7.2排列

Bl學習目標

課程標準學習目標

(1)能通過實例，用自己的語言解釋排列的定

義；能用定義判斷是不是排列問題，發展數學

抽象素養.(1)理解并掌握排列的概念.

(2)能從排列的定義出發推導排列數公式，并(2)能應用排列知識解決簡單的實際問題.

能用排列數公式解決有關計數問題.(3)能用排列數公式進行化簡與證明.

(3)能綜合應用排列的概念和公式解決簡單的

實際問題.

排列的應用

ra知識清單

知識點01排列的概念

1、排列的定義：

一般地，從W個不同的元素中取出機（加W"）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從〃個不同元

素中取出機個元素的一個排列.

知識點詮釋：

（1）排列的定義中包括兩個基本內容，一是“取出元素”，二是“按照一定的順序排列”.

（2）從定義知，只有當元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列.

（3）如何判斷一個具體問題是不是排列問題，就要看從"個不同元素中取出根個元素后，再安

排這根個元素時是有順序還是無順序，有順序就是排列，無順序就不是排列.

【即學即練1】下列問題是排列問題的是（）

A.從10名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？

B.10個人互相通信一次，共寫了多少封信？

C.平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？

D.從1,2,3,4四個數字中，任選兩個相加，其結果共有多少種？

知識點02排列數

1、排列數的定義

從幾個不同元素中，任取加（加《〃）個元素的所有排列的個數叫做從幾個元素中取出加元素的排列

數，用符號父表示.

知識點詮釋：

“排列”和“排列數”是兩個不同的概念，一個排列是指“從"個不同的元素中，任取相（77區〃）個元素，按照

一定的順序排成一列“，它不是一個數，而是具體的一個排列（也就是具體的一件事）；

2、排列數公式

A：="（力—1）（〃—2）（?—m+1）,其中心且m

知識點詮釋：

公式特征：第一個因數是〃，后面每一個因數比它前面一個少1,最后一個因數是〃-加+1,共有〃2

個因數.

【即學即練2】（x-2）a—3）（x-4）-（x-15）（xeN+，x>15）可表示為（）

A.A；?B.A匕

c.A'D.A，

知識點03階乘表示式

1、階乘的概念：

把正整數1至的連乘積，叫做”的階乘.表示：〃!，即％=〃！.

規定：0!=1.

2、排列數公式的階乘式：

,?z1、/，,1、n-(n-r)-(n-2)-(n-m+1)■(n-ni)-2-1n\

AA?=n(n-])(〃-2)(n-m+l)=------------------------------———--------------------=---------

(n—m)-21(n—m)\

所以

【即學即練3】不等式A1>6A/的解集為.

知識點04排列的常見類型與處理方法

1、相鄰元素捆綁法

2、相離問題插空法

3、元素分析法

4、位置分析法

【即學即練4】2023年夏天貴州榕江的村超聯賽火爆全國，吸引了國內眾多業余球隊參賽.現有六個

參賽隊伍代表站成一排照相，如果貴陽折耳根隊與柳州螺獅粉隊必須相鄰，同時南昌拌粉隊與溫江烤肉隊

不能相鄰，那么不同的站法共有()種.

A.144B.72C.36D.24

04題型精講

k

題型一：排列的概念

【典例in下列問題是排列問題的是()

A.從8名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法

B.會場中有30個座位，任選3個安排3位客人入座，有多少種坐法

C.平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線

D.從1,2,3,4四個數字中，任選兩個相乘，其結果共有多少種

【典例12】下列問題是排列問題的是()

A.從10名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法?

B.10個人互相通信一次，共寫了多少封信？

C.平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？

D.從1,2,3,4四個數字中，任選兩個相加，其結果共有多少種？

【方法技巧與總結】

判斷一個具體問題是否為排列問題的思路

【變式11】下列問題屬于排列問題的是（）

①從10個人中選2人分別去種樹和掃地；

②從10個人中選2人去掃地；

③從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊；

④從數字5,6,7,8中任取兩個不同的數作尋運算.

