吉林省吉林市第二中學2024-2025學年高一上學期期中考試數學試題

第I卷

說明：1、本試卷分第I試卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分；

2、滿分150分，考試時間120分鐘.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合/={1,2,3,4,5},/={x"<x<5},則/ng的元素個數為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】直接根據集合的交集運算求解即可.

【詳解】因為集合4={1,2,3,4,5},5={x|l<x<5}

所以2口8={2,3,4},

即A^B的元素個數為3個.

故選：B

2

2.命題?：Vx>2,x-l>0.則命題夕的否定形式是（）

22

A.Vx>2,x-l<0B.Vx<2,x-l>0

C.Bx>2,x2-l<0D.Bx<2,x2-l<0

【答案】C

【解析】

【分析】根據全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可得到結論.

【詳解】命題0：Vx>2,/一1〉0,為全稱量詞命題，

則該命題的否定為：3x>2,x2-l<0.

故選：C.

3.設xeR,則“x<3”是“》（工一2）<0”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】由集合的包含關系即可判斷.

【詳解】由x(x—2)<0可得0<x<2,

顯然(0,2)(-叫3),

所以“x<3”是“x(x-2)<0必要不充分條件.

故選：B

4.下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是()

A,j=|x|(xeJ?)B.j=—(XT^O)

X

C.y=-x2(xeJ?)D,y=-x(xe7?)

【答案】D

【解析】

【分析】分別利用函數的奇偶性和單調性的定義去判斷即可.

【詳解】選項A,V=國在(0,+8)上為增函數，在(-00,0)上單調遞減；選項B,y=：在(-*0)和(0,+OO)

上單調遞減，不能說在定義域上單調遞減；選項C,>=-/在(0,+8)上為減函數，在(一叫0)上單調遞增,

且為偶函數，只有選項D在其定義域內既是奇函數又是減函數.故選D.

【點睛】本題主要考查函數的單調性與奇偶性的判斷，注意要優先考慮定義域，及函數單調區間的寫法，

考查了推理與運算能力，屬于基礎題.

5.我國著名數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合白般好，隔離分家萬事休

在數學的學習和研究中，有時可憑借函數的圖象分析函數解析式的特征.已知函數/(x)的部分圖象如圖所

示，則函數/(x)的解析式可能為()

A./(小偉B./(引吉

C/(力吾D./(小蕓

【答案】C

【解析】

【分析】根據圖象函數為奇函數，排除D；再根據函數定義域排除B；再根據x>l時函數值為正排除A；

即可得出結果.

【詳解】由題干中函數圖象可知其對應的函數為奇函數，

而D中的函數為偶函數，故排除D；

由題干中函數圖象可知函數的定義域不是實數集，故排除B；

對于A,當x>l時，y<0,不滿足圖象；對于C,當x>l時，y>0,滿足圖象.

故排除A,選C.

故選：C

6.當0WxV2時，a<—V+2x恒成立，則實數。的取值范圍是()

A.a<\B.a<QC.a<0D.a>0

【答案】C

【解析】

【分析】根據恒成立問題結合二次函數最值分析求解.

【詳解】記/(x)=—/+2%,0〈》<2,則”/(x)mm，xe[0,2].

而/(x)=-x2+2x=-(x-I)2+1,

當0?X<2時，=/(0)=/(2)=0,

所以實數。的取值范圍是戰0.

故選C.

7.判斷下面結論正確的個數是()

①函數y=:的單調遞減區間是(一叫0)。(0,+8)；

②對于函數/(x),xwD,若X],”D且八工；〉0,則函數/(X)在。上是增函數；

③函數y=|x|是R上的增函數；

①已知/(》+1)=/+2》+2,則/(工)=k+1

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【解析】

【分析】對于①，舉例判斷，對于②，由增函數的定義判斷即可，對于③，舉例判斷，對于④，利用配湊

法求解即可

【詳解】對于①，當x=-1時，y=-l,而當x=l時，j=L所以函數y=L的單調遞減區間不是

X

(-oo,0)U(0,+oo),所以①錯誤，

對于②，由/(*)/(")〉0可得(再一/)[/(再)_/02)]>0,所以西一馬與/"(石)一/。^)同號，所

再-x2

以函數/(X)在。上是增函數，所以②正確，

對于③，當X=-1和X=1時，y=l,所以y=|x|不是R上的增函數，所以③錯誤，

對于④，因為/(》+1)=/+2%+2=0+1)2+1,所以/(x)=f+l,所以④正確，

故選：B

8.已知/(%)是定義在R上的偶函數，且在(0,+。)上是增函數，若/(-3)=0,則切(%)〉。的解集是

()

A.(-3,0)u(3,+oo)B.(-co,-3)u(3,+oo)

C.(-00,-3)u(0,3)D,(-3,0)o(0,3)

【答案】A

【解析】

【分析】利用/(x)的奇偶性與單調性求得/(x)〉0與“X)<0的解，從而分類討論葉(x)>0即可得解.

