江蘇省徐州市2024-2025學年高二上學期期末抽測數學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.拋物線V=4x的準線方程為（)

A.x=—lB.x=lD.x=—

1616

2.在等比數列｛4｝中，若4=2,%=16,則也｝的公比為（)

A.20B.±2A/2C.2D.±2

22

3.橢圓±+工=1的離心率為（)

2516

A9口16D.』

A.—B.—C.-

252555

4.已知點。在VABC所在平面內，若對于空間中任意一點尸都有所=，前X-2而+定,

則m=()

A.2B.1C.0D.-1

5.兩條平行直線ax-2y+l=0與2x-ay+l=0間的距離為（）

A.正B.1C.也

D.五

422

6.在棱長為1的正四面體R4BC中，AC=4AE,則屋.覺=（)

A.-B.BC.-D,也

8844

2

7.已知橢圓C:/+：/=l的左焦點為尸，點M在C上，點N在圓/+丁2_40丫+7=0上，

則|政V|+|MF|的最小值為（）

A.3B.4C.9D.11

8.己知點4（0,2）,若圓（x-ay+（y-a+4）2=l上存在點p,使得1Po「+以「=34（。為

坐標原點），則實數。的取值范圍為（）

A.（-<x>,0]u[5,+oo）B.[0,5]

c」-

22

二、多選題

9.若數列｛4｝的通項公式為。“=2”，前〃項和為5“，貝U（）

A.54=14B.數列｛%｝中存在三項成等比數列

C.數列，是公差為1的等差數列D.數列［J］的前〃項和為一、

ISJn+1

10.在正方體ABCD-aqGR中，點尸滿足Q=X*（O4241），則（）

A.AP〃平面

UUUUUU

B.2尸在GC上的投影向量為qc

c.當a=J時，直線4尸與所成角的余弦值為立

D.與平面期C所成角的正弦值的最大值為:

11.在直角坐標系宜刀中，已知拋物線C：尸=8x的焦點為尸，直線/與C交于AI兩點，P

是C上異于頂點的動點，則下列結論正確的是（）

A.若/過點尸，則上403為鈍角

B.若衣=2而，貝心的斜率為土也

2

PF

C.若。（-2,0）,則點尸的橫坐標為2時，近最小

D.若四邊形即為平行四邊形，則/過定點（1,。）

三、填空題

12.若將公比4不為1的等比數列％,電，的調整順序后為等差數列，則4的一個值為—.

22

13.已知雙曲線。:鼻-2=1（。＞0力＞0）的左、右焦點分別為片，工，過居的直線與C的

2

一條漸近線平行，交另一條漸近線于點A,若tan/耳&A=§,則C的離心率為—.

14.已知正方形ABCD和矩形ACM所在平面互相垂直，AB坨,AF=1,若平面3CE與

平面DEF的交線為I,則點B至IJ/的距離為.

試卷第2頁，共4頁

四、解答題

15.已知圓C的圓心在直線y=2x上，且圓C與X軸相切于點(1,0).

(1)求圓C的標準方程；

(2)若直線/過點(3,1),且被圓C截得的弦長為2招，求直線/的方程.

16.已知數列｛%｝的前，項和為%且S“=2%-1.

⑴求｛%｝的通項公式；

⑵記數列［康，的前〃項和為7“，證明：Tn<2.

17.如圖，三棱柱ABC-AB。的棱長均為4,D,E,尸分別是棱AC,CCX,8G的中

點，CQ，平面ABC.

B

(1)求證：±BE；

⑵求二面角A-5。-尸的余弦值.

22

18.已知雙曲線E:=-2=l(a>02>0)的左、右焦點分別為乙，F2,實軸長是虛軸長的

ab

2倍，且E過點

(1)求E的標準方程；

⑵若直線/與E相切于第一象限內的點P,且與x軸相交于點Q,

①證明：PQ平分/耳尸居；

②過坐標原點。作/的垂線(垂足為H),與尸月相交于點T,求面積的最大值.

19.已知數列｛%｝共有，w(〃zeN*,"二3)項，且各項均為正整數，設集合

T=卜|尤=a-ai,\<i<j<in｝,記T的元素個數為尸(T).

⑴若｛/｝為1,2,3,5,求7及尸(T)；

(2)若｛%｝是單調數列，求證："｛%｝為等差數歹廣的充要條件是“P(T)=m-l”；

(3)若｛%｝是由1,3,5,7,...,2〃-1,2〃這〃+1個數組成,且這〃+1個數在｛4｝中都至少出現一次,

m=2n+l,求尸(T)的所有可能值.