A.①④B.①②C,③④D.①③④

【變式12］從集合｛3,5,7,9,11｝中任取兩個元素，①相加可得多少個不同的和？②相除可得多少個不同的

22

商？③作為橢圓=+七=1（。>0*>0）中的。，b,可以得到多少個焦點在無軸上的橢圓方程？④作為雙

ab

22

曲線-云=1（。>0*>0）中的。，b,可以得到多少個焦點在X軸上的雙曲線方程？

上面四個問題屬于排列問題的是（）

A.①②③④B.②④C.②③D.①④

題型二：畫樹形圖寫排列

【典例21】寫出從a、b、c、1四個元素中任取兩個不同元素的所有排列.

【典例22】寫出下列問題的所有排列：

（1）從1,2,3,4四個數字中任取兩個數字組成兩位數，共有多少個不同的兩位數?

（2）由1,2,3,4四個數字能組成多少個沒有重復數字的四位數？試全部列出.

【方法技巧與總結】

樹形圖的畫法

（1）確定首位，以哪個元素在首位為分類標準進行確定首位.

（2）確定第二位，在每一個分支上再按余下的元素，在前面元素不變的情況下定第二位并按順序分類.

(3)重復以上步驟，直到寫完一個排列為止.

【變式21】從1,2,3,4四個數字中任取兩個數字組成兩位不同的數，一共可以組成多少個?

(2)寫出從4個元素a,瓦c,d中任取3個元素的所有排列.

【變式22】求從A,B,C這3個對象中取出3個對象的所有排列的個數，并寫出所有的排列.

題型三：簡單的排列問題

【典例31】寫出從a、b、c、d、e這五個不同元素中任意取出兩個元素的所有排列.

【典例32】將A、B、C、。四名同學按一定順序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排

在第二，C不排在第三，。不排在第四.試寫出他們四人所有不同的排法.

【方法技巧與總結】

對于簡單的排列問題，其解題思路可借助分步乘法計數原理進行，即采用元素分析法或位置分析法求

解.

【變式31】從1,2,3,4這4個數字中，每次取出3不同的數字排成一個三位數，寫出得到的所有

三位數，并求出排列數；

(2)試寫出由1,2,3,4四個數字組成的沒有重復數字的四位數，并求出排列數.

【變式32】從0、1、2、3這4個數字中選出3個不同的數字組成1個三位數，試寫出所有滿足條件的

三位數.

題型四：排列數公式的應用

【典例41】計算下列各式.

(1)A2-A￡

Q*+A；.

【典例42】計算：

(1)A：+A：+A：+A：；

⑵4A：啜5A"

(3)已知A：=7AL，求”

【方法技巧與總結】

排列數公式的選擇

(1)排列數公式的乘積形式適用于計算排列數.

(2)排列數公式的階乘形式主要用于與排列數有關的證明、解方程和不等式等問題，具體應用時注意

階乘的性質，提取公因式，可以簡化計算.

【變式41】計算下列各題：

A+A

(1)99.

⑵解方程：3A"4A「

【變式42】計算：苓

（2）解不等式:A［＜6A廠.

題型五：階乘的概念及性質

【典例51］解關于，的不等式A；＜6A］2；

（2）解不等式：3A：V2A3+6A：.

【典例52］已知A：+A3=xA：：；（〃eN+，〃W2）,求x的值.

【方法技巧與總結】

排列數公式的階乘形式主要用于與排列數有關的證明、解方程和不等式等問題，具體應用時注意階乘的

性質，提取公因式，可以簡化計算.

【變式51］證明（〃+1）!一〃!=〃?〃!,并用它來化簡Ixl!+2x2!+3x3!+…+井xlO!.

【變式52］求解下列問題:

2&+7煩

⑴計算:

展一片

(2)求證：A；=nA^；(n>m>2).

【變式53】求證：A：：；=A'=（n+l）A：

題型六：與排列數公式有關的證明問題

【典例61】證明：(〃+1)!-加=小〃！；

(2)化簡：2-2!+3-3!+4-4!++2023-2023!.

