第1頁/共1頁2022學(xué)年第二學(xué)期9+1高中聯(lián)盟期中考試高一年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題命題：義烏中學(xué)樓萍萍王志慶朱萱穎審題：慈溪中學(xué)岑光輝桐鄉(xiāng)高級中學(xué)施娟男考生須知：1．本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級?姓名?考場?座位號及準(zhǔn)考證號并核對條形碼信息；3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效，考試結(jié)束后，只需上交答題卷；4．參加聯(lián)批學(xué)校的學(xué)生可關(guān)注“啟望教育”公眾號查詢個人成績分析．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)交集定義計算即可.【詳解】.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可得出關(guān)于的等式與不等式，解之即可.【詳解】因為為純虛數(shù)，則，解得.故選：A.3.的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式計算可得出的值.【詳解】，故選：B.4.已知的斜二測畫法的直觀圖為，若，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直觀圖和原圖的面積關(guān)系，即可求解.【詳解】由條件可知,由，解得：.故選：C.5.下列說法正確的是（）A.以直角三角形的一條邊所在的直線為軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐B.以正方體的頂點為頂點可以構(gòu)成正四棱錐C.將三棱錐展開后，所得平面圖形一定不可能是正方形D.任何直三棱柱都可以找到一個球，使得三棱柱的6個頂點都在該球面上【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間幾何體的概念和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】以直角三角形的一條直角邊所在的直線為軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐，A錯誤；底面為正方形，側(cè)面為四個全等的等腰三角形的幾何體圖形為正四棱錐，有定義可知正方體的頂點為頂點不可以構(gòu)成正四棱錐，B錯誤；如圖即可將一個正方形折疊為三角錐形，其中A、B為正方形兩個邊的中點，C為正方形的頂點，C錯誤；直三棱柱的兩個底面的外接圓圓心連線中點就是該三棱柱外接球球心，且使得三棱柱的6個頂點都在該球面上，D正確.故選：D.6.如圖，在平行六面體中，所有棱長為，，，分別取上的點使，以為圓心，為半徑分別在平面和平面內(nèi)作弧，并將兩弧各六等分，等分點依次為以及，一只螞蟻欲從點出發(fā)，沿平行六面體表面爬行至，則其爬行的最短距離為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】將四邊形和四邊形沿展開，使得兩四邊形在同一平面，連接，則的長度即為所求最短距離.【詳解】如圖，將四邊形和四邊形沿展開，使得兩四邊形在同一平面，連接，則線段的長度即為螞蟻爬行的最短距離，因為，分別為弧的六等分點，且，，所以，，所以，又因為，所以，故選：B7.已知向量滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，得到向量的終點在直線，再設(shè)，得到向量的終點落在圓心為的圓上，結(jié)合圖象，即可求得的取值范圍.【詳解】如圖所示，因為，可設(shè)，又因為，則向量，其中，即向量的終點在直線，設(shè)向量，由，可得，即向量的終點落在圓心為，半徑的圓上，結(jié)合圖象可得，當(dāng)向量的終點與重合，且向量的終點與點重合時，此時向量取得最小值，最小值為，當(dāng)或是，可得，所以的取值范圍是.故選：B.8.已知函數(shù)的定義域均為，且為偶函數(shù)，函數(shù)滿足，對于，均有，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)可知是以6為周期的函數(shù)，則，根據(jù)函數(shù)的對稱性可得.由可得.結(jié)合、計算求出和即可.【詳解】，兩式相減，得，所以函數(shù)是周期函數(shù)，周期，有.因為為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，將的圖象上的點橫坐標(biāo)擴(kuò)大3倍，縱坐標(biāo)不變，得，圖象關(guān)于y軸對稱，再向左平移一個單位長度，得，圖象關(guān)于對稱，有.又，令，則，即.當(dāng)時，，則①，，所以，即②，由①②，得，解得，所以，又，所以.故選：A.【點睛】方法定睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.以下四個命題中，真命題的是（）A.不等式的解集為B.若，則C.若，則D.