專題八平面解析幾何——高考數學二輪復習重難點突破

?典例分析

考查方式

直線與圓的方程在高考中可單獨以選擇題、填空題的形式考查，也可與圓錐曲線綜合在解

答題中考查.直線主要考查直線的斜率和方程、兩直線的交點與距離問題、對稱問題等；圓主

要考查圓的方程的求解、與圓有關的最值問題、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系等.復

習的重點在于立足基礎，培養推理論證能力，提高運算能力，注重解題的通性通法.

圓錐曲線在高考中占據極其重要的地位，是高考的重點、熱點和難點，更是每年的必考內

容.簡單題主要考查圓錐曲線的定義、方程、簡單性質，難題主要考查圓錐曲線幾何性質的綜

合應用、直線和圓錐曲線的位置關系、利用解析幾何知識解決圓錐曲線綜合應用，這類題目的

綜合性較強，對計算能力要求較高.復習的重點在于重視基礎知識的掌握，重視思想方法的訓

練，提高計算能力和綜合解題能力.

高考真題

22

1.[2023年新課標I卷]設橢圓G：三+y2=i(q〉i),。,：土+丁=1的離心率分別為華，江.

a4

若e2=也,，貝I。=()

A.-B.y[2,C.y/3D.,\/6

2.[2024年新課標II卷]已知曲線C:f+V=胎⑶〉0),從C上任意一點尸向x軸作垂線PP',

P為垂足，則線段PP的中點”的軌跡方程為（）

2222

A.^-+^-=l（y>0）B.J+J=l（y〉0）

164168

W，〉o)

3.[2023年新課標I卷]過點(0,-2)與圓必+9—以-1=0相切的兩條直線的夾角為tz,則

sina=()

R岳「回C娓

A.1D.L.U.

444

2

r

4.[2023年新課標H卷]已知橢圓C:j+/=1的左、右焦點分別為耳，F2,直線y=x+m與

C交于A,3兩點，若△耳A3面積是面積的2倍，則機=()

A.2cV22

3333

5.[2024年新課標I卷](多選)設計一條美麗的絲帶，其造型p可以看作圖中的曲線C的

一部分.已知C過坐標原點。，且C上的點滿足：橫坐標大于-2,到點歹(2,0)的距離與到定直

線x=a(a<0)的距離之積為4,貝心)

A.a——2

B.點(2夜,0)在C上

CC在第一象限的點的縱坐標的最大值為1

D.當點(如陽)在c上時，兒<—

九0十，

22

6.[2024年新課標I卷]設雙曲線C:三-==1(a>0,Z?>0)的左、右焦點分別為百，凡,

ab

過F2作平行于y軸的直線交C于A,3兩點，若山H=13,||=10,則C的離心率為.

7.[2024年新課標I卷]已知A（0,3）和小胡為橢圓。：，%=1（。〉6〉0）上兩點.

（1）求C的離心率;

（2）若過P的直線/交C于另一點3,且△砂0的面積為9,求/的方程.

?重難突破

22

1.已知橢圓C：1+與=1（。〉心0）經過點（0,2），當左變動時，C截得直線,=區的最大弦長

a2*8b1

為4后，則C的方程為（）

22222222

A.土+2L=iB.±+2L=iC.土+2L=iD.土+匕=1

8442322324

2.已知直線/]：（〃z+l）x+2y+l=0與直線"：3x+wzy+l=0平行，則機的值為（）

A.-3B.-lC.2D.-3或2

3.已知圓/+,2+4為一2丁+1=0關于直線x+y—m=0對稱，則實數機=（）

A._1B.lC._2D.2

4.過拋物線f=分的焦點R作直線/,交拋物線于A,3兩點.若線段中點的縱坐標為3,則

\AB\等于（）

A.10B.8C.6D.4

5.圓好+9=4與圓必+,2一4%一4丁+4=0的公共弦長為（）

A.0B.百C.2V2D.2月

22

6.若直線/：2%-丁=0是雙曲線0：27_￡=1（。〉0力〉0）的一條漸近線，則該雙曲線的離心率

為（）

A.石B.石C巫D正

22

7.已知圓c：(x-2)2+(y-4)2=35，直線/:(2〃?+l)x+(〃?+l)y—7m—4=0則直線/被圓C截得

的弦長的最小值為()

