熱點04幕指對函數

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預測

2024年對數函數的定義域

2022年幕函數的反函數對數型函數過定點

熱點題型解讀

題型5對數函數的定義域遜1幕明數的概念與圖象應用

酬6對數型函數的圖象過定點題型2指數幕的

幕指對函數

轆7對數函數的單調性與最值壁3指數函數的單調性與最值

題型8反函數壁4對數的運算性質

題型1幕函數的概念與圖象應用

(1)對于賽函數圖象的掌握只要抓住在第一象限內三條線分第一象限為六個區域，即x=l,7=1,y=x所

分區域.根據a<0,0<a<l,a=l,a>l的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.

(2)在比較賽值的大小時，必須結合森值的特點，選擇適當的函數，借助其單調性進行比較.

1.(2024?崇明區二模)已知哥函數>=/(無)的圖象經過點(2,4),則/(3)=—.

【分析】設出幕函數y=/(x)的解析式，根據其圖象經過點(2,4),求函數的解析式，再計算/(3)

的值.

【解答】解：設累函數y=/(x)—xa(aeR),

其圖象經過點(2,4),

；.2。=4,

解得a=2,

(x)=/；

：.f(3)=32=9.

故答案為：9.

【點評】本題考查了求募函數的解析式以及利用函數的解析式求函數值的應用問題，是基礎題目.

I2112I

2.(2024?上海長寧?一模)已知ae卜1,-§,-§,了§,1,2,3卜函數y=x"的大致圖像如圖所示，則“=

【知識點】暴函數圖象的判斷及應用

【分析】根據圖像的對稱性，可得到函數的奇偶性；再由圖像與坐標軸的關系，即可判斷。的取值.

【詳解】因為圖像關于丁軸對稱，所以函數是偶函數；

2

又因為圖像與坐標軸無交點，所以指數。為負數.綜上所述，?=-1，

2

故答案為：

(X-1)3,0<X<2,

3.(2024?上海青浦?二模)對于函數y=/(x),其中/(x)=2，若關于x的方程〃x)=依有

一,x22

、x

兩個不同的根，則實數上的取值范圍是.

【答案】(o,￡|

【知識點】幕函數圖象的判斷及應用、根據函數零點的個數求參數范圍

【分析】將方程有兩個不同的根，轉化為函數圖象有兩個不同的交點，觀察圖象可得答案.

【詳解】將函數7=d向右平移1個單位得到y=(x-l)3,

作出函數》=/(x)的圖象如下：

要關于x的方程=區有兩個不同的根，

則函數歹=/(%)和函數歹=點有兩個不同的交點,

當歹=人:過點(2,1)時，攵=/，

所以當函數了=/(x)和函數y=履有兩個不同的交點時，。(后<g.

題型2指數幕的運算

—?

（1）指數賽的運算首先將根式、分數指數需統一為分數指數霹，以便利用法則計算，還應注意：

①必須同底數賽相乘，指數才能相加.

②運算的先后順序.

（2）運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數.

1.（2024.上海普陀?二模）若實數。，6滿足。-2障0,則2〃+好的最小值為.

【答案】2

【知識點】基本不等式求和的最小值、比較指數累的大小、指數哥的運算

【分析】由已知2。>0,*0,a-2b>0,然后利用基本不等式求解即可.

【詳解】因為2">0,不a—2b>0,

所以2°++=2。+522yp^=2LZ2"=2,

當且僅當2。=/，即。=6=0時等號成立，

所以2"+"的最小值為2.

故答案為：2.

2.（2024,上海閔行?三模）早在西元前6世紀，畢達哥拉斯學派已經知道算術中項，幾何中項以及調和中項,

畢達哥拉斯學派哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，其中算術中項，幾何中項的定義與今

天大致相同.若2"+2=1，則（4"+1）（46+1）的最小值為.

25

【答案】記

【知識點】指數暴的運算、基本不等式求積的最大值

【分析】令機=2。，〃=2J結合基本不等式可得0〈加"三，（4"+1乂4'1）可化為（""—Ip+l,求二次函

數在區間上的最小值即可.

【詳解】不妨設機=2°,n=2b,則機>0,〃>0,

所以1=加+〃22〃石，當且僅當加=〃=1■時取等號，

BP0<mz?<—,當且僅當加=〃=工時取等號，

42

所以（4"+1）（4"+1）=（加2+1）（/+1）=（加〃）2+加2+〃2+]=（加〃）2+（加+〃）2_2mn+|

={mn^—2mn+2=（mn-1）2+1,（0<mn-）

所以當加”;時，（平++1）取得最小值II.

