專題18幾何證明壓軸題分類訓練2

(3種類型30道)

目錄

【題型1幾何證明與翻折綜合】..................................................................1

【題型2幾何證明與旋轉綜合】.................................................................38

【題型3特定條件下(最值)求面積】..........................................................71

【題型1幾何證明與翻折綜合】

1.如圖，在△2BD中，BCLAD,且4C=BC,點￡是8c上一點.

(1)若NC4E=15。/￡=4,求4B.

(2)過點。作。加||48,N為4C上一點，連接MN/M,恰有NMNC=45。+乙4BN,求證：BN=MN+AM

(3)如圖3,若△4BD為等邊三角形，尸為4B上一點，連接DF,點P是△48。內部一點，連接DP,將線段

繞點。逆時針旋轉得到線段DQ,使NBDQ=N&DP,將△4DP沿DP翻折到同一平面內的△DKP,在線段DQ

上截取DG=DP,連接GK,已知GK=6,PK=8,DG=10,請直接寫出△DGK的面積.

【答案】⑴2+2百

(2)見解析

(3)2573-16

【分析】(1)過點E作EH14B于點X,根據題意易證△ABC,△BEH是等腰直角三角形，求出

NB4E=30。，利用含30度角的直角三角形中30度角所對的邊是斜邊的一半，求出EH=2,進而得到

BH=EH=2,再利用勾股定理求出4"=2百，即可求出的長；

(2)過點C作QC1MC交BN于點Q,根據題意結合三角形外角的性質易證4MNC=ABNC,再根據MC||4B,

推出N"CN=NC4B=45。，進而求出NNCQ=45。，證明△MCN三△QCN(ASA)，推出MC=CQ,結合

AC=BC.^BCQ=/.ACM=45°,證明△BCQ三△ACM(ASA)，推出8Q=4M,即可證明結論；

(3)根據DP=DG,如圖，將△DPK繞。逆時針旋轉至△DGM,連接MK；將△GKM繞M旋轉至

△HDM,連接HM；過對作MTLDH交DH延長線于K；證明△MDK是正三角形，將△DKG繞G旋轉60。

得到△MKN,連接GN,證明△GKN是正三角形，證明NMGN=90。，同理可證ADHG=90。，△GM”是等

邊三角形，求出MT=3/M=4,HT=4而,DM?=100+48百，由旋轉的性質得：SADGK=SAMNK,SADHM

=S^KGM，根據S^DGK=S^DMKXSAKGM+SADGM），過點K作KLIDM,則。L=ML=]OM,設KL=h,

求出九=計算即可求解.

4

【詳解】（1）解：如圖，過點E作EH148于點8,

^CAB=Z.CBA=45°,

EHLAB,

△ABC,△BEH是等腰直角三角形,

EH=BH,

Z-CAE=15°fAE=4f

z.BAE=30°f

??.EH=^AE=2,

.?.BH=EH=2,

???AH=JAE2-EH2=2V3，

??.AB=AH+BH=2+2A/3;

（2）證明：如圖，過點C作QC1MC交BN于點Q,

“8/=45。,

???4MNC=450+448N,4BNC=+4ABN=45。+4ABN,

???乙MNC=^BNC,

??.MC\\ABfQC1MC,

???4MCN=ZZ；4B=45。，ZMCQ=9O°,

???乙NCQ=4BCQ=45。,

???NC=NC,

???△MCNw^QCN(ASA)，

??.MC=CQ,MN=NQ,

???AC=BC^BCQ=2LACM=45°,

△BCQ=△ACM(ASA)，

BQ=AM,

??.BN=BQ+NQ=MN+AM；

(3)解：???DP=DG,

如圖，將△DPK繞。逆時針旋轉至△OGM,連接MK,

,-.MG=PK=8,DM=DK,乙MDK=^MDG+乙GDK=^KDP+乙GDK,乙GDK=^BDQ—乙BDK,

???乙BDQ=^ADP,乙GDK=LADP-乙BDK,4MDK=LKDP+(乙ADP—乙BDK)=^ADB=6。°,

.?.△MOK是正三角形，

招△GKM繞M旋轉至△HDM,連接HM；過“作MT_L0”交OH延長線于K；將△OKG繞G旋轉60。得到

△MKN,連接GN,

：,KG=KN,乙GKN=60。,MN=DG=10,

.?.△GKN是正三角形，

：,KG=KN=6,

在△GMN中GN2+MG2=62+82=102=MN2,乙MGN=90°,

同理可證NDHG=90。，△GMH是等邊三角形，

"GHK=180。一乙DHG一4GHM=30°,DH=GK=6,

在△GHT中NT=90。，HM=GM=8,NM”T=30。,

MT=|HM=4,HT=y/HM2-MT2=Vs2-42=4百,

在△DM7中，NT=90。，DT=DH+HT=6+443,

2

DM2=DT2+MT2=(6+4V3)+42=100+48百,

由旋轉的性質得：SADGK=SAMNKS&DHM~^AKGM,

"△OGK=SADMK-^S4KGM+S^DGM)

如圖過點K作KL1DM,則。L=ML=：OM,設KL=h,

22

???h=-JDK-DL=JDM2_QDM)2=和”,

???S&DMK=^DMh=^DMx與DM=步層=%(10Q+48^)=25q+36,

：SAKGM=S^DHM=R","7=5x6x4=12,SADMG=-^DG-GM=-x10x8=40,

?'-^ADGK=SADMK—(SAKGM+ADGM)~25百+36—(12+40)=25V3—16.