A.5B.4&C.10D.2出

8.拋物線繞它的對稱軸旋轉所得到的曲面叫拋物面，用于加熱水和水壺食物的太陽灶應用了拋

物線的光學性質：一束平行于拋物線對稱軸的光線，經過拋物面的反射后，集中于它的焦點.

已知一束平行于x軸的入射光線的一束光線與拋物線2內的交點為4(4,4),則反射光線

所在直線被拋物線截得的弦長為()

9.已知耳，工是橢圓c：[+；=i的左、右焦點，直線/與橢圓C相切于點過左焦點

耳作直線/的垂線，垂足為。，則點Q與原點。之間的距離為()

A.石B.2C.3D.4

22

10.已知橢圓「=+與=1(。〉6〉0)的左、右焦點分別為耳，F2,過工的直線/與橢圓「相

交于A、B兩點，與y軸相交于點C.連接耳C,耳4.若。為坐標原點，F,CLFXA,=2SAAf]f2,

則橢圓r的離心率為()

A.叵B正C.叵D正

551010

2

11.已知。為雙曲線U±_y2=i右支上一點，過點。分別作C的兩條漸近線的平行線，與另

4-

外一條漸近線分別交于點A,B,則|。從口目=()

A.2B.J?C.-D.-

42

12.已知拋物線0：丁2=20%（0>0）過點4（2,4）,動點M,N為C上的兩點，且直線AM與A7V

的斜率之和為0,直線/的斜率為-1，且過C的焦點F/把△AW分成面積相等的兩部分,

則直線的方程為（）

A.x+y-6=0B.%-y+6=0

C?％一y+4A/2-6=0D.%+y+4后-6=0

22

13.（多選）已知橢圓曰二+匕=1的左頂點為A,左、右焦點分別為月，F2,過點耳的直線

43

與橢圓相交于尸，。兩點，則（）

A［耳耳|=1

B.|PQ|W4

C.當心，P，。不共線時，△&PQ的周長為8

D.設點P到直線1=T的距離為d,則］=2忸周

14.（多選）已知。為坐標原點，點4（2,1）在拋物線C:f=2py（p〉0）上，拋物線的焦點為R

過點8（0,-1）的直線/交拋物線C于P,。兩點（點尸在點5,。的之間），則（）

A.直線A3與拋物線。相切

^-OPOQ=6

C.若P是線段BQ的中點，則2|「尸|=|。下|

D.存在直線I,使得\PF\+\QF\^2\BF\

22

15.（多選）已知雙曲線0.二—21l（a〉0力〉0）的左焦點為R尸為C右支上的動點，過P

-916

作C的一條漸近線的垂線，垂足為A,。為坐標原點，則下列說法正確的是（）

A.點R到C的一條漸近線的距離為2

B.雙曲線C的離心率為3

3

C.則P到C的兩條漸近線的距離之積大于4

D.當歸山+1P周最小時，則△PAF的周長為10+2^/13

16.已知直線依-y+1-2左=0,當左變化時，所有的直線恒過定點

22

17.已知雙曲線三=1(。〉0力〉0)的兩條漸近線與拋物線V=2px(p>0)的準線分別交于

A,3兩點，。為坐標原點.若雙曲線的離心率為2,Z\AOB的面積為逝，則P=.