25

故答案為：

16

題型3指數函數的單調性與最值

------------------------------------------------------------------------------------------------------J

00后0

⑴利用指數函數的性質比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間

量.

⑵求解與指數函數有關的復合函數問題，要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區間、最值等問題時，

要借助“同增異減”這一性質分析判斷.

1.（2024?上海嘉定?一模）已知。為正數，則"。>3"是〃的（

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【答案】A

【知識點】判斷命題的充分不必要條件、判斷指數函數的單調性

【分析】根據給定條件，當。>3時，利用指數函數的單調性即可判斷，當屋時，分類討論，最后利用

充分條件、必要條件的定義判斷作答.

【詳解】當。>3時，所以丁=優為增函數，所以

當時，當時，則a>3,當0<a<l時，則a<3,此時0<a<l；

所以"a>3"是"廢>/〃的充分非必要條件.

故選：A.

2.（2024?上海閔行?一模）下列函數中，在區間（。,+8）上是嚴格減函數的為（）

11

A._?2B.j=—：—C.y=21D.y=lg|x|

y_xx2+i

【答案】B

【知識點】判斷指數函數的單調性、研究對數函數的單調性、判斷一般基函數的單調性、根據解析式直接

判斷函數的單調性

【分析】利用解析式直接判斷各選項中函數在（0,+8）上的單調性即可.

【詳解】對于A,函數了=?在（°，+8）上是嚴格增函數，A不是；

對于B,函數了在（0,+8）上是嚴格減函數，B是；

X+1

對于C,函數》=2,在（0,+8）上是嚴格增函數，C不是；

對于D,當x＞0時，＞=啕劃=恒工在（0,+00）上是嚴格增函數，D不是.

故選：B.

n

3.（2024?浦東新區校級四模）設力＞0,"＞0,若直線I：+5y=2過曲線y=〃-l+l（。＞0,且a=l）

11

的定點，則一+一的最小值為

mn---

【分析】根據指數的運算性質，結合基本不等式進行求解即可.

【解答】解：因為曲線y=/7+l過定點（1,2）,

m+n

所以加+〃=2,即---=l（m＞0,幾＞0）,

1111m+n1nm1r.一—1

則盛+:=（羌+3.h=5（1+1+/+刀25＞＜（2+23布.方）=5'（2+2）=2，

nm

當且僅當/=即冽=〃=1時取“=”，

11

所以一m+一n的最小值為2.

故答案為：2.

【點評】本題考查了指數的運算性質和基本不等式應用問題，是基礎題.

4.（2023?上海浦東新?二模）已知數列｛%｝是首項為9,公比為;的等比數列.

11111,,一

（）求—+―+—+—+—的值；

1a

%a2a3&s

（2）設數列｛logs"｝的前"項和為S“，求S”的最大值，并指出S“取最大值時”的取值.

【答案】⑴1祟21

（2）當〃=2或3時，，取得最大值3

【知識點】求等比數列前n項和、等比數列通項公式的基本量計算、求等差數列前n項和的最值、對數的

運算性質的應用

【分析】(1)求出等比數列的通項公式，由等比數列的前"項和求解即可；

(2)記“fog、％,由(1)知”=3-〃，由等差數列的前力項和求出S“，由二次函數的性質即可求出答

案.

I1,

【詳解】⑴由題%=96嚴=3”,則7=3"、

=3^+3-1+1+3+32=—

%a2a3a4a59

(2)記”=log3%,由(1)知b〃=3—幾，

二匚I、12+(3—〃)512

所以凡c=----

S=—%竺,

〃22228

當〃=2或3時，S”取得最大值3.

5.(2024?上海黃浦?二模)設。eR,函數〃x)=-----.

2X-1

(1)求。的值，使得了=/(x)為奇函數；

(2)若/(2)=a,求滿足＞a的實數x的取值范圍.

【答案】(1)"=1

(2)(0,2)

【知識點】由指數函數的單調性解不等式、由奇偶性求參數

【分析】(1)由奇函數的性質可得=⑴，代入解方程即可得出答案;

X

(2)由/(2)=a,可得。=2,則2二+上2＞2,由指數函數的單調性解不等式即可得出答案.

2X-1

【詳解】(1)由f(x)為奇函數，可知〃-1)=-7'⑴，

即—(1+2a)=—(2+a),解得”=1,

當a=1時，/(%)=-—,/(-%)=——=--=—/(x)對一切非零實數x恒成立,

2'—12*—11—2,

故a=l時，y=/(x)為奇函數.

