江蘇省新高考基地學校2025屆高三下學期期初質量監測數學試題0

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合4=｛劉2<%<4｝,B=｛x\a<x<5],若AUB=｛劉2<久<5｝,則實數0的取值范圍為（）

A.[24)B.R,4]C.[2,5)D.[2,5]

n=V2n=i+2"-T

2.已知a,b,且ab與a匕互相垂直，則向量。與力的夾角為（）

nnn2TT

A.4B.3C.2D.3

2e

以x)=a------

/-1是奇函數，貝ija

3.若=()

11

A.eB.一eC.eD.e

4.某校四個植樹小隊，在植樹節這天種下柏樹的棵數分別為10,%,10,8.若這組數據的中位數和平均數

相等，那么久=（）

A.6B.8C.6或10D.8或12

5.已知直線/和兩個不同的平面%B,若以明則是“al/?”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

nn

sin（xH——）=sinx+sin—

6.當xe[0,2捫時，方程33的解的個數為（）

A.0B.1C.2D.3

7.從集合｛123,4,567,8｝中任取三個數，取出的三個數之和是3的倍數的概率為（）

9533

A.28B.14C.8D,7

x2y2

8.已知點M是橢圓°?b2上的一點，/，七分別是C的左、右焦點，且

4尸1"尸2=60°.點在9MF2的平分線上，。為原點，ON//MF^\ON\=b,則C的離心率為（）

加2，24

A.3B.7C.3D7

1/18

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6

分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

->-?

9.在復平面內，復數Zl,Z2對應的向量分別為由,%,貝!]()

憶同=r?"|

A.ala2

憶1，|=r-"i

B.ala2

C.若同一z?|=|Z]+Z2I,則z/2=。

r-^i=r+1~?一=0

D.若ala2ala2,則由。2

10.已知函數/O)=d+bx2+ex+d在(—8,0]上是增函數，在[0,2]上是減函數，且方程/(%)=。有實數根

a,6,2(a<2W0),則()

A.c=0B.b<-3

C.d<4D.a2+r的最小值為5

11.在三棱錐P-ABC中，已知平面/BC,AB1BC,過點力作4E1PB,AFIPC,分別交P8,PC于

點、E,F?記三棱錐P-4EF、四棱錐2-BCFE、三棱錐P-4BC的外接球的表面積分別為SI,S2,S3,體積分

別為％,V2,%.若PC=2,貝1]()

4

“3=萬兀

A.AF1平面pBCB.3

%+匕

D.%的取值范圍為[3,)

CS]+S?+S3=8TT

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

+l),x<4,

所)=(l)-,x>4,

12.已知"2貝正。。先3)=.

13.已知斜率不為0的直線/與拋物線#=4y相交于4,8兩點，與圓/+(y-4)2=6相切于點M.若M為

線段的中點，則直線/的縱截距為.

4

tanC=—

14.在△NBC中，內角4,B,C所對的邊長分別為a,b,c,已知as譏4+sinB=sinC,3,貝|

△ABC的內切圓半徑「的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

2/18

已知數軸上有一質點，從原點開始每隔1秒向左或向右移動一個單位長度.設它向左移動的概率為3,向右

2

移動的概率為y

（1）已知質點2秒后所在位置對應的實數為非負數，求2秒后該質點在乂=0處的概率；

（2）記質點3秒后所在位置對應的實數為X,求X的分布列與數學期望.

16.（本小題15分）

如圖，在三棱錐P-4BC中，平面P4B,平面平面P4C,平面45C,且P4=4B=2,AC1BC.

AB

（1）求證：P41平面/5C,并求三棱錐P-2BC體積的最大值；

（2）當1<ACW但時，求平面PAB與平面依C所成角的正切值的取值范圍.

17.（本小題15分）

x2y2/5

已知雙曲線ab的一條漸近線方程為2,實軸長為4,尸為其左焦點.

（1）求C的方程；

（2）設過點P（4,0）,且斜率為左的直線/與C交于4,5兩點.

①若點4,5分別在C的左、右兩支上，求左的取值范圍；

②若x軸上存在一點使得點M是的外心，求點M的坐標.

18.（本小題17分）

設函數y（X）=cosx+ax2-l.

