專題08解直角三角形及其應用

目錄

熱點題型歸納.............................................................................................1

題型01仰角與俯角問題...................................................................................1

題型02方位角問題........................................................................................6

題型03坡度問題.........................................................................................11

中考練場.................................................................................................15

題型01仰角與俯角問題

01題型綜述

解直角三角形及其應用中的仰角與俯角問題是初中數學幾何知識在實際生活中應用的重要體現，通過構建直角三角

形模型，利用三角函數知識解決與測量相關的實際問題，在中考數學中分值占比約5%-8%o

1.考查重點：重點考查如何準確識別仰角與俯角，并將實際問題轉化為解直角三角形問題，運用正弦、余弦、正切等

三角函數進行邊長和角度的計算。

2.高頻題型：高頻題型有測量物體高度，如已知觀測點與物體的水平距離及仰角，求物體高度；測量兩點間距離，通

過測量仰角、俯角及其他已知邊長，構建直角三角形求解；以及根據不同觀測點的仰角、俯角變化，分析物體位置關

系并計算相關數據。

3.高頻考點：考點集中在仰角、俯角概念的理解與應用，直角三角形中三角函數（正弦、余弦、正切）的正確選用與

計算，以及將實際場景抽象為數學模型（直角三角形）的能力考查。

4.能力要求：要求學生具備較強的閱讀理解能力，能從實際問題描述中提取關鍵信息；擁有良好的空間想象能力，構

建準確的直角三角形模型；掌握扎實的三角函數運算能力，準確求解邊長和角度。

5.易錯點：易錯點在于混淆仰角與俯角概念；在構建直角三角形時，對邊角關系判斷錯誤，導致三角函數選用不當；

計算過程中，對三角函數值記錯或運算失誤，影響最終結果的準確性。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.直角三角形有關的性質：

①直角三角形的兩銳角互余。

②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

③含30°的直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

④直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊乘斜邊上的高線。

⑤直角三角形的勾股定理。

2.仰角與俯角：

①仰角：向上看的視線與水平線構成的夾角叫做仰角。

②俯角：向下看的視線與水平線構成的夾角叫做俯角。

解決此類問題要了解角之間的關系，找到與已知和未知相關聯的直角三角形，當圖形中沒有直角三角形時，

要通過作高或垂線構造直角三角形，另當問題以一個實際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實際問題劃歸