(2)由/(2)=a,可得44-<=。，解得a=2,

+7?x-4-

所以/(x)>a=----->2=-----<0=1<2*<4

2X-12X-1

解得：0<x<2,所以滿足〃尤)>。的實數x的取值范圍是(0,2).

題型4對數的運算性質

0o日e

解決對數運算問題的常用方法

（1）將真數化為底數的指數賽的形式進行化簡.

⑵將同底對數的和、差、倍合并.

（3）利用換底公式將不同底的對數式轉化成同底的對數式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應用.

二-----1-

1.（2024?奉賢區二模）若1g2=a,1g,=6,則/g98=.（結果用a,6的代數式表示）

【分析】由已知結合對數的運算性質即可求解.

1

【解答】解：若lg2=a,lff^=b,

則/g7=-b,

貝/g98=7g2+2/g7=a-2b.

故答案為:a-2b.

【點評】本題主要考查了對數的運算性質，屬于基礎題.

,11

2.（2024?長寧區二模）若3a=2占=6,則一+7=

ab

【分析】由已知結合指數與對數的轉化公式及對數的運算性質即可求解.

【解答】解：若3。=2'=6,則a=log36,&=log26,

11

%+石=log63+log62=log66=1.

故答案為：1.

【點評】本題主要考查了指數與對數的轉化及對數的換底公式及運算性質的應用，屬于基礎題.

ab

3.（2024?寶山區校級四模）已知正實數a、b^^logab+logba=-|,a=b,則q+b=.

【分析】由已知結合對數的運算性質可得/b的關系，然后結合指數塞的運算性質即可求解.

、51

【解答】解：因為正頭數〃、b滿足log/+/ogm=]=log/+/Oga》，

一1

解得，log，=2或log）=

所以或a=b2,

當b=a1時，aa=bb-a2a之，

c113

所以2a2=q,gp,b=—,a+b=7,

113

當a=y時，aa=bb=b2t）2即b〃=T，a+b="7，

N44

3

則a+b=7.

4

3

故答案為：T.

【點評】本題主要考查了指數及對數的運算性質，屬于基礎題.

4.(2024?浦東新區校級模擬)函數/(x)=log2(2x)4og8(8x)的最小值為.

【分析】利用對數的運算性質化簡，換元后再由二次函數求最值.

【解答】解：函數的定義域為(0,+8),

1

,

f(x)=log2(2x)log8(8x)=(l+log2x)(1+-log2x)

174

=-(log2xy+-log2x+l,

令％=log2X,則正R,

1o4

原函數化為g(力=+-t+1,

141

則當/=-2時，g⑺有最小值為4+§x(-2)+1=

1

故答案為：-

【點評】本題考查導數的運算性質，訓練了利用換元法及二次函數求最值，是基礎題.

5.(2024?上海嘉定?模擬預測)已知函數/(%)=|1%工|,若。<6,且/(〃)=/(6),則〃+2〃的取值范圍是.

【答案】(3,+8)

【知識點】對數的運算、對數函數圖象的應用、基本不等式求和的最小值

2

【分析】畫出/(x)=|log3x|的圖象，數形結合可得0<a<1]>1,ab=l,故a+26=a+—,然后利用對勾

a

函數的單調性即可求出答案.

因為0<Q<6且/(a)=/(b),所以|log3al=|log3。且

2

所以一Iog3a=log3b,所以。6=1,故。+26=。+—，

a

22

由對勾函數y=—在(0,1)上單調遞減，所以a+2b=ad—>1+2=3,

xa

所以〃+2方的取值范圍是(3,+8).

故答案為：(3,+“)

6.（2023?上海浦東新?二模）已知數列｛%｝是首項為9,公比為;的等比數列.

11111

（1）求一+—+—+—+—的值；

aa

axa2%4s

⑵設數列｛logsg｝的前"項和為S,,求S”的最大值，并指出S“取最大值時〃的取值.

【答案】⑴1祟21

（2）當"=2或3時，S”取得最大值3

【知識點】求等比數列前n項和、等比數列通項公式的基本量計算、求等差數列前n項和的最值、對數的

運算性質的應用

【分析】（1）求出等比數列的通項公式，由等比數列的前〃項和求解即可；

（2）記由（1）知”=3-〃，由等差數列的前”項和求出S.，由二次函數的性質即可求出答

案.