1

a——

（1）當2時，證明：/（x）20;

（2）若fO）在％e[0,+8）上為增函數，求0的取值范圍；

3/18

n2

V14n2n—n

Zl>2n+1>

l=1itan—

（3）證明：i

19.（本小題17分）

在一個整數數列：旬，°2,…，。式幾23,%<%<,,,<4）中，若對于一個數對<幾），存在

另一個數對（肥巧）（1<卜<’4九），滿足力一4,則稱數對（/凸）是一個，，有趣數對”.

（1）寫出整數數列：0,1,2,4,8的所有“有趣數對”；

（2）若n=9,且｛4｝為等差數列，求所有“有趣數對”的個數；

（3）固定整數n23,求一個〃項整數數列中“有趣數對”個數的最大可能值.

4/18

答案和解析

1.【答案】A

[解析]解：力={久|2<刀<4},B={x\a<x<5],

若A\JB={x\2<%<5},則2<a<4.

故選：4

2.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查利用向量的數量積求向量的夾角，向量的數量積與向量垂直的關系，屬于基礎題.

-?-?

根據向量垂直與向量數量積的關系可得cos〈人)=0,進而即可求解.

【解答】

-T+2T

解：因為。力與。力互相垂直，

「一)C+2T)=0

所以abab,

~2+-.T_2T2=0

即aabb,

n=V2,ri=i=「|門?！绷?/p>

又ab,abab(ab'j,

-?-?

得COS(^ab)=0,

-?->

且(a'b)e[0,7T],

->->__7T

則〈向2,

->->n

即a與。的夾角為了

故選：c.

3.【答案】B

【解析】解：因為函數是奇函數，所以滿足八一g=一〃x),

2e2e2e2e

CL-----------------=-q+--------------------------+------------=2a

即e-z-l/一1,化簡為6一“一1ex-l

gpe-X-lex-le得a=_e

5/18

2e

f（x）=—ex

此時e—1,函數的定義域為（-8,0）u（0,+8）,成立.

故選8

4.【答案】D

【解析】解：當x＜8時，將數據進行排列，得到*,8,10,10,

28+x8+10

因為這組數據的中位數和平均數相等，所以42,解得x=8,

當8＜久＜1。時，將數據進行排列，得到8,久,10,10,

28+%%+10

因為這組數據的中位數和平均數相等，所以42,

解得比=8,與范圍不符，故排除

當％N10時，將數據進行排列，得到8,10,10,x,

28+x10+10

因為這組數據的中位數和平均數相等，所以42,

解得比=12,經檢驗，％=8和x=12均符合題意.

5.【答案】A

【解析】解：已知Z'a且〃"，過直線/作平面匕使=

因為1〃S,所以/〃皿

又因為11a,且〃可得小，a.又mu0,所以a10.

因此，由“〃/8”可以推出“al。”，充分性成立.

已知1,a且al￡,此時直線/可能在平面S內，即Zu/?,此時得不到，〃小

因此，由“al￡”不能推出四呼"，必要性不成立。

綜上，“〃/S”是“al/?”的充分不必要條件，

答案選/

6.【答案】D

n7in1.上F.工F

sm（x+—）=sinxcos—+cosxsin——sinx+——cosx=sinxH---

【解析】解：由333,得:222

1F平71^3

即—2sinx+2——cosx=2——,所以cos1（xH—6））=——2―（*），

6/18

7inn

%+—=±—+2kn,kGZx=—+2kn,kGZ

解得：66,貝I]%=2/OT,或3,

因為％6[0,2兀],

當％=2k7i,k6Z時，則％=O(fc=0),或％=27r(k=1),

Ji57r

x=—+2kn,kGZx=——(k=1)

當3時，則3,

因此共有三個解，

故選。?

7.【答案】B

【解析】解：設集合&=口47},4={258},&={3,6},

任取三個數的和為3的倍數，分為兩類情形，一類是從集合久或占取三個數，一類是從三個集合各取一個

數，

2+3x3X25

二概率是L814,

故選：B.

8.【答案】B

【解析】解：設眼叼=隊陽&1=%延長ON交于/,

由題意知。N//M0,0為F/2的中點，故/為叫中點，

又4尸1時/2=60°,

又點N在4尸1時92的平分線上，則NNMA=乙ANM=30°,

1

1H

\AN\=\MA\=-|MFJ-2

故AM4M是等腰三角形，因此2

111

\0A\=-IMFJ=—m=\0N\+\AN\=b+-n

則222,

所以m—九=2b,又zn+n=2a,

jm=a+

所以in=a—b,

又在△MFR中，由余弦定理得|MF，+|M尸2l-2區尸山陽尸2|?血60。=|F/2『

即/+n2—mn=4c2,

即(a+6)2+(a-b)2-(a+b)(a-b)=4c2,

化簡得：a2+3Z>2=4C2,又M=a2—c2,

7/18

e2"j

所以4a2=7C2,所以a27

2M

e=----.

