專題05靜態平衡模型

模型講解

1.平衡狀態：物體靜止、做勻速直線運動或緩慢運動。

2.平衡條件：/舍=0或用=0,3=0。

3.求解共點力平衡問題的常用方法

(1)合成法：一個力與其余所有力的合力等大反向，常用于非共線三力平衡。

幾種特殊情況的共點力的合成

類型作圖合力的計算

F------,F

兩力互ir

相垂直tan0=-

U12尸2

片

尸=2771cos—

兩力等大，2

夾角為。F與Fi夾角為《

F產片2

F

兩力等大，夾角為F'=F

120°尸與尸夾角為60。

F

(2)正交分解法：￡仔=0,3臺=0,常用于多力平衡。

(3)矢量三角形法，把表示三個力的有向線段構成一個閉合的三角形，常用于非特殊角的一般三角形。

(3)相似三角形法

(4)拉密定理(正弦定理)

(5)解析法

4.常見的平衡類型

類型一：三力平衡，其中有兩個力互相垂直，且角度均已知：優先考慮力的合成法

類型二：三力平衡，不存在垂直關系，但角度已知：優先考慮拉密定理或正交分解

1

類型三：多力平衡:優先考慮正交分解或轉化為三力平衡

類型四：多體平衡：考慮整體法隔離法與其他解決平衡的方法結合

【例1】掛燈籠是我國傳統文化，人們用來表達喜慶。如圖所示，一小燈籠用輕繩連接并懸掛在。點，在

穩定水平風力作用下發生傾斜，燈籠穩定時，輕繩與豎直方向的夾角為37。，設燈籠的質量為0.2kg。(sin37°

=0.6,cos370=0.8,g取10m/s2)

(D燈籠受到幾個力的作用？請作出燈籠的受力示意圖；

(2)求水平風力/和懸繩拉力T的大小；

(3)若風力增大，試分析輕繩與豎直方向夾角、輕繩拉力大小分別會怎樣變化。

2

【答案】(1)3個力,(2)F=1.5N,T=2.5N

(3)輕繩與豎直方向夾角處曾大，輕繩拉力T增大

【詳解】(1)燈籠的受力示意圖如下所示，燈籠受到重力mg、水平風力廠和懸繩拉力T,共3個力作用。

F=mgtan37°=1.5N

(3)設輕繩與豎直方向夾角為仇由平衡條件得

3

F=mgtanO,T="喈

cos6

可知，當水平風力尸增大，輕繩與豎直方向夾角0增大，則輕繩拉力7增大。

［例2］如圖所示，P、Q兩球通過兩根長度均為I的不可伸長的細線懸掛(小球的直徑遠小于細線的長度)。

整個裝置處于風洞實驗室中，風對兩個球產生大小相等、方向水平向右的恒定風力。系統靜止時，兩根細

線偏離豎直方向的角度分別為30。和60。，已知Q小球的質量為小，重力加速度為g,不計風對細線的作用

(1)求Q球所受風力的大小;

(2)P球的質量。

【答案】(1)百加8(2)5加

【詳解】(1)對Q受力分析，如圖所示

1m

根據幾何關系可得

/風=mgtan60°=\[3mg

(2)對PQ整體受力分析，如圖所示

4

根據幾何關系可得

2/=(m+mp)gtan30°

解得

mp=5m

【例3】.如圖所示，用跨過定滑輪的輕質細繩相連的A、B兩物塊處于靜止狀態，在水平面上的A物塊的

質量為4kg,B物塊的質量為1kg,繩與水平面夾角6=30。，滑輪的摩擦不計，求：地面對物體A的支持力

和摩擦力。g=10m/s2

【答案】"=35N,耳=5限

【詳解】對A豎直方向根據平衡條件得

■+京sin30°=%g

對B根據平衡條件得

耳=mB§

解得

氏=35N

物塊A受到的摩擦力為

耳=Kcos300=5百N

5

▼加Ag

【例4】.如圖所示，放在粗糙水平面上的物塊/和懸掛的物塊3均處于靜止狀態，繩/C水平，勁度系數

為左=300N/m的輕彈簧中軸線CD與水平方向的夾角a=37。，彈簧伸長量為x=10cm。求：

(sin37°=0.6,cos37°=0.8)

(1)物塊N受到的摩擦力大小:

