云天化中學教研聯盟2024年春季學期期末考試高二數學試卷注意事項：1．答題前為生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號在符圖卡上填寫清楚，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號，在規定的位置貼好條形碼.2．回答選擇題時，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動.用像皮擦干凈后，再選涂其它符案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（每小題5分，共40分）1.復數在復平面內對應的點位于（）A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量，若，則（）A. B. C.1 D.23.曲線在處的切線與坐標軸圍成的面積為（）A. B. C. D.4.已知等差數列的前項和為，若，則（）A.288 B.144 C.96 D.255.拋物線上的點到其準線的距離與到直線的距離之和的最小值為（）．A. B. C.4 D.56.已知等比數列的公比不為1，若，且成等差數列，則（）A. B. C. D.7.下列說法錯誤的是（）A.若隨機變量滿足且，則B.已知隨機變量～，若，則C.若事件相互獨立，則D.若兩組成對數據的相關系數分別為、，則組數據的相關性更強8.油紙傘是中國傳統工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統工藝，北京市文化宮開展油紙傘文化藝術節活動中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘傘沿是一個半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為2，當陽光與地面夾角為時，在地面形成了一個橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，若該橢圓的離心率為e，則（）A. B. C. D.二、多選題（每小題6分，共18分）9.如圖為函數的部分圖象，則下列說法中正確的是（）A.函數的最小正周期是B.函數的圖象關于點成中心對稱C.函數在區間上單調遞增D.函數圖象上所有的點橫坐標擴大到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移后關于軸對稱10.已知函數是定義在上的奇函數，是偶函數，當，，則下列說法中正確的有（）A.函數的圖象關于直線對稱 B.4是函數的周期C. D.方程恰有4個不同根11.如圖，正方體棱長為2，P是直線上的一個動點，則下列結論中正確的是（）A.的最小值為B.的最小值為C.三棱錐的體積為D.以點為球心，為半徑的球面與平面的交線長第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共15分）12.在的二項展開式中，若各項系數和為32，則項的系數為______．13.盒中有4個白球，5個黃球，先隨機地從中取出一個球，觀察其顏色后放回，并另放入同色球2個，第二次再從盒中取一個球，則第二次取出的是黃球的概率為__________.14.如圖所示，已知雙曲線的右焦點F，過點F作直線l交雙曲線C于兩點，過點F作直線l的垂線交雙曲線C于點G，，且三點共線（其中O為坐標原點），則雙曲線C的離心率為_________．四、解答題（本大題共77分）15.在中，所對的邊分別為，且滿足．（1）求;（2）點在線段AC延長線上，且，若，求的面積．16.四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，點E是棱PC上一點.（1）求證：平面平面BDE；（2）當E為PC中點時，求所成二面角銳角的大小.17.隨著移動互聯網和直播帶貨技術的發展，直播帶貨已經成為一種熱門的銷售方式，特別是商家通過展示產品，使顧客對商品有更全面的了解.下面統計了某新手開啟直播帶貨后從6月份到10月份每個月的銷售量(萬件)的數據，得到如圖所示的散點圖．其中6月份至10月份相應的代碼為，如:表示6月份.（1）根據散點圖判斷，模型①與模型②哪一個更適宜作為月銷售量關于月份代碼的回歸方程?（給出判斷即可，不必說明理由）（2）（i）根據（1）的判斷結果，建立關于的回歸方程;(計算結果精確到0.01)（ⅱ）根據結果預測12月份的銷售量大約是多少萬件?參考公式與數據:，，，其中.18已知函數．（1）求的單調區間；（2）當時，證明：當時，恒成立．19.已知圓，圓動圓與圓外切并且與圓內切，圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）設不經過點的直線與曲線相交于兩點，直線與直線的斜率均存在且斜率之和為，直線是否過定點，若過定點，寫出定點坐標．云天化中學教研聯盟2024年春季學期期末考試高二數學試卷注意事項：1．答題前為生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號在符圖卡上填寫清楚，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號，在規定的位置貼好條形碼.2．回答選擇題時，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動.