即7

故選：B.

設|MFi|=a,陽/21=%由題意得出是等腰三角形，列方程組得到含°,c的齊次方程即可求解

離心率.

本題考查了橢圓的性質及直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題.

9.【答案】BD

-?-?

【解析】解：在復平面內，復數Zl、Z2對應的向量分別為由、

r=(c,d)-=(e,n

設Z1=c+di,z2=e+fi(c,d,e,fe貝,a2,

一…^=(U)/=(1-1)

對于/、當Zl—l+l,Z2—J時，a,a2,

1Z「Z2|=2,「,"=。

則由a2,故/錯誤；

對于B,lzi—z2l—1(?！猠)+(d—/)i|=J(c—e)2+(d—f)2,

1"-"1=|(c-e,d-/)|=J(c—e)2+(d—f*

ala2,

izi-z2i=r-"i

ala2,故8正確；

對于C,當，i=l,z2=i時，Wi-Zzl=|1T|=M，+Z2I=|1+4=低，

滿足|z「Z2l=IZ1+Z2I,但z「Z2=iR0,故c錯誤；

一_"=|"+-|廣_"2=廣+"2~.~=0

對于。，I由%。2ala2,得%a2ala2,得%a2,故。正確.

故選：BD.

10.【答案】ABD

【解析】解：由/(%)=益+bx2+ex+d得廣(x)=3x2+2bx+c,

因為/(%)在(-8,0］上是增函數,在為2］上是減函數,所以((0)=0,所以c=0,

2b

——N2

此時r(x)=0的另外一個根3,所以bw—3,

因為方程/(x)=0有3個實數根，它們分別是見6,2,

所以/(2)=0,所以d=—4(6+2)24,

且/'(久)=(%—2)(x—a)(x—/?)=%3—(a+S+2)x2+(2a+20+必)%—2鄧，

8/18

(b=-a—13—2產+￡=—b—2

所以id=-2a0,貝汁a￡=2b+4,

所以后+外=(戊+6)2-2賄=(—b—2)2—2(2b+4)=h2—4,

因為64一3,所以用N9,所以。2+r的最小值是5,

故選4BD

11.【答案】BC

【解析】解：因為24,平面/2C,BCu平面Ng。，所以P41BC,

又BC1AB,PAQAB=A,P4<=平面力臺，4Bu平面尸/瓦

所以8cl平面P/8,

又4Eu平面尸所以BC14E,

因為2E1PB,PBCBC=B,PBu平面「Be,BCu平面尸臺。，

所以4E1平面pg。，

而4EnaF=2,則/尸與平面P8C不垂直，故N錯誤；

將三棱錐P-4BC放入長方體中，則長方體的外接球即為三棱錐P-4BC的外接球,

可知長方體的體對角線PC即為外接球的直徑，

PC

R—___—]

則三棱錐P-ABC外接球的半徑32,

4,4

?.n2AV-TTRO=-71

可得$3=4兀/?3=4兀，33,故8正確；

因為AE1PB,AFLPC,

所以△PEA與△PR4均為直角三角形，

取P4的中點為。1,

則。出=0/=01/=。道，

即點。1即為三棱錐P-AEF的外接球球心，

9/18

PA

R—40=___

三棱錐P-4EF的外接球半徑ii2,

因為力El平面P2C,PCu平面pg。，所以4E1PC,

又2F1PC,AEnAF=A,4Eu平面4斯，AFu平面/斯，

所以PC1平面

因為EFu平面/￡尸，所以PC1EF,

因為2E1平面尸8C,ECu平面「Be,所以4ELEC,

因為BC1平面P48,PBu平面p4g,所以BC1PB,

在四棱錐4-BCFE的底面四邊形2c尸￡中，EF1FC,BC1BE,

則EC即為四邊形BCFE的外接圓直徑，

而4EJ-平面BCFE,

口2=

則四棱錐a-8CFE的外接圓半徑點2)[2/2

又4E1EC,貝/產+也2="2,

AC

R?=—

所以2,

因為P214C,^\^AC2+PA2=PC2,

可得R/+Ra?=1,

2

則1+S2+S3=4兀(Rj+/?2)+4兀=8%故c正確;

