考點精煉一解三角形中的范圍問題

2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)備考

一、單選題

7T

1.在VABC中，ZA=-,AB=4,BC=a,且滿足該條件的VABC有兩個，則。的取值范圍是（）

O

A.（0,2）B.（2,273）

C.（2,4）D.（264）

AB2ADAAC

____|________2e[V2,2],貝I]cosNASD的范圍是()

2.在平行四邊形ABCD中,網(wǎng)|AD||AC|

J6572

c.建管D.~T9~8~

3.若鈍角三角形三內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，且最大邊長與最小邊長之比值為加，則機的范圍是（）

A.(2,+8)B.[2,+8)C.(3,+a))D.[3,+oo)

hc

4.在銳角三角形ABC中，NA=2NB,則方的范圍是（

43

A.B.C.D.

■§'59

5.在銳角三角形ABC中，已知。，b,c分別是角A,B,。的對邊，且百。=2〃sin3,a=6,則

b+c的取值范圍是（）

A.[6,12]B.(6,12]C.(6A/3,12]D.

6.在銳角VABC中,a、b、c分別是角A、B、C所對的邊,已知名==^且a=3,則b+c的

cosCcosA

取值范圍為（）

A.(3,6)B.(3,6]C.(3后6]D.(3A/3,6)

二、填空題

bc

7.在VABC中，角A,B,。的對應(yīng)邊分別為〃，b,。，滿足----1---2-1,則角A的范圍是

a+ca+b

8.已知在VABC中，角A&C的對邊分別為久友c,滿足A5=2,AC=3,則VABC的面積的范圍

為.

9.在VABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，且2b-c=2acosC.若VABC為銳角三角形，邊

c=2,求VABC面積的取值范圍______.

10.銳角三角形A3c的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若a=2,S.bcosA-2cosB=a,

則一的取值范圍為_________.

b

11.如圖，在VABC中，已知/B4C=120。，其內(nèi)切圓與AC邊相切于點，且AD=1,延長BA到E,

使BE=BC,連接CE,設(shè)以E,C為焦點且經(jīng)過點A的橢圓的離心率為白，以E,C為焦點且經(jīng)過點

A的雙曲線的離心率為e?,則」一的取值范圍是.

ere2

7T

12.已知a,b,c分別是VABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊，已知角A=§,b=4,若VABC是銳

角三角形，則VABC的面積為S的取值范圍為；若VABC是鈍角三角形，則邊。的取值范圍

為.

三、解答題

13.在AABC中，角所對的邊分別為4仇。,6=1且堊0二網(wǎng)￡=sin(B+C).

a-c

(awc)

⑴求△ABC的外接圓半徑；

(2)若△A3c為銳角三角形，求AABC周長的取值范圍.

14.已知銳角VABC的內(nèi)角A,B,C,所對的邊分別為。，b,c,且bsin=asinB.

2

⑴求角A；

⑵若銳角VABC外接圓的半徑為百，求2c-b的取值范圍.

15.在銳角VABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知2asinC-&c=0.

⑴求A；

⑵求4sin3-4sinC的取值范圍.

16.在VABC中，角A氏C所對的邊分別為。/c.已知。力,。成公比為q的等比數(shù)歹U.

(1)求口的取值范圍；

Ar

⑵求tan—tany的取值范圍.

17.在銳角AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2bsinA-=0.

(I)求角B的大小；

(II)求cosA+cosB+cosC的取值范圍.

A+「

18.AABC的內(nèi)角的對邊分別為a,b,c,已知asin-----=bsinA.

2

(1)求3；

(2)若AABC為銳角三角形，且c=l,求AABC面積的取值范圍.

參考答案

1.C

根據(jù)題意如下圖所示:

易知當3C，AC時，BC=ABsin30=2,若。=2滿足條件的三角形只有一個；

由題可知以8為圓心，。為半徑的圓與AC邊有兩個交點時，即圖中G，G兩點滿足題意;

所以可得即2＜。＜4；

即。的取值范圍是（2,4）.