2.△ABC中，48=BC,點。在邊AC上，連接BD,將BD繞點。順時針旋轉至DE,且點￡落在直線48上.

(1)如圖1,若NABC=90。,點E是線段4B的中點，若CD=2近,求力。的長.

(2)如圖2,若NABC=60。,點M是線段BD的中點，連接CM、ME,求證：CM1ME.

(3)如圖3,若NABC=60。，BC=4,同一平面內將△ABD沿著BD翻折得到△PBD,使得點P落在BC下方,

連接PC,過點尸做PHIBC交于點，，點C關于PH的對稱點為點C',連接PC',AC,當P”—W最大時，直

接寫出的面積.

【答案】⑴6句

(2)見解析

(3)4V6-4V3

【分析】(1)作0Tl4B于T,DKJ.BC于K,則四邊形BTDK是矩形，得到DK=BT,由等腰三角形的性質

可得ET=BT,由題意得出n力=/C=45。，推出△力D7、△CDK為等腰直角三角形，再由等腰直角三角形

的性質計算得出。K=BT=ET=2,結合題意得出4E=BE=4,求出4r=AE+ET=6,即可得解；

(2)連接CE,延長EM到點」,使得MJ=EM,連接可、CJ、DJ,設D/交BC于P,證明四邊形E8/D是平行四

邊形，得出EB=D/,EB||DJ,由題意得出△4BC為等邊三角形，得至lMC=BC,NBAC=乙4cB=60。，證

明△PDC為等邊三角形，得出CP=CO=DP,由旋轉的性質可得。B=DE,由等邊對等角得出NOBE=/BEA,

推出NDE4=NBCP,先證明△EAD三△OPB(AAS)，得出4E=DP=CP=CD,再證明△瓦IC三△CP/

(SAS)，得出CE=C/,最后由等腰三角形的性質即可得證；

(3)以8為圓心，84為半徑作OB,過點8作BKJ.CB交OB于K,連接CK交PH于R,則△CBK為等腰直

角三角形，證明出CH=HR,由軸對稱的性質得出CH=C'H,得到HR="C',^\PH-HC=PH-HR=PR,

推出PR的值最大時，PH—HC'的值最大，過點P作PQ1CK于Q,則△PQR為等腰直角三角形，推出當PQ的

值最大時，PR的值最大，連接BQ,由三角形三邊關系可得：PQVBP—BQ,推出當8、P、Q三點在同一直

線上時，即BP1CK時，PQ的值最大，令BP交CK于M,則NBMC=90。，根據等腰直角三角形的性質求出

BC=4V2-4,由題意得出△4BC為等邊三角形，得到4B=BC=4,連接4。，作2G1BC于G,貝U

BG=CG=gBC=2,由勾股定理得出力G=2百，再由三角形面積公式計算即可得解S%。=穎:'?4G.