為直角三角形中邊角關系問題加以解決。

【典例分析】

例1.（2024.山東日照.中考真題）潮汐塔是萬平口區域內的標志性建筑，在其塔頂可俯視景區全貌.某數學興趣小組用

無人機測量潮汐塔AB的高度，測量方案如圖所示:無人機在距水平地面H9m的點/處測得潮汐塔頂端A的俯角為22。,

再將無人機沿水平方向飛行74m到達點N,測得潮汐塔底端B的俯角為45°（點M,N,A,B在同一平面內）,則潮汐塔AB

的高度為（）

例2.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高L8m的測量儀跖測得的仰角為45。，小

軍在小明的前面5m處用高1.5m的測量儀CD測得的仰角為53。，則電子廠A3的高度為（）（參考數據：sin53。,

34

cos53°?-,tan53°?—）

53

FDB

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

例3.（2024.吉林?中考真題）圖①中的吉林省廣播電視塔，又稱“吉塔”.某直升飛機于空中A處探測到吉塔，此時飛行

高度AB=873m,如圖②，從直升飛機上看塔尖C的俯角NE4c=37。，看塔底。的俯角/E4D=45。，求吉塔的高度

（結果精確到0.1m）.（參考數據：sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75）

例4.（2024.吉林?中考真題）圖①中的吉林省廣播電視塔，又稱“吉塔”.某直升飛機于空中A處探測到吉塔，此時飛行

高度AB=873m,如圖②，從直升飛機上看塔尖C的俯角NE4c=37。，看塔底。的俯角=45。，求吉塔的高度CD

（結果精確到0.1m）.（參考數據：sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75）

E

圖①圖②

例5.（2024?甘肅?中考真題）習近平總書記于2021年指出，中國將力爭2030年前實現碳達峰、2060年前實現碳中和.甘

肅省風能資源豐富，風力發電發展迅速.某學習小組成員查閱資料得知，在風力發電機組中，“風電塔筒”非常重要，

它的高度是一個重要的設計參數.于是小組成員開展了“測量風電塔筒高度”的實踐活動.如圖，已知一風電塔筒垂

直于地面，測角儀C。，所在兩側，CD=ET=1.6m,點。與點E相距182m（點C,H,E在同一條直線上），

在。處測得簡尖頂點A的仰角為45。，在方處測得筒尖頂點A的仰角為53。.求風電塔筒的高度.（參考數據：

43

sin53°,cos53°?-,tan53°

55

【變式演練】

1.（2025?廣東深圳?模擬預測）某數學興趣小組用無人機測量園博園“福塔”A3的高度，測量方案如圖：先將無人機垂

直上升至距水平地面142m的P點，測得“福塔”頂端A的俯角為37。，再將無人機面向“福塔”沿水平方向飛行210m到達

Q點,測得“福塔”頂端A的俯角為45°，則“福塔”AB的高度約為（）（參考數據：tan37°3sin37°?j3,cos37°?-4）

2.（2025?江西九江?模擬預測）如圖1,涔陽樓是江南十大名樓之一，因九江古稱涔陽而得名.某校數學興趣小組在測

量濟陽樓的高度A8的過程中，繪制了如圖2所示的示意圖，斜坡DE的長為5m,/DEC=37。.在點。處測得沼陽樓

頂端A的仰角為45。，又在點E處測得將陽樓頂端A的仰角為56.3。，DC，BE交BE的延長線于點C.（參考數據：

sin37°?0.60.cos37°?0.80,sin56.3°?0.83,cos56.3°a0.55,tan56.3°?1.50）

B

圖1圖2

（I）求斜坡的高度co.

（2）求濟陽樓的高度AB.

3.（2025?重慶?模擬預測）重慶北硝縉云山香爐峰叢林深處，掩映著一座孤清的高塔.從空中看去，如同山林之中的一

位隱土，俯視群山，它在山脊之巔，臨風而立，成了縉云山上一道亮麗的風景線一縉云塔.某游客是一名無人機愛好者，

他站在附近的水平地面上，利用無人機進行測量，但無人機無法直接在塔頂測量垂直高度，因此他先控制無人機從腳

底（記為點C）出發向右上方（與地面成45,點4民CD在同一平面）的方向勻速飛行4秒到達空中點。處，再調整

飛行方向，沿QA方向繼續勻速飛行8秒到達塔頂，已知無人機的速度為6米/秒，/ADC=15.

（1）求縉云塔的高度；

（2）求游客站立處到縉云塔中心的水平距離的長（結果精確到0.1m,參考數據:應al.4L石土1.73）.

4.（2025?河北滄州?一模）某機械化農場的麥田需要飛機播種，如圖為一架飛機從飛機場飛往麥地的部分飛行路徑的示

意圖.飛機在某一高度由東向西以150km/h的速度勻速飛行，在空中的點P處測得一點M處的俯角為40。，向西飛行

12分鐘后到達空中的點。處，此時站在麥地點N處的工作人員測得飛機的仰角為58。，又經過4分鐘播種機剛好飛到

點N的正上方點K處.

（1）求播種機的飛行路線距地面的豎直高度；

（2）求點N之間的距離.（結果精確到1八”，參考數據：tan40°?0.84,tan58°?1.60）

5.（2025?河南開封?一模）鄭州二七紀念塔位于鄭州市二七廣場，是為紀念京漢鐵路工人大罷工事件，發揚“二七”革命

傳統而修建的紀念性建筑.某?！熬C合實踐”小組在項目式學習中，現場對二七紀念塔A8的高度進行了測量.如圖，小

組成員在。處用高為L5m的測角儀測得塔頂A的仰角是45。，往前走13.3m到達C處測得塔頂A的仰角是52。，測量點

與塔底部B在同一水平線上.（參考數據：sin52?0.79,cos52?0.62.tan52*1.28）

（1）根據上述測量方案和數據，求二七紀念塔的高度（結果精確到0」m）.

⑵該小組上網搜索后發現.二七紀念塔的高約63m,請計算本次測量的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議.

