等比數列及其前n項和題型歸納精講精練

【題型歸納】

?題型一:等比數列及其前n項和基本量計算

?題型二：等比中項問題

?題型三：等比數列的性質

?題型四：等比數列的函數性質

?題型五：等比數列的前n項和的性質

?題型六：等比數列的前n項和的奇數和偶數項之和問題

?題型七：等比數列的證明問題

?題型八：等比數列的應用

?題型九：等比數列及其前n項和綜合問題

【題型探究】

題型一:等比數列及其前n項和基本量計算

1.(22-23高二?全國)求下列等比數列｛為｝的前"項和.

(1)^=1,0=3,72=10;

11,

(2)%=］，9=n=6；

111

(3)%=§，q=M為=而；

(4)%=6,q=2,ctn-192.

2.(23-24高二下?陜西榆林?期末)設等差數列｛為｝的前〃項和為S“，且公差不為0,若%,%，%構成等比數歹11，

S"=66,則能二()

A.7B.8C.10D.12

3.（23-24高二上?四川眉山?期末）各項均為正數的等比數列｛。"｝中，％=1,%=4%.

（1）求｛%｝的通項公式；

（2）記S,為｛.”｝的前〃項和，若S,“=63,求加.

題型二：等比中項問題

4.（23-24高二上?福建莆田?期中）已知遞增等比數列｛%｝的前〃項和為5，且&=4,S3=".

⑴求q的值.

（2）求出++0+。8的值.

5.（23-24高二下?廣東廣州?期末）已知正項等差數列｛%｝滿足3%=%"，且％是%-3與&的等比中項，則%=

（）

A.3B.6C.9D.12

6.（23-24高二下?甘肅?期末）等差數列｛。“｝的公差是2,若4,%,心成等比數列，則｛%｝的前“項和S“=（）

A.?（?+2）B.?（?+1）C.n1D.

題型三：等比數列的性質

7.（2024?云南大理?模擬預測）已知各項均為正數的等比數列｛%｝中，若為=9,則1。83g+1。83%2=（）

A.2B.3C.4D.9

8.（23-24高二下?四川達州一階段練習）等比數列｛0"｝中生+能+。5=］。2+&+。6=5，貝1。4+。6+。8=（）

5

A.-B.5C.10D.20

4

9.（23-24高二上?甘肅金昌?階段練習）在等比數列｛%｝中，%+%+%+%=243,%+%+%+為=72,貝!I

%++。9+。10=（）

2

A.—B.—C.32D.64

33

題型四：等比數列的函數性質

10.（2023?廣東佛山?一模）等比數列｛。“｝公比為4（441）,>0,若7；=/02a3…%（〃eN*）,則'">1”是"數列

｛4｝為遞增數列''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

11.（22-23高二下?北京房山?期末）設各項均為正數的等比數列｛%｝的公比為q,且，Tog?%,貝卜也｝為遞減數

列”是的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

12.（23-24高二下?北京?期中）等比數列｛%｝的公比為4,%>0,則“凡+2>。,”是“4>1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

題型五：等比數列的前n項和的性質

13.（24-25高三上?云南昆明?階段練習）已知等比數列｛%｝的前〃項和為邑，且&>0,若工=5,幾=105,則$2。=

（）

A.550B.520C.450D.425

14.（23-24高二下?河南南陽?期中）若正項等比數列｛。“｝的前〃項和為王，且S8-2$4=6,則%+陽+知+%的最

小值為（）

A.22B.24C.26D.28

15.（2024?江蘇揚州?模擬預測）在正項等比數列｛為｝中，邑為其前〃項和，若$3。=7$，$+$3。=80,則S?。的

值為（）

A.10B.20C.30D.40

題型六：等比數列的前n項和的奇數和偶數項之和問題

16.（23-24高二上?重慶?期中）已知等比數列｛。"｝有2〃+1項，%=1,所有奇數項的和為85,所有偶數項的和為

42,貝！|"=()

3

A.2B.3C.4D.5

QC

17.（23-24高二下?云南保山?開學考試）等比數列｛。“｝的首項為2,項數為奇數，其奇數項之和為偶數項之和

為2三1,則這個等比數列的公比.