⑵物塊2的重力大小。

【答案】⑴24N(2)18N

【詳解】(1)由胡克定律得

FCD=kx=30N

對C點受力平衡有

FAC=FCDCOSa=24N

對/物體受力平衡有

故

/=24N

(2)對C點受力平衡有

FBC=FCD-sma

FBC=GB

6

解得

GB=18N

【例5】如圖所示，質量分別為外和加2的兩個小球A、B都套在一個豎直大圓環上，大圓環固定在地面上。

長為工的細繩的兩端分別拴在小球A、B上，然后將細繩繞過小滑輪。'，。'位于大圓環環心。的正上方。

所有摩擦都不計，當它們都靜止時，求:

(1)大圓環對A、B的作用力之比今

NB

(2)/。'段繩長。

【答案】(1)—⑵一

m2+m2

【詳解】(1)設大圓環半徑為R,OO'距離為/?,A、B都處于靜止狀態，對小球A、B進行受力分析，A、

B分別所受的三個力，平移后均構成一個閉合三角形，如圖所示。

由相似三角形對應邊成比例可得

N^=R=NB_

叫ghm2g

則

名一叫

NB%

(2)由相似三角形對應邊成比例可得

AO'

叫g丁

7

TBO'

m2gh

解得

AO'=W?2L

綜合應用

一、單選題

1.如圖所示，一個半球形的碗放在桌面上，碗口水平，。點為其球心，碗的內表面及碗口是光滑的。一根

細線跨在碗口上，線的兩端分別系有質量為沖和加2的小球，當它們處于平衡狀態時，質量為他/的小球與

。點的連線與水平面的夾角a=60。，則兩小球的質量之比四為（）

【答案】C

【詳解】對小球小受力分析，受重力%g和細線拉力F,由于二力平衡，由平衡條件可得

F'=m2g

對小球小受力分析，如圖所示，由幾何關系可知，力歹與x軸的夾角為60。，由共點力平衡條件可得，在x

軸方向則有

Fcos60°-Ncos60°=0

在y軸方向則有

8

Fsin60°+Nsin60°-n\g=Q

由牛頓第三定律可知，尸與尸大小相等，方向相反。聯立以上各式解得

m2

mt3

故選C。

2.如圖所示，用三根相同細線°、6、c將重力均為G的兩個燈籠1和2懸掛起來。兩燈籠靜止時，細線a

與豎直方向的夾角為30。，細線c水平。則（）

A.。中的拉力大小為UG

3

B.c中的拉力大小為1G

C.6中的拉力小于c中的拉力

D.只增加燈籠2的質量，b最先斷

【答案】A

【詳解】AB.將兩小球看作一個整體，對整體受力分析，如圖所示

Fa

且cos30°=2G,sin300=Fc

解得

9

述G,F2

Fa=

故A正確，B錯誤;