6.（2025?河南信陽?三模）某市若干臺風機矗立在云遮霧繞的山脊之上，風葉轉動，風能就能轉換成電能，造福千家萬

戶.某中學初三數學興趣小組進行了如下實地測量.如圖，三片風葉48,AC,4。兩兩所成的角為120。.小組成員

在離塔底。水平距離為48米的點E處，測得塔頂A的仰角NAEO=53。，是風葉AB的視角.已知三片風葉的長

度均為40米.

⑴當點。在49上時，求點C到地面的距離；（結果精確到1米）

434

⑵在風葉旋轉的過程中，求視角的最大值.（參考數據：sin53°?-,cos530?-,tan53°?-）

題型02方位角問題

01題型綜述

解直角三角形及其應用中的方位角問題是初中數學將幾何知識緊密聯系實際生活，尤其是航海、航空、野外定向等

場景的重要內容，通過構建直角三角形，運用三角函數知識解決基于方位角的位置與距離計算，在中考數學中分值占

比約5%-8%o

1.考查重點：重點考查對方位角概念的清晰理解，明確如何依據方位角在實際情境中構建直角三角形，并運用三角函

數準確求解涉及的邊長與角度，實現位置關系和距離的量化計算。

2.高頻題型：高頻題型包括已知某點相對于另一參考點的方位角及其他線段長度，求兩點間實際距離；根據不同觀測

點對同一物體的方位角，確定物體的準確位置并計算相關距離；在航海、航空等實際場景中，依據方位角變化及航行

數據，計算航行軌跡長度、轉向角度等問題。

3.高頻考點：考點集中在方位角的準確識別與應用，直角三角形中三角函數（正弦、余弦、正切）與方位角所構建幾

何關系的運用，以及將實際方位角場景精準抽象為數學模型（直角三角形）并進行求解的過程。

4.能力要求：要求學生具備較強的空間想象能力，能將文字描述的方位角信息轉化為直觀的幾何圖形；擁有良好的閱

讀理解能力，從復雜的實際情境中提取關鍵信息；掌握扎實的三角函數運算能力，準確處理與方位角相關的數值計算。

5.易錯點：易錯點在于對方位角的方向判斷錯誤，導致構建的直角三角形方位錯誤；在利用三角函數計算時，混淆直

角三角形各邊與方位角的對應關系，錯誤選擇三角函數公式；計算過程中出現粗心錯誤，如三角函數值記錯、運算順

序出錯或單位換算不當。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.方位角：

由方向+角度構成。

在解決有關方位角的問題中，一般要根據題意理清圖形中各角的關系，有時所給的方向角并不一定在直角三

角形中，需要用到兩直線平行內錯角相等或一個角的余角等知識轉化為所需要的角。

一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉相應度數。

【典例分析】

例1.（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖，CD是一座南北走向的大橋，一輛汽車在筆直的公路/上由北向南行駛，在A

處測得橋頭C在南偏東30。方向上，繼續行駛1500米后到達8處，測得橋頭C在南偏東60。方向上，橋頭。在南偏東45。

方向上，求大橋C。的長度.（結果精確到1米，參考數據：73^1.73）

例2.（2024?四川資陽?中考真題）如圖，某海域有兩燈塔A,B,其中燈塔8在燈塔A的南偏東30。方向，且A,8相距

應I海里.一漁船在C處捕魚，測得C處在燈塔A的北偏東30。方向、燈塔B的正北方向.

3

D

B

⑴求8,C兩處的距離；

（2）該漁船從C處沿北偏東65。方向航行一段時間后，突發故障滯留于。處，并發出求救信號.此時，在燈塔8處的漁

政船測得。處在北偏東27。方向，便立即以18海里/小時的速度沿方向航行至。處救援，求漁政船的航行時間.

（注：點A,B,C,。在同一水平面內；參考數據：tan65°?2.1,tan27°?0.5）

例3.（2024?四川資陽?中考真題）如圖，某海域有兩燈塔A,B,其中燈塔B在燈塔A的南偏東30。方向，且A,8相距

史祖海里.一漁船在C處捕魚，測得C處在燈塔A的北偏東30。方向、燈塔B的正北方向.

3

B

⑴求8,C兩處的距離；

（2）該漁船從C處沿北偏東65。方向航行一段時間后，突發故障滯留于。處，并發出求救信號.此時，在燈塔8處的漁

政船測得。處在北偏東27。方向，便立即以18海里/小時的速度沿2。方向航行至。處救援，求漁政船的航行時間.