故選：C

2.D

I\I.1II__I.1IIA.B2Az）AA.C

分析可得|AB|:|Aq：|Ac|二l:2:4,設(shè)恒研=1,則卜。卜2,卜。卜4,在等式網(wǎng)+國=由兩

邊平方可得出cos254。=主F，結(jié)合余弦定理可求得M＞『=10-儲，再利用余弦定理結(jié)合函數(shù)的

單調(diào)性可求得cosNASD的取值范圍.

AB2AoAACIIIII.I

因為后+不T=G，且AB+AD=AC,所以，,4：|相）|:,。卜1:2:彳

￡\.LjIIIIV_zI

不妨設(shè)I屈i=i,則,4=2,kq="

AB2ADAACJ2_5

在等式詞*由=記兩邊同時平方可得5+"os々AD=%，貝hosNBAD=—

在△ABD中，COS/A9=5T'4=力3,所以忸￡＞『=］0一方，

44

1+|BD|-47-A2

cosZABD=—_=,

2\BD\2A/10-22

令t=Jl。-萬，夜］,則cos/A2D=^~^=L-a,

易知y=在［跖2回上為增函數(shù)，所以cos/A血手,乎

故選：D.

3.A

鈍角三角形三內(nèi)角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，則3=（,A+C=^,

3

可設(shè)三個角分別為g-a,￡,g+A.（2<A<g）

33363

sm（——FA）——cosA+—sinA份.人

、7

故,,帆=—c=----3----=—?-------?仝-------=-v--3--+---ta--n--A-

Qqinr'A1-A,\/3—tanA

sin.-A）-cosA——sinA

322

又工<A<工，，在<tanA（百.

633

令1=tanA,且—<t<6，

3

則嚕紀=-（73-0+2^―+冷

y/3-t

因為函數(shù)根一+黑在a上是增函數(shù),

m>2,

故選A.

4.A

,一+csmB+sinC1sin3B』.一八0'b+c

由正弦定理可得二二二—二.n一二十c."，把Sin3B展開，即求-^，一的取值氾圍.

2b2sinB22sin32b

由正弦定理得:竺sinB+sinC1sinC

--------------------=—i-------------

2sinB22sinB

g、jb+c1sinC_1sin（兀-33）_1sin35

所以——=-+—；——

2b22sinB22sinB22sinB

1sin（23+3）1sinIBcosB+cos2BsinB

22sinB22sinB

12sin5cosBcosB+cos25sin3

=-+

22sin5

1122

=—+—cos2B+cosB=2cosB,

22

?.7C71

0<A<—0<2B<-

22

7171兀n兀

由銳角VABC,得?0<B<-,即，0<B<-,解得:—<B<—

2264

71

0<C<-0<7t-3B<—

122

所以正<cosB〈立，即』vcos'Bv』，所以l<2cos2g<3.

22242

故選：A

5.C

71

6b=2asinB=2bsinA=>sinA=,又VABC為銳角三角形,A=—,b+c=2R

3

(sinC+sinB)=〃sinC+sin

sinA

TT9JT

且0<3<—―0<—兀一。<一，

2

C+—e,1,.-.fe+ce(6^,12].

62

6.C

,2b—c3力cr,曰2b—ca

由...-=----和a=3,可得

cosCcosAcosCcosA'

由正弦定理，*近'_sinC=sin",即2sin5cosA=sinCeosA+sinAcosC,

cosCcosA

因sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,故得sinB(2cosA-l)=0,

1jr

因VABC是銳角三角形，故sin5>0,則有cosA=7,從而，A.

23

ba3

又由正弦定理，sinBsinCsinA石

2

即得人=25/3sinB,c=2sinC,

于是8+c=2^/^sinB+2^/3sinC=2^/5sinB+2^3sin(B+y)

則X+/早故等<sin(B+2,

故方+c的取值范圍為（3方,6].

故選：C.

7.嗚

由"T———>1,得Z?(〃+b)+c(〃+c)2(a+c)(〃+Z?),

Q+ca+b

化簡得―即^

1jr

即cosA2](0<A<7i),0<A<—.

故答案為:嗚

8.(0,3]

根據(jù)三角形面積公式以及三角形內(nèi)角正弦值的范圍即可求解.

