2024?2025學年度第二學期期初調(diào)研測試

數(shù)學試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合a={x|y=ln(l—無)},B=[y\y=ei~x],則Ac3=()

A.(-oo,l)B.(0,1)C.(1,+刃)D.0

1-L9；

2.已知復數(shù)z=/■=+，，則z的虛部為()

A.2B.1C.2iD.i

JI37r△-1

3.設(shè)一vavsina+cosa一,貝！Jcos2a=()

442

A.-1C.—D.一走

B.-

2222

4.當％w[—2萬,2萬]時，曲線y=sin%與y=|/-1|的交點個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

5.已知隨機變量J?NQ,。?)，且-3b)=P《2b),則當6＜立＜:時，—二+―1的最小值

2a—2xx—b

為()

A1+V2R3+20?7口9

4444

6.設(shè)數(shù)列{%}滿足q=1,。2〃=%"-1+2，為“+1=。2“一1，〃eN*,則滿足1%4的〃的最大值是

()

A.7B.9C.12D.14

7.已知拋物線C:y2=2?x的焦點為尸(1,0),準線為/,P為C上一點，尸。垂直/于點。，APQF為等邊

三角形，過尸。的中點M作直線"R〃。尸，交x軸于R點，則直線的方程為()

A.瓜+y-26=0B.A/3X+J-3A/3=0

C.x+—2A/3=0D.x+j3y-3y/3=O

8.已知函數(shù)/(x)(/(x)不恒為零)，其中/'(x)為/(x)的導函數(shù)，對于任意的x,尤，yeR,滿足

f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y),且/(1)=2,/(2)=0,則()

A./(0)=lB.y(x+4)是偶函數(shù)

C,廣（尤+1）關(guān)于點（1,0）對稱D-E/W=-2

fc=i

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知變量無，y的樣本數(shù)據(jù)如下表，根據(jù)最小二乘法，得經(jīng)驗回歸方程為5=應+3.4,則（）

X12345

y59101115

_/）（依-歹）￡-了）（納—歹）

附：樣本相關(guān)系數(shù)「=:一/?經(jīng)驗回歸方程斜率6——，截距

-刃"后（僅一夕產(chǎn)E（Xi-x）2

a=y-bx.

A.6=2.3

B.當x=5時，對應樣本點的殘差為0.6

C.表中y的所有樣本數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是11

D.去掉樣本點（3,10）后，y與尤的樣本相關(guān)系數(shù)不變

10.在直三棱柱ABC-A4G中，NR4c=90。，AB=AC=AAl^4,E,P分別是BC,的中點,

〃在線段用G上，則下面說法中正確的有（）

A.EF〃平面的43

B.直線所與平面ABC所成角的余弦值為正

5

C.直三棱柱ABC-a4cl的外接球半徑為2百

D.直線8。與直線EF所成角最小時，線段8。長為3&

11.我們把既有對稱中心又有對稱軸的曲線稱為“優(yōu)美曲線”，“優(yōu)美曲線”與其對稱軸的交點叫作“優(yōu)

美曲線”的頂點.對于“優(yōu)美曲線”。:/+25/丁+，-9=0,則()

A.曲線c關(guān)于直線丁=%對稱

B.曲線C有4個頂點

C.曲線C與直線y=—x+3有4個交點

D.曲線C上動點尸到原點距離的最小值為2且

5

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知(w+2)”的展開式的二項式系數(shù)和為64,各項系數(shù)和為729,則其展開式的常數(shù)項為.

13.如圖所示，將一個圓心角為120。的扇形紙板OA8剪掉扇形OCZ),得到扇環(huán)ABOC,現(xiàn)將扇環(huán)ABOC

圍成一個圓臺.若tM=2OC=6,則該圓臺的體積為.

14.已知函數(shù)/(x)=lnx+f-辦有兩個極值點相，”,且加eg』],則/(加)—/(〃)的取值范圍是

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知數(shù)列3｝的前n項和為Sn，若S,=2a,+1,

⑴求S”;

⑵若c”=]丁"普，T“為數(shù)列｛qj的前"項和，求耳.

區(qū),幾為偶數(shù)

16.(本小題15分)

在銳角三角形A8C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=6,6=5,且sinA—sin25=0.

(1)求cosC的值；

(2)若點M,N分別在邊A8和AC上，且△AAW與AABC的面積之比為g,求MN的最小值.