（注：點A,B,C,。在同一水平面內；參考數據：tan65°?2.1,tan27°?0.5）

例4.（2024?海南.中考真題）木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最

重要的航標.某天，一艘漁船自西向東（沿AC方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示.

航行記錄記錄一：上午8時，漁船到達木蘭燈塔尸北偏西60。方向上的A處.

記錄二：上午8時30分，漁船到達木蘭燈塔P北偏西45。方向上的8處.

記錄三：根據氣象觀測，當天凌晨4時到上午9時，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C

點周圍5海里內，會出現異常海況，點C位于木蘭燈塔尸北偏東15。方向.

請你根據以上信息解決下列問題:

⑴填空：ZPAB=°,ZAPC=°,AB=海里；

（2）若該漁船不改變航線與速度，是否會進入“海況異常”區，請計算說明.

（參考數據：＞72?1.41,A/3?1.73,76?2.45）

【變式演練】

1.（2025?河南焦作?一模）如圖，一艘輪船位于燈塔C的北偏東57。方向，距離燈塔50海里的A處，此時船長接到臺風

預警信息，臺風將在5小時后襲來，他計劃立即沿正南方向航行，趕往位于燈塔C的南偏東30。方向上的避風港3處.

B

⑴問避風港3處距離燈塔C有多遠.

（2）如果輪船的航速是20海里/時，問輪船能否在5小時內趕到避風港B處.（參考數據：sin57°?0.84,cos57°?0.54,

tan57°?1.54,73?1.73）

2.（2025?浙江杭州?模擬預測）如圖，所示，在某海域，一艘指揮船在C處收到漁船在8處發出的求救信號，經確定，

遇險拋錨的漁船所在的8處位于C處的南偏西45。方向上，且3c=100海里；指揮船搜索發現，在C處的南偏西60。方

向上有一艘海監船A,恰好位于2處的正西方向.于是命令海監船A前往搜救，已知海監船A的航行速度為40海里/

小時，問漁船在B處需要等待多長時間才能得到海監船A的救援？（已知行“41，762,45）

北

3.（2025?河北秦皇島?一模）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從A港出發，分別向3,。兩港運送物資，最后到達A港正東

方向的C港裝運新的物資.甲貨輪沿A港的東南方向航行10海里后到達8港，再沿北偏東60°萬向航行一定距離到達C

港.乙貨輪沿A港的北偏東60°方向航行一定距離到達。港，再沿南偏東30°方向航行一定距離到達C港.（參考數據:

0^1.41，A/3^1.73,y/6~2.45）

⑴求A,C兩港之間的距離（結果保留小數點后一位）；

⑵若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（停靠2、。兩港的時間相同），哪艘貨輪先到達C港？請通過計算說明.

4.（2025?山西朔州?一模）【實踐情景】如圖，太原市在本市兩景點之間開設了兩條徒步路線，線路1為CiW及路線,

路線為之間的線段；線路2為越野線路，路線為A-C-3之間的折線段.

【數據收集】

數據①：點B在點A的北偏東45。方向上；

數據②：線路2的行走方式為從起點A出發，先向北偏東15。的方向越野行走一段路程到達中轉點C,再從中轉點C向

正東方向行走2000米即可到達終點B.

【數據應用】

利用以上數據，求A8的長.（結果保留整數，參考數據：V2?1.414,76?2.449）

5.（2025?廣東清遠?模擬預測）中國人民解放軍在臺海地區開展的演習活動是維護國家主權安全和發展利益的正當之

舉，是外部勢力干涉和“臺獨”勢力挑釁的警懾反制，也是維護臺海地區和平穩定的必要行動.某次演習中，中國人民

解放軍在A城市周圍8、C、。三個區域演習，8在A正南方向，C在A正東方向，。在4東北方向，點8在點C南偏

西60。，點。在點C北偏西30。方向100海里處.（參考數據：立"41,括"73,卡。2.45）

⑴求AD的長.