由題知，c=2,b=3,

因為0<AVTC,

所以0vsinA<1,

所以VABC的面積為gbe?sinA=3sinAe(0,3].

故答案為：（0,3]

9.FT

先求角A,法一：由正弦定理將邊化角，再化簡即可得到角4法二：由余弦定理將角化邊，再化簡

即可得到角4再由正弦定理用C表示出6,再代入三角形的面積公式SMcug尻sinA,即可求得

VABC面積的取值范圍.

法一：因為2b—c=2acosC.

由正弦定理得2sin5—sinC=2sinAcosC，

又sin5=sin^Tr—(A+C)]=sin(A+C),

所以2(sinAcosC+cosAsinC)-sinC=2sinAcosC.

所以2cosAsinC—sinC=0.

因為OVCVTT,所以sinCwO,所以cosA=L

2

因為A?0,兀），所以，A=1.

法二：因為2b-c=2〃cosC,

42**2

由余弦定理得=

整理得/+。2—〃=歷,

rrKib2+C2—a21

所以cosAA=——------=—

2bc2

TT

又0<4<兀，所以A=§.

0<C<~,

根據(jù)題意得2解得

工+C>362

132

b

在VABC中，由正弦定理得

sinCsinB

所以csinB2sin（C+g）

sinC+\/3cosC

u=--=-------------------=1+——

sinCsinCsi、nCtanC

因為所以tanCe,+oo,

627

所以，^e（O,3）,所以1+二匕€（1,4）.

tanC'）tanC''

B力、

所以S/^ABC=-bcsmA^--\1+?2x,2班

22tanC,~2~~27

2、

右.

所以VABC的取值范圍是12,2

7

解：因為a=2,且Z?cosA-2cos5=a,所以Z?cosA-acosB=a

由正弦定理一^—二b得:sinBcosA-sinAcosB=sinA,所以sin（3-A）=sinA

sinAsinB

又銳角三角形ABC中，ABefo,"J,則3—A=A,即B=2A

?.71

0<A<—

2

°。苦，解得"人甘

所以C=7T-A—3=TT-3A,由于銳角三角形ABC,所以

0<7i-3A<-

2

所以。-2c-asinC-sinA_sin（2A+A）-sinA2sinAcos2A+cos2AsinA-sin3A-sinA

bbsinBsin2A2sinAcosA

2cos2A+cos2A-sin2A-l4cos2A-2小1

=------------------------------------=---------------=2cosA4----------

2cosA2cosAcosA

?十兀.兀|-（i/.（兀兀）r、Xi>Lr1/.（冗兀、t'-VtLVt

由于:<A<:，則丁=8$人A在二，:上遞減，y=——在工，工上遞增

64<64JcosA<64J

所以—=2SSA-意在q,T上遞減，于是有28SA-即一的取值范圍為

故答案為:

11.（0,1）

如圖，設(shè)M,G分別是8C,BE與圓的切點，由圓的切線性質(zhì)知,

AG=AD=1,設(shè)CD=CM=GE=m,(m>l)

AC=1+m,AE=GE—AG=m—1,

在“。石中，

CE-=C42+AE2-2CA-EAcos60°=nr+3^-CE=，療+3，

C為焦點且經(jīng)過點A的橢圓的離心率為q=如坦

以E,

2m

in2+3

以E,C為焦點且經(jīng)過點A的雙曲線的離心率為e?

2

14m4

則eem2+33

x2m-\——

m

在VA5C中，設(shè)=:.BC=m+n,AC=m+l,AB=n+l,

由余弦定理可知：BC2=AB2+AC2-2AB?ACcosl20°

3m+3

從而得至!)^n^=3nz+3〃+3,:.n=

m-3

由〃=網(wǎng)±3>0n機>3

m-3

——e(O,l).

4?4

12.(2瓜叫(2A/3,4)I(4后甸

若VABC是銳角三角形，先利用正弦定理求出asinB=2百,c=竺乎，再表達出銳角三角形的面積

sin8

S^c=—1+2退，求出B的范圍，即可求解；若VABC是鈍角三角形，分別討論3為鈍角及C為鈍

tanB

角，結(jié)合直角的臨界狀態(tài)計算即可得.