18.古希臘數學家阿波羅尼奧斯(約公元前262?公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代

世界光輝的科學成果，著作中這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數左(左>0且左wl)

的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，已知點4(-1,0)，5(2,0),圓

C:(x-2)2+(y-m)2=1(m>0)，在圓上存在點「滿足|申|=2戶到，則實數機的取值范圍是

19.已知橢圓的任意兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是圓，這個圓被稱為“蒙日圓”，它的圓

心與橢圓的中心重合，半徑的平方等于橢圓長半軸長和短半軸長的平方和.如圖為橢圓

。：二+4=1(。〉6〉0)及其蒙日圓的離心率為四，點A,5C,D分別為蒙日圓。與坐標

ab3

軸的交點，分別與。相切于點瓦EG,H,則四邊形ABCD與四邊形環GH的

面積的比值為.

斗

A

C

20.已知拋物線C：y2=4%的焦點為RA,3為C上的兩點.若直線E4的斜率為:，且E4.尸3=0,

延長AF，分別交C于P，Q兩點，則四邊形ABPQ的面積為1___________.

21.已知點P(l,4)與直線l:x+y-l=Q>圓(7:/+/_4》+3=0

(1)一條光線從點尸射出，經直線/反射后，通過點0(3,2),求反射光線所在的直線方程；

(2)過尸點作圓的切線，求切線方程.

22.已知拋物線C:x2=2py(p〉0),C的焦點是正

(1)若過原點。作兩條直線交曲線C于A,3兩點，且求證：直線A3過定點；

(2)若過曲線C上一點P(2,l)作兩條直線交曲線C于A,3兩點，且=求△AEB的

面積的取值范圍.

23.已知橢圓〃:+J=1(。〉6〉0)的焦距為2有，且點)日j在橢圓〃上.

(1)求橢圓M的標準方程；

(2)設。為坐標原點，A,B,C是橢圓"上的三個動點，且四邊形。43c恰為平行四邊形，

試判斷平行四邊形0A3C的面積是否為定值？若是，求出該定值，若否，請說明理由.

2

24.已知雙曲線=i的左、右頂點分別為4，4.

(1)若過點T(0,-3)的直線/交雙曲線E于A,3兩點，求直線/的斜率范圍；

(2)過原點的直線與雙曲線E相交于C,。兩點(C在x軸的上方)，直線4C,4。與圓

/+丁=3分別交于點〃，N,直線CD與直線的斜率分別為左，k2,求左+質的值.

25.已知A,3分別是橢圓C:'+與=1(。〉6〉0)的左、右頂點.橢圓長軸長為6,離心率為一.0

ab3

為坐標原點，過點尸(0,-3),且與坐標軸不垂直的直線/交橢圓C于N兩個不同的點.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)當直線I的斜率為正時，設直線AM,AN分別交y軸于點S,T,記PS=APO,PT="PO,

求2+〃的取值范圍.

答案以及解析

高考真題

1.答案：A

解析：由橢圓G的方程知離心率4=互二，由橢圓。2的方程知62=走.又?=國,即

a2

=43■——-,化簡得/=4/_4,a2=—,a>l,a=.故選A.

2a33

2.答案：A

解析：設則P（/，2%），因為點P在曲線C上，所以其+（2陽）2=16（%>0），即

2222

迎+九=1（%〉0）,所以線段PP的中點M的軌跡方程為j+J=l（y〉O）,故選A.

164164

3.答案：B

解析：設圓/+4x-1=0為圓C,化簡得（x-2）2+V=5,圓心為C（2,0）,半徑廠=君.如

、/5

圖，設NCB4=6>,則a=2。，sine=01=,代斗,易知cos6>0,則

\CP\7(2-0)2+[0-(-2)]22V2

cos0--^=，所以sin。=sin20=2sin9cos。=.故選B.

2724

解析：設直線y=與元軸交于點M（-引0）,直線方程與橢圓方程聯立得

2

4%9294

-------卜2mx+m—1=0A=(2m)2-4~?(m2-l)>0,解得-2〈根<2.