【詳解】⑴由題%=9?《尸=廣”，則;=3"\

a

3n

=3-2+3-1+1+3+32=—

Cl-yd?^^4^59

(2)記"=1083%,由(1)知6〃=3-幾，

二匚［、［02+(3—〃)512

所以S,=------------n=-n--n

邑=3二二=」(〃一與+”,

22228

當〃=2或3時，S〃取得最大值3.

題型5對數函數的定義域

1.（2024?上海）log?x的定義域.

【分析】結合對數函數真數的性質，即可求解.

【解答】解：log）的定義域為（0,+oo）.

故答案為：（0,+8）.

【點評】本題主要考查對數函數定義域的求解，屬于基礎題.

2+x

2.（2024?金山區二模）函數y=log2匚^的定義域是.

【分析】根據函數的解析式，列出使解析式有意義的不等式，求出解集即可.

24-x

【解答】解：丫=1。92匚.

則；一>0,解得-2<無<1,

1—X

故函數y的定義域為(-2,1).

故答案為：(-2,1).

【點評】本題考查了求函數定義域的問題，解題時應求出使函數有意義的自變量的取值范圍，是基礎題

目.

3.(2024?上海虹口?一模)函數y=ln——的定義域是_____.

x-1

【答案】(一8,0)口(1,+8)

【知識點】求對數型復合函數的定義域

【分析】由對數函數的定義可得」7>0,解不等式即可得出答案.

x-1

【詳解】函數y=ln上的定義域是上；〉。，

x-1X-1

所以x(x-l)>0,解得：X>1或x<0.

所以函數的定義域為：(-co,0)u(l,+co).

故答案為：(-00,0)<J(1,4-00).

2+x

4.(2024?上海徐匯?二模)己知函數丁=/(x),其中/(x)=logi口■.

⑴求證:丁=/(乃是奇函數；

(2)若關于x的方程“X)=四工(X+左)在區間［3,4］上有解，求實數上的取值范圍.

2

【答案】①證明見解析

⑵［T2］

【知識點】函數奇偶性的定義與判斷、求對數型復合函數的定義域、根據函數零點的個數求參數范圍

【分析】(1)結合奇偶性的定義以及對數函數運算法則即可得證；

(2)分離參數，將原問題等價轉換為左=±7+1在［3,4］上有解，由此轉換為求函數值域問題.

x—2

2+Y

【詳解】(1)函數片1叫三的定義域為0=(-8,-2)52,+8),

在。中任取一個實數x,都有-xe。，M/(-%)=logt=logt=logtf］=-/?.

2-x-2］%+2y—

2+x

因此，V=logi1是奇函數.

2x—2

(2)/(尤)=1。82(苫+左)等價于》+/=葉2即左=讓2-工=/--》+1在［3,4］上有解.

2x-2x-2x-2

4「i

記g(x)=」\-x+l,因為g(x)在［3,4］上為嚴格減函數，

x—2

所以，gOOmax=gG)=2,g(X)mM=g(4)=-1,

故g(X)的值域為［-1,2］,因此，實數上的取值范圍為［T2］.

題型6對數型函數的圖象過定點

對數函數圖象的識別及應用方法

(1)在識別函數圖象時，要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最

低點等)排除不符合要求的選項.

(2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解.

1.(2024?上海虹口?一模)設。>0且"1,則函數y=2+log戶的圖像恒過的定點坐標為

【答案】(1,2)

【知識點】對數型函數圖象過定點問題

【分析】令x=l,求得了=2恒成立，進而得到函數恒過定點，得到答案.

【詳解】令x=l,可得y=2+log“l=2恒成立，

所以函數>=2+log,x的圖象恒過定點(1,2).

故答案為：(1,2).

2.(2024?上海普陀?模擬預測)函數y=log"(x+2)-l(a>0,且。片1)的圖像恒過定點，，若點/在直線

〃江+即+2=0上，其中機>0,?>0,貝!］,+工的最小值為.

mn

【答案】2

【知識點】對數型函數圖象過定點問題、基本不等式"1"的妙用求最值

【分析】先由題意結合iog(,i=0求出點a進而由點/在直線上得加+〃=2,再結合基本不等式常數"1"的

妙用即可求解.

