2025屆湖北省黃岡、襄陽市高三沖刺模擬數學試題試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中國古代數學著作《孫子算經》中有這樣一道算術題：“今有物不知其數，三三數之余二，五五數之余三，問物幾何？”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”，若正整數除以正整數后的余數為，則記為，例如．現將該問題以程序框圖的算法給出，執行該程序框圖，則輸出的等于（）．A． B． C． D．2．正方形的邊長為，是正方形內部（不包括正方形的邊）一點，且，則的最小值為（）A． B． C． D．3．設為拋物線的焦點，，，為拋物線上三點，若，則（）.A．9 B．6 C． D．4．如圖網格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的所有棱中最長棱的長度為（）A． B． C． D．5．已知三棱錐的外接球半徑為2，且球心為線段的中點，則三棱錐的體積的最大值為（）A． B． C． D．6．已知復數在復平面內對應的點的坐標為，則下列結論正確的是（）A． B．復數的共軛復數是C． D．7．已知函數滿足，當時，，則（）A．或 B．或C．或 D．或8．若變量，滿足，則的最大值為（）A．3 B．2 C． D．109．設集合，，則（）A． B．C． D．10．函數在內有且只有一個零點，則a的值為（）A．3 B．－3 C．2 D．－211．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．12．如圖，在圓錐SO中，AB，CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE.，異面直線SC與OE所成角的正切值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則________.14．設、分別為橢圓：的左、右兩個焦點，過作斜率為1的直線，交于、兩點，則________15．已知函數，若函數恰有4個零點，則實數的取值范圍是________．16．假如某人有壹元、貳元、伍元、拾元、貳拾元、伍拾元、壹佰元的紙幣各兩張，要支付貳佰壹拾玖（219）元的貨款，則有________種不同的支付方式.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知與有兩個不同的交點，其橫坐標分別為（）.（1）求實數的取值范圍；（2）求證：.18．（12分）已知函數.（1）求不等式的解集；（2）若存在實數，使得不等式成立，求實數的取值范圍.19．（12分）在△ABC中，角所對的邊分別為向量，向量，且.（1）求角的大小；（2）求的最大值.20．（12分）已知在中，角，，的對邊分別為，，，且.（1）求的值；（2）若，求面積的最大值.21．（12分）管道清潔棒是通過在管道內釋放清潔劑來清潔管道內壁的工具，現欲用清潔棒清潔一個如圖1所示的圓管直角彎頭的內壁，其縱截面如圖2所示，一根長度為的清潔棒在彎頭內恰好處于位置（圖中給出的數據是圓管內壁直徑大小，）.（1）請用角表示清潔棒的長；（2）若想讓清潔棒通過該彎頭，清潔下一段圓管，求能通過該彎頭的清潔棒的最大長度.22．（10分）如圖，在直角中，，通過以直線為軸順時針旋轉得到（）.點為斜邊上一點.點為線段上一點，且.（1）證明：平面；（2）當直線與平面所成的角取最大值時，求二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】從21開始，輸出的數是除以3余2，除以5余3，滿足條件的是23，故選C.2．C【解析】

分別以直線為軸，直線為軸建立平面直角坐標系，設，根據，可求，而，化簡求解.【詳解】解：建立以為原點，以直線為軸，直線為軸的平面直角坐標系.設，，，則，，由，即，得.所以=，所以當時，的最小值為.故選：C.【點睛】本題考查向量的數量積的坐標表示，屬于基礎題.3．C【解析】

設，，，由可得，利用定義將用表示即可.【詳解】設，，，由及，得，故，所以.故選：C.【點睛】本題考查利用拋物線定義求焦半徑的問題，考查學生等價轉化的能力，是一道容易題.4．C【解析】

利用正方體將三視圖還原，觀察可得最長棱為AD，算出長度.【詳解】幾何體的直觀圖如圖所示，易得最長的棱長為故選：C.【點睛】本題考查了三視圖還原幾何體的問題，其中利用正方體作襯托是關鍵，屬于基礎題.5．C【解析】