16

18.（21-22高三上?山東聊城?期末）已知等比數列｛七｝的公比且％+%+%+…+%）=90,則

%+%+%+…+"100=.

題型七：等比數列的證明問題

19.（24-25高二上?甘肅蘭州?期中）已知數列｛叫滿足4=1,點（%,%）在直線了=3無+1上.

⑴設6"=a"+g,證明低｝為等比數列；

⑵求數列｛%｝的前”項和邑.

20.（24-25高二上?山東?期中）已知數列｛%｝的首項為=1,且滿足。加=痣-.

⑴求證：數列,為等比數列；

（2）若數列｛%｝的前"項和為S,,求證：5?<2,

21.（24-25高二上?江蘇蘇州?期中）已知數歹U｛%｝,也｝滿足用_；"且4=］力=-1.

l"〃+i—Ta”+Zbn+4,2

（1）求生;

⑵證明數列卜-〃-共是等比數列，并求凡.

題型八：等比數列的應用

22.（24-25高二上?福建漳州?期中）已知一小球從地面豎直向上射出到10m高度后落下，每次著地后又彈回到前一

次高度嗎處，則該小球第6次落地時，經過的路程為（）

235315C.交m315

A.-----mB.-----mD.——m

161688

4

4

23.（24-25高二上?福建?期中）一個彈力球從1m高處自由落下，每次著地后又彈回到原來高度的1處，那么在第〃

次著地后，它經過的總路程超過5m,則"的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

24.（23-24高二上?湖北荊門?期末）在流行病學中，基本傳染數凡是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力

的情況下，一個感染者平均傳染的人數.以一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中

傳染的概率決定，假設某種傳染病的基本傳染數4=4,平均感染周期為7天，那么感染人數由1（初始感染者）

增加到3333大約需要的天數為（）（初始感染者傳染幾個人為第一輪傳染，這幾個人每人再傳染幾個人為第二

輪傳染……參考數據：lg2。0.3010）

A.42B.43C.35D.49

題型九：等比數列及其前n項和綜合問題

25.（24-25高二下?全國?期末）已知數列｛%｝的前“項和S",且滿足2s“+””=1.

（1）求｛%｝的通項公式；

⑵記數列｛%｝的前“項乘積為4,求，的最小值.

26.（24-25高二上?上海?期中）已知數列｛%｝的各項均為正實數，%=3,且。“=4%7+3（?>2）.

⑴求證：數歹！|｛%+1｝是等比數列；

=1,

⑵若數列也｝滿足4=log/%+1），求數列也｝中的最大項與最小項.

----------,n>2

、n-\

27.（24-25高二上?山東青島?期中）己知在數列｛%｝中，％=9,且滿足%=*+2%.

⑴求證：數列但（%+1）｝是等比數列，并求出｛&｝的通項公式；

⑵設bn=an+\,求數列也｝的前n項積Tn；

（3）設%=—+求數列｛4｝的前”項和S,.

an十/

5

【專題訓練】

一、單選題

28.（24-25高二上?江蘇?期中）已知等比數列｛“"｝的公比”1,且滿足出+%=5,%=2,則4的值為（）

A.2B.3C.4D.5

29.（24-25高二上?上海?期中）數列｛%｝是等比數列，公比為4,%>1”是“數列｛%｝是嚴格增數列”的（）條件.