【典例62]“『數”在研究某電動汽車工廠生產中的相關數據發揮了重要作用，設，?為非零實數，對任意

neN.N,m<n,有如下定義:

定義:數”：[可\=1+/+/+…+A*"]

定義:“r階乘[磯=[l]r[2]r[3]r…㈤,，規定[0兒=1；

n二回!，

定義:組合數”:

m[m]!r[n-m]!r

4

⑴求的值.

2

2

(2)證明：對任意〃eN+，〃zeN+，相<〃，都有

nn

mn—m

n—1n—1

②+rm

m—1m

〃+左+1n-

⑶證明：對任意“eN+m—,都有碎]

【方法技巧與總結】

對含有字母的排列數的式子進行變形式有關的論證時，一般用階乘式.

【變式61】證明下列等式.

(D(〃+1)A"A工，

n-m

nil

【變式62】證明E=7-E，并利用這一結果化簡:

1239

(1)—+—+—+???+—；

2!3!4!10!

123n

⑵,+靖疝+…+西方

1In

【變式63】證明:H!-(n+l)!-(n+l)!；

1232022

（2）化簡:一+—+一+H----------

2!3!4!2023!

題型七：相鄰問題

【典例71】有7個同學要排隊做操，其中甲乙丙必須相鄰，則總共有種排法.

【典例72】行知中學高二有6名數學老師排成一排照相，陳老師和姜老師相鄰的排法種數為一.

【方法技巧與總結】

相鄰問題捆綁法

【變式71】4名男生、3名女生站成一排，至少有兩個女生相鄰的站法種數為（用數字作答）.

【變式72】甲、乙、丙、丁、戊5人站成兩排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙須左右相鄰，

丙不站前排，則不同的站法共有種（用數字作答）.

【變式73］若AaCD,E五人站成一排，如果A,8必須相鄰，那么排法共種.

題型八：不相鄰問題

【典例81】甲、乙等4人排成一列，則甲乙兩人不相鄰的排法種數為.

【典例82】五種不同商品在貨架上排成一排，其中48兩種必須連排，而C,。兩種不能連排，則不同

的排法共有種.

【方法技巧與總結】

不相鄰問題插空法

【變式81］隨著杭州亞運會的舉辦，吉祥物“琮琮”、蓮蓮“、宸宸”火遍全國.現有甲、乙、丙3位運動員要

與“琮琮”、蓮蓮“、宸宸”站成一排拍照留念，則這3個吉祥物互不相鄰的排隊方法數為.（用數字作

答）

【變式82]A、B、C、D、￡五人住進編號為1，2,3,4,5的五個房間，每個房間只住一人，貝抬不住

2號房間，且B、C兩人不住編號相鄰房間的住法種數為.

【變式83]2024年3月5日至11日，第十四屆全國人民代表大會第二次會議勝利召開.此次大會是高舉旗

幟、真抓實干、團結奮進的大會，全國人大代表不負人民重托、認真履職盡責，凝聚起扎實推進中國式現

代化的磅礴力量.某村小校黨支部包含甲、乙、丙、丁的10位黨員開展“學習貫徹2024年全國兩會精神”圓

桌會議，根據會議要求：甲、乙必須相鄰，甲、丙、丁不能相鄰.則不同的座位安排有種（用數字作

答）.

題型九：定序問題

【典例91】某次演出有6個節目，若甲、乙、丙3個節目的先后順序已確定，則不同的排法有一

種.

【典例92】期中安排考試科目9門，語文，數學，英語三門課的前后順序已經確定，則期中考試不同

的安排順序有種.

【變式91】將A,B,C,D,E這5個字母排成一列，要求A,B,C在排列中的順序為A,B,C或

C,B,A（可以不相鄰），這樣的排列方法有種.（用數字作答）

【變式92]如圖所示，某貨場有三堆集裝箱，每堆2個，現需要全部裝運，每次只能從其中一堆取最

上面的一個集裝箱，則在裝運的過程中不同取法的種數是（用數字作答）.