【詳解】(1)解：如圖，作DT14B于T,DKLBC于K,

；/DTB=乙TBK=乙DKC=90°,

四邊形BTDK是矩形，

；.DK=BT,

?；DE=DB,DTIAB,

：.ET=BT,

???N4BC=90°,AB=BC,

??.△ABC是等腰直角三角形,

???乙4=〃=45。,

...乙DKC=(DTA=9。。，

???△4DT、△CDK為等腰直角三角形，

t-CD=2V2，

...DK=CK=2,

：.BT=ET=2,

；.BE=4,

???E為48中點,

：.AE=BE=4,

???4T=4E+￡T=6,

-'-AD=五AT=6V2；

(2)證明：如圖，連接CE,延長EM到點/,使得M/=EM,連接見、CJ、D],設D/交BC于P,

,?,點河是線段的中點，

??.BM=DM,

-MJ=EM,

???四邊形EB/D是平行四邊形，

：,EB=DJ,EB||DJf

-/.ABC=60°,AB=BC,

???△4BC為等邊三角形，

.-.AC=BC,^BAC=^ACB=60°,

-EB||DJ,

"DPC=Z.ABC=60°,Z.EBD=乙BDP,

??.△PDC為等邊三角形，

：.CP=CD=DP,

由旋轉的性質可得。8=DE,

:.乙DBE=乙BEA,

.,.Z-DEA=乙BDP,

-AC-CD=BC-CP,

：.BP—AD,

-Z.EAD=180。-484。=120°,4BPD=180°-zPPC=120°,

：.Z-EAD=乙BPD,

△EAD=△DPB(AAS)，

：.AE=DP=CP=CD,

?：BE-AE=DJ-DP,

：.P]=AB=AC,

?.2CP/=18O°-ZDPC=120°,

.-.ZCP/=ZE/1C=120°,

-AE=CP,

：.AEAC=ACPJ(SASy

:,CE=CJ,

-EM=MJ,

???CM1EM；

(3)解：如圖，以B為圓心，84為半徑作。5,過點B作交。3于K,連接CK交P”于R,

?;BC=BK,NC8K=90°,

.?.△CBK為等腰直角三角形，

:ZBCK=45°,

■.■PHIBC,

;/CHR=90°,

.?.乙HCR=4CRH=45°,

■.CH=HR,

?.?點C關于PH的對稱點為點C',

.-.CH=C'H,

.-.HR=HC,

.-.PH-HC'=PH-HR=PR,

???PR的值最大時，PH-HC'的值最大，

過點P作PQLCK于Q,

?:乙PRQ=4CRH=45°,

??.△PQR為等腰直角三角形，

???當PQ的值最大時，PR的值最大，

連接BQ,由三角形三邊關系可得：PQ<BP-BQ,

???當B、P、Q三點在同一直線上時，即BP1CK時，PQ的值最大,

令交CK于M,則4BMC=90。，

=45°,

.?.△BCM為等腰直角三角形，

：.BM=爭C=2vL乙CBM=45°,

:.PQ=PM=BP-BM=4-2V2

■■.PR=y/2PQ=4V2-4,

同理可得△BHP為等腰直角三角形，

:.HP=BH=—BP=—BC=2vL

22

??.HR=HP—BP=2V2—（4V2-4）=4—2五，

；CH=4-2五，

:.BC=BH—C'H=4五一4,

■.■^ABC=60°,BC=AB,

.?.△ABC為等邊三角形，

.-.AB=BC=4,

連接AC',作4G_L8c于G,則BG=CG==2,

■■AG=>JAB2-BG2=2V3.

"SAABC=,4G=￡x（4V2-4）x2V3=4-V6-4V3.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、

矩形的判定與性質、解直角三角形、等邊三角形的判定與性質等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用,

添加適當的輔助線是解此題的關鍵.

3.如圖1,在△4BC中，ABAC=90°,AB=AC=4,。是線段4B上的一點，連接CD,將線段CD繞點。順

時針旋轉90。，E為C的對應點，連接CE、BE,F為CA延長線和ED延長線的交點.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當2。=3BD時，求此時四邊形4DEC的面積；

(2)如圖2,連接力E,若。、”分別是4E、BC的中點，連接D。、HO,猜想。。和“。的關系，并證明你的猜想；

(3)如圖3,當。在射線48上運動時，將△BCD沿著EC翻折，得到△B'C。，連接力。，4E與DC交于點M,當

2

SAADE=^CD'^'直接寫出人。的長?

【答案】①18.5

(2)DO=HO,理由見詳解

(3)AD=4V2

【分析】(1)由題意易得4。=3,然后根據勾股定理可得CD=5,然后問題可進行求解；

(2)分別取4&CE的中點河、N,連接。M,ON,HM,DN,然后根據三角形中位線可得0M=#E,。"||CE,ON=

^AC.ON||AC,進而可得DN=OMQN=HM,最后通過證明△DON三△OHM(SAS)進行求證即可；

(3)由折疊可知NDCE=NOCE=45O,CD=C。，分別過點￡、。作ER114C,垂足分別為尺、Q,

根據"K型全等”可得4。=RE.AC=DQ進而問題可求解.

【詳解】([)解：?.?40=38。，AB=AC=4,

.?.AD-=3,

■,■/.BAC=90°,

■■CD=JAD2+AC2=5,

由旋轉可知：/-EDC=90°,CD=DE=5,

'S四邊形4DEC=SAADC+SACDE=^AD'AC+|C0'DE=18'5;

(2)解：DO=HO,理由如下：

由旋轉可知：4EDC=9Qo,CD=DE,

???”分別是BC的中點，AB=AC=4,

:.AHIBC,AH=HC,

分別取4C,CE的中點M、N,連接。M,ON,HM,DN,如圖所示：

：.HM=^AC,

???點M、N、O分別是A&CE/E的中點,

：.0M=^CEfOM||CEfON=^ACfON||AC,HM1AC,

.?ZENO=^ECA=乙AMOQN=HM,

VZ.EDC=90°,CD=DE,

:,DN=|EC=OM/ONE=90°,

"DNO=90。一乙ENO,乙OMH=90。一乙4M。，

"DNO=4)MH,

△DON=△OHM(SAS)，

.-.DO=HO；

(3)解：由旋轉可知：乙EDC=9V,CD=DE,

.?ZOCE=45。，

f

根據△BCD沿著EC翻折,得到△夕CO,可知:Z.DCE=^DCE=45°fCD=CD',

：/DCD'=90°,

分別過點￡、。作ERIAQOQL/C,垂足分別為H、。，如圖所示：

^^DAC=乙CDE=乙ERD=90°,

：.Z.ADC+Z.ACD=AADC+乙RDE=90°,

.,.Z.ACD=乙RED,

-CD=DE,

△ADC三△RED(AAS)，

.'.AD=RE,

同理可得：AC^QD',

ADREA2

-SAADE=l,=^D>SAACD.=^AC-D,Q=

"^AADE=2s△4CD”

亭02=2x|AC2,

■■■AB=AC=4,

：.AD2=2AC2=32,

.-.AD=4五.

