的方程為y=1),
1
y=4xr_4_J_
聯立拋物線方程得4,解得“或”二W,
4
>=5(x—i)b=[J="i
所以反射光線AB與拋物線的交點為1),
4
由兩點間距離公式可得|A5|=J(4-^-)2+(4+l)2=,
所以反射光線所在直線被拋物線截得的弦長為竺.
4
故選:C.
9.答案:B
解析:直線/的斜率顯然存在,所以設直線/的方程為y-3=1),即y=k(x-1)+|,
[22
工+匕=1
聯立方程組43,
3
y=k(x-l)+-
消去y,得(3+4左2)x2+(12左一8左2)x+4左2—12左一3=0,
因為直線/與橢圓C相切于點
所以△=(12k-8左2)2-4(3+4左2)(4/—12左一3)=0,
整理得144k2+144左+36=0,解得左=—《,
2
所以切線方程為y=-—(%-!)+—=-—%+2;
222
22_________
由橢圓C:3+1_=l,可得片=4/2=3,所以0=力2_爐=1,
可得左焦點片(-1,0),所以過左焦點耳與直線/的垂直的直線方程為y=2(x+l),
聯立方程組『-=_15",解得了=0,y=2,所以Q(0,2),
y=2(x+l)
所以點。與原點。之間的距離為2.
故選:B.
10.答案:A
解析:設區A|=f,由S-=2s石片行
可得S"/=25女蛆=4S》"2,由于△片?與△AKE等高,
所以內q=4,=閨q.
又£CJ_f;A,|AC|=5f,.?.忸A|=3/,
又|AFj|+|A閭=2a=4,,.'./=—>
在△C^O中,cosZC/sO=—
la
COSZAF2FI+cosZC/^O=0,
|A直『+閨居12TA周2_2C2—。2
在△Ag片中,COSZAF2F1=
2|/A卜寓-=ac2a
化簡可得2…2,解得e$吟,
故選:A.
11.答案:C
解析:設坐標原點為0,。(毛,%),易知C的漸近線的方程為y=土;X,
「X,
聯立
y-%=;(x-%),
1
x=2Xo-Vo
解得
11
y=-4%o+2
不妨取A(/Xo-%,一^/+萬為]
同理可得+
=93%一%,|0耳=¥;%+%
因為四邊形OABD是平行四邊形,
于是=|。耳|04|,
11
5%+%,
由于點。在c上,
2
所以+"1,
因止匕
故C正確.
故選:C
12.答案:D
解析:因為拋物線Uy?=2px(p>0)過點4(2,4),
所以16=4p,解得:p=4,所以y2=8x,
設〃(%,%),N(x2,y2),
直線MN:x=ty+m,代入y2=8x中整理得y2-8ty-8m=O>
所以為+%=8/,%%=-8m,
%—4%—4_%—4%—4
所以左AM+Mv=---------------1------------------------------------1------------------
石―2X2—2y;__2%_2
88
8?88(%+4)+8(%+4)=0
即%+%+8=0,
X+4%+4(%+4)(%+4)
則%+為+8=8/+8=0,解得:t=-l,
所以直線MN:x+y-m=0,
直線/的斜率為一1,且過C的焦點/(2,0),
所以/:x+y—2=0,貝14(2,4)至恒線/的距離為4=?產=2后,
所以/把分成面積相等的兩部分,因為直線/與直線"N平行,
所以4(2,4)到直線/:x+y-2=0的距離為4(2,4)到直線MN:x+y-m=0距離的
2四=也」"J時,解得:m=6—4A歷或加=6+4逝(舍去)?
2
所以直線MN的方程為x+y+40-6=0.
故選:D.
13.答案:BCD
解析:對于A,由題意知:a=2,b-y/3f,c=y/a2-b2=1f..?寓與|=2c=2,A錯誤;
對于B,為橢圓C的焦點弦,.?.歸°歸2a=4,B正確;
對于C,忸胤+歸閭=|Q£|+|Q閭=2a=4,
△鳥尸。的周長為|PQ|+|%|+|Q閭=|?司+|「閭+|Q£|+|Q才|=8,C正確;
對于D,作PM垂直于直線1=y,垂足為
設則2=|PM|=ko+4|,
22
耳(-1,0),\PF{\=^(x0+1)+=J(X0+1)+3--|XQ=J—Xg+2x0+4
5%+2,
.-.2|P^|=|%0+4|,:.d=2\PF\,D正確.
故選:BCD.
14.答案:AC
解析:因為點A(2,l)在拋物線C:f=20y(p>0)上,所以4=2p,解得p=2,
即拋物線方程為必=4y,焦點尸(0,1).
對于A:直線45的方程為旺■=&,即y=x-1,
1+12-0.
