試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)特訓(xùn)：圓的證明與計(jì)算綜合練習(xí)1．如圖，與相交于點(diǎn)E，連接．經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的交于點(diǎn)F，且是的切線．(1)連接，求證；(2)求證；(3)若，則的半徑為．2．如圖，已知四邊形內(nèi)接于半徑為的圓，且于，于．(1)求證：．(2)設(shè)是圓上不同于四邊形頂點(diǎn)的一點(diǎn)，過(guò)作于，于，于，于（其中，，未畫出）．（2.1）求證：．（2.2）求證：．3．如圖，為直徑，射線交于點(diǎn)，弦平分，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．(1)求證：直線是的切線；(2)若，求線段的長(zhǎng)度．4．如圖1，在中，直徑與弦相交于點(diǎn)，．(1)求證：；(2)如圖2，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)；(3)如圖3，連接、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：是的切線．5．如圖，在正方形中，點(diǎn)分別在邊上，，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的圓交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．(1)證明：．(2)證明：．(3)當(dāng)時(shí)，求的值．6．如圖，是的直徑，，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，，垂足為E，交于點(diǎn)D，連接．(1)求證：；(2)若，，求陰影部分的面積．7．如圖，是的外接圓，是的直徑，平分，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，連接，，點(diǎn)P是劣弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接，，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)F．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：是的切線；(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試探究的值是否改變，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出該值．8．已知：如圖，是的直徑，過(guò)的中點(diǎn)，且于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的直徑．9．如圖1，是的內(nèi)接三角形，，為的直徑，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的切線于點(diǎn)．(1)試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．(2)如圖2，連接，若，，求的值．10．如圖，在中，以為直徑的分別交，于點(diǎn)、，與交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．11．如圖，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，以為直徑作，過(guò)點(diǎn)作的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于另一點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．12．如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，的平分線交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接，．(1)求證：是的切線；(2)若的直徑為9，，求的值．13．如圖，是的直徑，為上一點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作切于點(diǎn)，連接，，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，，求的長(zhǎng)．14．如圖1，在中，，是的外接圓，點(diǎn)在上且．(1)求證：；(2)在圖2中，求作的內(nèi)心（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(3)在（2）的條件下，若，求的長(zhǎng)．15．在中，，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，連接．(1)如圖1，如果，求證：；(2)以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)度為半徑作，交線段于點(diǎn)G．①如圖2，如果點(diǎn)G是的重心，求的值；②如圖3，連接并延長(zhǎng)，交邊于點(diǎn)D，如果平分，，，求的半徑長(zhǎng)．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案1．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）連接交于點(diǎn)G，證明，利用垂徑定理即可得到結(jié)論；（2）連接，證明，即可利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例證出結(jié)論；（3）連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，連接，由，對(duì)應(yīng)邊成比例求出，在中，由勾股定理求出，進(jìn)一步求出OH，在中，利用勾股定理即可求出半徑．【詳解】（1）證明：如圖，連接交于點(diǎn)G，是的切線，，即，，，，，，，，即，由垂徑定理可得，垂直平分，；（2）證明：如圖，連接，由（1）知，，則，又，，又，，∴，即：；（3）解：如圖，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，連接，，則，由（2）可知，，，由（2）知，則，即，，又，垂直平分，，在中，，設(shè)半徑為r，則,在中，即：，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題綜合考查圓的知識(shí)，解答中涉及圓的基本知識(shí)，切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，能綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．2．(1)見(jiàn)詳解；(2)（2.1）見(jiàn)詳解；（2.2）見(jiàn)詳解【分析】（1）通過(guò)連接并延長(zhǎng)，交于，連接，，，，利用垂徑定理和圓周角定理、圓心角定理及三角形中位線的性質(zhì)來(lái)證明．（2）（2.1）構(gòu)造直徑，利用圓周角定理得到直角三角形，再通過(guò)相似三角形的性質(zhì)來(lái)證明，進(jìn)而可得．（2.2），根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，進(jìn)而證明，得，同法可證明，得，從而得出．【詳解】（1）證明：連接并延長(zhǎng)，交于，連接，，，，是的直徑，，，，，，，，，，，，，，，是的中位線，，；（2）（2.1）證明：連接并延長(zhǎng)，交于，連接，是的直徑，，，，，，，，，的半徑為，；（2.2）證明：根據(jù)題意作圖如下：連接，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，于，于，，，，于，于，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要涉及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)等知識(shí)．準(zhǔn)確作出輔助線找到線段、角之間的關(guān)系是正確解答此題的關(guān)鍵．3．(1)證明見(jiàn)解析(2)線段的長(zhǎng)度為【分析】此題重點(diǎn)考查平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定、圓周角定理、勾股定理等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接，則，所以，而，則，所以，由于點(diǎn)，得，則，即可證明直線是的切線；（2）連接，由，，，求得，由，得，則．【詳解】（1）證明：連接，則，，弦平分，，，，于點(diǎn)，，，是的半徑，且，直線是的切線．（2）解：連接，，，，，，，，線段的長(zhǎng)度是．4．(1)見(jiàn)解析(2)3(3)見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了弦、弧、圓心角的關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）由得到，結(jié)合得到，則有，即可得證；（2）利用平行線的判定證出，推出，得到，在中利用勾股定理列出方程，解出的長(zhǎng)，即可求出的長(zhǎng)；（3）由是的直徑，得到，通過(guò)證明得到，進(jìn)而證出，得到，利用角度之間的等量代換得到，則有，即可得證．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵，∴，由（1）得，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，，，∵在中，，∴，解得：（負(fù)值舍去），∴，∴，∵，∴，∴的長(zhǎng)為3．（3）證明：∵是的直徑，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，即，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是的切線．5．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意證明，，從而得到，即可得到結(jié)論；（2）作，推出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（3）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，作，證明，設(shè)，則，證明，求出，即可求出答案．