〃_4_c

所以Q生=公,11。

由正弦定理得；乃sin3sinC,sin5=4xsin2^/3,c-

sin—3sin3

3

4Gsin(3+；)

故q4GsinC=上+2百，

DABC=—acsinB==

sinBsinBtan3

Q<B<-

2,?717T

又因為VA5C是銳角三角形，所以，—<B<一,

八2兀八兀62

0<B<—

32

所以tanB>@,0<^—<73,故一^+2后€(24,8石),

3tan5tanB')

即VABC的面積為S的取值范圍為（2后,8石卜

因為VABC是鈍角三角形,

若8為鈍角，如圖，作。。，居于點￡）,^CD<BC<AC,

即力sinAvavb,即2^3<〃<4,

若。為鈍角，如圖，作CDLAC于點C,有BC>CD,

即a>>?tanA,即Q>4百,

故答案為：（2也,84）；（2道,4）°（4道,+8）.

13.(1

(2)(1+V3,3)

(1)因為A+3+C=TI,所以sin(B+C)=sinA,

sinB-csinC

由=sin(B+C),

a—c

可得：吐，a,即人=6+/-m,

a-c

又b=l,所以。之=/+/_a。,

a2+c2-b2sinB

所以cosB=力,

lac22

b_1_273

所以sini5一西一口-，

~2

所以△ABC的外接圓半徑為心.

3

TT27r7T

(2)由(1)知，B=-,A+C=—,A^~,

333

b_c_a_l_2^3

由正弦定理有sin5-sinC-sinA一二萬一亍，

~2

所*以a+c=-----sinAH--------sinC—------sinA,H--------sin—nA

333313

="nA+

3竽1"f"

=J5sinA+cosA

=2sin,+J

0<A<-

2

c2714Tl71Tl

因為VABC為銳角三角形，所以0<------A<—,解得AE

32693

,兀

Aw—

3

71

所以A+十

o

所1以*\/3<a+c<2,則1+*\/3<a+0+c<3.

所以VA5c周長的取值范圍為(1+君,3b

7T

14.(1)A=§

⑵(0,3⑹

(1)在三角形中，由題意》sing-^XasinB,

A

再由正弦定理可得：sinBcos—=sinAsinB,而sinBwO,

2

A

銳角三角形中，cos-^0,

A

所以COS,=2sin-cos-^sin-=-

2222

所以A=g;

(2)由正弦定理可得」^=—也=」二=2尺=26,

sinAsinBsinC

所以6=2gsinB,c=2CsinC,

故2c-b=4gsinC-26sinB=273(2sinC-sinB),

2n(

所以3=k-Ce0二,Ce0,-

y.A+B+C=n312)12,

ATT/C3兀y-~t兀

解得w<c<7,

o2

所以2c-〃=2后

=6sin（c用,又。聯(lián),￡|,所以C-覆04）,

所以2c-6=6sin

所以2c-b的取值范圍為（0,3石卜

兀

15.(l)y

(2)(-2,2)

(1)2asinC-&=0,由正弦定理得2sinAsinC—迅sinC=0.

因為sinCwO,所以sinA=且.因為VABC為銳角三角形，所以A=￡.

23

■JT2

(2)因為A=；,所以3+C=]兀.

0<B<-,

97TTC

因為VABC為銳角三角形，所以°2得

n27t62

I32

因為4sin8-4sinC=4sinB-4sin(A+B)=2sinB—2^/3cosB=4sin

由e(-巳*],得sin(8-5)e(W),所以4sin3-4sinCe(-2,2).

即4sin3-4sinC的取值范圍為(-2,2).