4TT047r

T7ITT----+----------R,3

Vl+V23*132

一=RJ+%3

4TT

3

由R」+R22=l可得7?2=尹:，0<7?1<1

=RJ+

則％

3

令/(X)=*3+(1_%2)2,0<久<],

1

3—____

y'(x)=3x2+-(1-x2)2-(一2町=3x(x-^l-x2)

則2

10/18

,~i2?<x<l

令/'(x)>0,即久〉也一久，解得2

2O<x<0

令「(為<。，即久<J1—k2

'，解得：

則函數在I2/上單調遞減，在12/上單調遞增,

3

Q72

當x=0或x=l時，y=x+(l-x)=1,

,￡i\

則f(乃的值域為I2]

乙+匕住

即，3的取值范圍為12’『故。錯誤.

1

12.【答案】24

【解析】【分析】

本題考查分段函數以及指數對數運算，考查學生的計算能力，屬于基礎題，結合4<1。%3+3<5和已知

解析式，代入計算即可得到答案.

【解答】

(f(x+l),x<4

V/W=&x>4

解：一，

且1<log23<22<logQ+1<33<log戶+2<44<log23+3<5

1(log3+3)

72

???Klog23')="o%3+1)=Klog23+2)=f(logQ+3)=(-)

1

阿q

121.111

=(2)x(,=w*W=源.

1

故答案為24，

13.【答案】1

【解析】設直線方程為y="+力0),將其代入拋物線方程/=4y,

得久2=4(fcx+b),gp%2—4fcx—4Z)=0,

11/18

設3(%2%),則%1+%2=4匕%/2=-4),

xi+x24k

x—_______——2々

則設線段48的中點MQo，%)),°22,

2

將與代入直線方程得到為=kQk)+b=2k+bf

圓的方程為公+⑶-4。=6,圓心為(0,4),半徑為亞，

因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，

直線方程可以寫成依一丫+b=0,

\k-0-4+b\

=6

則圓心到直線的距離為：-業n——+1^,

化簡得：仙-4|=?(〃+1),

由中點M(2k,2/+b)在圓上，代入圓的方程：(2卜)2+(2/+6—4)2=6,

化簡得到匕=2—2好，

將b=2—2/代入g—4|=^6(上+1),

得到：|2-2/—4|=?(/+1),

化簡得：2fc4+k2-l=0

/2二—1

(2好一1)*+1)=0解得2,

直線方程為丫=丘+2_2仁

1

b=2—2x—=1

所以2

即直線/縱截距為L

1

14.【答案】16

【解析】解：已知as譏4+sinB=siziC,由正弦定理可得a?+b=c,

443

tanC=—sinC=—cosC=—

又3,可求得5,5,

利用余弦定理，可得c2=(a2+b)2=a2+b2-2abcosC,

5a—5a3

b=--------

所以10a+6,

12

S=—absinC=—ab

又三角形面積25,

12/18

S4ab4ab

r=------------=-------------=---------------

2

工(a+5+c)5(a+b+c)5(a+?+2b)

所以內切圓半徑2

3

5a—5aCL+1—a

4a-----------

10a+6a—a3a(l—a)<2J

5…+2.…)…44一—連1

i10a+6，a=—

,當且僅當2時等號成立,

1

所以△4BC的內切圓半徑的最大值為16，

15.【答案】解：（1）記質點2秒后所在位置對應的實數為非負數為事件4記2秒后質點在久=0處的概率

為事件比

22,128124

PM)=—x—+C；x—X—=—P(71B)=P(B)=cix-x-=-

則332339

4

P(AB)91

P(B|4)=

P(4)8-2

故所求的概率為9

（2）X的可能取值為:-3,-1,1,3.

11

P(X=-3)=(-)3=—

貝I]327,

12義4=2

P(X=-1)=璃7x(§)

39,

214

P(X=l)=C；x(§)2x：—=

39,

2,8

P(X=3)=(>藥

分布列如下:

X-3-113

1248

p279927

1248

E(X)=(-3)x—+(-1)x-+1x-+3x——=1.