17.(本小題15分)

如圖，在平行六面體ABCD—A8C77中，AB=AD=2,42止=/4\4。且43_147,設(shè)AC與20

的交于點Q

DLC

⑴證明：AO,平面A3CD；

(2)若A4=3,且NH4D=60。，求直線A3與平面AB'CD所成角的正弦值.

18.(本小題17分)

22

已知橢圓C：=+^=im>6>0)的長軸長是短軸長的2倍，焦距為2括，點A，8分別為c的左、右頂

ab

點，點。為上的兩個動點，且分別位于軸上、下兩側(cè)，和的面積分別為

P,CXAAPQABP。S],S2,

記W八

⑴求橢圓C的方程；

(2)若a=7一4百，求證直線尸。過定點，并求出該點的坐標；

(3)若2>1,設(shè)直線AP和直線8Q的斜率分別為勺，右,求白的取值范圍.

19.(本小題17分)

已知函數(shù)/(x)=aex-sinx-a.

⑴當a=3時，求曲線>=〃x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)當。>0時，函數(shù)/(%)在區(qū)間(0,工)內(nèi)有唯一的極值點冷

(i)求實數(shù)a的取值范圍；

(ii)求證：/(無)在區(qū)間(。,萬)內(nèi)有唯一的零點吃,且不＜2%.

參考答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：A={x\y=ln(l-T)}={x|l-a:>0}={x\x<1},B={y\y=e1_?}={y\y>0}，

則Ac3=(0,1),

故選：B

求出集合的等價條件，根據(jù)集合的基本運算進行求解即可.

本題主要考查集合的基本運算，求出集合的等價條件，根據(jù)集合的基本運算進行求解是解決本題的關(guān)鍵.

2.【答案】A

1+2，(1+21)(2+2)..

【解析】"==+(2—)(2+，)+'=L=02/.

z的虛部為2.

故選A

3.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查三角函數(shù)的求值及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

將sina+cosa平方，求出sin2a,再由同角三角函數(shù)關(guān)系求得cos2a.

【解答】

施麻因為sincr+coscr=-----

2

，/3/Q

所以(sina+cosa)2=1+sin2a=1———，所以sin2a=———<0，

7137r7T

因為——<a<——，所以-<2a<

44

又因為sin26/<0，所以7?<2a<

所以cos2a=—\/l—sin22a=--

故選A.

4.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的交點問題，指數(shù)函數(shù)與正弦函數(shù)的圖象，屬于中檔題.

令sin/=-1|,易知％=0是sin/=\ex-1|的一個根.當xE(0,2對時，令/⑶=ex-1-sinx,

ze（0,2對,利用導數(shù)研究其單調(diào)性可判斷方程根的個數(shù).當ze[-2/0）時，sin2=l-ex,畫出兩個函數(shù)

的圖象判斷交點個數(shù)即可求解.

【解答】

解：令sine=\ex-1|,

當x=0時，sin0=|e°—1|,

故x=0是sini=\ex—“的一個根；

當￡€（0,2%]時,sine="一1,

令/（c）=ex—1—sine,x€（0,2TT],

則f'3）=ex-cosx>1一cos/20,

所以/（x）在；7：e（0,2可上單調(diào)遞增，

所以〃x）>/（0）=。，

所以工€（0,2TT]時，ex—1>sinx>

即方程sine=因一1|在；re（0,2對無實數(shù)根；

當a;€[-2開,0）時，sinx=1—ex>

y=l-e‘在ze[—2萬,0）上單調(diào)遞減，且沙—1-<1,

如圖所示，y=l-6"與y=sinx的圖象在/e[一2再0）上有兩個交點,

所以方程sinz=d一1|在te-2小0）有兩個不同的根；

綜上所述，曲線y=sinx與y=|e*-l|的交點個數(shù)為3.

故選：C.

5.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查由基本不等式求最值或取值范圍，正態(tài)分布的對稱性，屬于中檔題.

利用正態(tài)曲線關(guān)于直線彳=2對稱，得出。+26=4,即。一2.7+2（7-6）=4,則

11l11c、c/l/2(rc-b)a-2x.到可甘士7&二

—^-+-—7=7(z---丁+一一^(。—2①)+2(1-b)=彳(3o+-7+--)，利用基本不等式,

L/Jo

a-2xx-b4a-2a;x-b4Q—2力岔一b

即可求出結(jié)果.