試卷第4頁，共4頁

《江蘇省徐州市2024-2025學年高二上學期期末抽測數學試卷》參考答案

題號12345678910

答案ACDACAABBDAB

題號11

答案ACD

1.A

【分析】由拋物線標準方程直接求出準線方程.

【詳解】由拋物線y2=4x知，2P=4,故其準線方程為x=—i,

故選：A

2.C

【分析】根據等比數列的通項公式計算可得結果.

【詳解】設數列｛《,｝的公比為4,

由=得，16=2/,解得q=2.

故選：C.

3.D

【分析】求出。、c的值，即可得出該橢圓的離心率的值.

22

【詳解】在橢圓工+工=1中，。=5,b=4,c=>Ja-b=3>

2516

,3

故該橢圓的離心率為e='c==.

a5

故選：D.

4.A

【分析】根據四點共面的性質即可求解.

【詳解】由題意可知Q，A，B，C四點共面，

故加—2+1=1,故〃？=2,

故選：A

5.C

【分析】根據直線平行的充要條件求出。，再由平行線間的距離公式求解.

【詳解】因為直線辦-2>+1=0與2…y+l=O平行，

所以-4?+4=0且。J—2X1H。，解得a=-2,

所以直線方程為-2x-2y+l=0與-2x-2y-l=0,

答案第1頁，共15頁

故公

'(-以+(-2『2，

故選：C

6.A

【分析】根據空間向量的線性運算及數量積的運算求解.

[詳解]因為屈=兩+!前=西+■（元一麗）=，汽+』玄,

44、744

所以而?前二

故選：A

7.A

【分析】根據“兩點之間，線段最短”可求得|腦V|+|"刊的最小值.

【詳解】由橢圓C:：+y2=i,得a=3力=l,c=序丁=2亞，：孑（-2衣0）,

由X2+/-4點y+7=0得尤2+｝一2行『=1,所以圓心E（0,2后），半徑為「=1.

設跖分別與橢圓、圓交于點M',N'

pllj|MF|+1ACV|+1AE|>|EF\=\M'F\+[MN]+|A^E|,=|MEj=1,

所以|〃F|+|AW3￡^|—1=J（2拒『+（2忘『_i=3,

當且僅當EM,N,E四點共線時取等號

|加|+|耐曲最小值為4一1=3.

【分析】先設出點P的坐標，根據|尸。『+|尸4「=34得出點/>的軌跡方程，再根據圓與圓的

位置關系求出實數。的取值范圍.

答案第2頁，共15頁

【詳解】設點尸(x，y),因為。為坐標原點(0,0),4(0,2),且|尸0『+|上4「=34.

根據兩點間距離公式,則1Pol2=/+/,四?+6一a)?.

所以/+/+/+(>-2)2=34,展開整理可得：x2+(y-l)2=16.

所以點尸的軌跡是以為圓心，r=4為半徑的圓.

已知圓(x-o)2+(y-a+4)2=1,其圓心為M(a,a-4),半徑尺=1.

因為圓(x-a)2+(y-a+4)2=1上存在點尸滿足條件，所以兩圓有公共點.

根據兩圓位置關系，兩圓的圓心距d=7(a-0)2+[(a-4)-l]2=J/+(a-5)2.

兩圓有公共點，貝加—即|4-1區業+0-5)2e：!.

對于34亞+(/-5)2,兩邊平方得9V/+(。一5)2,展開整理得，a2-5a+8>0,

△=(-5)2-4x8=-7<0,函數圖象開口向上，所以/一50+820恒成立.

對于+((7-5)2V5,兩邊平方得"+(”5)2V25,展開得/+/-10。+25425,即

2/一10。40,?2-5?<0,解得0WaV5.

綜上所得，0<a<5.

故選：B.

9.BD

【分析】根據條件可得數列｛風｝是以2為首項，2為公差的等差數列，表示S.可得選項A

SS1

錯誤；根據。；=可”4可得選項B正確；根據3-翌=5可得選項C錯誤；利用裂項相消

an+\an/

法可得選項D正確.

[詳解]由。“=2/得，Oj=2,all+i-=2(/7+1)-2H=2,

數列｛%｝是以2為首項，2為公差的等差數列，

一,(4+4)〃(2+2〃)

??O?———it?rl?

〃22

2

A.54=4+4=20,選項A錯誤.

B.由題意得，q=2,%=4,4=8,

即4，。2，。4成等比數列，選項B正確.