【點睛】本題主要考查全等三角形的性質與判定、三角形中位線、旋轉的性質、軸對稱的性質、直角三角

形斜邊中線定理、勾股定理及等腰直角三角形的性質與判定，解題的關鍵是正確作出輔助線.

4.如圖，在△ABC中，NB4C=90。，點。是BC邊上的一個動點，連接4D.

(1)如圖1,^AB=AC,過點C作CH1力。于點“，若4H=2,BD=心求CD的長；

(2)如圖2,若CD=C4將AD繞點/逆時針旋轉90。得到4E,連接OE交力C于點凡在DE上截取￡W=FC,

過點朋?作BC的垂線交BC于點G,交4C于點K,當FC=2BD時，求證：GK=KF+FE；

(3)如圖3,若N4BC=60°,點。是射線BC上的一個動點，點尸是4C邊上一點，連接DP,將△4DP沿4D翻

折得到△2DP,連接BP，，N是8p的中點，連接CN,當CN取得最小值時，求等的值.

【答案］⑴3代

(2)見解析

(分析】(1)作4E1BC于E,交CH于F,易證△BAD^△4CF和△ADE^△CFD,從而得出4F=BD,DE=CE,

進而求得FH,證明△AFH-aCFE,從而黑=*,求得DE的長，進一步得出結果；

CFGC

(2)連接CE,在4C上截取=ffi#△BAD^△HAE,從而得出EH=BD,4AHE=4B,設

/.CDF=a,貝IJA4DC=N4DE+NCDF=45。+a,可計算得出NKMF=NKFM=9(T-a,從而得出

KM-KF,同樣得出EH=MH,進而證得ACEF是直角三角形，進而證得△CEF三△DGM,進一步得出結論；

(3)取AB的中點M,連接MN,可推出當NM取最大時，且C、M、N共線時，CN最小，不妨設28=2,則

BC=4,AC=2V3.AM=BM=1,可推出乙4CF=NFCM,從而黑=霧，進而求得2尸和BF,根據CF||AD

MrCM

可推出結果.

【詳解】（1）解：如圖，作于M交CH于F,

-AB=AC,ABAC=90°f

???^BAE=ACAE=CB=2LACB=45°,4BAD+Z.CAH=90°,

???CH1AD,

???乙4HC=90。，

??.Z.CAH+乙ACH=90°,

??.Z.ACH=4BAD,

??.△BAD=△/"(ASA)，

??.AF=BD=V5，

???FH=JAF2-AH2=J(V5)2-22=1，

同理可得，△ADEzACFD,

??.EF=DE,

設EF=OE=%,則CE=CE=OE+BO=%+V?,

vZ-AHF=ZCEF=90°,Z.AFH=/LCFE,

.-.AAFHCFE,

FH_AH

~EF~~CE"

12

''片菽，

???%=V5，

???DE=V5，

BE=CE=2V5>

CD=CE+DE=3V5；

(2)證明：如圖，連接CE,在4C上截取4H=48,

A

^^BAC=^DAE=90°,

Z.BAC-Z.DAC=Z-DAE-Z.DAC,

???乙BAD=Z-CAE,

AD=AE,

??.△BAD=△/ME(SAS)，

；.EH=BD,乙AHE=2B,

設乙COF=a,貝！Jzl/OC=NADE+NCDF=45。+a,

???AC=DC,

???Z-DAC=Z-ADC=45°+a,

???乙BAD=90°-^DAC=45°-a,

???/-B=A.ADC-/-BAD=(45°+a)一(45-a)=2a,

???乙AHE=乙B=2a,

???/.BAC=Z-MGD=^°,

???乙B+AAKG=180°,

???乙FKM+乙AKG=180°,

???乙FKM=Z-B=2a,

???^KMF=/OMG=90°-^CDF=90°-a,

???乙KFM=180°-^FKM-^KMF=90°-a,

??