3

設月(-0,0),耳(后,0)到直線A3的距離分別為4,d2,由題意得，2--\AB\-d2=^-\AB\-di,

所以4=2人.由三角形相似可得，《=出4=匕扛蛆=2,解得冽=一變或〃，=—3后.因為

，d2\F2M\\42+m\3

加

-2<m<2,所以根=----,故選C.

3

5.答案：ABD

解析：因為坐標原點。在曲線。上，所以2x|〃|=4,又〃<0,所以。=-2,所以A正確.

因為點(20,0)到點F(2,0)的距離與到定直線x=-2的距離之積為(2亞-2)(2應+2)=4,所以

點(20,0)在曲線C上，所以B正確.

設尸(x,y)(x>0,y〉0)是曲線。在第一象限的點，則有，(％—2>+。(%+2)=4,所以

/=一(X-2)2,令/(%)=一(X—2)2，則八X)=--^―—2(》—2)，因為/(2)=1,

(x+2)(x+2)(x+2)

且/(2)<0,所以函數/(幻在x=2附近單調遞減，即必定存在一小區間(2-￡,2+￡)使得/(x)

單調遞減，所以在區間(2-￡,2)上均有/(幻>1,所以P(x,y)縱坐標的最大值一定大于1,所

以C錯誤.

因為點(%,為)在。上，所以小〉一2且—2)2+y；(/+2)=4,得

帚產2『三產再所以為4。鳥心［=71r所以D正確.

綜上，選ABD.

6.答案：-

2

解析：法一：由|AB|=10及雙曲線的對稱性得恒用=等=5,因為|明|=13,所以

22

2a=|AF；|-|AK|=13-5=8,2c=\FxF^=-\AF2f=V13-5=12,所以a=4,c=6,

則C的禺心率e=—=—=—.

a42

,右2i22_2

法二：因為|AB|=10,所以2=10,所以幺=二^=5,

aaa

又|然|=13,所以閨￡|=2c=J|A片「-［號］=12,得c=6,

一r63

所以a?+5〃—36=0,得a=4,所以C的曷心率e.

a42

7.答案：(1)-

2

31

(2)l:y=-x-3^y=—x

22

解析：（1）由題知￡c,解得卜=2?,

9,91b=3

[a24b2

c-_12-。的曷心率e=_￡=J_.

a2

（2）|%|=卜+1|]=當，設點3到直線必的距離為人

則△回0的面積為S=g|PAH?=9,解得無=今5.易知直線PA:x+2y—6=0,

jx+2y-6|12逐

設3(x,y),則85解得F=°或3，,3(0,-3)或81-3,-3

22y=-3y=~^V2

%尸-1、乙

1129

故/:y=』x-3或y=1x.

重難點突破

1.答案：A

22

解析：由題意可得b=2，2a=4叵，所以〃=8，廿=4,所以橢圓方程為土+乙=1.

84

故選：A

2.答案：A

解析：由兩直線平行得：（m+l）〃?-2x3=0,解得加=2或加=-3.

當機=2時，A:3x+2y+l=0,4：3x+2y+l=0,兩直線重合，不合題意.

當機=_3時，I：-2x+2y+l=0,即2x—2y—1=0,/2:3x-3y+1=0,兩直線平行，符合題意.

故m的值為-3.

故選：A.

3.答案：A

解析：由d+J+dx—2y+i=。，得(x+2)2+(y—Ip=4，故圓心為(—2,1),

又因為圓Y+/+4》_2,+1=0關于直線尤+y-7w=0對稱，

故圓心(-2,1)在直線x+y—m=0上，貝!J?i=x+y=—2+1=—1.

故選：A

4.答案:B

解析：拋物線必=分的焦點為尸(0,1),準線方程為y=-l,

設人(%,%),5(%,%),

則%+%=2*3=6，

所以|AB|=|AE|+1|=%+1+%+1=8,

故選：B

5.答案：C

解析：圓/+/=4①與圓X?+_/-4x-4y+4=0②，

①一②得4x+4y-4=4,即公共弦方程為x+y-2=0,

又圓/+,2=4的半徑為r=2，圓心為0(0,0),

|0+0-2|

圓心0(0,0)到直線x+y-1=0距離d=A/2,

V2

所以公共弦長為2產方=2Q=20-

故選：C.