（2）由于演習過程中的特殊任務，從點C到點A需要經過點D或點2,那么C到A的兩條路徑C-D-A和C-B-A哪

一條最短？

題型03坡度問題

01題型綜述

解直角三角形及其應用中的坡度問題是初中數學將幾何知識與實際工程、地形測量等場景深度融合的關鍵內容，借

助解直角三角形的方法處理與坡度相關的計算，在中考數學中分值占比約5%-8%o

1.考查重點：重點考查對坡度（坡比）概念的理解，即坡面的垂直高度與水平寬度的比值，以及如何將實際的坡度問

題轉化為解直角三角形問題，運用三角函數知識求解相關邊長和角度。

2.高頻題型：高頻題型有已知坡度和坡面的某一長度，求其他邊長，如已知坡度和斜坡長度，求垂直高度或水平寬度；

根據給定的地形坡度及相關數據，計算工程施工中的土方量、道路長度等實際問題；通過改變坡度條件，分析對相關

工程參數的影響并進行計算。

3.高頻考點：考點集中在坡度概念的準確應用，直角三角形中三角函數（如正弦、余弦、正切）與坡度的關聯及運用，

以及將實際的坡度場景抽象為數學模型（直角三角形）并求解的過程。

4.能力要求：要求學生具備較強的實際問題分析能力，從復雜的工程或地形描述中提煉出關鍵信息；擁有良好的數學

建模能力，準確構建與坡度相關的直角三角形模型；掌握熟練的三角函數運算技能，精準計算相關數值。

5.易錯點：易錯點在于對坡度概念理解不清，錯誤計算垂直高度與水平寬度的比值；在構建直角三角形時，混淆各邊

與坡度的對應關系，導致三角函數使用錯誤；計算過程中因粗心大意，出現三角函數值計算錯誤或單位換算失誤。

02解題攻略

【提分秘籍】

坡角，坡度（坡比）:

①坡角：斜坡與水平面形成的夾角叫做坡角。

②坡度（坡比）：坡面的鉛垂高度與水平寬度的比值叫做坡度或坡比。簡單理解即為坡角的正切值。

在解決坡度的有關問題中，一般通過作高構成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實際就是一銳角的正切值,

水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實質也是解直角三角形問題。

應用領域：①測量領域；②航空領域③航海領域：④工程領域等。

【典例分析】

例1.2023?湖北?中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABC。，斜面坡

度i=3:4是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度區的比.已知斜坡長度為20米，ZC=18°,求斜坡A3的長.（結果

精確到米）（參考數據：sin18°?0.31,cos18°?0.95,tan18°?0.32）

例2.（2023?江蘇泰州?中考真題）如圖，堤壩A3長為10m,坡度i為:1:0.75,底端A在地面上，堤壩與對面的山之間

有一深溝，山頂。處立有高20m的鐵塔CZ）.小明欲測量山高OE,他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線上，又在

壩頂B處測得塔底D的仰角a為26°35'.求堤壩高及山高。E.（sin26°35,?0.45,cos26°35,?0.89,tan26°35,?0.50,

小明身高忽略不計，結果精確到1m）

c

例3.(2024.四川巴中.中考真題)某興趣小組開展了測量電線塔高度的實踐活動.如圖所示，斜坡8E的坡度i=l:省,

BE=6m,在5處測得電線塔CD頂部。的仰角為45。，在E處測得電線塔C。頂部。的仰角為60。.

(1)求點8離水平地面的高度AB.

(2)求電線塔CD的高度(結果保留根號).

【變式演練】

1.(2025?湖南婁底?模擬預測)如圖，有一建筑物ED在小山3c上，小山的斜坡的坡角為1:石，在建筑物頂部有

一座避雷塔防，在坡底A處測得避雷塔頂端E的仰角為45。，在山頂8處測得建筑物頂端b的仰角為60。，已知

E、F、。在同一條垂直于地面的直線上，BD//AC,AB=1000m,BD=250m.

(1)求小山BC的高度;

⑵求避雷塔斯的高度.（結果精確到0.1m,痣“41，石點.73）

2.（2025?安徽馬鞍山,一模）為踐行“綠水青山就是金山銀山”的重要思想，某森林保護區開展了尋找古樹活動.如圖,

在一個坡度i=1:2.4的山坡AB上發現有一棵古樹CD.測得古樹底端C到山腳點A的距離AC=20m,在距山腳點A

水平距離10m的E處，測得古樹頂端。的仰角ZAED=48。，（古樹CD與山坡A8的剖面、點E在同一平面上，古樹CD

與直線AE垂直），求古樹C。的高度.（結果保留整數，參考數據：sin48°?0.73,cos48°?0.67,tan48°?1.1.）

3.（2025?湖南?模擬預測）如圖，防洪大堤的橫截面是梯形，背水坡A3的坡度i=l:g,AB=20米，身高為1.7米的

小明站在大堤A點，測得高壓電線桿的頂端。的仰角為30。，已知地面BC寬30米.