?乙KMF=Z.KFMf

??.KM=KF,

???Z.EFH=A.KFM=90°-a,Z.AHE=2a,

???(FEH=90°-a,

???乙FEH=Z.EFH,

??.FH=EH,

???CF=2BD,

??.CF=2FH=2EH,

???點H是CF的中點,

工人CEF=90°,

vCF=DM,乙FEC=^DGM=90。,乙CFE=4DMG=900-a,

??.△CEF=△OGM(AAS)，

??.EF=GM,

???GK=KM+GM,

??.GK=KF+FE；

(3)解：如圖，取的中點M,連接MN,

BDC'?點N是BP，的中點,

：.MN^Ap',

CN>CM-MN,

當NM取最大時，且C、M、N共線時，CN最小,

此時如圖，作CFII4D,交48于F,

DfDp

不妨設48=2,則BC=4,AC=2百，AM=BM=1,

■■■CM=ylAC2+AM2=j(2V3)2+I2=V13)

由對稱性可得，/-DAP'=^DAC,

-：NM||Ap',

■-■/.CAP'=/.ACM,

：.^ACF=NFCM,

AF_AC_2V3

2V3V13

??.AF=

2百+而'=2西+后'

Vli_2百+2VIi

???BF=BM+FM=1+

2V3+V132V3+V13

2仃+2Vli

.BC_2b+713_3+V39

??~CD~2^~3-

2V3+V13

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，軸對稱的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判

定和性質，三角形的中位線性質等知識，解決問題的關鍵是作出適當的輔助線，構造全等三角形.

5.如圖，在△力BC和△4DE中，A.BAC=^AED=90°,AB^AC,EA=ED.

(1)如圖1,當點4、C、。在同一直線上時，連接CE、BE、BD,滿足tan41DB=，CD=2,求△BED的面

積;

(2)如圖2,當點4、C、D在同一直線上時，連接CD,B。，尸為CD的中點，連接EF,試猜想線段EF與8。關系;

(3)如圖3,若AD=3后,N為2。邊上一動點，連接EN,將△DEN沿EN所在直線翻折，點。的對應點為D,

“為DE中點，連接。歸、AD',請直接寫出當取最小值時，直接寫出線段2N的長度.

【答案］⑴6

(2)EF=^BD,EF1BD,證明見解析

⑶呼

【分析】(1)設力交于點O,根據tan乙408=9,得到48=，。，結合4B=4C,推出點C是的中點，

由等腰直角三角形的性質得到CE14。,推出乙4CE=/-BAC=90°,C￡=AC,進而證明△ABO=△CEO(AAS)，

由S^BED=^AABD+S^CDE即可求解；

(2)延長DE至IJT,使得ET=DE,連接力T,CT,延長TC,EF交BD于點凡G.證明△B力。三△C47(SAS)，推

出BD=CT,再利用三角形中位線定理即可證明EF=：BD,在根據三角形內角和定理得到

N7HD=NT4C=90。，由平行線的性質得到NEG。=NTHD=90。，即可證明EFlBD；

(3)取4E的中點4,的中點。，連接4。,。。,4。，根據2。=3五，△ADE是等腰直角三角形，求出

AE=DE=3,從而得到4A=4E=^AE=|,根據，0+1H=黑4。+D,H)=黑4。+D0)=削

0+D0,可得出當且僅當A,。刀三點共線時取最小值，止匕時，A'DWAD',推出=由折疊的性

質得到NEON=NADN=45。，乙NED'=LNED,證明四點共圓，得至！|〃力。=A/VE。，由

DNDE

從而得到乙M>A=NNE。，推出乙4￡U'=NNED,證明△D44,得到77=而，求出

DN==也,即可求出2N的長.

AD4

【詳解】(1)解：設4&BE交于點。，

D?:4847=乙4/。=90。，點力、C、。在同一直線上,

,-.4BAD=4BAC=90°,

1

tan乙408=

AB=^AD,

???AB=AC,

■■■AC^^AD,

■,■點C是力。的中點，

■.■△4DE中，Z.AED=90°,AF=DE,

???△4DE是等腰直角三角形，

???CE1AD,

???乙ACE=^BAC=9U0,CE=AC=CD,

Z.AOB=(COE,

△ABO^△CEO(AAS)，

SMOE=S^AOB，

SMBD=S^BOD+SMOE

???CD=2,

??.CE=CD=AB=2,AD=2CD=4,

SABED=]X2x4+—x2x2=6；

(2)證明：延長DE到T,使得ET=OE,連接4T,CT,延長T&EF交BD于點H,G.

?：/-AED=90°,

：.AE1DT,

?：ET=DE,

：,AT=AD,

'：AE=ED=ET,

??z￡MT=90。，

-Z.BAC=AT=90°,

：.Z-BAD=Z-CAT,

-AB=AC,AD=AT,

??.△BAD=△CZT(SAS)，

；.BD=CT,Z.ADB=ACTA,

?；CF=DF,DE=DT,

:.EF=gcT,EFWCT,

：.EF=^BD,

■：^LADB+ATHD=Z.CTA+A.TAC,NTAC=90°,^ADB=ACTA,

???NTH。=rrac=90。，

???EFWCT,

Z.EGD=/.THD=90°,

?-?EF1BD；

(3)解：取力E的中點4,ED'的中點。，連接4。,。。,4。，

"%。'+劍H=^A'D+D'H)=^A'D+DO)=^A'O+DO,

當且僅當4,。刀三點共線時取最小值，

此時,A'DWAD',

Z.DAD'=/-ADA',

由折疊的性質得到NEON=N40N=45。，乙NED'=^NED,DE=ED',

ED'=AE,即=

設乙4E。'=a,乙NED'=4NED=￡,

???^EAD'=乙ED'A=180°TED=o-?