答案第3頁，共15頁

S“n2+nn.>S?,Sn+\,

C.—=-------=-+l,I---n=^—+1

an2n2an+lani

數列是公差為5的等差數列，選項C錯誤.

-

D.?e2-（1，

Snn+nn^n+l）nn+1

；?數歹的前幾項和為1H—=1^-=—，選項D正確.

[S"223nn+1n+1n+1

故選：BD.

10.AB

【分析】根據面面平行判斷A,根據向量的投影向量判斷B,根據向量法求線線角、線面角

判斷CD.

【詳解】

對A,由正方體性質可知AC]//AC，2C//AB,4G<z平面ARC,ACu平面ARC,

所以AG〃平面ARC,同理，48〃平面ARC,又ABCAC=A，AB，AGu平面4。出，

所以平面A2c〃平面AGB,又平面ARC,所以2尸//平面ABG，故A正確；

對B,由正方體性質可知，D.q±QC,PC1QC,且垂足分別為G，c,故由投影向量概

念知B正確；

對C,建立如圖所示空間直角坐標系，設正方體棱長為I,當2=；時，

則A（l,0,0），A（l,0,l）W（l,l,l）,p[C，0）,所以乖=]一（；,一1],麗=（0,1,1）,

答案第4頁，共15頁

設直線4P與A耳所成角為e,

對D,設P（x,y,z）,則C（O,1,O）,

AP=（x—1,y,z）=X（—1,1,0）=>x=1—X,y=4z=0,AlP=（—ZX,—1）,

又/=（-1,1,0）,函=（0,1,1）,西所以恁砌=1-1+0=0,

福?困=一1+0+1=0,即*"L西'，麗上函,所以西為平面陰c的一個法向量，

設A,與平面AB.C所成角為a,則sina=嬴氤?|而弁6<g,

即最大值為由，故D錯誤.

3

故選：AB

11.ACD

【分析】聯立直線與拋物線方程利用向量數量積的符號可判斷A正確，由通=2而可得坐

標間的關系，聯立解方程組可得B錯誤，利用拋物線定義以及幾何關系可得C正確，根據

四邊形為平行四邊形并結合韋達定理，利用向量表示解方程可得D正確.

【詳解】易知焦點/（2,0）,

對于A,若/過點下，可設直線方程為尤=%y+2,A（Ai，y1）,B（x2,y2）；

聯立拋物線方程可得丁-87"-16=0,可得%+%=8肛％%=T6,

所以次?麗=占尤2+%%=（；如+2）（加％+2）+%％=（療+1）M%+2m（％+%）+4

=—160/+l）+2，〃?8"z+4=—12<0,

所以Z493為鈍角，即A正確；

對于B,由赤=2而可得/過點尸，由（1）可得％=-2%；

所以犬=4y；,結合％+%=8肛=T6可得初=土正，

4

可得/的斜率為±2五，即B錯誤；

對于C,易知。（-2,0）是拋物線的準線彳=-2與x軸的交點，作出與準線垂直，垂足為月,

答案第5頁，共15頁

如下圖所示:

由拋物線定義可得|必|=|尸尸|,所以質■=力

又在A片尸。中，COSN<PQ=M，且

因此當N6P。取得最大值時，滿足題意，此時尸。斜率存在且與拋物線相切,

設尸。的方程為x=沙-2,代入拋物線方程可得9-8叼+16=。，

所以A=（8m）2-4x16=0,即加=±1；

PF

解得y=±4,此時x=2,因此點P的橫坐標為2時，7a最小，即C正確；

對于D,設P（%,%）,直線/:尤=肛+。，如下圖：

聯立4,8%,可得y2-8〃y-8a=0,因止匕%+必=8九,乂％=—8。；

[x=ny+a

所以％+々="%+%）+2a=8〃2+2。,

因為四邊形APBF為平行四邊形，所以麗=兩+麗，

即（七一2,%）=（%一2,%）+（赴-2,%）,所以%=再+工2-2=8〃2+2。-2,%=%+%=8〃；

代入y=8%可得（8〃）2=8（8/+24-2）,解得a=1；

答案第6頁，共15頁

即/:x="y+l,顯然/過定點（1,0）,即D正確.

故選：ACD

【點睛】關鍵點點睛：在求解D選項時，關鍵是利用向量的平行四邊形法則聯立直線和拋

物線方程，結合韋達定理解方程得到直線方程的表達式即可得出結論.