6.答案：D

22

解析：因為雙曲線斗一、=1(〃〉0/〉0)的焦點在y軸上，且直線/:2x-y=0即為y=2x,

由雙曲線W—.=l(a〉O力〉0)的漸近線方程是丁=±2一所以￡=2,即？=；，

所以離心率e=￡卜2+"2仄=心.

故選：D.

7.答案：C

解析：由/：(2m+l)x+(m+l)y—7m—4=0=>m(2x+y—7)+x+y—4=0,

尸+i°今產,即/過定點4(3,1),

2x+y-7=Q[y=l')

由C:(x—2y+(y—4)2=35得。(2,4)，半徑廠=后，

則當AC，/時，C到/的距離最遠，此時/被圓C截得的弦長最小，

最小值為2^r2-|AC|2=10-

故選：C.

8.答案：C

解析：因為點4(4,4)在拋物線上，所以16=80,解得°=2,

所以拋物線的方程為V=4x，則焦點為尸(1,0)，

又因為反射光線經過點4(4,4)及焦點廠(1,0)，kAB=kAF=^=^，

所以反射光線AB的方程為y=1)，

1

y=4xr_4_J_

聯立拋物線方程得4,解得“或”二W，

4

>=5(x—i)b=[J="i

所以反射光線AB與拋物線的交點為1)，

4

由兩點間距離公式可得|A5|=J(4-^-)2+(4+l)2=，

所以反射光線所在直線被拋物線截得的弦長為竺.

4

故選：C.

9.答案:B

解析：直線/的斜率顯然存在，所以設直線/的方程為y-3=1)，即y=k(x-1)+|，

[22

工+匕=1

聯立方程組43,

3

y=k(x-l)+-

消去y,得（3+4左2）x2+（12左一8左2）x+4左2—12左一3=0，

因為直線/與橢圓C相切于點

所以△=（12k-8左2）2-4（3+4左2）（4/—12左一3）=0，

整理得144k2+144左+36=0，解得左=—《，

2

所以切線方程為y=-—（%-!）+—=-—%+2;

222

22_________

由橢圓C：3+1_=l，可得片=4/2=3，所以0=力2_爐=1，

可得左焦點片(-1,0),所以過左焦點耳與直線/的垂直的直線方程為y=2(x+l),

聯立方程組『-=_15",解得了=0,y=2,所以Q(0,2),

y=2(x+l)

所以點。與原點。之間的距離為2.

故選：B.

10.答案:A

解析：設區A|=f，由S-=2s石片行

可得S"/=25女蛆=4S》"2，由于△片?與△AKE等高,

所以內q=4，=閨q.

又￡CJ_f；A,|AC|=5f，.?.忸A|=3/，

又|AFj|+|A閭=2a=4,,.'./=—>

在△C^O中,cosZC/sO=—

la

COSZAF2FI+cosZC/^O=0，

|A直『+閨居12TA周2_2C2—。2

在△Ag片中,COSZAF2F1=

2|/A卜寓-=ac2a

化簡可得2…2,解得e$吟,

故選：A.

11.答案：C

解析：設坐標原點為0,。（毛,%），易知C的漸近線的方程為y=土;X，

「X,

聯立

y-%=；(x-%),

1

x=2Xo-Vo

解得

11

y=-4%o+2

不妨取A(/Xo-%，一^/+萬為］

同理可得+

=93%一%，|0耳=￥；%+%

因為四邊形OABD是平行四邊形,

于是=|。耳|04|,

11

5%+%,

由于點。在c上,

2

所以+"1,

因止匕

故C正確.