【詳解】因為log“l=0,所以函數》=1。8。(》+2)-1(0>0且。片1)的圖象恒過定點(-1,-1),

即^(-1,-1),

又點N在直線加x+"V+2=0上,故機+〃=2,

,,c八11(1I、、1(n加、1/八入M晟)一

又加所以一+一=一一+一(加+〃)=—2+—+—>—2+2、-X—=2,

mn2\mn)2(mnJ2(Vmn,

當且僅當己='即加="=1時等號成立,

mn

所以--H—的最小值為2.

mn

故答案為：2.

3.(2023?上海?模擬預測)已知/(x)=怎ln(l+x).記g(x)=W(ox),其中常數加，a>0.

(1)證明：對任意加，a>0,曲線>=g(x)過定點；

(2)證明：對任意s,t>0,/(s+/)>/(s)+/(。；

⑶若對一切x21和一切使得g⑴=1的函數y=g(x),yN/bc恒成立，求實數4的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

⑶(f1].

【知識點】利用導數研究不等式恒成立問題、利用導數證明不等式、函數單調性、極值與最值的綜合應用、

對數型函數圖象過定點問題

【分析】(1)常數加，°>0,當x=0時，g(0)=W(0)=0,故曲線>=g(x)過原點.

(2)"0)=0,由〃s+，)>/(s)+/0等價于〃s+。一〃s)>/(。一”0),用作差法構造函數

A(x)=/(x+z)-/(x),對函數〃(x)進行求導,判斷函數〃(力的單調性,得力(可>〃(0)=0,從而可得證.

2〃

(3)用作差法證明對數平均不等式，函數歹=ln(l+〃)-一,通過求導和基本不等式可得出歹20,得出結

論；

【詳解】(1)g(o)=可'(0)=0,故曲線y=g(x)過原點.

(2)當尤=0時,/(0)=0,故++等價于〃s+/)-—

考慮/z(x)=f+.貝I]h\x)=QX+,^ln(l+x+Z)+-1—e*(ln(l+x)+^—].

令尸e'-(l+0，_/=S-l,

當f>0時，e'>1,所以y'=e'>0,尸e'-(1+f)在(0,+s)單調遞增，y>y\t=0=e°-0-1=0,

所以夕=e'-(l+f)>0,gpe'>l+t,

所以e‘卜11(1+x+t}-\----——|>(1+?)ln(l+x+f)H———>ln(l+x)H———,

I1+x+)1+x+El+x+,

而xNO,且，〉0時，------>----,

l+x+/1+x

故〃(x)>0,函數>=力(尤)在[0,+動上嚴格增.

因此當x>0時，〃(尤)>%(0)=0.特別地,〃s+f)-〃s)>〃。一/⑼.證畢.

2〃

(3)首先證明對數平均不等式：當〃之0時，ln(l+w)>-—.

2+〃

147/2

考慮函數y=ln(l+〃)-J-,則——-一~~^>0,等號成立當且僅當0=0.

2+〃1+〃(2+〃)(1+〃)(2+〃)

2〃

故當〃之0時，ln(l+w)--------->0.

2+u

因為g(l)=l,所以由g(l)N彳/得2WL

下證當241時，yN/lx對任意X21和一切使得g⑴=1的函數y=g(x)成立.

由題意，l=g6=me"ln(l+a),故加=”1：-----

令左=加。ln(l+a),考慮函數y=e"ln(l+ax)-kx.

貝Uyr=ae"|ln(l+ax)+-~--)-A:>qe"|ln(l+ax)+----|-ealn(l+a).

I\+ax)I\+ax)

當a〉0且時，辦〉0.由對數平均不等式，ln(l+^)>^->-^.

2+ax\+ax

故V2aeax|ln(l+ax)+—-—\-ealn(l+a)>aea-ealn(l+a)>0,

I\+ax)

從而函數〉=e"1n(l+ax)一依在［l,+8)上嚴格增，得y20,即證.

綜上，所求范圍為(-8』.

【點睛】關鍵點睛：用作差法構造函數和對數平均不等式是解題的關鍵，通過求出構造函數的單調性討論

及最值，從而得出結論，考查分類討論思想，整體思想，屬于較難題.

題型7對數函數的單調性與最值

|一?.④.一一一

求與對數函數有關的函數值域和復合函數的單調性問題，必須弄清三個問題：一是定義域；二是底數與1

的大小關系；三是復合函數的構成.

1.(2024?寶山區二模)已知a>6>0,貝!|()

A.a2>b2B.2a<2b

ii

C.a7<b^D.logia>logib

22

【分析】根據已知條件，結合不等式的性質，以及函數單調性，即可求解.