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既非充分也非必要

30.（24-25高二上?山東青島?期中）已知數列｛““｝為正項等比數列，%4=16,%=4,則使4<1成立的〃的

最小值為（）

A.9B.8C.7D.6

31.（24-25高二上?山東青島?期中）若〃1，〃2，〃3，。4成等比數列，且滿足山（。1+〃2+。3+〃4）<山（%+。2+〃3），則（）

A.4<%，。2〉。4B.ax<a3,a2<a4

aa

C.%>/，2<4D.q>a2>a4

（）[%+2/為偶數,

32.（24?25高二上?山東青島?期中）已知數列｛。J滿足%+2=（o斗，4用，且％=2,外=1，則邑0=（）

[2%,〃為奇數，

A.1023B.1124C.2146D.2145

33.（24-25高二上?福建龍巖?期中）已知數列{%},%=1,匕1一4a〃+i%+4a；=0,則%=()

A.8B.16C.24D.64

34.（24-25高二上?福建?期中）記等比數列｛%｝的前〃項和為S,,若智=<，則”=（）

品?6

267C.竺D.1

A.-B.—

918169

35.（24-25高二上?甘肅酒泉?期中）設s.為數列｛。“｝的前〃項和，若S“-2a“T,則79的值為（）

A.8B.4C.；D.-

48

36.（23-24高二下?遼寧沈陽?期中）某牧場今年年初牛的存欄數為1200頭，預計以后每年存欄數的增長率為10%,

且在每年年底賣出100頭牛.若該牧場從今年起每年年初的計劃存欄數構成數列｛c“｝,G=1200,則/大約為（參考

數據：l.l8?2.1,1.19?2.4,1.110?2.6,1.111?2.9()

6

A.1420B.1480C.1520D.1580

37.（23-24高二下?山東日照?期末）已知等比數列｛叫，〃],應為函數/（%）=-—5x+2的兩個零點，則

log2a2+log2a3+log2a4=（）

33

A.V2B.—log25C.—D.3

二、多選題

38.（24-25高二上?江蘇蘇州?期中）設七為數列｛4｝的前〃項和.若5“=2%+；,則（）

2

A.an=2"-B.數列｛叫為遞減數列C.%=4%+%D.

39.（24-25高二上?江蘇?期中）已知數列｛6｝滿足2*,+1=（〃+1）%,%=；,則下列說法正確的是（）

A.a3=JB.｛%｝中存在連續三項成等差數列

O

C.｛““｝中存在連續三項成等比數列D.數列｛為｝的前〃項和S"=2-祟

40.（24-25高二上?福建?期中）已知等比數列｛。“｝的首項為1,公比不為1,若生,出，%成等差數列，貝U（）

A.｛為｝的公比為-3B.｛%｝的公比為-2

C.｛對｝的前10項和為-341D.%，％，&成等差數列

41.（24-25高二上?江蘇鎮江?期中）己知數列｛叫滿足4+「2%=2向，且％=4,則下列正確的有（）

A.%=32

B.數列1含J的前〃項和為2向

2

的前〃項和為（）工”

C.數列log2n+l+

I4"[11

D.若數列——的前〃項和為「，則774TL＜：

[a?an+lJ124

42.（23-24高二上?云南昆明?期末）已知公比為q的等比數列｛%｝,。“=占，貝U（）

7

B.%+%之w

C.若q=l,則4=土;

D.若q=1,記S,=同+|a21H"…+|%|，則S,<2

三、填空題

43.（24-25高二上?上海?期中）在等比數列｛%｝中，a?>0,且％?外……。79=16,則。也5的值為.

20242019

44.（24-25高二上?山東青島?期中）數列｛2｝中，％=2,am+n=aman，若ak+l+ak+2+…ak+s=2-2，則上+s=.

45.（24-25高二上?上海?期中）設邑是數列｛%｝的前〃項和，4=；,且對任意正整數加，"，都有％+“=%,?%,

若S,<a恒成立，則實數”的取值范圍為.

46.（24-25高二上?甘肅酒泉?期中）已知等比數列｛七｝的前〃項和'=2"-a,〃eN+,貝|。=；設數歹!]｛log應a,,｝

的前〃項和為若北>5"+比對”eN+恒成立，則實數九的取值范圍為.

四、解答題

47.（24-25高二上?浙江寧波?期中）設等比數列｛%｝的前"項和為S"，且q=-l,2S?=Sn+l+Sn+2.

（1）求數列｛%｝的通項公式.

（-l）n-n

⑵求數列——的前〃項和（.

a.

48.（24-25高二上?