C.對2小球隔離分析，利用平衡條件可得

6=w+岑=斗>一與G

故C錯誤；

D.三根相同細線a、b、c的拉力大小關系為

標「、口

FF4626

a=^-G>Fb=-G>Fc=-^G

因三根相同細線所能承受的最大拉力相同，故只增加燈籠2的質量，由上可知，a最先斷，故D錯誤。

故選Ao

3.春節掛燈籠的習俗起源于1800多年前的西漢時期，人們掛起燈籠來營造一種喜慶的氛圍。如圖所示,

由五根等長的輕質細繩懸掛起四個質量相等的燈籠，中間的細繩是水平的，另外四根細繩與水平天花板面

所成的角分別為4=60。和。2（未知）。設懸掛在天花板處繩子的拉力大小為《，水平段繩子的拉力大小為鳥,

每個燈籠的質量為相，重力加速度為g,下列關系式中正確的是（）

【答案】A

【詳解】對左邊兩個燈籠整體受力分析，如答圖所示。

10

Fxcosq=F2

Fxsin4=2mg

解得

口4A/3

F!=?一機g

12A/3

FFi=-FFi=—mg

故選Ao

4.用兩個相同的足夠大的水平力F將2016個完全相同的木塊夾在兩個相同的豎直木板之間，所有木塊都

如圖所示保持靜止狀態，每個木塊的質量都為小，則編號2015和2016號木塊之間的摩擦力的大小為（木塊

A.mgB.1007mgC.1008冽gD.2016mg

【答案】B

【詳解】將2016個木塊看成一個整體，對整體進行受力分析，在豎直方向，共受到三個力的作用，分別為

豎直向下的重力2016加g,兩個相等的豎直向上的摩擦力工，由平衡條件可得

2工=2016冽g

解得

工=1008mg

所以第1個木塊和第2016個木塊受到木板的摩擦力均為lOO&wg；對2016號木塊受力分析，它受到木板對

它的摩擦力為1008加g,方向豎直向上，遠大于自身所受到豎直向下的重力％g,故木塊2015要給木塊2016

一個豎直向下的摩擦力，大小為

f2=fl-mg=10Qlmg

故選Bo

5.如圖所示，A、B兩小球的質量之比為3：1,用輕質細桿相連。同時用一根細繩將兩個小球系住，繩子

跨過光滑的定滑輪C,并設法讓兩球和輕桿組成的系統保持平衡，則系統平衡時，AC繩與BC繩的長度之

11

B

A.1:1B.1:2C.1:3D.1:4

【答案】C

【詳解】以兩個小球及桿組成的系統為研究對象，以C為支點，并作出力臂0、心如圖所示

C為定滑輪，則/C、3c對滑輪的拉力相等，如圖所示

C

所以

ZACD=ZBCD

以C為支點，根據杠桿的平衡條件

機Ag^A=機Bg”