故選：C

12.答案：D

解析：因為拋物線Uy?=2px(p>0)過點4(2,4),

所以16=4p,解得：p=4,所以y2=8x，

設〃(%,%)，N(x2,y2)，

直線MN:x=ty+m,代入y2=8x中整理得y2-8ty-8m=O>

所以為+%=8/，%%=-8m,

%—4%—4_%—4%—4

所以左AM+Mv=---------------1------------------------------------1------------------

石―2X2—2y；__2%_2

88

8?88(%+4)+8(%+4)=0

即%+%+8=0,

X+4%+4(%+4)(%+4)

則%+為+8=8/+8=0,解得：t=-l，

所以直線MN:x+y-m=0,

直線/的斜率為一1,且過C的焦點/(2,0),

所以/:x+y—2=0,貝14(2,4)至恒線/的距離為4=?產=2后,

所以/把分成面積相等的兩部分，因為直線/與直線"N平行,

所以4(2,4)到直線/:x+y-2=0的距離為4(2,4)到直線MN:x+y-m=0距離的

2四=也」"J時,解得：m=6—4A歷或加=6+4逝(舍去)?

2

所以直線MN的方程為x+y+40-6=0.

故選：D.

13.答案：BCD

解析：對于A,由題意知：a=2,b-y/3f,c=y/a2-b2=1f..?寓與|=2c=2,A錯誤;

對于B,為橢圓C的焦點弦，.?.歸°歸2a=4,B正確；

對于C,忸胤+歸閭=|Q￡|+|Q閭=2a=4,

△鳥尸。的周長為|PQ|+|%|+|Q閭=|?司+|「閭+|Q￡|+|Q才|=8,C正確;

對于D,作PM垂直于直線1=y,垂足為

設則2=|PM|=ko+4|，

22

耳(-1,0)，\PF{\=^(x0+1)+=J(X0+1)+3--|XQ=J—Xg+2x0+4

5%+2,

.-.2|P^|=|%0+4|,:.d=2\PF\,D正確.

故選：BCD.

14.答案：AC

解析：因為點A(2,l)在拋物線C:f=20y(p>0)上，所以4=2p,解得p=2,

即拋物線方程為必=4y，焦點尸(0,1).

對于A：直線45的方程為旺■=&，即y=x-1，

1+12-0.

因為,；2二]，解得〈二:所以直線與拋物線。相切點4(2,1),故A正確；

對于B：設過點5的直線為/,若直線/與y軸重合，則直線/與拋物線C只有一個交點，不

合題意；

所以直線/的斜率存在，設其方程為y=Ax-l,

91

由<：A得％2—4丘+4=0，貝J△=16左2—16>0，即左v—1或左>1,

[x2=4y

于是X]+%=4左，xtx2=4,

又以乂qX；=—(^2)-=正義'=1，

所以0。?00=石%2+K%=5,故B錯誤；

對于C：由焦半徑公式可得|巾=%+勺％+1,|2*=乂+言=%+1，

因為P是線段3Q的中點，

所以乂=22=1，整理得2(%+1)=%+1，即21Pbl=|。尸|,故C正確；

對于D：若|「尸|+|。下|=2|5/|,則(%+1)+(%+1)=2|1—(-1)|=4,得%+%=2

所以2=%+%=左(%+%)一2=公4左一2=4左2—2,即4左2=4，解得左=±1，

此時A=16k2—16=0，則直線/與拋物線相切，故D錯誤.

故選：AC.