290z

?.?"+26=90。，即？+6=45。，

???乙AD'E+乙ED'N+/-AED'+ANED'=90°-^+45°+a+3=135°+微+。=180°,

四點共圓,

???乙DAD'=LNED',

???Z.DADr=/-ADA.

???tADA'=tNED',

???Z.ADA'=/-NED,

???乙EDN=2LEAD=45°

???AEDN-ADAA\

DN_DE

***一而‘

...DN=運,

AD4

???AN=AD-DN=3V2--=—.

44

【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，圓的內接四邊形的性質，相似三角

形的判定和性質，三角形中線的性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全

等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

6.在△ABC中，乙48c=90。，AB=BC,點。是平面內一點.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當點。為BC中點時，連接力D,作乙48c的平分線交4。于點E,BD=2,求線段BE的長；

(2汝口圖2,點D為線段AC上一點，將線段BD繞點。順時針旋轉90。得到線段DF,連接力F,BF,點G是線段DF

中點，連接4G交延長線于點H,當N/L48=60。時，求證：^CD+AG=BC-,

⑶如圖3,點D為線段力C中點，連接BD,。為平面內一動點，將線段。。繞點。逆時針旋轉90。得到線段。M,

連接DM.過B作。。的平行線，交直線。M于點N,連接2N.將△BDN沿2N翻折得到△B'D'N,當線段4V

最短時，直接寫出此時瞿的值.

DC

【答案】(1出5=竽

⑵見解析

(3)^1

2

【分析】(1)過點3作于”，證明則AH=2EH；設EH=x,貝=2x；由已

知得B”=EH=x,由AB=4,則可得x的值，由勾股定理求得結果；

(2)延長GH到河，且使4G=GM,連接MD并延長交于N,過點。作OP1BC于尸，證明

△AFG=AEDG,^AD\\DM；由NBAD=NBFD=45。得/、足。、8四點共圓，則得NB4F=90。，從而MN148；

由NB力"=60。易得2N=AG；證明四邊形BNDP為矩形，貝I]BN=PD；由由2B=BC即可求證；

(3)連接*C,NC,由平行線性質得N8ND=400M=45。，貝!U8N0=NBCD=45。，則8,N,C,D四

點共圓，得乙BNC=90°,即點N在以BC為直徑的圓上；設此圓的圓心為X,連接4月,當點N在線段力”上

時，AN最小；連接BB'交4H于0,過N作NKLAB于K；設4B=BC=2a,利用相似三角形的性質及勾股

定理可計算出BN2,由對稱性質得B，N=BN,BQ=B,Q=^BB',BB'IAH；再在RtaaBH中由面積關系可

計算出BQ；由勾股定理可計算出B￡2,即可求得結果.

【詳解】(1)解：點E作于〃，

.-.^AHE=AABC=90°,

■■■EHWBD,

.■.AAHE-AABD,

?*(-A-B=_B--D?

AHEH'