用像皮擦干凈后，再選涂其它符案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（每小題5分，共40分）1.復數在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，求出復數所對應點的坐標可得答案．【詳解】，復數在復平面內對應的點的坐標為，位于第四象限．故選：D.2.已知向量，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據向量垂直的坐標運算可求的值.【詳解】因為，所以，所以即，故，故選：D.3.曲線在處的切線與坐標軸圍成的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】運用導數求得切線方程，再求得切線與兩坐標軸的交點，進而可求得三角形面積.【詳解】由，則，，所以在處切線的方程為，即，令，得；令，得，所以切線與坐標軸圍成的三角形面積為.故選：A4.已知等差數列前項和為，若，則（）A.288 B.144 C.96 D.25【答案】B【解析】【分析】利用等差數列的前項和列方程組求出，進而即可求解.【詳解】由題意，即，解得.于是.故選：B.5.拋物線上的點到其準線的距離與到直線的距離之和的最小值為（）．A. B. C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】拋物線上的點到其準線的距離與到直線的距離之和，等于此點到焦點的距離與到直線的距離之和，其最小值為焦點到直線的距離，求值即可.【詳解】拋物線，焦點，準線方程為，拋物線上的點，到其準線的距離為，到直線的距離為，由拋物線的定義可知，則有，其最小值為焦點到直線的距離．即拋物線上的點到其準線的距離與到直線的距離之和的最小值為.故選：A.6.已知等比數列的公比不為1，若，且成等差數列，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差中項的性質及等比數列基本量的計算求通項公式即可.【詳解】設的公比為q，則依題意有，解方程得或（舍去），所以.故選：C7.下列說法錯誤的是（）A.若隨機變量滿足且，則B.已知隨機變量～，若，則C.若事件相互獨立，則D.若兩組成對數據的相關系數分別為、，則組數據的相關性更強【答案】D【解析】【分析】根據方差的性質判斷A，根據二項分布的期望和方差的計算公式判斷B，根據相互獨立事件及條件概率概率公式判斷C，根據相關系數的概念判斷D.【詳解】對于A：因且，所以，故A正確；對于B：隨機變量～，則，解得：，故B正確；對于C：若事件、相互獨立，則，所以，故C正確；對于D：若、兩組成對數據的相關系數分別為、，因為，所以組數據的相關性更強，故D錯誤.故選：D8.油紙傘是中國傳統工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統工藝，北京市文化宮開展油紙傘文化藝術節活動中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘傘沿是一個半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為2，當陽光與地面夾角為時，在地面形成了一個橢圓形影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，若該橢圓的離心率為e，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意先求得短半軸長，再根據正弦定理求得，進而根據離心率的公式求解即可【詳解】因傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，由圖可知，橢圓的短半軸長，在中，，由正弦定理得：，所以，故選：D.二、多選題（每小題6分，共18分）9.如圖為函數的部分圖象，則下列說法中正確的是（）A.函數的最小正周期是B.函數的圖象關于點成中心對稱C.函數在區間上單調遞增D.函數的圖象上所有的點橫坐標擴大到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移后關于軸對稱【答案】BC【解析】【分析】根據圖象直接求出周期可判斷A；利用周期求，代點求，然后代入法驗證即可判斷B；根據正弦函數單調性，利用整體代入法求解可判斷C；根據周期變換和平移變換，求出變換后的解析式即可判斷D.【詳解】對于A，由圖可知，所以，A錯誤；對于B，因為，圖象過點，所以，所以，即，所以，因為，所以點為函數的一個對稱中心，B正確；對于C，，由解得，所以為函數的一個單調遞增區間，所以，在區間上單調遞增，C正確；對于D，將的圖象上所有的點橫坐標擴大到原來的2倍得，再向右平移得，為奇函數，D錯誤.故選：BC10.已知函數是定義在上的奇函數，是偶函數，當，，則下列說法中正確的有（）A.函數的圖象關于直線對稱 B.4是函數的周期C. D.方程恰有4個不同的根【答案】ABD【解析】【分析】利用是偶函數，可得，關于對稱，又因為是奇函數，即是雙對稱函數，從而可證明是周期函數，這樣可以由的圖象，根據關于對稱，作出，再根據關于點對稱,作出,這樣就有了一個完整周期為4的圖象，再利用周期為4進行不斷的延伸，這樣后面的選項就可以利用數形結合來分析解決.【詳解】對于A：令是偶函數，則，即，所以關于對稱，故A正確；對于B：因為，所以，即，即周期，故B正確；對于C：，，所以，故C錯誤；對于D：因為，，且關于直線對稱，根據對稱性可以作出上的圖象，又，可知關于點對稱，又可作出上的圖象，又的周期，作出的圖象與的圖象，如圖所示：所以與有4個交點，故D正確，故選：ABD．