【詳解】（1）證明：四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，；（2）證明：作，交于，，，由（1）可得：，，，；（3）解：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，，四邊形是正方形，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，是圓的直徑，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理的推論，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．6．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由與相切于點(diǎn)A，得，則，由于點(diǎn)E，得，則，所以，則；（2）作于點(diǎn)F，由是的切線，得，可證明四邊形是矩形，由的直徑，得，而，則是等邊三角形，所以，，則，求得，，由，求得，即可由求得．【詳解】（1）證明：∵與相切于點(diǎn)A，∴，∴，∵，垂足為E，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．（2）解：作于點(diǎn)F，則，∵是的切線，∴，∴，∴四邊形是矩形，∵是的直徑，且，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)定理、切線長(zhǎng)定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、同角的余角相等、圓周角定理、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形、三角形的面積公式及扇形的面積公式等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．(1)(2)見(jiàn)解析(3)的值不變，且【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求的度數(shù)即可；（2）證明，得出，根據(jù)為的直徑，即可證明結(jié)論；（3）延長(zhǎng)，取，連接，，，證明，得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，求出，最后求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵四邊形為圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴；（2）證明：∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵為的直徑，∴是的切線；（3）證明：的值不變，且．延長(zhǎng)，取，連接，，，如圖所示：∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∵四邊形為圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形，切線的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．8．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了切線的判定、圓周角定理推論及等邊三角形的判定與性質(zhì)．（1）先證明，即可證明，進(jìn)而證明結(jié)論；（2）先證明是直角三角形，求出，再證明是等邊三角形，即可求出結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接．是直徑，是的中點(diǎn)．是的中點(diǎn)，．．，．，即，是上一點(diǎn)，是的切線；（2）解：連接，是的直徑，，是直角三角形，，．，，．，．．，是等邊三角形，．直徑為．9．(1)四邊形是矩形，證明見(jiàn)解析．(2)【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理、勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．（1）由垂徑定理可知，由切線的性質(zhì)可得，由圓周角定理可得，根據(jù)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形可得結(jié)論；（2）由勾股定理和矩形性質(zhì)可得，，，繼而結(jié)合垂徑定理求出，由中位線性質(zhì)可得，進(jìn)而求出，由此即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，證明：∵，是半徑，∴，∴，（即），∵為的直徑，∴，∵是的切線，是半徑，∴，∴四邊形是矩形．（2）解：∵，，，∴，∵四邊形是矩形，∴，，，∴，，∵在中，，，∴，解得：，∵，，∴，∴，∴．10．(1)見(jiàn)解析；(2)．【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，可得：，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為，可得：，又因?yàn)椋傻茫鶕?jù)等量代換可得：，根據(jù)等角對(duì)等邊可證結(jié)論成立；利用勾股定理可求，由可知，又因?yàn)椋钥汕螅霉垂啥ɡ砜汕螅鶕?jù)等腰三角形的三線合一定理可得．【詳解】（1）證明：為的直徑，，，在四邊形中，，又，，，，；（2），，，，由可知，，在中，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、勾股定理、等腰三角形的三線合一定理、四邊形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．11．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查的是切線的性質(zhì)，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)圓周角定理得到，證明結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)余弦的定義求出、，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：，，，，，，，，由圓周角定理得：，，，；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，則，，，，即，，是的切線，，，，，．12．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了切線的判定定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．（1）連接，由等邊對(duì)等角結(jié)合角平分線的定義可得，推出，結(jié)合題意得出，即可得證；（2）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明出，再證明出，結(jié)合，得出，即可得解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵為半徑，∴是的切線；（2）解：∵的直徑為9，為的直徑，∴，，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．13．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）由圓周角定理可得，從而可得，由切線的性質(zhì)可得，推出，即可得證；（2）證明，由相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可得解【詳解】（1）證明：∵是的直徑，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，∴；（2）解：∵是的直徑，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，∵于點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴．14．(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解；(2)見(jiàn)詳解；(3)5【分析】本題主要考查圓的相關(guān)知識(shí)，涉及同弧所對(duì)的圓周角相等、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)心的概念以及相似三角形的判定與性質(zhì)．熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是正確解答此題的關(guān)鍵．（1）要證明，可通過(guò)證明，利用同弧所對(duì)的圓周角相等以及已知條件進(jìn)行角度轉(zhuǎn)化．（2），根據(jù)三角形內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，利用尺規(guī)作角平分線的方法來(lái)作出的內(nèi)心．（3），通過(guò)證明，利用相似三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)邊成比例，從而求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：，．，，．．（2）解：，是的平分線，作的角平分線，兩條角平分線的交點(diǎn)即為的內(nèi)心．作法：以為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交、于兩點(diǎn)，再分別以這兩點(diǎn)為圓心，大于這兩點(diǎn)距離一半的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于一點(diǎn)，過(guò)和這個(gè)交點(diǎn)作射線；交于點(diǎn)，如圖，點(diǎn)即為所求．（3）解：，．是的內(nèi)心，，，，，，，，，，，，，，．15．(1)見(jiàn)詳解(2)①；②的半徑長(zhǎng)為【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D，由題意易證，則有，然后可由進(jìn)行求證即可；（2）①過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，由題意易得，，，則可設(shè)，則有，，然后根據(jù)勾股定理及三角函數(shù)可進(jìn)行求解；②由題意易得，則有，過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)Q，連接，然后可得，則有，，進(jìn)而可得，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及勾股定理可進(jìn)行求解．【詳