??,D為BC中點,AB=BC,BD=2,

??.AB=2BD=4,

AH=2EH；

設=貝lMH=2%；

???BE為乙4BC的平分線，乙ABC=90°,

???乙HBE=45°,

???Z.AHE=90°,

???乙HBE=Z.HEB=45°,

.?.BH=EH=x,

??.AB=AH^BH=3%,

AB=4,

???3x—4,

即％=*

由勾股定理得BE=JBH2+HE2=竽；

：K\c

BDC

(2)證明：如圖，延長GH到M,且使4G=GM,連接MD并延長交4B于N,過點。作DP，BC于尸；

???點G是線段DF中點，

FG=DG,

乙AGF=^MGD,AG=MG,

.-.△i4FG=AEDG(SAS),

???Z.FAG=zM,

???AF\\DM；

vAB=BC,4ZBC=90。,

ABAD=ZC=45°；

???線段BD繞點。順時針旋轉90。得到線段DF,

；,DB=DF,乙BDF=90。,

???乙BFD=45°,

匕BAD=乙BFD=45°,

???/、F、D、5四點共圓,

/.Z.BAF=ABDF=90°；

???AF\\DMf

???MNLAB；

???Z.BAH=60°,

???Z-M=30°,

??.AN=^AM；

???AM=2AG,

??.AN=AG；

???乙MNB=Z.ABC=乙DPB=90°,

??.四邊形BNDP為矩形，

BN=PD；

vDPIBC,4c=45。,

??.zf=Z.PPC=45°,

.?.PD=PC=&D；

BN=PD=&D；

2

???AB=BN+AN=BC

.■■^-CD+AG=BC；

(3)解：如圖,連接B'C,NC,

■：OM=OD,^DOM=90°,

.-.ZO￡)M=45°,

■■■BN\\OD,

.-./BN。=NODM=45。，

.-.乙BND=4BCD=45°,

■■B,N,C,。四點共圓；

?.?。為AC中點,SLAB=AC,

:.乙BNC=4BDC=9Q°,

即點N在以BC為直徑的圓上，設此圓的圓心為X,連接力H,如右圖,

當點N在線段4H上時，4N最小；

連接BB'交2H于0,過N作NK14B于K；

則KNIIBC,

??.△AKN~AABH,

AK_KN

??布―麗；

設ZB=BC=2a,則==AH=VBH2+AB2=Va2+4a2=

則/N=AH-HN=(Vs-l)a；

AK_KN

V2^=~f

：.AK=2KN；

由勾股定理AN?=AK2+KN2=SKN2,即ZN=返KN；

???亞KN=(V5-l)a,

即KN=g^a,ZK=2叱1%；

V5V5

???KB=AB-AK=1

75

在Rt△BKN中，由勾股定理得BN?=BK2+KN2=2更一警

由對稱性質得B'N=BN,BQ=B'Q=lBB',BB—AH；

貝煙產=2(5一場a?；

在RtzXABH中，^AB-BH=^AH-BQ,

2a

???BQ=—；

yvs

4a

BB'=2BQ=不

???BC為圓的直徑，

NBB'C=90°；

在Rt△BBC中，由勾股定理得BE?=BC2-BB'2=芥，

.BN_2(5-V§)a24a2_5-V§~

**B'C25?52~?

考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，勾股定

理，全等三角形的判定與性質，四點共圓，圓的性質，對稱的性質，旋轉的性質，矩形的判定與性質等知

識，綜合性強，涉及的知識點多，難度較大；對于前兩問，證明相似與全等是關鍵；對于第三問，確定點N

的軌跡是關鍵.

7.在△ABC中，NB2C=90。，AB=4C,點。為邊上一動點，連接力￡),將4。繞著。點逆時針方向旋轉90。

得到DE,連接

(1)如圖1,4H1BC,點。為中點，AE與BC交于點G,若AB=8,求4E的長度；

(2)如圖2,DE與AB交于點F,連接BE,在BA延長線上有一點P,Z.PCA=^EAB,求證：AB^AP+^BD-

(3)如圖3,DE與4B交于點F,且48平分NE4D,點M為線段4尸上一點，點N為線段4。上一點，連接DM,

MN,點K為DM延長線上一點，將△BDK沿直線BK翻折至△BDK所在平面內得到△BQK,連接DQ,在M,

N運動過程中，當DM+MN取得最小值，且NDKQ=45。時，請直接寫出裝的值.

DC

【答案】⑴4E=4遙；

(2)詳見解析；

⑶食=2-五，詳見解析.

【分析】(1)由等腰直角三角形的性質和勾股定理可求4。的長，由旋轉的性質可得4。=DE,

N4DE=90。，即可求解;

(2)由"SAS”可證三△E08,可得4H=BE,Z.DBE=/.DHA=135°,由"ASA”可得

ABAE^AACP,可得4P=BE,可得結論；

(3)先證明當點M,點N',點。三點共線，且DM14E時，DM+MN有最小值，再證明點0,點5,點。

三點共線，由等腰直角三角形和折疊的性質即可求解.

【詳解】([)?--zB4C=90o,AB=AC=8,

-'-BC=y/AB2+AC2=8五,

■.■AH1BC,AB=AC,

.-.BH=CH=4y/2=AH,

?.?點。為CH中點，

:.DH=CD=2VL

■■AD=JAH2+DH2=V32+8=2V10-

???將力。繞著。點逆時針方向旋轉90。得到DE,

:.AD=DE,/.ADE=90°,

■.AE=ypzAD=4V5;