15.答案：BCD

22

解析：雙曲線二一匕=1(。〉0力〉0)的漸近線為4x±3y=0,左焦點/(一5,0),所以點R到C

916

的一條漸近線的距離為吧工1=4,所以A錯誤;

“2+32

由雙曲線方程可得a=3，c=5,所以離心率e=￡=?，所以B正確;

a3

22

設點？(%,%),則^_—二=1，即16%2—9%2=144,

916

點P到兩漸近線距離分別為國3d和國二M,

55

則|4x0+3%||4%—3%|—9端=144所以C正確;

552525

22

設雙曲線土—匕1（。〉0力〉0）的右焦點耳（5,0），則|即尸耳|=2a=6,所以

916

|則+歸曰=|期+歸周+6，

若|PA|+|PF|最小，則只需|R4|+|尸耳|最小即可,

過￡作垂直漸近線4x-3y=0與點A,6A交雙曲線右支與點P,此叫到+歸國最小,

「4,

閨止由勾股定理得|Q4|=3,所以A,所以

\FA\=

所以△PAF的周長為|B4|+|PE|+|A同=|B4|+6+|P制+|AE|=6+|44|+|4同=10+2/，所以口

正確.

故選：BCD.

16.答案:（2,1）

解析：因為直線依―y+1—2左=0,即為左（％—2）—y+l=0,

X—2=0，解得「=2

令

-y+l=0[y=l

所以直線恒過定點（2,1）.

故答案為：（2,1）.

17.答案：p=2

解析：宿€=￡=2,得c=2a,b=6a,所以雙曲線的漸近線為y=±而:.

a

又拋物線的準線方程為x=-￡聯立雙曲線的漸近線和拋物線的準線方程得A(-4近、

2I22J

在△495中，|陰=回,。到A3的距離為§S“B=G，*島￡=6，P=2.

解析：設尸(x,y),因為點A(-1,0)，5(2,0),\P^=2\PB\,

所以J(x+])2+y2=2,卜_2)2+y2,即%2+y2_6x+5=0,

所以(x—3)2+y2=4,可得圓心(3,0)，半徑尺=2，

由圓C:(x—2j+(y—加了=；可得圓心c(2,和)，半徑/=；,

因為在圓C上存在點P滿足歸川=2歸因，

所以圓(%―3)2+丁=4與圓C:(x-2)2+(y-zn)2=：有公共點，

所以2—LvJ(3—2y+7/?2+工,整理可得：2<i+m2<25；

29,244

解得在〈加〈叵，

22

所以實數m的取值范圍是卜5,叵

22

故答案為：「立，叵.

22

19.答案：|

解析：由題意得蒙日圓。為x2+y2=q2+/.

則4(0,揚+/卜￡>(病工,0),

直線AD的方程為：y=-x+yla2+b2,

y=-x+y/a2+b~

聯立\22

—2L=i

U2+b2

M(a2+Z?2)%2-2a"V?2+b2x+a4=0,

A=4a4(Ja?+分)-4a。(a?+/)=0，

Ss_4"戶京『W+4(2/一/J

222

SEFGH4?/2(rb-2a(a-c)'

yjcr+b~yla2+b2

_4a-4/。2+。4_4-4e2+e4_§

2ca4-c2a2c2cc2-2eQ3

故答案為：

3

20.答案：50

解析：由題可知，拋物線的焦點坐標為b(1,0).

因為直線E4的斜率為工，所以直線AP的方程為y=^(x-1)，

與拋物線C的方程聯立，得18%+1=0，所以△=(-18)2-4〉0.

設「(乙，％)，則%+々=18,%]%2=1，

,

故|人尸|=+J(X+—4中2=岑x8^/5=20-

因為E4.FB=0，所以E4_LEB，

所以直線FB的斜率為-2,直線3Q的方程為y=-2(x-1),

與拋物線C的方程聯立，得％2_3工+1=0.所以A=(—3)2-4〉0.

設°(九4，%)，則%+%4=3，退%4=1，

故忸4+(―2)2.，(W+/)2-424=非又小=5.

所以四邊形ABPQ的面積為3人斗忸@=50.

故答案為：50.