由%：g=3：1,則

4：。=1：3

由圖知，A4CE與ABCF均為直角三角形，ZACD=NBCD,則

12

NEAC=NFBC,ZACE=ZBCF

所以

△ACEsABCF

則

AC:BC—ZA:LB=1:3

故選Co

6.如圖所示，小圓環A吊著一個質量為啊的物塊并套在另一個豎直放置的大圓環上，有一細繩一端拴在小

圓環A上，另一端跨過固定在大圓環最高點B的一個小滑輪后吊著一個質量為叫的物塊。如果小圓環、滑

輪、細繩的大小和質量以及相互之間的摩擦均忽略不計，細繩不可伸長，且平衡時弦所對應的圓心角為

a,則兩物塊的質量之比犯：加2為（）

【答案】C

【詳解】解法一：對小圓環A受力分析，建立如圖甲所示的坐標系，在X軸方向上合力為零，則有

/sin。=耳jSing

13

國=42=機2g

由幾何知識可知

2月2sin￡=E?=mlg

解得

m,,.a

—L=2sin—

m22

C正確。

故選C。

解法二：由題可知繩長

CY

48=2Asin—

2

P-n=㈣g

力的三角形和幾何三角形。以相似,則對應邊成比例，如圖乙所示，則有

乙

m2g=尸=切］g

解得

BAc.a

—L=----=2sin—

m2BO2

C正確。

故選Co

7.桿秤是延續千年的華夏國粹，如圖所示，三根輕繩與秤盤的捆綁點小RG將圓形秤盤三等分，每段

輕繩與豎直方向的夾角為30。，秤盤的質量為80g,重力加速度g取10m/s2。某次稱量藥材時，保持桿秤靜

止，稱得盤中藥材的質量為120g,則此時每根繩子的拉力大小為（）

14

—丫

【答案】A

【詳解】以秤盤和盤中藥材為整體，豎直方向根據受力平衡可得

3Tcos30°=（%+m2）g

解得每根繩子的拉力大小為

T=（叫+〃?2）g=4百N

3cos3009

故選Ao

二、多選題

8.用繩/C和8C吊起一重物處于靜止狀態，如圖所示。若NC能承受的最大拉力為150N,能承受的

最大拉力為105N。那么，下列正確的說法是（）

A.當重物的重力為150N時，AC、3c都不斷，/C拉力比3c拉力大

B.當重物的重力為150N時，AC、5c都不斷，NC拉力比2C拉力小

C.當重物的重力為175N時，/C不斷，5c剛好斷

D.當重物的重力為175N時，NC斷，3c也斷

【答案】AC

【詳解】AB.取C點為研究對象進行受力分析如圖所示

15

當重物的重力為150N時，/C拉力為

7；=，咫^0$37°=1201^<1501\[30拉力為

T]=〃zgcos53°=90N<105N

可知，當重物的重力為150N時，AC,2。都不斷，且4C拉力比3c拉力大，故A正確，B錯誤。

CD.當重力為175N時，假設繩子不斷時，AC拉力為

[=mgcos37°=140N<150NBC拉力為

T2=mgcos53°=105N

所以NC不斷，BC繩剛好斷，故C正確，D錯誤。

故選AC-

9.如圖所示，三段輕繩在。點打結，。點下方的輕繩與甲物體相連，。點左側的輕繩的一端固定在墻上，

。點右側的輕繩通過光滑定滑輪與乙物體相連，。點兩側的輕繩與豎直方向的夾角均為60。o下列說法正確

A.O點左、右兩側輕繩的拉力大小之比為1:1

B.O點左、右兩側輕繩的拉力大小之比為1:6

C.甲、乙的質量之比為1:1

D.甲、乙的質量之比為百:1

【答案】AC

【詳解】AB.設。點左、右兩側輕繩的拉力大小分別為工、T2,有

16

7；sin60°=/sin60°

解得

T\=%

故A正確；B錯誤；

CD.設甲、乙的質量分別為%、加2，有

mxg=T、cos60°+T]cos60°

又

T2=m2g

解得

mt=m2

故C正確；D錯誤。

故選ACo

三、解答題

10.如圖所示，在傾角為37。的斜面上，用沿斜面向上尸=60N的拉力尸拉著一質量為6kg的物體向上做勻

速直線運動，取g=10m/s2,求：

(1)斜面對物體的支持力的大小；

(2)斜面和物體間的摩擦因數。(sin37。=0.6,cos37。=0.8)

(3)若拉力廠的方向變為水平向右，此時想讓物體保持沿斜面向上的勻速直線運動，需要將拉力廠的大小變

為多少？

【答案】(1)48N(2)0.5(3)120N

【詳解】(1)對物體受力分析，如圖所示

一77”

9阻g

17

根據平衡條件，在垂直斜面方向可得

N=mgcos37°=48N

（2）在沿斜面方向有

F-f+mgsin37°

解得

/=24N

根據

f="N

解得

〃=0.5

（3）若拉力廠的方向變為水平向右，則物體的受力分析，如圖所示

根據平衡條件，在沿斜面方向上有

Feos37°=f+mgsin37°

在垂直斜面方向上有

N=FsM37°+冽geos37°

又根據

f="N

聯立解得

b=120N

11.如圖所示，傾角為30。的斜面體固定在水平面上，一橫截面半徑為R的半圓柱體丙放在水平面上，可視

為質點的光滑小球乙質量皿=lkg,用輕繩拴接置于半圓柱體上；物塊甲用輕繩拴接放在斜面體上且輕繩與

斜面平行，拴接小球乙與拴接物塊甲的輕繩與豎直的輕繩系于。點，且。點位于半圓柱體圓心的正上方。

已知。點到水平面的高度為2R,拴接小球乙的輕繩長度為內及，物塊甲與斜面間的動摩擦因數〃=",

4

整個裝置始終處于靜止狀態。取重力加速度g=10m/s2,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。求：（結果可用分

18

式、根式表示)

(1)拴接小球乙的輕繩拉力的大小；

(2)半圓柱體丙受到水平地面摩擦力的大小；

(3)物塊甲質量的取值范圍。

【答案】(1)5百N(2)%AN(3)^kg<W1<4kg

27

【詳解】(1)對小球乙受力分析如圖1所示，由相似三角形得

mg_N_T

2R~R~岳

解得拴接小球乙的輕繩拉力大小為

7=5》

(2)設拴接小球乙的輕繩與豎直方向的夾角為。，由幾何關系可知

(2對=R?+(阮『

所以拴接乙球的輕繩與半圓柱體相切，可得

R1

sina=——=—

2R2

解得

a=30。

以小球乙和半圓柱體丙整體為研究對象，可知半圓柱體所受的摩擦力方向水平向左、大小等于拉力T沿水

平向右方向的分力，即

/=Tsina

解得

19

/=^N

2

(3)以結點O為研究對象，對其受力分析如圖2所示，由平衡關系得

圖2

F2=Ttana

代入數據解得

F2=-^mg=5N

以甲為研究對象，設物塊甲的質量為叫，當靜摩擦力沿斜面向上達到最大值時有

匕'+〃叫gcos6?=Wigsin。入與可是一對相互作用力，由牛頓第三定律可知工=￡',解得

網=4kg

當靜摩擦力沿斜面向下達到最大值時有

F；=mxgsin0+pmxgcos0

解得

4,

mx=ykg

物塊甲質量的取值范圍為

—kg<<4kg

12.如圖所示，一個切面為半圓、質量為M=3kg的柱體放在水平地面上，柱體上放置一個質量為機=1kg的

可視為質點的物塊，物塊與圓心的連線與水平面的夾角為30。。現施加一水平恒力廠給物塊，物塊和柱體保

持相對靜止一起向右做勻速直線運動。柱體與水平地面間的動摩擦因數為兒=04,物塊與柱體間的動摩擦

因數為〃2,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。V3?1.7?求:

20

（1）水平恒力廠的大小；

（2）柱體給物塊的支持力大小和摩擦力大小;

（3）物塊與柱體間動摩擦因數至少為多大？（第3問結果保留一位有效數字）

【答案】（1）16N⑵18.6N0.5N（3）0.03

【詳解】（1）對物塊和圓柱體整體分析，水平方向根據受力平衡可得

F=//1（M+m）g=0.4x（3+l）xl0N=16N

（2）對物塊受力分析，柱體給物塊的支持力為

FN=Fcos30°+mgsin300=（873+5）N=18.6N

摩擦力為

/=mgcos300-Fsin30°=（5V3-8）N=0.5N

（3）物塊與柱體間的動摩擦因數至少為

f05

4=—=^~0.03

然18.6

13.如圖所示，質量〃=4kg物塊甲置于傾角為37。的斜面，物塊甲與斜面間動摩擦因數〃=0,物塊與斜

面間最大靜摩擦力大小等于滑動摩擦力大小。質量為〃7=L5kg的物塊乙通過三段輕繩懸掛，三段輕繩的結

點為。，水平輕繩04與物塊甲連接于/點，輕繩03與水平方向夾角也為37。。對物塊甲施加沿斜面向上

的力尸（圖中未畫出）使甲、乙兩物體均靜止。已知sin37°=0.6,cos37°-0.8,重力加速度g=lOm/s?。

（2）斜面對甲的彈力大小；

（3）力尸大小的取值范圍。

【答案】⑴%=20N,TOB=25N(2)20N(3)30N<F<50N

【詳解】（1）對結點。進行受力分析，根據受力平衡可得輕繩。/的彈力大小為

21

mg

T==20N

OAtan37°

輕繩。5的彈力大小為

mg

=25N

sin37°

（2）對物塊甲進行受力分析，在垂直斜面方向，由受力平衡可得

N=Mg0-TOAsin37°=20N

（3）甲受到的最大靜摩擦力為

7m=〃N=10N

當拉力廠較小，且沿斜面向上的摩擦力達到最大靜摩擦力時，由平衡條件可得

月+兀=吸5垣37。+&8$37。

解得

4=30N

當拉力尸較大，且沿斜面向下的摩擦力達到最大靜摩擦力時，由平衡條件可得

o

^=^sin37+^cos370+/m

解得

F2=50N

故力廠大小的取值范圍為

30N<F<50N

14.如圖所示，放在粗糙的固定斜面上的物塊A和懸掛的物體B均處于靜止狀態。輕繩繞過光滑的定

滑輪與輕彈簧的右端及輕繩的上端連接于。點，輕彈簧中軸線沿水平方向，輕繩的。。段與豎直方向

的夾角61=53。，斜面傾角a=37。，物塊A和B的質量分別為電（=6kg、7〃B=1.5kg,彈簧的勁度系數Q400N/m

（sin37°=0.6,cos37°=0.8,重力加速度g=10m/s2）,求：

（1）彈簧的伸長量x；

（2）物塊A受到的摩擦力。

22

【答案】(1)0.05m；(2)11N,方向沿斜面向上

【詳解】(1)根據題意，對結點受力分析，設彈簧的彈力為T,繩子的拉力為尸，由平衡條件有

尸=必&=25N

COS。

T=mBgtan0=20N

由胡克定律可得

T=kx

所以彈簧的伸長量為

x=0.05m

(2)對物塊A,由于

F<mAgsina=36N

由此可知，物塊A所受摩擦力方向沿斜面向上，根據平衡條件可得

F+f=mAgsina

解得

/=HN

15.如圖甲所示，在建筑裝修中，工人用質量為5.0kg的磨石A對地面和斜壁進行打磨，當A受到方向斜

向右下與水平方向夾角。=37。、大小為耳=50N的推力時，A恰好在水平地面上做勻速直線運動。已知A

與地面、A與斜壁間的動摩擦因數〃均相同。Cg取10m/s2,sin37o=0.6,cos37o=0.均

〃〃/〃〃/〃/

////////////////

乙

(1)求A與地面間的動摩擦因數〃；

(2)若用A對傾角。=37。的斜壁進行打磨，如圖乙所示，當