【解答］解：a>b>Q,

則/〉廬，故/正確；

2a>2"故8錯誤；

11

至＞成，故C錯誤；

logia＜logib^故。錯誤.

22

故選：A.

【點評】本題主要考查不等式的性質，以及函數單調性，屬于基礎題.

2.（2024?上海?三模）不等式lg（x+l）＞l的解集為.

【答案】（9,+8）

【知識點】由對數函數的單調性解不等式

【分析】利用對數函數單調性求出不等式的解集.

【詳解】由不等式+得x+l＞10,解得x＞9,

所以不等式電仃+1）＞1的解集為（9,+8）.

故答案為：（9,+勸

3.（2024上海?模擬預測）設集合4=上｝=五京右｝,8=伸。83（X-1）＜1｝,則.

【答案】。,2]

【知識點】由對數函數的單調性解不等式、交集的概念及運算

【分析】求1=J-X2+4X的值域得到集合A,解不等式1唱（》-1）＜1得到集合B,再求交集即可.

【詳解】當x=2時，--+以有最大值4,所以4+4尤e[0,4],

尸J*+4xe[0,2],所以/=[0,2],

logs等價于logs（x-l）＜logs3,則0＜x-l＜3,

xe（l,4）,所以3=（1,4）,故/口3=（1,2].

故答案為：（1,2].

4.（2024?上海?模擬預測）函數/口）=1。82（2打唾8（8X）的最小值為.

【答案】-:

【知識點】求對數函數的最值、求對數型復合函數的值域

【分析】根據對數的運算性質將函數化簡為/（x）=?log2X+2）2-;，再結合二次函數的性質計算可得.

［詳解)因為/(X)=log2(2x)-log8(8x)=(log22+log2x)?(log88+log8x)

=(1+log2x)fl+|log2x

2

=|(^2^)+11082^+1

2

=1(log2x+2)-1,

當log2A-2,即x=：時，〃x)取到最小值，且/⑺而廣一.

故答案為：

5.(2024?上海靜安,一模)已知1%1酩、1酩、贖4、1酩是從大到小連續的正整數，且(1酩『<1阱?1聯，則X]

的最小值為.

【答案】100000

【知識點】由對數函數的單調性解不等式

【分析】令lgX3=%,根據給定信息列出不等式，求出左的范圍即可得解.

【詳解】設lg》3=尼左?N*,依題意，lgXi="+2,lgX4=，T』gX5=L-2,k>3,

/93

由(IgxjJg%，得(左-1)2<(左+2)(左-2),解得左>],因此人23,

則1g無125,Xj>100000,所以外的最小值為100000.

故答案為：100000

6.(2024?上海青浦?二模)己知〃x)=lgx-l,g(x)=lgx-3,若|〃x)|+|g(x)|=|/(x)+g(尤)|,則滿足條

件的x的取值范圍是.

【答案】(0,10]U[1000,+8)；

【知識點】由對數函數的單調性解不等式、分類討論證明絕對值不等式、對數的運算

【分析】由絕對值等式可知/(x)g(x”0,代入函數后解不等式再結合對數的運算和取值范圍求出結果即

可.

【詳解】因為|/(x)|+|g(x)|=|/(x)+g(x)|,

所以〃x)g(x"0,BP(lgx-l)(lgx-3)>0,

解得IgxWl或lgxN3,

所以x的取值范圍是(o』o]U[iooo,+8),

故答案為:(0,10]U[1000,+oo).

7.(2025?上海?模擬預測)己知函數>=/(x)的定義域是。.對于/e。，定義集合S4)=卜|/(同2/(3.

S

(l)/(x)=log2x,求f(l6)；

⑵對于集合A,若對任意xe/都有-xeN,則稱A是對稱集.若。是對稱集，證明："函數/=/(》)是偶函

數”的充要條件是"對任意teD,S.是對稱集"；

⑶若xeR,〃x)=e—4加/.求優的取值范圍，使得對于任意「<馬e。，都有$%)=$%).

【答案】⑴{無|尤216}

⑵證明見詳解

⑶[0，e]

【知識點】函數奇偶性的定義與判斷、由函數在區間上的單調性求參數、由對數函數的單調性解不等式、

集合新定義

【分析】(1)根據對數函數的單調性即可求解；

(2)根據偶函數的定義和對稱集的定義即可證明必要性和充分性；

(3)根據定義判斷出函數單調不減，得到導函數大于等于。恒成立即可求解.

【詳解】(1)由定義得，5/(16)={x|/(x)>/(16)}={x|log2x>log216)={x|x>16}.