12.-2（或-'，答案不唯一）

2

【分析】根據等比數列的通項公式列出調整順序后的數列滿足等差數列的等式，進而求出公

比q的值.

【詳解】設等比數列為生,《以%/,調整順序后為等差數列有以下幾種可能情況：

情況一：4,a”為等差數列，

根據等差數列性質，2ad=%+%q,

因為“產0（等比數列首項不為0）,得到2g2=l+g,

解得4=1或4=-；,因為qwl,所以4=-；,

情況二：為等差數列，

則2al=<24+4/,得2=g+/,解得4=1或g=-2,因為q/l,所以g=-2,

情況三：44，//,%為等差數列，

則+得2/=q+l,解得4=1或q=-g,因為所以q=-g,

綜上所得，4的一個值為-2或-g.

故答案為：-2（或-!，答案不唯一）.

13.岳

2

【分析】先求出點A的坐標，再利用tan/耳=：建立等式，最后通過雙曲線的性質求出

離心率.

22r

【詳解】對于雙曲線二-當=1,其漸近線方程為了=±2[

aba

AA

設耳（-C,O）,過K的直線與一條漸近線y=平行，則該直線方程為y=g（x+c）.

aa

hhh

與另一條漸近線y=-2無聯立，可得-一x=—（尤+c）,

aaa

答案第7頁，共15頁

—x=x+c,2x=—c,x=-

2

2C八、、b—r,口beLLt、r4/Cbe、

將x=-彳代入y=__x,可得y=丁，所以4(一彳,丁).

2a2a22a

bebe

已知工(c,0),貝i]tan/￡F;A=^-=^=3.

,cJc3a

c+———

22

h2

因為tan/K^A=—=-,所以Z?=2a.

3a3

又因為雙曲線的離心率e=$,且C2=4+62,

a

把b=2a代入可得°2=6+4/=5〃，即c=&°.

所以離心率e=￡=6.

a

故答案為：V5.

3

【分析】作出平面的交線，再利用等面積法求點到直線距離即可.

【詳解】過。作D///4C,交BC的延長線于點/,連接￡7,如圖,

因為四邊形AC7D為平行四邊形，所以AC=D/,

所以EF7/DI,EF=DI,即E/u平面DEF

又￡7u平面BCE,所以平面3CE與平面DEF的交線為￡7,

答案第8頁，共15頁

因為EI=FD=6,CI=y/2,

設點B至w的距離為心

由等面積法可知，^BlEC^EIh,

22

匚匚2，BIEC2722屈

EZV33

故答案為：也

3

22

15.(l)(%-l)+(y-2)=4

(2)y=l或4x+3y-15=。

【分析】(1)分析可知圓心C在直線x=l上，結合已知條件可得出圓心C的坐標以及圓C的

半徑，由此可得出圓C的標準方程；

(2)對直線/的斜率是否存在進行分類討論，在直線/垂直于x軸時，直接驗證即可；在直

線/不垂直于x軸時，設出直線/的方程，利用勾股定理計算出圓心到直線/的距離，結合點

到直線的距離公式求出參數值，即可得出直線/的方程.

【詳解】(1)因為圓C與x軸相切于點(1,0),所以圓心C在直線元=1上，

又圓心C在直線＞=2無上，所以圓心為C(l,2),半徑為2,

所以圓C的標準方程為(Alp+(y-2)2=4.

(2)設圓心到直線/的距離為d,因為直線,被圓C截得的弦長為2月，

所以2指=2,4-/，解得4=1,

當直線/垂直于x軸時，則圓心C到直線/:%=3的距離為2,

此時，直線/:%=3與圓C相切，不滿足條件.

當直線/不垂直于x軸時，設直線/的方程為y—1=左(彳-3),即丘-〉-3%+1=0,

\k-2-3k+]\\2k+l\4

所以~r^—'1l,整理得3左2+4左=0,解得左=0或%=—彳.

揚+i=Jr/r+J1==3

所以直線/的方程為＞=1或4x+3y-15=0.

16.(1)??=2-1

(2)證明見解析

答案第9頁，共15頁

【分析】（1）運用S“與關系式計算即可；（2）運用錯位相減法計算即可.

【詳解】（1）因為S“=2a.-1,當〃=1時，1=2%-1,所以％=1,

當幾之2時,S〃_i=2al—1,

所以為=2。〃一24_1，gpan=2an_x.

又%=1x0,所以N=2（"N2）,從而數列｛為｝為公比為2的等比數歹!J,

an-\

所以a“=2"T.