21.答案：⑴％-3y+3=0

e，部1547

(2)1=1或,=--------

-88

解析：(1)設點P關于直線/:x+y-1=0的對稱點<坐標為(。力),

6—4

.（T）=T

則有《，解得即片(-3,0),

。+18+4

--------1---------1=0

[22

7-0

直線的方程為：y-0=3(3產+3),即X—3y+3=0，

因反射光線過點2(3,2),而反射光線所在直線過點邛(-3,0)，

所以反射光線所在直線方程為x-3y+3=0.

(2)圓C：x2+y2—4x+3=0即圓C：(x―2y+y2=i的圓心為。(2,0),半徑為廠=1，

過P(l,4)點且斜率不存在的直線為％=1，顯然C(2,0)到直線％=1的距離d=l=r，故》=1滿

足題意；

設過點P(l,4)且斜率存在的直線丁=左(l-1)+4的直線與圓C：(x—2)2+丁=1相切，

則［=上坦=1,解得上止匕時所求直線為y=—"(x—1)+4,即丁=—"x+&；

VFTi88V788

綜上所述，滿足題意的切線方程為％=1或丁=—竺x+±.

88

22.答案：(1)證明見解析

(2)[12-80,+oo)

解析：(1)證明：因為A,3是兩直線與拋物線C的交點,

所以。4,的斜率均存在，且不為零,

故可設直線OA:y=kx(kw0),則直線OB:y=--x.

k

[=>王=0,x=2pk,所以A(2p匕2P左2)

由V2

同理得52P

k，

2PkT

二1

則kAB=

2PV

(》_2P左)ny=(左一：

則直線A3的方程為y—2°左2="4x+2p，

所以直線A3過定點(0,2p).

(2)因為點尸(2,1)在曲線C上，所以將點P的坐標代入曲線C的方程可得°=2,即必=4丁,

則方(0,1).

設4(%,%)，5(%,%)，由題意可知直線A3的斜率存在，則可設直線A3的方程為丁=依+乙

X4’‘得％2-4"-4,=o,貝!]/+々=4左，xx--4/,A=16(^2+?)>0.

則由＜v2

y=kx+t'7

所以科?Ffi=(%,%-1)?(9,%T)，

=(1+公)玉龍2+?—1)左(玉+為2)+?—1尸=一4/(1+左B+左?—D4左+?—I)?=0,

得左2=^(f-6z+l)>0^Z>3+272^?<3-2A/2,滿足A>0.

而點R到AB的距離d=匕*

則.宏卜+t2

所以212-80.

所以△AFB的面積的取值范圍為［12-8點,+s).

Y2

23.答案：(1)—+/=1

4

(2)平行四邊形OABC的面積為定值百

解析：⑴因為橢圓M的焦距2c=2百，所以c=6，

因為點(1,也］在橢圓”上，所以二+三=1,解得/=1,

2y+34b2

所以〃2=〃+/=4,

故橢圓M的標準方程為—+y2=l.

4'

因為四邊形。43c為平行四邊形，所以。B=QA+OC,

平行四邊形OABC的面積SOABC=2SA°AC，

設直線AC的方程為y=kx-hm(m^O),

聯立亍+V=1,消去y并整理得（1+4左2）d+8kmx+4m2-4=0,

由△=64k2m2-4（l+4F）（4m2-4）>0,整理得l+4F>m2.

設C（x2,y2）,

-8km4m2-4

則miIX]+X——,XyXy——

19-1+4左2121+442

2m

得%+為=左(/+々)+2/〃=]+4左2

—8km2m

所以OB=OA+OC=(玉+%,必+%)=

1+442'1+4左2

16k2m24m2

因為點3在橢圓〃上，則(1+442/+(1+止了二1,

所以4療=1+4左2,滿足△>(),

2

N(1+4用\m\

又點0到直線AC的距離d=例=

所以=

\m\

故平行四邊形0A3C的面積為定值石.

24.答案:⑴｛小等小厚且g

(2)k1+k2=0

解析：(1)根據題意，過點T(0,-3)的直線/的方程可設為y=6-3,

y=kx-3,

聯立