(2)證明：

必要性：因為函數>=/(x)是偶函數，所以對任意尤e。，/(x)=/(-x),

對任意若f”G即則=

所以-xeS/0,所以對任意fe。，S/(,)是對稱集.

充分性：若對任意除。，當(,)是對稱集，

因為對任意fe。，所以TeS/(,),即/(T)之/⑴①，

又一小邑㈠，所以，eS/一)，即②.

由①②得，對任意fe。，/。)=/(-4，

所以函數y=/(x)是偶函數.

綜上，"函數>=/(x)是偶函數”的充要條件是"對任意te。，S/(,)是對稱集"，得證.

(3)因為對于任意ta與e。，都有斗⑹

所以若xeS/?,則xeS禽),即若則

所以所以/(X)在R上單調不減，

所以對任意xeR,/〈x)=e，-mxNO恒成立.

當x=O時，顯然成立，meR；

當x>0時，加《《恒成立，令g(x)=g，g,xU，

XXX

所以g(x)在(0,1)單調遞減,(1,+8)單調遞增,所以加Vg(x)mm=g6=e；

當x<0時，加恒成立，此時<0

因為g(x)在(-8,0)上單調遞減，當X-—8時，g(x)f0,g(x)<0,

x<0,xf0時，g(x)f-co,

所以加20；

綜上，we[0,e].

【點睛】關鍵點點睛：函數在區間上單調不減等價于導函數在區間上大于等于0恒成立.

題型8反函數

1.(2022?上海)設函薪〃無)=X3而彘薪其廣(x),則尸(27)=.

【分析】直接利用反函數的定義求出函數的關系式，進一步求出函數的值.

【解答】解：函數〃x)=x3的反函數為7一(X),

整理得廣(x)=加；

所以廣(27)=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查的知識要點：反函數的定義和性質，主要考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于基

礎題.

2.(2023?浦東新區校級一模)設函數y=/(x)=2工+<?的圖象經過點(2,5),則y=/(x)的反函數

(%)=.

【分析】由/(2)=5,解得c=l,得y=/(x)=2X+1,然后反解x后，對調x與/(x)可得.

【解答】解：依題意有：/(2)=22+C=5,解得：C=1,所以/(x)=2X+1,

.'.2x—f(X)-1,X=log2(/(x)-1),'.f1(x)=log2(X-1)

故答案為：log2(X-1)

【點評】本題考查了反函數.屬基礎題.

限時提升練

(建議用時：60分鐘)

一、單選題

1.(2024?上海寶山?一模)下列函數中，在區間(0,+8)上是嚴格增函數且存在零點的是()

A.y=exB.y=s[x+2

C.V=Tog[D.y=(x-2)2

【答案】C

【知識點】判斷指數函數的單調性、研究對數函數的單調性、判斷一般哥函數的單調性、求函數的零點

【分析】根據函數的零點為方程的根，結合解析式判斷函數的單調性，即可得答案.

【詳解】對于A：因為y=e￡＞0,所以不存在零點，故A錯誤；

對于B：令＞=?+2=0n6=-2沒有實數解，所以不存在零點，故B錯誤;

對于C：令夕=-1。8產=0=工=1,所以零點為1,又因為y=-logy=log2x,

22

所以＞=Tog『在(0,+劃為增函數，故c正確；

對于D：尸(x-2『在(2,+8)單調遞增，在(-8,2)單調遞減,故D錯誤.

故選：C.

2.(2024?上海徐匯?二模)在下列函數中，值域為R的偶函數是()

xx3

A.y-x3B.y=lg|x|C.y=Q+eD.y=xcosx

【答案】B

【知識點】基本不等式求和的最小值、求對數型復合函數的值域、函數奇偶性的定義與判斷

【分析】根據函數的奇偶性的定義判斷，利用對數函數性質和基本不等式確定偶函數的值域.

【詳解】ACD三個選項中函數定義域是R,

函數了=lg|x|的定義域是{x|x*0},lgf|=lg|x|,y=lg|x|為偶函數，由對數函數性質知其值域為R,B符

合；

(-X)3=-?大?止匕/'3，Ad彳寸，

e-'+e—s)=er+eX=e'+eT,因此y=1+?一、是偶函數，但-=?-2點.《-"=2,當且僅當x=0時取

等號，因此函數值域不是R,C不符；

(-x)3cos(-x)=-x3cosX,y=/cosx是奇函數，D不符.

故選：B.