，布-1y/5+T

16.(1)

2'2,

13-6)

⑵卜丁J

（1）由題意知b==,

<7>0l+q>q2

2

a+aq>aq1+q2>q

根據(jù)三角形三邊關(guān)系知:

a+aq2>aqq+q2>1"

2

aq+aq>aq〉0

"A/5-1V5+f

解得

〈乙2'乙2)

(2)由(1)及正弦定理、余弦定理知:

]_〃2+/_c2

ACsinA1-cosCa2ab_ci+c-b_a+aq2-aq

tan—tan—=

221+cosAsinCc+b2-a2a+c+ba+aq2+aq

2bc

l+2q2

22

1+q+q1+q+q+l+j?

q

由對勾函數(shù)的性質(zhì)知：/(?)=^+-+1

Q

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

所以/(q)=4+，+le[3,君+1),貝！I

Q

AC

即tan］tan年的取值范圍為

冗‘6+13

17.(I)B=_；(II)

32'5

(I)

［方法一］:余弦定理

2

=竺，即1-COS2A=%；

由2bsinA=G〃，得sin?A=

4b24b2

結(jié)合余弦定cosA=b———

2bc

222y2

.1(b+c-a\^3a

-I-2bc-J—萬，

即4b2c2-b4-c4-a4-2b2c2+2b2a2+2c2a2=3a2c2,

4442l

即?+Z?+c+a2c2-261b2-2b2c=0，

BPa4+bA+cA+2a2c2_2a2b2-2b2c2=a2c2，

即(〃2+。2—從)=(〃c)2,

???%45€;為銳角三角形，，/+02-廿＞0,

I2+C*2—Z?2—CLC

所以COS2=4+L-”=),

lac2

jr

又2為VABC的一個內(nèi)角，故B=

［方法二］【最優(yōu)解】：正弦定理邊化角

由2bsinA=J§a,結(jié)合正弦定理可得：2sin3sinA=6sinA,sin5=

jr

VABC為銳角三角形，故8

(ID［方法一］:余弦定理基本不等式

因為8='IT,并利用余弦定理整理得〃=/+C2一ac,

即3ac=(4+c)2-b2.

a+c2,

結(jié)合QCWI，得號V2.

'b

由臨界狀態(tài)(不妨取A=?可知爺=技

而VABC為銳角三角形，所以牛>6.

b

?Apm〃曰./+C2—/1/+—，

由余弦定理得cosA+cosB+cosC=--------------+—H----------------

2bc2lab

代入化簡得cosA+cos5+cosC=；“十"

—a2+C2—ac，+1

b

故cosA+cos_B+cosC的取值范圍是

［方法二］【最優(yōu)解】：恒等變換三角函數(shù)性質(zhì)

結(jié)合(1)的結(jié)論有:

「

cosA+cosB+cosC=cosA+—+cosA

2

=cosA-lcosA^sina+L3

+sinA+-cosA+-

222222

兀

=sinU+^+1

62

271

3271,717T.7C27c

由,「可得:—<A<—,—<A+—<——,

62363

0<A<-

2

四』，71'上+13「

貝l|sin|A+?)esinA+^+le

622'2'

'A/3+13

即cosA+cos_B+cosC的取值范圍是

2'2

(1)利用正弦定理化簡題中等式，得到關(guān)于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內(nèi)角解得5='77.

(2)根據(jù)三角形面積公式SjcugacsinB,又根據(jù)正弦定理和c=l得到S關(guān)于C的函數(shù)，由于

VABC是銳角三角形，所以利用三個內(nèi)角都小于］來計算。的定義域，最后求解S.MC(C)的值域.

(1)

［方法一］【最優(yōu)解：利用三角形內(nèi)角和為萬結(jié)合正弦定理求角度】

A+C冗B

由三角形的內(nèi)角和定理得

222

A+C71B

此時asin=bsinA就變?yōu)閍sin=Z?sinA.

222

7UB

由誘導(dǎo)公式得sin=cos-,所以acos&=6sinA.

2222

在VABC中，由正弦定理知a=27?sinA,b=27?sinB,

此時就有sinAcos—=sinAsinB,即cos—=sinB,

22

再由二倍角的正弦公式得cos|=2sin|cos|,解得B=j.

［方法二］【利用正弦定理解方程求得cosB的值可得的值】

由解法1得sin土產(chǎn)=sin2,

4「即匕「

兩邊平方得sin2-------=sin2B,Um"

2

又A+5+0=180°,即cos(A+C)=—cos5,所以l+cosB=2sin23,

進一步整理得2cos之B+cosB—1=0，

］jr

解得cos