11.如圖，正方體棱長為2，P是直線上的一個動點，則下列結論中正確的是（）A.的最小值為B.的最小值為C.三棱錐的體積為D.以點為球心，為半徑的球面與平面的交線長【答案】ACD【解析】【分析】利用三角形的高可判定A，利用展開圖形可判定B，利用體積公式可求C，利用球的截面圓的半徑可判定D.【詳解】對于A，在中，，P是直線上的一個動點，所以的最小值為高，最小值為，A正確.對于B，將沿翻折，使與矩形在同一個平面內，如圖，當三點共線時，取到最小值，中，，，由余弦定理可得，所以，所以的最小值為，B不正確.對于C，易知三棱錐為正四面體，且棱長為，如圖，作平面于，則為的中心，由正弦定理可得，即，所以，所以三棱錐的體積為，C正確.對于D，設點到平面的距離為，因為，所以,所以，解得；以點為球心，為半徑的球面與平面的交線是以為半徑的圓，其周長為,D正確.故選：ACD第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共15分）12.在的二項展開式中，若各項系數和為32，則項的系數為______．【答案】10【解析】【分析】令，解出，再利用二項式的展開式的通項合理賦值即可.【詳解】令，，即，解得，所以的展開式通項公式為，令，則，．故答案為：10．13.盒中有4個白球，5個黃球，先隨機地從中取出一個球，觀察其顏色后放回，并另放入同色球2個，第二次再從盒中取一個球，則第二次取出的是黃球的概率為__________.【答案】【解析】【分析】運用全概率公式進行求解即可.【詳解】設事件A表示第一次抽取的是黃球，則，，事件表示第二次抽取的是黃球，因此有，所以.故答案為：14.如圖所示，已知雙曲線的右焦點F，過點F作直線l交雙曲線C于兩點，過點F作直線l的垂線交雙曲線C于點G，，且三點共線（其中O為坐標原點），則雙曲線C的離心率為_________．【答案】【解析】【分析】利用雙曲線的幾何定義，設就可以來研究各焦半徑的長度，再利用兩個勾股定理就可以求出離心率.【詳解】設另一個焦點，連接，設則再根據雙曲線的定義可知：由雙曲線的對稱性可知，是的中點，也是的中點，所以四邊形是平行四邊形，又因為，所以可得，所以由勾股定理得：，化簡得：，再由勾股定理得：，代入得：，故答案為：.四、解答題（本大題共77分）15.在中，所對的邊分別為，且滿足．（1）求;（2）點在線段AC的延長線上，且，若，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據正弦定理和倍角公式可求答案；（2）利用直角三角形的知識得出為正三角形，結合面積公式可求答案.【小問1詳解】因為，所以由正弦定理得因為，所以，則，因為，所以，又因為，所以;【小問2詳解】在中，，可得，又，可得，又，，可得正三角形，故面積為.16.四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，點E是棱PC上一點.（1）求證：平面平面BDE；（2）當E為PC中點時，求所成二面角銳角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直得到線線垂直，進而得到平面PAC，從而得到面面垂直；（2）建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，得到兩平面的法向量，求出二面角的大小.【小問1詳解】底面ABCD是正方形，，平面ABCD，平面ABCD，，又平面PAC，平面PAC，又平面BDE，平面平面BDE.【小問2詳解】平面ABCD，平面ABCD，所以，以為坐標原點，所在直線分別為建立空間直角坐標系，則，所以，設平面ABE的法向量為，則，解得，令得，故，設平面DBE的法向量為，則，解得，令得，故，設二面角為，由圖可知二面角為銳二面角，所以，所以銳二面角為.17.隨著移動互聯網和直播帶貨技術的發展，直播帶貨已經成為一種熱門的銷售方式，特別是商家通過展示產品，使顧客對商品有更全面的了解.下面統計了某新手開啟直播帶貨后從6月份到10月份每個月的銷售量(萬件)的數據，得到如圖所示的散點圖．其中6月份至10月份相應的代碼為，如:表示6月份.（1）根據散點圖判斷，模型①與模型②哪一個更適宜作為月銷售量關于月份代碼的回歸方程?（給出判斷即可，不必說明理由）（2）（i）根據（1）判斷結果，建立關于的回歸方程;(計算結果精確到0.01)（ⅱ）根據結果預測12月份的銷售量大約是多少萬件?參考公式與數據:，，，其中.【答案】（1）模型②（2）（i）；（ⅱ）預測12月份的銷售量大約是13.9萬件【解析】【分析】（1）根據散點圖結合一次函數以及二次函數圖象特征分析判斷；（2）（i）令，根據題中數據和公式求回歸方程；（ⅱ）令，代入回歸方程運算求解即可.【小問1詳解】由散點圖可知增加幅度不一致，且散點圖接近于曲線，非線性，結合圖象故選模型②.【小問2詳解】（i）令，則，可得，，則，，所以關于的回歸方程為，即關于的回歸方程；（ⅱ）令，可得，預測12月份的銷售量大約是13.9萬件.18.已知函數．（1）求的單調區間；（2）當時，證明：當時，恒成立．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）求導，含參分類討論得出導函數的符號，從而得出原函數的單調性；（2）先根據題設條件將問題可轉化成證明當時，即可.【小問1詳解】定義域為，當時，，故在上單調遞減；當時，時，，單調遞增，當時，，單調遞減.綜上所述，當時，的單調遞