3.(2025?上海?模擬預測)塞函數尸上在(0,+")上是嚴格減函數,且經過則。的值可能是().

211

A.—B.—C.-D.3

333

【答案】B

【知識點】指數塞的化簡、求值、由塞函數的單調性求參數

【分析】根據嘉函數的單調性可排除C和D；根據基函數過點可排除A.

【詳解】因為嘉函數,v=x"在(0,+8)上是嚴格減函數，所以。＜0,故C錯誤，D錯誤；

22

對于A,若。=一§,則y=/w，當％=-1時1

所以塞函數y=X9過點(一LD，故A錯誤;

對于B,若<2=-，，則?=尸，當x=-l時，，=(T)3=^一口=—1,

3V-x(-1)3

所以暴函數>=；3過點(T,-l),故B正確.

故選：B.

4.(2024?上海閔行?二模)已知y=/(x),xeR為奇函數，當x>0時，/(x)=log2x-l,則集合

｛x"(-x)-/(x)<0｝可表示為()

A.(2,+oo)B.(-<?,-2)

C.(-S,-2)U(2,+8)D.(-2,0)U(2,+?)

【答案】D

【知識點】由對數函數的單調性解不等式、由奇偶性求函數解析式

【分析】利用函數奇偶性可得不等式/■(-x)-/(x)<0等價于〃尤)>0,再求出函數解析式，利用對數函數單

調性解不等式可得結果.

【詳解】因為了=/(x)為奇函數，所以解-X)-"x)<0等價于-2〃尤)<0,BP/(x)>0;

當x>0時，/(x)=log2x-l,gp/(x)=log2x-l>0,解得x>2；

當x<0時，-x>0,nJf(-x)=-f(x)=log2(-x)-1,所以〃x)=l-log2(-x),

解不等式/(x)=l-bg2(-x)>0,可得-2<x<0,

綜上可得集合｛xI〃-尤)-〃x)<0｝可表示為(-2,0)U(2,+8).

故選：D

5.(2024?上海靜安?一模)污水處理廠通過清除污水中的污染物獲得清潔用水并生產肥料.該廠的污水處理裝

置每小時從處理池清除掉12%的污染殘留物.要使處理池中的污染物水平降到最初的10%,大約需要的時間

為()(參考數據：lg0.88y-0.0555)

A.14小時B.18小時C.20小時D.24小時

【答案】B

【知識點】指數函數模型的應用(1)、指數式與對數式的互化、運用換底公式化簡計算

【分析】分析可知，/小時后，處理池中的殘留物為“1-12%)’，根據題意可得出關于/的等式，解之即可.

【詳解】設處理池中的殘留物初始時為。，則》小時后，處理池中的殘留物為

根據題意可得“(1-0.12)'=0.1°,即0.88'=0.1,解得，Togo.88°」=空與-18.

因此，要使處理池中的污染物水平降到最初的10%,大約需要的時間為18小時.

故選：B.

6.(2024?上海青浦?一模)對于數列｛%｝,設數列｛%｝的前"項和為S“，給出下列兩個命題:①存在函數

y=/(x),使得S“=/(a”)：②存在函數N=g(x),使得"=g(a").則①是②的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【知識點】判斷命題的必要不充分條件、函數關系的判斷、反函數的性質應用、數列的概念及辨析

【分析】取特例可知①推不出②，根據反函數可知滿足②能推出①，結合充分條件、必要條件的概念得

解.

【詳解】取s.=%=o,存在y=/(x)=o,使得成立，

此時由函數定義知，不存在函數y=g(x),使得"=g(a“)，

當存在函數y=g(x),使得〃=g(a.)成立時，

由于"與凡為一一對應關系，所以巴就可以寫成y=g(x)的反函數，

即％可以用”表示，即存在函數%=gT("),

所以存在S“=帥)=/(%)=/{gT(")}，

綜上可知，①是②的必要不充分條件.

故選：B

【點睛】關鍵點點睛：對于新概念問題需要去理解，本題理解了之后，可以根據函數的概念去判斷

①②之間的推出關系得解.

二、填空題

7.(2024?上海?模擬預測)函數V=bg/的定義域為.

【答案】(。,+⑹

【知識點】具體函數的定義域、求對數函數的定義域

【分析】由對數函數性質即可得.

【詳解】由題意可得x>0,即>=logzx的定義域為(0,+s).

故答案為：(0,+°0).

8.(2024?上海嘉定?一模)函數y=log2(>2T)的定