由題可推斷出和都是直角三角形，設球心為，要使三棱錐的體積最大，則需滿足，結合幾何關系和圖形即可求解【詳解】先畫出圖形，由球心到各點距離相等可得，，故是直角三角形，設，則有，又，所以，當且僅當時，取最大值4，要使三棱錐體積最大，則需使高，此時，故選：C【點睛】本題考查由三棱錐外接球半徑，半徑與球心位置求解錐體體積最值問題，屬于基礎題6．D【解析】

首先求得，然后根據復數乘法運算、共軛復數、復數的模、復數除法運算對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】由題意知復數，則，所以A選項不正確；復數的共軛復數是，所以B選項不正確；，所以C選項不正確；，所以D選項正確.故選：D【點睛】本小題考查復數的幾何意義，共軛復數，復數的模，復數的乘法和除法運算等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，數形結合思想.7．C【解析】

簡單判斷可知函數關于對稱，然后根據函數的單調性，并計算，結合對稱性，可得結果.【詳解】由，可知函數關于對稱當時，，可知在單調遞增則又函數關于對稱，所以且在單調遞減，所以或，故或所以或故選：C【點睛】本題考查函數的對稱性以及單調性求解不等式，抽象函數給出式子的意義，比如：，，考驗分析能力，屬中檔題.8．D【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標函數的幾何意義求解最大值即可．【詳解】解：畫出滿足條件的平面區域，如圖示：如圖點坐標分別為，目標函數的幾何意義為，可行域內點與坐標原點的距離的平方，由圖可知到原點的距離最大，故.故選：D【點睛】本題考查了簡單的線性規劃問題，考查數形結合思想，屬于中檔題．9．A【解析】

解出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為，又，所以.故選：A.【點睛】本題考查交集的計算，同時也考查了一元二次不等式的求解，考查計算能力，屬于基礎題.10．A【解析】

求出，對分類討論，求出單調區間和極值點，結合三次函數的圖像特征，即可求解.【詳解】，若，，在單調遞增，且，在不存在零點；若，，在內有且只有一個零點，.故選:A.【點睛】本題考查函數的零點、導數的應用，考查分類討論思想，熟練掌握函數圖像和性質是解題的關鍵，屬于中檔題.11．B【解析】

由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側棱垂直于底面，由此求出四棱錐的體積．【詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側棱垂直于底面，畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示：則該四棱錐的體積為.故選：B.【點睛】本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問題，是基礎題．12．D【解析】

可過點S作SF∥OE，交AB于點F，并連接CF，從而可得出∠CSF（或補角）為異面直線SC與OE所成的角，根據條件即可求出，這樣即可得出tan∠CSF的值.【詳解】如圖，過點S作SF∥OE，交AB于點F，連接CF，則∠CSF（或補角）即為異面直線SC與OE所成的角，∵，∴，又OB＝3，∴，SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴；SO⊥OF，SO＝3，OF＝1，∴；OC⊥OF，OC＝3，OF＝1，∴，∴等腰△SCF中，.故選：D.【點睛】本題考查了異面直線所成角的定義及求法，直角三角形的邊角的關系，平行線分線段成比例的定理，考查了計算能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．13【解析】

由導函數的應用得：設，，所以，，又，所以，即，由二項式定理：令得：，再由，求出，從而得到的值；【詳解】解：設，，所以，，又，所以，即，取得：，又，所以，故，故答案為：13【點睛】本題考查了導函數的應用、二項式定理，屬于中檔題14．【解析】

由橢圓的標準方程，求出焦點的坐標，寫出直線方程，與橢圓方程聯立，求出弦長，利用定義可得，進而求出。【詳解】由知，焦點，所以直線：，代入得，即，設，，故由定義有，，所以。【點睛】本題主要考查橢圓的定義、橢圓的簡單幾何性質、以及直線與橢圓位置關系中弦長的求法，注意直線過焦點，位置特殊，采取合適的弦長公式，簡化運算。15．【解析】

函數恰有4個零點，等價于函數與函數的圖象有四個不同的交點，畫出函數圖象，利用數形結合思想進行求解即可.【詳解】函數恰有4個零點，等價于函數與函數的圖象有四個不同的交點，畫出函數圖象如下圖所示：由圖象可知：實數的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題考查了已知函數零點個數求參數取值范圍問題，考查了數形結合思想和轉化思想.16．1【解析】