【解答】

解：因為隨機變量J~N（2,b2）,

所以正態(tài)曲線關(guān)于直線尤=2對稱,

又尸(￡4a—3b)=P(g/b),

所以a-36+6=4,即。一2/?=4,

所以a-21+2(/一b)=4,

因為6<力<$

則。一2%>0,x—b>0,

所以上+-=%占+三升（"2『）+2（一期

2(1)d—2/、1.

~\-----7-)》］x(3+2\/2)，

a—2xx—b4

2(力—6)

當且僅當=佇3時取等號,

a—2xx-b

113+2行

所以的最小值為

a—2x+口4

故選：B.

6.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查數(shù)列的遞推公式的應用，屬于中檔題.

根據(jù)數(shù)列｛%｝滿足的條件，討論〃的奇偶性，即可求得解析式.根據(jù)解析式解絕對值不等式即可求得滿足條

件的”的最大值.

【解答】

解：數(shù)列｛。〃｝丫兩足4=1,a2n=。2〃-1+2f^2n+l=。2Tl-1，%=3,

則。2〃+1—。2幾-1=1，

〃+177-L-1

則當奇數(shù)時，a=——，所以|a“-代入可得卻忘4,解不等式可得—7Wn<9,

n22

而〃wN*,所以此時〃的最大值是9；

77Tl

則當〃e偶數(shù)時，*=2+萬，所以若|4-代入可得憶+弓一知44,解不等式可得

一4《冗412,

而“eN*,所以此時”的最大值是12,

綜上可知，”的最大值是12,

故選：C.

7.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查拋物線與直線的綜合應用，屬于中檔題.

設(shè)直線/與無軸交于點"，連接"F,Q尸，說明為矩形，得“(1,2g),求得MR的斜率為—

直線方程可求.

【解答】

解：設(shè)直線/與x軸交于點連接〃￡。尸，

因為焦點尸。,0),所以拋物線的方程為丁=4尤，準線為尤=-1,

則但叫=2,|"|=|尸0|,因為APQ廠是等邊三角形，PQ的中點為跖

則尸。，敏，無軸，所以準線為/〃MF,為矩形，則3M=M@=2,

故&PQF是邊長為4的等邊三角形，

易知ZPFQ=ZPFR=ZQFH=60°,\MF\=2-^3,則V(1,2遍).

因為MRUQF,所以直線MR的斜率為一百，

故選：B.

8.【答案】D

【解析】解：對于A,令x=y=。得/(0)=0,所以A錯誤；

對于2,令x=0,得/(y)/(-y)=r(0)-尸(y),

即/W㈠)+尸(y)=尸(0)=0，即/(j)[/(-y)+/(y)]=°，

又/(，)不恒為o,即/(—，)=—/(，)，又f(x)定義域為R,所以f(x)是奇函數(shù),

令｛:;3,則/⑵?/⑵)=/(1+力)一產(chǎn)。—力)=0,

即/2(1+t)=f2(l-t),即產(chǎn)(2-x)=f\x),

又/(2+工)/(2一0="⑵一產(chǎn)⑺=-/2(2-X),

則/(2+x)=-f(2-x),所以/(①+4)=-/(-x)=f⑸,

因為/(x)是奇函數(shù)，而且/(%)不恒為零，所以/(x+4)為奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，所以8錯誤；

對于C,由8選項可得/(2+x)=-/(2—x),兩邊同時求導可得r(2+尤)=廣(2-無)，即函數(shù)/'(X)關(guān)于

直線x=2對稱，

所以函數(shù)八計1)關(guān)于直線x=l對稱，C選項錯誤；

對于。，由8選項可得/(x+4)=/(x),即函數(shù)的一個周期T=4,由上述分析和已知條件，得

/(-1)+/(1)=0,/(0)=/(2)=。，

12

所以E/(%)=/(-I)+/(0)+f⑴+f⑵++/(H)+/(12)

i=-l

=3[/(-1)+/(0)+/(I)+/⑵]+f(-l)+f(0)

=0-f(l)-0

=—2,

故。選項正確；

故選D.