若，，則【答案】ABD【解析】【分析】利用分式不等式的解法可判斷AC選項；利用作差法可判斷B選項；利用不等式的基本性質(zhì)可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由可得，解得，所以，不等式的解集為，A對；對于B選項，若，則，，則，故，B對；對于C選項，若，則，所以，，則，所以，，可得，所以，若，則且，C錯；對于D選項，當(dāng)，時，對于函數(shù)，當(dāng)時，隨著的增大而減小，則，D對.故選：ABD.10.若向量滿足，則（）A.向量的夾角為或B.向量在向量上投影向量為C.在平行四邊形中，若，則該平行四邊形的面積是D.在平面四邊形中，是的中點．若，且，則該四邊形是梯形【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義計算即可判斷A；根據(jù)投影向量的概念計算即可判斷B；根據(jù)三角形的面積公式計算即可判斷C；根據(jù)平面向量的線性運算可得，即可判斷D.【詳解】A：由，得，又，所以，故A錯誤；B：向量在上的投影向量為，故B正確；C：由選項A分析可知，則，所以平行四邊形的面積為，故C正確；D：，因為E是BC的中點，所以，又，所以，得，即，所以四邊形ABCD為梯形，故D正確.故選：BCD.11.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)（是虛數(shù)單位），下列選項正確的是（）A.關(guān)于的方程的解為B.復(fù)數(shù)的虛部是C.若復(fù)數(shù)滿足，則D.已知，若是關(guān)于的方程的一個根，則【答案】BC【解析】【分析】求出方程的解判斷A；利用復(fù)數(shù)乘方、除法運算計算判斷B；設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式求出復(fù)數(shù)，求出復(fù)數(shù)模判斷C；利用方程根的意義結(jié)合復(fù)數(shù)相等判斷D作答.【詳解】對于A，方程化為，解得或，A錯誤；對于B，，即復(fù)數(shù)的虛部是，B正確；對于C，設(shè)，則，于是，解得，所以；對于D，依題意，，即，于是，解得或，D錯誤.故選：BC12.如圖是一個裝有水的全封閉直三棱柱容器若水的體積恰好是該容器體積的一半，容器厚度忽略不計，則（）A.轉(zhuǎn)動容器，當(dāng)平面水平放置時，容器內(nèi)水面形成的截面為，則都是所在棱的中點B.當(dāng)?shù)酌嫠椒胖煤?，將容器繞著轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)動過程中始終保持水平），有水的部分是棱柱C.在翻滾?轉(zhuǎn)動容器的過程中，有水的部分不可能是三棱錐D.容器中水的體積與直三棱柱外接球體積之比至多為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)棱柱和棱臺的體積公式計算，即可判斷A；根據(jù)直觀想象，結(jié)合棱柱、三棱錐的概念即可判斷BC；根據(jù)題意確定棱柱的外接球，結(jié)合外接球的體積公式，利用基本不等式計算即可判斷D.【詳解】A：當(dāng)平面水平放置時，假設(shè)都為所在棱的中點，設(shè)水面到底面的的距離為，，所以水體積為，又轉(zhuǎn)動前水的體積為，所以不為所在棱的中點，故A錯誤；B：當(dāng)平面水平放置時（始終保持水平），則平面平面，所以有水的部分是棱柱，故B正確；C：在翻滾?轉(zhuǎn)動容器的過程中，當(dāng)平面水平放置時，三棱錐的體積取到最大值，如圖，此時，而水的體積為，所以有水的部分不可能是三棱錐，故C正確；D：取的中點，連接，取的中點O，連接OA，則D為的外接圓圓心，O為三棱柱外接球的球心，所以為外接球的半徑，且，所以直三棱柱外接球體積.由選項A可知，容器中水的體積為，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，則水的體積與直三棱柱外接球體積之比為，即容器中水的體積與直三棱柱外接球體積之比至多為，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題坴4小題?脢小題5分，共20分．13.已知問量，則與垂直的單位向量是__________．【答案】或【解析】【分析】設(shè)與垂直的單位向量為，根據(jù)單位向量的定義以及平面向量垂直的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于、的方程組，解之即可.【詳解】設(shè)與垂直的單位向量為，由題意可得，解得或，故垂直的單位向量是或.故答案為：或.14.山楂冰糖葫蘆是將可近似為球的山楂外圍裹上冰糖漿凝固制成的，假設(shè)山楂大小均勻，直徑均約為3cm，外層冰糖層均勻裹在山楂上，厚度在0.5cm左右，若有的冰糖漿，則大約可制作__________顆冰糖葫蘆（取3，最后結(jié)果精確到整數(shù)）．【答案】54【解析】【分析】利用球的體積公式分別求出一個山楂涂上糖漿前后的體積，相減，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】一個山楂的體積為，一個山楂涂上糖漿后的體積為，所以一個山楂需要糖漿，，所以大約可制作54個冰糖葫蘆．故答案為：54.15.