數學期望279927

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

16.【答案】（1）證明：作交于點。

???平面P4B1平面/go,平面P4BCI平面力BC=AB,CDu平面4g。

13/18

CD_L平面尸45,又PAu平面尸4s

?-.CD1PA

又???平面PAC，平面ABC,平面PNCC平面ABC=4C,ACIBC,BCu平面4臺。

???BC1平面pAC,又R4u平面ABC>

???BC1PA,又CDnBC=C

P41平面/BC；

由于P41平面/2C,所以三棱錐「一480的高為24=2。

設4C=x,BC=y,則根據勾股定理，有/+/=4。

1111

V^-SAABC-PA^^-2Xy'2^^Xy

三棱錐P—4BC的體積3

要使體積最大，需要孫最大

根據/+/=4,利用均值不等式，有

2

因此，三棱錐-力BC體積的最大值為W。

(2)由(1)知CD_L平面PNB,作DEJ.PB交PB于點、E,連結CE

?；PBu平面尸/.CD1PB

???PB1平面CDE,又CEu平面CDE

PB1CE

NCED是平面PAB與平面PBC所成的角，

CD

/-CED=—

在Rt△0￡）￡"中，tanDE

xy

「CD=—

設AC=%（14%工業），BC=y,貝I2

DE=必BDBD=^BC2-CD2==V1三

在R3DEB中，2,又《4J4

14/18

2

2/_

；一尤4

42—1

4

2<一<4

又1WXW",則%2

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

2a=4

（b=V5

17.【答案】解:（1）由題意可得卜?+必二。2，

（a=222

b=把±-匕=1

解得I0=3,則C的方程為45；

（2）①設直線/方程為：y=fc（%-4）,設做久1，為），B（久2，乃）,

y=fc(x-4)

22

士上=1

聯立145，消去y可得(5—4/)/+32——64標—20=0.

由點力,8分別在C的左、右兩支上，

A=(32/)2+4*(5-4/c2)(64fc2+20)>0

-64/C2-20

-----------<0

5—4/

4

k豐+—

可得'一2

~^<k<

解得22

即左的取值范圍為

②設M（m,0）,△F4B的外接圓的方程為（久一小）2+y2=（機+3）2.

Ux-rri)2+y2=(m+3)2,

2222

由(y=k(x-4),消y得(1+fc)%-(2m+8fc)%+16fc-6m-9=0.

15/18

由=k(x—4),消y得(5-4廿+32/Ac—64k2—20=0.

上面兩個方程的實數根均為％,“2,故為同解二次方程，

1+k2-2m—8k216/c2—6m—9

所以5—4k232/c2-64/C2-20,

5

'm————

11

n255

k=7^7(----,0).

解得'4，。滿足條件，所以點新的坐標為11'

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

a——/(x)=cosxH—久2—1

18.【答案】(1)當2時，2,

因為f。)是偶函數,先證當久e［0,+8)時，/(x)>0.

由/'(%)=—sinx+x,

設m(%)=/'(%)=—sinx+x,

所以zn'(%)=—cosx+1>0,

所以/0)在［0,+8)上單調遞增，

所以「。)之1(o)=o.

所以/(%)在［。，+8)上單調遞增，

所以/(久)>/(0)=0.因為人久)是偶函數，

所以當xe(-8,0］時，/(X)>0.

綜上，/(%)>0.

(2)由/(%)=cosx+ax2—1,得/(%)=—sinx+2ax.

因為/(%)在［。，+8)上為增函數，

所以/Q)>0對久e［0,+8)恒成立.

①當％=0時，aER;

sinx

2a>----

②當%>。時，即X對久E(0,+8)恒成立.

令g(%)=x-sinx,由(1)知g(%)在(0,+8)單調遞增，

16/18

sinx

-------<1

所以g(X)>g(°)=°,即久一s譏久>o,所以x---------,

11

a>—[―+oo).

所以2a21,解得2,即。的取值范圍為2

1

CL——

(3)由(1)可知,當2,%e[0,+8)時,

11

COSX+—%2—1>0COSX>1—X2

2，即2,

當且僅當x=0時，等號成立.

令律，neN*,則n2n2,

112211

cos—>1------=1------->1------------=1—(--------------------).

即n2n24n24n2-l2n一12n+1

1

0<-<1

由(2)可得，當久>0時，x>sinx,因為n,

1111

------------->cos->1-(--------------------?)

11111n2n-l2n+l

—>sin—=cos—?tan—n-tan—

所以九7171Tl，即n

所以

z1

i=1itan—

1111111111

>1-(—)+1-(—)+???+1-(---------------------)=n-(~