題型十：間接法

【典例10113名女生和2名男生站成一排照相，若每名男生至少與1名女生相鄰，則共有種站法

【典例102】由字母A,B構成的一個6位的序列，含有連續子序列ABA的序列有個（例如

ABAAAA,BAABAB符合題意）

【方法技巧與總結】

正難則反

【變式101】現有9位同學圍著圓桌坐成一圈，他們的衣服上分別標有號碼1,2,3,…，9,若任意相鄰

兩個號碼之積不小于4,則不同的坐法有種.

【變式102]第21屆“東盟博覽會”于2024年9月24號至9月28號在南寧召開，某記者與參會的4名國

際友人代表一起合影留念（5人站成一排）.若記者不站中間，國際友人甲不站兩邊則有種排法.

強化訓練

1.某次會議安排甲、乙等六人的座位在第一排的1~6號，其中甲的座位號為奇數，乙的座位號為偶數，

且甲、乙不相鄰，則這六人不同的座位安排方法種數為（）

A.48B.96C.128D.186

2.兩男兩女站成一排照相，女生相鄰的所有排列種數為（）

A.3B.6C.12D.24

3.e是自然對數函數的底數，被稱為自然常數或者歐拉數.最初由雅各布?伯努利在研究復利時發現，后由

萊昂哈德?歐拉證明其為無理數，大約為2.718281828.小明是個數學迷，他在設置的數字密碼時，打算

將自然常數e的前6位數字2,7,1,8,2,8進行排列得到一個六位數密碼，那么小明可以設置（）個

不同密碼.

A.240B.180C.120D.72

4.要排出某班一天中語文、數學、政治、英語、體育和藝術6門課各一節的課程表，要求數學課排在前3

節，英語課不排在第6節，則不同的排法共有（）

A.75種B.144種C.288種D.360種

5.有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相鄰，不同的站法共有（）

A.24種B.48種C.72種D.144種

6.小花準備將一顆黃色圣女果、一顆紅色圣女果、一顆山楂、一顆草莓、一顆葡萄串起來制作一串冰糖

葫蘆，若要求兩顆圣女果不相鄰，則不同的串法有（）

A.36種B.48種C.72種D.144種

7.北京時間2024年6月2日，嫦娥六號成功著陸月球背面，開啟人類探測器首次在月球背面實施的樣品

采集任務.某天文興趣小組在此基礎上開展了月球知識宣傳活動，活動結束后該天文興趣小組的4名男生和

4名女生站成一排拍照留念，則4名女生相鄰的站法種數為（）

A.2880B.1440C.720D.576

8.某班一天上午有4節課，下午有2節課，現要安排該班一天中語文、數學、英語、體育、藝術、通技

各一節課的課表，要求數學課排在上午，體育課排在下午，不同的排法種數是（）

A.96B.192C.384D.768

9.（多選題）某學校高二年級數學課外活動小組中有男生5人，女生3人，則下列說法正確的是（）

A.從中選2人，1人做正組長，1人做副組長，共有64種不同的選法

B.從中選2人參加數學競賽，其中男、女生各1人，共有15種不同的選法

C.將這8名學生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320種

D.8名學生排成一排，已知5名男生已排好，現將3名女生插入隊伍中，則共有336種排法.

10.（多選題）某專賣店新進A,B,c,D，E，F，G這7款充電寶，準備將它們在貨柜里擺成一

排售賣，則下列說法正確的是（）

A.若A,B,C必須擺在前三個位置，則不同的擺法有144種

B.若A,B,C彼此不相鄰，D，E，F，G也彼此不相鄰，則不同的擺法有72種

C.若A,B,c彼此不相鄰,則不同的擺法有1440種

D.若A不能擺在后兩個位置，則不同的擺法有3600種

11.（多選題）“六藝”即“禮、樂、射、御、書、數”，為春秋戰國時期讀書人必須學習的六種技藝，分別為禮法、

樂舞、射箭、駕車、書法和算術，其中射箭、駕車（御戰車、駕車）為軍事技能.某國學館開設