9.【答案】BCD

【解析】解：由表中數(shù)據(jù)可得于=1+2+：+4+5=3,

_5+9+10+11+15

y=------5------=10)

因為經(jīng)驗回歸方程為5=良+3.4經(jīng)過點(3,10),則10=36+3.4,解得：g=2.2,故A錯誤；

當尤=5時，）=2.2x5+3.4=14.4,

殘差為15—14.4=0.6,故B正確；

因為5x7O%=3.5,所以表中y的所有樣本數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是第4個數(shù)，為11,故C正確；

因為亍=3,7=10,所以去掉樣本點(3,10)后，＞與無的樣本相關(guān)系數(shù)不變，故。正確.

故選3CD.

10.【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查利用空間向量研究直線與平面平行，直線與直線所成角、直線與平面所成角.本題還考查了直三棱

柱的外接球的半徑，考查計算能力與空間想象能力，屬于較難題.

由題意，建立空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量，將問題轉(zhuǎn)化為空間向量的關(guān)系進行研究，依次

判斷A、B、。三個選項即可.

對于C選項，因為直三棱柱A2C-A耳￡的底面ABC為等腰直角三角形，且A3=AC=AA，我們可以

把直三棱柱ABC-A用￡補成正方體，則正方體的體對角線是其外接球的直徑，求出外接球的直徑后，可

得外接球半徑.

【解答】

解：???直三棱柱ABC—44￡中，ZBAC=90°,

，以點A為坐標原點，AB,AC,四所在直線分別為x,?z軸建立空間直角坐標系如圖，

AB=AC=AAI=4,E,尸分別是BC,AG的中點，。在線段A上,

.?.4(0,0,0),5(4,0,0),C(0,4,0),￡(2,2,0),下(0,2,4),^(0,0,4),

對于A,易得第=(0,4,0)為平面A&g3的法向量，EF=(-2,0,4),

貝I]ACEF=0x(-2)+4x0+0x4=0,又EF不在平面用月臺內(nèi),

.-.EF//平面AA^B^B,故A正確；

對于8，易得麗=(0,0,4)為平面ABC的法向量，EF=(-2,0,4),

TT

設(shè)直線石方與平面A3C所成角為e,^e[0,-].

2

貝Ucos￡=Jl-sin」0=弓,故8錯誤;

對于C,由于直三棱柱ABC-A4cl的底面ABC為等腰直角三角形，NR4C=90°，且

AB=AC=胡=4,

把直三棱柱ABC-a4G補成正方體，

則正方體的體對角線是其外接球的直徑，

所以外接球半徑為：42+42+42=2匹,故C正確;

對于。，設(shè)麗=4宿=(-4尢440),(噴M1),

則麗=西+和=(-42,44,4),訪=(-2,0,4),

設(shè)直線2D與直線E尸所成角為0,

\BDEF\84+168(4+2)4+2

貝Icos^='|

,32%+16?a442儲+1.2石，22+1.百

1

2

+-

9

341

當—=0即X=—時,

2+234

cos。取最大值，此時直線8。與直線環(huán)所成角最小,

此時前=(-1,1.4),|BD|=7(-1)2+(1)2+42=3A/2,故O正確.

故選ACD.

11.【答案】AC

【解析】【分析】

本題考查了曲線與方程，屬于較難題.

對于A,將x,y交換方程依然成立，A正確;

對于8,畫出函數(shù)圖象，利用圖象可判斷8錯誤；

對于C,通過聯(lián)立方程消元，可判斷C正確；

對于。，先由已知方程得到/=套餐，進而利用基本不等式求d+y2的最值，進而可判斷。錯誤.

【解答】

解：對于4將尤，y交換方程依然成立，所以曲線關(guān)于丁=工對稱，A正確；

對于8,易得曲線有四條對稱軸：x軸，y軸，直線丁=%，直線>=-X,共有8個頂點，B錯誤;

可得x{x-3)(25尤2-75x+2)=0,

對于方程25/-75》+2=0,A=(-75)2-4x25x2>0,

則方程25尤2-75尤+2=0有兩不等實根，且方程的根不為。和3,

所以方程x(x-3)(25/-75尤+2)=0有4個不等實根，

從而曲線C與直線y=-x+3有4個交點，C正確;

對于。，由尤2+25月/+丁一9=0得/=yF,

25尤-+1

2

2229-X25無？+12262

X+y=XH--------=--------1-------5--------

25X2+12525(25尤2+1)25

2,25冒+1226_2__2^^_2

''V-25-?25(25X2+1)~25~~2525)

25尤2+1

當且僅當，即即=詆行一1時取等號,

25-25（25尤？+1）25

則X2+丁的最小值為漢里一2

2525

曲線C上動點尸到原點距離的最小值、取芨巨,。錯誤.