【詳解】因為/(x)是定義在R上的偶函數，所以/(x)=/(|x|)，

又/(x)在(0,+8)上是增函數,/(3)=/(-3)=0,

當x=0時，力(％)>0不成立；

當xwO時，由/(x)〉0,得/(附>/⑶，則忖>3,故x<—3或x>3；

由/(x)<0,得/(忖)</(3),貝！|忖<3,故—3<x<0或0<x<3；

Ix>0Ix<0

而由切(x)>0,得"⑴‘°或"⑴(°解得x〉3或一3Vx<0,

即獷'（X）>0的解集為（-3,0）u（3,+8）.

故選：A.

第n卷

二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列函數中，與函數y=x+2不是同一個函數的是（）

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據兩函數定義域相同且解析式一致即為相等函數，一一判斷即可.

【詳解】解：y=x+2的定義域為R.

對于A,歹=（475『的定義域為12,+8）,與y=x+2的定義域不同，不是同一函數；

對于B,y=#/+2=x+2定義域為R，與y=x+2定義域相同，對應關系相同，是同一函數;

2

對于c,y=±+2的定義域為｛x|xw。｝，與y=x+2定義域不同，不是同一函數；

x

/—r,,（x+2,x>0

對于D,y=ylx2+2=\x\+2=\-八，與y=x+2的對應關系不同，不是同一函數.

11[—x+2,x<0

故選：ACD.

10.下列說法正確的是（）

A.函數y=2x（xeZ）的圖象是一條直線

B.若函數y=/+（2a-l）x+l在（-叫2）上單調遞減，則。4-萬

C.若/（2x+l）=x2,則/（3）=4

D.函數1=J*+3-的單調遞減區間為（—叫—引

【答案】BD

【解析】

【分析】根據函數的概念、常見函數的圖象與性質、復合函數的單調性等逐一判斷即可得出結果.

【詳解】解：選項A：由于函數y=2x（xeZ）的定義域為整數，所以函數歹=2x（XGZ）的圖象是

由一系列的點構成，故選項A錯誤；

選項B：函數y=—+（2a—l）x+l的對稱軸為x=------且開口向上，當函數y=x?+（2a—l）x+l在

（-00,2）上單調遞減時，則----—>2,解得aV-5,故選項B正確；

選項C：令2x+l=3,即x=l,/（3）=12=1,故選項C錯誤；

選項D：函數y=正+3x的定義域為{劉x?0或x4一3}.當x20時,函數y=〃為增函數，,=必+3%

為增函數，故函數y=J無2+3x在［0,+8）單調遞增;當xV-3時，函數y=〃為增函數，/=f+3x為

減函數，故函數,=42+3彳在（-叱-3］單調遞減;故函數y=J無2+3x的單調遞減區間為（-*-3］,故

選項D正確.

故選：BD.

11.己知x〉0,y>0,且x+y=l,則下列說法中正確的是（）

14

A.中有最大值為了B.一+一有最小值為9

4xy

3y1

C.f+2/有最小值為wD.二+一有最小值為3

xy

【答案】ABD

【解析】

14

【分析】直接利用基本不等式，可求得犯的最大值，判斷A;將一+一變為

xy

1414v4x

—+—=（—+一）（工+刃=5+4+——，利用基本不等式求得其最小值，判斷B；將歹=1-x代入/+2/,

xyxyxy

y1

利用二次函數知識可判斷C,將1=x+y代入乙+一,利用基本不等式可判斷D.

xy

【詳解】由x〉0,J7>0,且x+y=l,可知x+即町V；，

當且僅當x=y=，時取等號，故A正確；

-2

-+—=(—+—)(x+j)=5+—+—>5+2\^=9,

xyxyxj

y4x12

當且僅當」=——即》=—,y=一時取等號，故B正確；

x了33

由x〉0,y>0,且x+.v=l,可知0<x<l,故x?+2/=必+2Q—X)2=3必—4x+2,

2422

當x=—e(O,l)時，=3/—4x+2取得最小值為3x——4x-+2=-,故C錯誤;

3933

y1yxyx1

-+-=-+--=:-+-+l>2+1=3,當且僅當二=一，即x=y=一時取等號，

xyxyxyxy2

故D正確，

故選：ABD

三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.函數/(》)=▲+的定義域是.

【答案】(F,0)3。』

【解析】

【分析】根據偶次方根的被開方數非負、分母不為零得到方程組，解得即可；

1I---[1-x>0

【詳解】解：因為/(x)=—+6工，所以《，解得x<l且XW0,

XXWU

故函數的定義域為(―8,O)u(O,l]；

故答案為：(―8,0)口(0,1]

13.已知函數/卜尸」?；：：,二貝丫(〃3))=.

【答案】32

【解析】

【分析】根據題中所給的分段函數運算求值.

【詳解】由題意可得："3)=—2x3=-6,貝=6)=(—6)2—4=32

故答案為：32.

a,a<b

14.定義min{a,6}=<,設函數/(力=01也{-2必+2》-1,》-2},則/(x)的最大值為

b,a>b

【答案】-1

【解析】

【分析】化簡函數/(x)的解析式，作出函數/(x)的圖象，結合圖象可得出函數/(x)的最大值.