（2）由（1）得a-所以21=n-

2a,I

所以］=lx+2x1)+3x］：+…咱,

j+2xn+1

-T=lx+???+(〃—l)x+nx

2niI1

n+l

兩式相減得,7；=

2”?+出+?+…故咽

1-

22n+1n+ln+1

一〃x=1-nx=1-(〃+2)

i2I

所以￡=2-(〃+2)9.

因為所以(〃+)

“eN*,2(g)>0,所以￡<2.

17.（1）證明見解析

⑵巫

13

【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證明線線垂直;

（2）利用向量法求二面角的余弦值即可.

【詳解】（1）因為GOJ■平面ABC,DB,D4u平面ABC,

所以CQLDB,CtDLDA.

答案第10頁，共15頁

因為VA3C為等邊三角形，且。為AC中點，所以3。，AC,

故。8,DA,DG兩兩互相垂直.以｛麗，次，西｝為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標

系.

則0（0,0,0）,A（0,4,2g）,C（0,-2,0）,網2班,0,0）,￡（0,-1,^）,

所以麗=（26,1,-君），C4=（0,6,2A/3）.

所以瓦?百=2辰0+卜6-岳2石=6-6=0,

所以麗，G5,即3ELAC.

(2)因為2甲=曬=國=(2石,2,0),所以于=(6,1,0,

而G(o,o,2⑹,所以網后1,2⑹,則而=(區,1,2百).

設平面式BD的法向量為歷=(a,b,c),

n±DB,n-DB=0,2yf3a=0,

則所以即＜

n±DF,n-DF=0,垂ici+b+2邪ic=0,

令6=石，貝！Ja=0,c=-g，

所以平面尸的一個法向量為而二［。,0,-;

又因為平面的一個法向量為沆=(0,0/),

一一m-n2713

所以c°s"'〃=而IT-

由圖形可知，二面角尸為銳角,

所以二面角A-BD-F的余弦值為叵.

13

答案第11頁，共15頁

V2V2

18.(1)—-2_i

82=

⑵①證明見解析；②g

91

【分析】（1）由已知可得，=2〃且狼-礪=1,可求石的標準方程;

（2）①設尸（如%）,設切線/：y-%=Mxr0）,聯立方程組利用判別式可求得k=滬,

4yo

進而求得。[§,o],可證到兩邊距離相等，可證結論；②由①可知07的方程為＞=-4%丫

A,

Vo）

聯立方程線求得的縱坐標，進而可求得△ma面積的最大值.

【詳解】（1）因為實軸長是虛軸長的2倍，則2a=2x26,即。=&.

又￡過點尸（3,g91,

，所以z齊一腦y—1,解得/=2,a1=4b2=8.

/丁一1

所以E的標準方程為——1.

82

(2)①設尸(二,%),貝l|x；-4y：=8,切線=%（彳-%）,

聯立化簡得（1—4左—8左（%—爪°）無一4（%—區0）—8=0.

j-j0=^(x-x0),

由公=[8左（%一線）丁=8,解得人

所以直線尸Q：y-%,令y=o,得Q

直線時的方程為y=%+而=0,

.(后)+4⑹

所以。到尸耳的距離為4=%0

52最+4碼

同理點Q到直線尸耳的距離為

所以4=為，故尸。平分/耳尸工.

②由①可知OT的方程為y=心弛X,

答案第12頁，共15頁

40%

解得y=

TY/5XQ+4y

-32%-32%

解得知=

4+1635%:-32,

4炳為%|Tip

5%^-32=4鵬…M~2~

當且僅當天2=16%,時，取等號.

所以△7平1的面積s=gx|O叩|才一％區3義可義羋=}

即△mH面積的最大值為g.

19.⑴T={1,2,3,4},P⑺=4

(2)證明見解析

(3)2〃,2〃+1,2〃+2,,??,4〃一1

【詳解】(1)因為4=1,%=2,%=3,%=5,所以x=l〈i<的可能情況

有：

〃2.6=1，a3-a1=2,%一=4,a3-a2=1,a4-a2=3,a4-a3=2f

所以T={1,2,3,4},故尸(T)=4.

(2)不妨設{%}為遞增數列.

必要性：若{%}是遞增等差數列，設公差為d,則4>0.

則當/>7時,q_q=(j_i)d,所以T={d,2d,…,(〃z-l)d},則尸(7)=區-1.

答案第13頁，共15頁

充分性：若P（T）=租-1.

因為｛%｝是遞增數列，所以小一％<生一4<金一生，

所以02-4嗎-％，,-4-％€7