V2525

故選：AC.

12.【答案】240或3840

【解析】【分析】

本題考查指定項的系數(shù)與二項式系數(shù)，二項展開式項的系數(shù)和與二項式系數(shù)的和，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)二項式系數(shù)和求出“，再利用賦值法求出。=2或-4,根據(jù)二項式通項公式的展開式求出常數(shù)項，分

另IJ代入。=2和。=7,求出答案.

【解答】

解得〃=6.

又由于卜立+2的展開式系數(shù)和為729,令x=l得，即伍+1)6=729，

解得a=2或-4,

卜+f展開式的通項為乙+1=禺(3產(chǎn)0'=a一件6-3「，令6—3r=0,

解得丫=2,

所以展開式的常數(shù)項為,麻，

4

故當a=2時，Q4.第=240,當a=T時，a-=3840.

故答案為：240或3840.

.1皆卒］

【解析】解：已知圓心角ZAOB=120°=—9OA=6,OC=3,

D

對于扇形OAB,弧長。=axOA=—x6=47，

o

27r

對于扇形OCD,弧長，2=axOC=—x3=2TT,

o

設(shè)圓臺的上底面半徑為廣，下底面半徑為R,

因為扇環(huán)圍成圓臺后，上底面圓周長￡=4=2萬外，可得r=1：

下底面圓周長C2=4=2萬R,可得R=2,

設(shè)圓臺的母線長為/,因為04—。。=，，所以/=6—3=3，

根據(jù)圓臺的軸截面是等腰梯形，設(shè)圓臺的高為人，

由勾股定理可得P—(R—r)2=J32—(2—I)?=，9-1=2\/2，

圓臺體積/=%/1(「2+尺7+7?2)=%*2^2x(l2+lx2+2?)=出紅.

333

33

14.【答案】hi2--,--In2

【解析】【分析】

本題考查了利用導數(shù)根據(jù)極值或極值點求參，是中檔題.

先求導，得出機，”為方程2/一6+1=。的兩個根，結(jié)合韋達定理得出

1

/(m)-/(n)=ln(2m2)-m2+—.,設(shè)力=m?，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究最值即可.

'4m2

【解答】

解：/(x)=lnx+x2,

//、12/一QN+1

??/(1)=_+2/_Q=-----------，

XX

???m，n為方程2/—四+1=0的兩個根，

1a1?、c1

二.mn=-m+n=-,n=——,a=2(m+n)=2mH——，

222mm

?77>

/(m)—f(n)=Inm+m2—am—Inn—rr-\-an—In——I-m2—n2—a(m—n)

n

-TTltyn.、/\[772/nn\

=In——Fm—n—2(m+n)(m—n)=In---(m—n),

nn

ii

代入n=—可得：/(m)-/(n)=In(2m2)-m2+--T,

2m'/4m2

設(shè)力=777?’?,me—,1,/.—,1,

設(shè)g(t)=In2t—f,

2

mllx11一⑵-I)

，g(f)在;,1上單調(diào)遞減，

1-1112,g(l)=hi2-：，

33

則e42],

33

即-/(n)的取值范圍是In2--,--In2

15.【答案】解:(1電=2為+1,

當九=1時，51=4=-1,

當九.2時，an=Sn-Sn_t,

%)+1,

S"=2s——1,

?2-1=2(%-1),

又?.同-1=-2皿

，｛5“-1｝是以-2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

1

:.Sn-l=-2x2"-,

*=1-2"，

又〃=1時也滿足上式，

(2)-,-S?=l-2"=2a?+l,

an=-2"一，

.=J-2"T,〃為奇數(shù)

“'=[1-2"為偶數(shù)’

+。2+。3+。4+…+。2〃一1+C2n

=(。+6+…+%—1)+(。2+Q+…+。2〃)

=(-2°-22-24-------22n-2)+(l-22+l-24+...+l-22w)

1(1-4")4-(l-4")

--------------\-n----------------

1-41-4

=n+|(l-4n).

【解析】本題考查等比數(shù)列的通項公式，數(shù)列的遞推關(guān)系，分組法求和，屬于中檔題.