【詳解】當—2f+2x—IVx—2時，即2f—x—120，解得工或x21,

2

此時，/(x)=min{-2xi+2x-l,x-2}=-2x?+2x-1；

當一2/+2x-1〉x-2時，即2》2-x-1<0>解得一不<%<L

2

止匕時，/(x)=min|-2x2+2x-l,x-2|=x-2,

,1

-2x+2x—1,-5<x<l

所以，/(%)=<

x—2,x<—21

2

作出函數/(X)的圖象如下:

由圖可知/(x)max=/(l)=—L

故答案為：-1.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知全集0=11,集合Z=集合5={x|—l<x<2}.

(1)求集合NcB；

(2)若集合C={x|a<x<a+1},且求實數。的取值范圍.

【答案】(1)ZcB={x[—l<x<0或l<x<2}

(2){a|-l〈a<l}

【解析】

【分析】(1)根據分式不等式求集合力,進而根據交集運算求解；

(2)分析可知Cw0,根據包含關系列式求解.

【小問1詳解】

對于一<1,可得——>0,等價于x(x—1)>0,解得X>1或x<0,

XX

即4={x|x<0或x>1},

又集合5={x[—l<x<2},所以4c5=或l<x<2}.

【小問2詳解】

因為C=集合5={1|一1<%<2},集合C={x[a<x<a+1},

a>—1

顯然Cw0,貝叼一，一解得—

a+l<2

所以實數a的取值范圍為{a\-\<a<\].

「八一s/、x-2x

16.已知函數/(x)=2+—(-2<x<3).

-x>

（1）用分段函數的形式表示函數/（久）；

（2）畫出函數/（x）的圖象；

（3）寫出函數八支）的值域.

x+2,-2<x<0

【答案】⑴/（x）=1c八；（2）圖象答案見解析；（3）（0,21.

--x+2,0<x<3

【解析】

【分析】（1）分-2<xW0和0<xV3兩種情況去掉絕對值可求出函數的解析式;

（2）根據（1）的解析式畫出函數的圖像；

（3）根據函數圖像可求出函數的值域

x+2,-2<x<0

【詳解】（1）=I1c八.

-jx+2,0<x<3

（2）函數/（%）的圖象如下圖所示.

（3）由圖得函數八久）的值域為（0,2].

【點睛】此題考查分段函數，考查由函數解析式畫函數圖像，根據圖像求出函數的值域，屬于基礎題

17.已知函數/（6=廿W"（"eN*），且該函數的圖象經過點（2,J5）.

（1）確定加的值；

（2）求滿足條件/（2—a）>/（a—1）的實數a的取值范圍.

【答案】（1）1（2）1,1

【解析】

【分析】（1）代入點的坐標求解即可;

（2）利用幕函數的單調性求解即可.

【小問1詳解】

因為該函數的圖象過點(2,、歷)

所以2m2+加-^2=2萬'

所以=2,所以加=1或加二一2,

又加wN*，故加=1.

【小問2詳解】

由⑴知故/(x)為［0,+8)上的增函數，又由/(2-1),

2-a>0

3

得《a—120,解得l〈aV—.

2

2-a>a-1

所以滿足條件/(2—a)>/(a—1)的實數a的取值范圍為

18.已知定義在R上的奇函數/(x),當x〉0時，f(x)=-x2+2x.

%

5'

Z

3

"2

i

■>

-4-2-1~o~12345x

-i'

-3-

-4

-5-

(1)求函數/(%)在R上的解析式;

(2)畫出函數/(')的圖象;

(3)若函數/(%)在區間［-1,a-2］上單調遞增，求實數。的取值范圍.

-x2+2x,x>0

【答案】(1)/(%)=<

x2+2x,x<0

(2)圖象見解析(3)(1,3]

【解析】

【分析】⑴當x<0時，由/（x）=—/（—x）即可求得解析式，結合/（0）=0可得最終結果;

（2）根據解析式可作出函數圖象；

（3）根據函數圖象，結合單調性可直接構造不等式組求得結果.

【小問1詳解】

當x<0時，-x>0,f（-x）=-（-x）2-2x=-x2-2x,

:/（力為區上的奇函數，：./。）=一/（一%）=》2+2》（》<0）,

又/(0)=0滿足/(x)=x2+2x,

-x2+2x,x>0

x2+2x,x<0

【小問2詳解】

由（1）可得/（x）圖象如下圖所示,

【小問3詳解】

???/（X）在區間［-1,0-2］上單調遞增，

CL—2〉一1/I

結合圖象可得：即實數。的取值范圍為（1,3］.

19.近幾年，極端天氣的天數較往年增加了許多，環境的保護越來越受到民眾的關注，企業的節能減排被國

家納入了發展綱要中，這也為檢測環境的儀器企業帶來了發展機遇.某儀器公司的生產環境檢測儀全年需

要固定投入500萬元，每生產x百臺檢測儀器還需要投入y萬元，其中0<x<100,XFN,且

3x2+14x,0<x<50

V=8000每臺檢測儀售價2萬元，且每年生產的檢測儀