(2)如圖2,過點。作DH1BC交AB于點〃，

圖2

■.■ABAC=90°,AB=AC,

.?.乙48。=乙4cB=45。，BC=y/2AC,

■：DH1BC,

；.4BHD=LDBH=45°,ABDH=90°,

:.BD=DH,Z.AHD=135°,

:.BH=?BD,

?.?將4D繞著D點逆時針方向旋轉90。得到DE,

:.AD=DE,/.ADE=90°=乙BDH,

:.乙ADH=LEDB,

在△4。"和aEOB中，

(DH=BD

{/.ADH=乙EDB,

IAD=ED

△ADH=△EDB(SAS)，

.--AH=BE,Z.DBE=^DHA=135°f

.-.Z.ABE=90°=/.CAP,

在△84E和中，

(Z.ABE=Z.CAP

]AB=CA,

V^BAE=乙ACP

△BAE三△/CP(ASA)，

：.AP=BE,

：.AP=BE=AHf

:.AB^AH+BH^AP+五BD；

(3)如圖3,在4E上截取ZM=4N,連接MM,

圖3

?MB平分NE4D,

.?2048=NB4E=22.5。，

又“M=4M,

△AMN=△AMN'(SAS)，

：.MN=MN',

:.DM+MN=DM+MN',

???當點〃，點N',點。三點共線，且DM14E時，DM+MN有最小值,

如圖4,

K

：.Z.ADM=乙EDM=45°,

由折疊的性質得：DQ1BK,Z.BKD=^BKQ,

,?ZDKQ=45°,

:?乙BKD=^BKQ=225。,

-Z.AMK=匕ADM+乙BAD=乙BKD+Z.KBA,

?"84=乙4。河=45。，

"KBD=乙ABK+Z.ABC=90°,

：.KBLBD,

又?.?DQ1BK,

??,點以點0,點。三點共線，

由折疊的性質得：DQ=2BD,

-/.BAD=22.5°,

.'.Z.CAD=67.5°,Z.ADC=乙ABC+^BAD=67.5°,

：.Z-CAD=乙40a

：.AC=DC,

：.BD=BC-CD=五AC—AC,

：.DQ=2BD=2-42AC-2AC,

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，旋轉的性質，折疊的性質，

勾股定理等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.

8.已知：△力8C中，AB=AC=2,點。為8c邊上一動點，連接AD,將力。繞著點。逆時針方向旋轉與NB4C

相等的度數得到DE,連接AE.

AAA

⑴如圖1,當NB2C=120。，NC4D=30。時，求4E的長：

⑵如圖2,當NB4C=90。時，連接BE,再將線段4E繞點4逆時針方向旋轉90。得到4/，連接CF.求證：

CF=AC-近BD；

⑶如圖3,當NBAC=90。，BD=1時，點P是平面內任意一點，將△PBD沿直線PB翻折得到△PBM,點D

的對應點為點M,點N是BC邊上另一動點，當EM最小值時，直接寫出N2+NM的最小值.

【答案]⑴2

⑵見解析

(3)3

【分析】(1)證明△4DE三△4DC,即可求解.

(2)過點。作。M1BD交4B于點M,證明=BM=?BD,△ADM三△EDB(SAS)，進而證明

AABE=AACF(SAS)'即可得證；

(3)過點人E分別作BC的垂線，垂足分別為T,S,證明△力D7三△DES(AAS)，根據題意得出M在以B為

圓心，8。為半徑的圓上運動，當EM最小值時，即M在BE的延長線上，作2關于BC的對稱點4,連接AM,

進而結合圖形求得4M的長，即可求解.

【詳解】(1)解：■.■^BAC=120°,AB=AC=2,/.CAD=30°

.?.NC=30°=NCAO,

：.DA=DC

?.?將2D繞著點。逆時針方向旋轉與N8AC相等的度數得到DE,

.-.DE=DA,^ADE=AC=120°

??ZDAE=乙DEA=30°

在△?!￡)￡1,△ADC中，

(Z.DAE=Z.DAC

[AD=AD

△ADE^△ADC

.-.AE=AC=2；

（2）證明：如圖所示，過點。作。M18。交48于點M,

??ZBDM=90°

.*.Z2+43=90°,

???乙4OE=ABAC=90°

??21+43=90。，

AZ1=42

由旋轉可得ZD=OE

-AB=ACfABAC=90°

"ABC=45°

???在Rt^BMO中，

Z.ABD=乙BMD=45°

；.BD=DM,BM=0BD

???△ADM^△EDB(SAS)

.-.AM=EB

由旋轉得，AE=AFt^EAF=90°,

.??44+Z.BAF=90°

-Z.BAC=90°

.*.Z5+4BAF=90°

??24=z5

-AB=AC

???△ABE=△TlCF(SAS)

:?CF=BE

??.CF=/M,

-AM=AB-BM

:.CF=AC-五BD

(3)解：如圖所示，過點4、E分別作BC的垂線，垂足分別為T,S,

A

圖3為

??,旋轉，

.-.DA=DECADE=90°

又「NS=4ATD=90°

“EDS=90。一乙4"=/.DAT

：.△ADT=△DES(AAS)

：.ES=DT,SD=AT

■,■AB=BC=2,/-BAC=90°,BD=1

.-.BT=寺AB=V2

：.DT=BT-BD=V2-1=ES,BS=SD-BD=AT-BD=五T

.-.BS=ES

??.△BES是等腰直角三角形，

?.?將△P8D沿直線翻折得至Ij△PBM,貝！=PD

.?.M在以8為圓心，BD為半徑的圓上運動，

???當EM最小值時，即M在BE的延長線上

作4關于BC的對稱點4,連接4M,

則N4+NM=N4+NM24M,當N在AM上即與點B重合時，N4+NM取得最小值，

■:/.ABT=4A'BT=45°,AB=A'B=2,BM=BD=1

.-.A.TBA'=45°=/.SBE

??.ME,A三點共線