⑴利用數(shù)列的遞推關(guān)系求解即可;

(2)采用分組轉(zhuǎn)化求和法求解即可.

7T

16.【答案】解：⑴因為sinA—sin26=0,則sinA=2sin_Bcos6,又5￡(0,一),則sin5>0,

2

所以cosB=五11",則sin5=Jl-cos2B=—,

2sinB2b55

24

所以sinA=2sinBcosB=——,

25

又Ae(0,^),所以cosA=Jl—sin2A=,,

732443

所以cosC=—cos(A+B)=—cosAcosB+sinAsinB=-----x—H-----x—=一；

2552555

3

⑵設(shè)AM=m,AN=n,由⑴知cosB=cosC=—,則5=。，c=b=5,

又‘詢：5招。=1：5,則耳.=gs^c，即:板sinA=gxg歷sinA,得mn=5,

所以MN2=m2+n2—2mncosA.2mn——mn=—,

當且僅當機=〃=如時等號成立，所以MN的最小值為s?.

【解析】本題考查了三角形面積公式、二倍角公式、正、余弦定理，屬于中檔題.

(1)由已知條件及正弦定理可求得COS3的值，進而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sing的值，最后利用

二倍角的正弦公式可得結(jié)果；

(2)設(shè)AM=根，AN=n,結(jié)合⑴可知》=c=5,由凡加=上5,可得rm=5,利用余弦定理及

基本不等式可得結(jié)果.

17.【答案】解：⑴證明：???在平行六面體ABCD—A8c77中，AB=AD=2,

???底面ABCD是邊長為2的菱形，

:.BD±AC,

■：A'BlAC<ABcBD=B,平面4'BO,

AC_L平面45。,

?.?AOu平面ABD，

AC±A'O<

.AB=AD，ZAAB=ZAAD,A'A=A'A，

LA'AB咨^A!AD,

:.AD^AB,

??,點。為線段BZ)中點，

:.AO±BD,

■.■ACr>BD=O,AC,8。都在平面ABC￡)上，

.?.AO,平面A8CD；

(2)由⑴以。為坐標原點，OB,OC,所在直線分別為x,?z軸建立空間直角坐標系，

因為AB=AD=2,A4，=3,且NH4D=60°,

則5(1,。,。)，C(o,Ao),D(-1,0,0),A(0,0,通)，有近=(1,0,—n)，DC=(1.A/3,0),

前=(1,0,峋,

設(shè)平面AB'CD的法向量為=(x,y,z),

r?-D<i=a:+\/3y—0

令x=&>，

7??DA1=c+V6z=0

解得其中一個法向量刃=(VG,-V2,-1).

—,TA^B-H2\/62屈

從而c…B，…薜而=內(nèi)=寸

即直線43與平面A8CE＞所成角的正弦值為獨2.

21

【解析】本題考查線面垂直的判定及向量方法求線面角的正弦，屬于中檔題.

⑴證明AC,平面A3D，可得4CL4。，再證明利用線面垂直的判定定理證明40_1_平

面ABCD；

(2)以。為坐標原點，OB,OC,Q4'所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，求出平面A8CD

的法向量及瓦g,利用向量方法求出直線43與平面AB'CD所成角的正弦值.

18.【答案】解：⑴由題意知2。=2?%，2c=2百，又6—62=。2,，a=2,b=l,

2

r

所以橢圓C的方程為：—+V2=1；

4

(2)證明:由⑴知4-2,0),2(2,0),由圖形對稱性可知，定點M在x軸上,

設(shè)直線PQ方程為：x=my+x0,M(XO,O),?(無],%)，Q(x2,y2),

I1ix0+2

￡AM=7-4月，解得％=—

$21In^/tIII|BM|2—JVn0

^\BM\-\yx-y2\

即定點坐標為(-君,0)；

⑶設(shè)直線尸。的方程為％=沖+九0，尸(%,3),。(%2，%)，

x=my+x0

聯(lián)立爐可得(m2+4)y2+2mxy+-4=0,

—+y=1Q

[4

—2mxx；-4X；一4

則M+%=0且％%=(%+%)?

2

m+4-2mx0

于是勺=人.金=—=町%+…2)

k2再+2y2my{+%+2y2myley2+y2(x0+2)

2

X-4

m?(%+必)-4；-----+X(%-2)

-2mxQ%o-2_1