因為,;2二],解得〈二:所以直線與拋物線。相切點4(2,1),故A正確;
對于B:設過點5的直線為/,若直線/與y軸重合,則直線/與拋物線C只有一個交點,不
合題意;
所以直線/的斜率存在,設其方程為y=Ax-l,
91
由<:A得%2—4丘+4=0,貝J△=16左2—16>0,即左v—1或左>1,
[x2=4y
于是X]+%=4左,xtx2=4,
又以乂qX;=—(^2)-=正義'=1,
所以0。?00=石%2+K%=5,故B錯誤;
對于C:由焦半徑公式可得|巾=%+勺%+1,|2*=乂+言=%+1,
因為P是線段3Q的中點,
所以乂=22=1,整理得2(%+1)=%+1,即21Pbl=|。尸|,故C正確;
對于D:若|「尸|+|。下|=2|5/|,則(%+1)+(%+1)=2|1—(-1)|=4,得%+%=2
所以2=%+%=左(%+%)一2=公4左一2=4左2—2,即4左2=4,解得左=±1,
此時A=16k2—16=0,則直線/與拋物線相切,故D錯誤.
故選:AC.
15.答案:BCD
22
解析:雙曲線二一匕=1(。〉0力〉0)的漸近線為4x±3y=0,左焦點/(一5,0),所以點R到C
916
的一條漸近線的距離為吧工1=4,所以A錯誤;
“2+32
由雙曲線方程可得a=3,c=5,所以離心率e=£=?,所以B正確;
a3
22
設點?(%,%),則^_—二=1,即16%2—9%2=144,
916
點P到兩漸近線距離分別為國3d和國二M,
55
則|4x0+3%||4%—3%|—9端=144所以C正確;
552525
22
設雙曲線土—匕1(。〉0力〉0)的右焦點耳(5,0),則|即尸耳|=2a=6,所以
916
|則+歸曰=|期+歸周+6,
若|PA|+|PF|最小,則只需|R4|+|尸耳|最小即可,
過£作垂直漸近線4x-3y=0與點A,6A交雙曲線右支與點P,此叫到+歸國最小,
「4,
閨止由勾股定理得|Q4|=3,所以A,所以
\FA\=
所以△PAF的周長為|B4|+|PE|+|A同=|B4|+6+|P制+|AE|=6+|44|+|4同=10+2/,所以口
正確.
故選:BCD.
16.答案:(2,1)
解析:因為直線依―y+1—2左=0,即為左(%—2)—y+l=0,
X—2=0,解得「=2
令
-y+l=0[y=l
所以直線恒過定點(2,1).
故答案為:(2,1).
17.答案:p=2
解析:宿€=£=2,得c=2a,b=6a,所以雙曲線的漸近線為y=±而:.
a
又拋物線的準線方程為x=-£聯立雙曲線的漸近線和拋物線的準線方程得A(-4近、
2I22J
在△495中,|陰=回,。到A3的距離為§S“B=G,*島£=6,P=2.
解析:設尸(x,y),因為點A(-1,0),5(2,0),\P^=2\PB\,
所以J(x+])2+y2=2,卜_2)2+y2,即%2+y2_6x+5=0,
所以(x—3)2+y2=4,可得圓心(3,0),半徑尺=2,
由圓C:(x—2j+(y—加了=;可得圓心c(2,和),半徑/=;,
因為在圓C上存在點P滿足歸川=2歸因,
所以圓(%―3)2+丁=4與圓C:(x-2)2+(y-zn)2=:有公共點,
所以2—LvJ(3—2y+7/?2+工,整理可得:2<i+m2<25;
29,244
解得在〈加〈叵,
22
所以實數m的取值范圍是卜5,叵
22
故答案為:「立,叵.
22
19.答案:|
解析:由題意得蒙日圓。為x2+y2=q2+/.
則4(0,揚+/卜£>(病工,0),
直線AD的方程為:y=-x+yla2+b2,
y=-x+y/a2+b~
聯立\22
—2L=i
U2+b2
M(a2+Z?2)%2-2a"V?2+b2x+a4=0,
A=4a4(Ja?+分)-4a。(a?+/)=0,
Ss_4"戶京『W+4(2/一/J
222
SEFGH4?/2(rb-2a(a-c)'
yjcr+b~yla2+b2
_4a-4/。2+。4_4-4e2+e4_§
2ca4-c2a2c2cc2-2eQ3
故答案為:
3
20.答案:50
解析:由題可知,拋物線的焦點坐標為b(1,0).
因為直線E4的斜率為工,所以直線AP的方程為y=^(x-1),
與拋物線C的方程聯立,得18%+1=0,所以△=(-18)2-4〉0.