按照個位上的9元的支付情況分類，三個數位上的錢數分步計算，相加即可．【詳解】9元的支付有兩種情況，或者，①當9元采用方式支付時，200元的支付方式為，或者或者共3種方式，10元的支付只能用1張10元，此時共有種支付方式；②當9元采用方式支付時：200元的支付方式為，或者或者共3種方式，10元的支付只能用1張10元，此時共有種支付方式；所以總的支付方式共有種．故答案為：1．【點睛】本題考查了分類加法計數原理和分步乘法計數原理，屬于中檔題．做題時注意分類做到不重不漏，分步做到步驟完整．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）見解析【解析】

（1）利用導數研究的單調性，分析函數性質，數形結合，即得解；（2）構造函數，可證得：，，分析直線，與從左到右交點的橫坐標，在，處的切線即得解.【詳解】（1）設函數，，令，令故在單調遞減，在單調遞增，∴，∵時；；時.（2）①過點，的直線為，則令，，，.②過點，的直線為，則，在上單調遞增.③設直線，與從左到右交點的橫坐標依次為，，由圖知.④在，處的切線分別為，，同理可以證得，.記直線與兩切線和從左到右交點的橫坐標依次為，.【點睛】本題考查了函數與導數綜合，考查了學生數形結合，綜合分析，轉化劃歸，邏輯推理，數學運算的能力，屬于較難題.18．（1）；（2）.【解析】

（1）將函數的解析式表示為分段函數，然后分、、三段求解不等式，綜合可得出不等式的解集；（2）求出函數的最大值，由題意得出，解此不等式即可得出實數的取值范圍.【詳解】.（1）當時，由，解得，此時；當時，由，解得，此時；當時，由，解得，此時.綜上所述，不等式的解集；（2）當時，函數單調遞增，則；當時，函數單調遞減，則，即；當時，函數單調遞減，則.綜上所述，函數的最大值為，由題知，，解得.因此，實數的取值范圍是.【點睛】本題考查含絕對值不等式的求解，同時也考查了絕對值不等式中的參數問題，考查分類討論思想的應用，考查運算求解能力，屬于中等題.19．（1）（2）2【解析】

（1）轉化條件得，進而可得，即可得解；（2）由化簡可得，由結合三角函數的性質即可得解.【詳解】（1），，由正弦定理得，即，又，，又，，，由可得.（2）由（1）可得，，，，，，的最大值為2.【點睛】本題考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等變換的應用，考查了三角函數的性質，屬于中檔題.20．(1);(2).【解析】分析：（1）在式子中運用正弦、余弦定理后可得．（2）由經三角變換可得，然后運用余弦定理可得，從而得到，故得．詳解：(1)由題意及正、余弦定理得，整理得，∴（2）由題意得，∴，∵，∴，∴.由余弦定理得，∴，，當且僅當時等號成立．∴．∴面積的最大值為．點睛：（1）正、余弦定理經常與三角形的面積綜合在一起考查，解題時要注意整體代換的應用，如余弦定理中常用的變形，這樣自然地與三角形的面積公式結合在一起．（2）運用基本不等式求最值時，要注意等號成立的條件，在解題中必須要注明．21．（1）；（2）.【解析】

（1）過作的垂線，垂足為，易得，進一步可得；（2）利用導數求得最大值即可.【詳解】（1）如圖，過作的垂線，垂足為，在直角中，，，所以，同理，.（2）設，則，令，則，即.設，且，則當時，，所以單調遞減；當時，，所以單調遞增，所以當時，取得極小值，所以.因為，所以，又，所以，又，所以，所以，所以，所以能通過此鋼管的鐵棒最大長度為.【點睛】本題考查導數在實際問題中的應用，考查學生的數學運算求解能力，是一道中檔題.22．（1）見解析；（2）【解析】

（1）先算出的長度，利用勾股定理證明，再由已知可得，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）由（1）可得為直線與平面所成的角，要使其最大，則應最