（1）求背水坡A3的坡角;

（2）求高壓電線桿CD的高度.（結果精確到0.1米.若=1.732）

4.（2025?上海寶山?一模）為了方便居民出入小區，小區業委會決定對大門口的一段斜坡進行改造.原坡面是矩形ABC。

（如圖1）,AB=4米，AD=2米，斜坡的坡角為30。.計劃將斜坡AB改造成坡比為1:2.5的斜坡AE（如圖2所示）,

（1）求改造后斜面底部延伸出來的部分（BE）的長度;

（2）改建這條斜坡需要多少立方米的混凝土材料?

VZABH=30°,AB=4米,

AH=—AB=2（米），BH=AB=2-\/3（米）,

22

ATJ1

在RtAAE”中，一=——，

EH2.5

，EH=2.5AH=2.5x2=5（米），

BE=EH-BE=（2-2⑹米,

5.（2025?陜西西安?模擬預測）隨著農業現代化的進一步推進，新農村的積極建設，農民伯伯可用無人機進行藥物噴灑

來消滅蟲害.如圖，這是一位農民伯伯噴藥過程中的實時畫面示意圖，他在水平地面上點A處測得無人機的位置點。的

仰角為53。.當他迎著坡度為&15的斜坡從點A走到點8時，無人機恰好從點。沿著水平方向飛到點C此時，他在點B

處測得點C的仰角/C3E為45。.已知鉆=34米，CD=50米，這位農民伯伯讓無人機沿與水平地面平行的方向飛行

以便噴灑均勻.點A,B,C,D,E,B在同一豎直平面內，求此時無人機的位置點C距水平地面AF的高度.（測角儀

4

的高度忽略不計.參考數據：sin53°?0.8,cos53°?0.6,tan53°?j）

03中考練場

一、單選題

1.（2025?海南三亞?模擬預測）如圖，建筑物A3和旗桿C。的水平距離3C為9m,在建筑物的頂端A測得旗桿頂部。的

仰角a為45。，旗桿底部C的俯角￡為30。，則旗桿C。的高度為（）

A.3-JimB.3y/3mC.（3&+9）mD.（373+9）m

2.（2025?上海閔行?一模）如圖是一個學校司令臺的示意圖，司令臺離地面的高CD為2米，平臺2C的長為1米，用7

米長的地毯從點A到點。正好鋪滿整個臺階（含各級臺階的高），那么斜坡A5的坡比是（）

3.（2025?廣東深圳?一模）如圖，一枚運載火箭從地面￡處發射,雷達站R與發射點￡水平距離為8km,當火箭到達A

點時，雷達站測得仰角為53。，則這枚火箭此時的高度兒為（)km.

A.8sin53°B.8cos53°D.8tan53°

4.（2025?廣東深圳?一模）為出行方便，越來越多的市民使用起了共享單車，圖1為單車實物圖，圖2為單車示意圖,

4B與地面平行，坐墊C可沿射線8E方向調節.已知ZABE=80。，車輪半徑為30cm,當3c=70cm時，小明體驗后

覺得騎著比較舒適，此時坐墊C離地面高度約為（）（結果精確到1cm,參考數據：sin80°?0.98,cos80°?0.17,

tan80°x5.67)

圖1

A.99cmB.90cm

二、填空題

5.（2025?廣東潮州?模擬預測）如圖，河堤橫斷面迎水坡的坡比是1:石，河堤的高3c=10米，則坡面A3的長度是

米.（坡比也叫坡度.坡比是1:6指點8向水平面作垂線BC,垂足為C,BC:AC=1：A/3.）

B

6.（2025?廣東清遠?一模）圖1是一個地鐵站入口的雙翼閘機，圖2是它的簡化圖，它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點