設「(乙,%),則%+々=18,%]%2=1,
,
故|人尸|=+J(X+—4中2=岑x8^/5=20-
因為E4.FB=0,所以E4_LEB,
所以直線FB的斜率為-2,直線3Q的方程為y=-2(x-1),
與拋物線C的方程聯立,得%2_3工+1=0.所以A=(—3)2-4〉0.
設°(九4,%),則%+%4=3,退%4=1,
故忸4+(―2)2.,(W+/)2-424=非又小=5.
所以四邊形ABPQ的面積為3人斗忸@=50.
故答案為:50.
21.答案:⑴%-3y+3=0
e,部1547
(2)1=1或,=--------
-88
解析:(1)設點P關于直線/:x+y-1=0的對稱點<坐標為(。力),
6—4
.(T)=T
則有《,解得即片(-3,0),
。+18+4
--------1---------1=0
[22
7-0
直線的方程為:y-0=3(3產+3),即X—3y+3=0,
因反射光線過點2(3,2),而反射光線所在直線過點邛(-3,0),
所以反射光線所在直線方程為x-3y+3=0.
(2)圓C:x2+y2—4x+3=0即圓C:(x―2y+y2=i的圓心為。(2,0),半徑為廠=1,
過P(l,4)點且斜率不存在的直線為%=1,顯然C(2,0)到直線%=1的距離d=l=r,故》=1滿
足題意;
設過點P(l,4)且斜率存在的直線丁=左(l-1)+4的直線與圓C:(x—2)2+丁=1相切,
則[=上坦=1,解得上止匕時所求直線為y=—"(x—1)+4,即丁=—"x+&;
VFTi88V788
綜上所述,滿足題意的切線方程為%=1或丁=—竺x+±.
88
22.答案:(1)證明見解析
(2)[12-80,+oo)
解析:(1)證明:因為A,3是兩直線與拋物線C的交點,
所以。4,的斜率均存在,且不為零,
故可設直線OA:y=kx(kw0),則直線OB:y=--x.
k
[=>王=0,x=2pk,所以A(2p匕2P左2)
由V2
同理得52P
k,
2PkT
二1
則kAB=
2PV
(》_2P左)ny=(左一:
則直線A3的方程為y—2°左2="4x+2p,
所以直線A3過定點(0,2p).
(2)因為點尸(2,1)在曲線C上,所以將點P的坐標代入曲線C的方程可得°=2,即必=4丁,
則方(0,1).
設4(%,%),5(%,%),由題意可知直線A3的斜率存在,則可設直線A3的方程為丁=依+乙
X4’‘得%2-4"-4,=o,貝!]/+々=4左,xx--4/,A=16(^2+?)>0.
則由<v2
y=kx+t'7
所以科?Ffi=(%,%-1)?(9,%T),
=(1+公)玉龍2+?—1)左(玉+為2)+?—1尸=一4/(1+左B+左?—D4左+?—I)?=0,
得左2=^(f-6z+l)>0^Z>3+272^?<3-2A/2,滿足A>0.
而點R到AB的距離d=匕*
則.宏卜+t2
所以212-80.
所以△AFB的面積的取值范圍為[12-8點,+s).
Y2
23.答案:(1)—+/=1
4
(2)平行四邊形OABC的面積為定值百
解析:⑴因為橢圓M的焦距2c=2百,所以c=6,
因為點(1,也]在橢圓”上,所以二+三=1,解得/=1,
2y+34b2
所以〃2=〃+/=4,
故橢圓M的標準方程為—+y2=l.
4'
因為四邊形。43c為平行四邊形,所以。B=QA+OC,
平行四邊形OABC的面積SOABC=2SA°AC,
設直線AC的方程為y=kx-hm(m^O),
聯立亍+V=1,消去y并整理得(1+4左2)d+8kmx+4m2-4=0,
由△=64k2m2-4(l+4F)(4m2-4)>0,整理得l+4F>m2.
設C(x2,y2),
-8km4m2-4
則miIX]+X——,XyXy——
19-1+4左2121+442
2m
得%+為=左(/+々)+2/〃=]+4左2
—8km2m
所以OB=OA+OC=(玉+%,必+%)=
1+442'1+4左2
16k2m24m2
因為點3在橢圓〃上,則(1+442/+(1+止了二1,
所以4療=1+4左2,滿足△>(),
2
N(1+4用\m\
又點0到直線AC的距離d=例=
所以=
\m\
故平行四邊形0A3C的面積為定值石.
24.答案:⑴{小等小厚且g
(2)k1+k2=0
解析:(1)根據題意,過點T(0,-3)的直線/的方程可設為y=6-3,
y=kx-3,
聯立
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