已知分別是三內(nèi)角的對邊，且滿足，則的是__________三角形．（填三角形的形狀特征）【答案】直角【解析】【分析】邊化角，結(jié)合降冪公式化簡整理可得.【詳解】解析：由正弦定理和降冪公式可得，即又，所以即因為，所以，即因為，所以，得，故為直角三角形．故答案為：直角16.已知是邊長為6的正三角形，，若點是邊上的動點，則滿足的點有__________個．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，找出各點坐標(biāo)，根據(jù)向量坐標(biāo)與向量之間的關(guān)系列式求解即可.【詳解】建系如圖，，由可得．①當(dāng)在邊上運動時，設(shè)，，得或，此時2個；②當(dāng)點在線段上運動時，設(shè)，，得或，此時1個（與①中重合）；當(dāng)點在線段上運動時，設(shè)，，得，此時1個，共3個．故答案為：3.四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．17.已知向量．（1）若，求的值：（2）若，求向量的夾角的余弦值．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）利用兩向量平行的坐標(biāo)表示即可求解；（2）利用向量的模的坐標(biāo)表示及向量的夾角公式的坐標(biāo)表示即可求解.【小問1詳解】因為，且，所以，即，解得或，故的值為或.【小問2詳解】因為，所以，即解得.當(dāng)時，，所以.當(dāng)時，，所以.故向量的夾角的余弦值為或.18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的周期及在上的單調(diào)遞增區(qū)間：（2）若關(guān)于的方程在上有兩個不同的實數(shù)根．求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；遞增區(qū)間是（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)后應(yīng)用周期公式和單調(diào)遞增區(qū)間求解即得；（2）根據(jù)方程有兩個不同的實數(shù)根求解值域即可.【小問1詳解】

周期為

所以遞增區(qū)間是；【小問2詳解】因為方程在上有兩個不同的實數(shù)根,.

19.如圖，在正四棱錐中，是上的點且是的中點．求：（1）四棱錐的表面積；（2）三棱錐的體積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求斜高，然后直接計算可得；（2）根據(jù)M、N的位置，將所求三棱錐體積問題轉(zhuǎn)化為求三棱錐的體積.【小問1詳解】作，垂足為E，由正四棱錐性質(zhì)可知，E為BC中點，所以所以；【小問2詳解】作平面ABCD，由正四棱錐性質(zhì)可知O為BD的中點因為所以又是的中點，所以．20.如圖所示，甲乙兩人站在同一水平面上，與纜車在同一鉛垂平面內(nèi)且相距50米．假設(shè)甲?乙兩人的視線處于同一水平線且纜車處于靜止?fàn)顟B(tài)，甲處觀察纜車的仰角為，乙處觀察纜車的仰角為，甲處觀察纜車的仰角為，乙處觀察纜車的仰角為．（1）求纜車相對甲乙所在水平面的高度；（結(jié)果用表示）（2）若測得，求纜車之間的距離．【答案】（1）（2）米【解析】【分析】（1）如圖，設(shè)A相對甲、乙所在的水平高度為h，則，結(jié)合計算變形即可求解；（2）由（1），根據(jù)題意可得，則，根據(jù)正弦定理求出，結(jié)合余弦定理計算即可求解.【小問1詳解】過A作于E，設(shè)A相對甲、乙所在的水平高度為h，則，即，所以，即A相對甲、乙所在的水平高度為；【小問2詳解】由（1）得，所以，在中，，則，由正弦定理得，在中，，,由余弦定理，得，(米).21.已知函數(shù)是偶函數(shù)．（1）求的值；（2）若，，，不等式對任意恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用偶函數(shù)的定義結(jié)合對數(shù)運算可求得實數(shù)的值；（2）分析函數(shù)在上的單調(diào)性，令，，則對恒成立，對實數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，驗證對能否恒成立，綜合可得出的取值范圍.【小問1詳解】因為，所以，，因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，所以，，解得.【小問2詳解】由（1）可得，，任取、，且，則，，當(dāng)時，，則，所以，，即，當(dāng)時，，則，所以，，即，所以，函數(shù)上遞減，在上遞增，令，問題轉(zhuǎn)化為：，即，再令，所以，對恒成立．（i）當(dāng)時，左邊，右邊，不符合題意（ii）當(dāng)時，①當(dāng)時，則，，當(dāng)時，上述兩個不等式等號同時成立，滿足題意，則，解得，此時；②當(dāng)時，有，所以，，當(dāng)，則，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故在上的最大值為，所以，，此時，；③當(dāng)時，恒成立，符合題意．綜上所述，的取值范圍是，的取值范圍是．點睛】結(jié)論點