A與8之間的距離為10cm,雙翼的邊緣AC=BD=80cm,且與閘機側立面夾角NACP=ZBOQ=32。.當雙翼收起時，

可以通過閘機的物體的最大寬度為cm.（參考數據：sin32°?0.53,cos32°?0.85,tan32°?0.62）

7.（2025?福建泉州?一模）如圖是一種筆記本電腦支架，它有A到尸共6個檔位調節角度.相鄰兩個檔位間的距離為

2cm.將某型號電腦打開置于水平托架上，屏幕側寬尸M與托架側寬加都是24cm,。是支點且8=2MD.當支架

調到8檔時，BD1OM；調到下檔時，托架繞點。旋轉至。0',支點。旋轉至點6時，D'F=OF,PM'YOA.若

眼睛。的水平視線恰好經過點P.測點。的俯角為45。，則眼睛與屏幕的距離QP為cm.

三、解答題

8.（2025?河南商丘?一模）圖是水池邊的一塊警示牌的側面示意圖，矩形鐵架鉆。垂直固定在水平地面上，鐵架上面

是一個邊緣為圓弧形的塑料面板.已知CD=18cm,CB=2m,優弧CD所在圓的圓心48的距離為2.12m,小龍在

水池對面的點E處用測角儀測得塑料面板點F處的仰角為60。（注:此時視線與圓弧形塑料面板相切，且與矩形ABC。

在同一平面內，點E,A,B在同一水平線上）.

（1）求優弧所在圓的半徑.

（2）求AE的長度（結果保留根號）.

9.（2025?河北邯鄲?一模）為建設美好公園社區，增強民眾生活幸福感，某社區服務中心在文化活動室墻外安裝避陽篷,

便于社區居民休憩、如圖，在側面示意圖中，遮陽篷長為5米，與水平面的夾角為16。，且靠墻端離地高為4

米，當太陽光線AD與地面CE的夾角為45。時；

（I）若求郎的長度；

（2）求陰影的長.（參考數據：sin16°?0.28,cosl6°?0.96,tan16°?0.29）

10.（2025?遼寧?模擬預測）如圖（1）是一臺實物投影儀，圖（2）是它的示意圖，折線表示可轉動支架，支

架2C可以伸縮調節，投影探頭CD始終垂直于水平桌面MN,與始終在同一平面內.已知投影儀的底座高3厘

米，支架AB=30厘米，探頭CD=1。厘米.（參考數據：sin75°?0.97,cos75°?0.26,tan63°?2,sin53°?0.8,V10?3.16）

（I）（2）3

⑴當支架4B與水平線的夾角為75。，與支架的夾角為90。，且3c=AB時，求探頭的端點。到桌面MN的距離.（結

果保留一位小數）

（2）為獲得更好的投影效果，調節支架AB,如圖（3）所示，使得與水平線的夾角為53。，同時調節支架BC,使得

探頭端點。與點8在同一水平線上，且從點?？袋cA的俯角為63。，此時支架8c的長度為多少？（結果保留一位小數）

11.（2025?河南開封?一模）圭表塔是聳立在河南科技館新館最高的建筑，某校數學興趣小組的同學使用卷尺和自制的

1.4m高的測角儀測量圭表塔的高度，示意圖如圖所示，組員甲在水平地面點E處用測角儀測得圭表塔最高點8處的仰

角為38.5。，組員乙從點M處沿臺階上至第4級，在點。處測得圭表塔最高點B處的仰角為45。，用卷尺測得每級臺

階寬為0.3m,高為Q15m,點、M,E之間的距離為222m.求圭表塔的高度8尸（點M,C,A在同一豎直平面

內，CDLME,AEVME,結果精確到1m.參考數據：sin38.5。=0.62,cos38.5?！?.78,tan38.5°?0.80）.

12.（2025?重慶?模擬預測）如圖，某鐵塔附近有一建筑物C。，建筑物高30米，一旅游愛好者站在建筑物一樓地面

墻角。處測得塔頂A仰角為45。在樓頂C處測得塔頂A的仰角為30。，點4B,C,。在同一平面內.

（1）求塔的高度A3；（結果保留兩位小數）

（2）若一無人機速度為6米/秒，此無人機從樓頂C沿C4方向飛行到塔頂A,再立即沿AD方向飛回。處，此過程一共需

要多少秒？（結果保留整數.參考數據:百元.732,04414）

13.