湖南省衡陽八中、澧縣一中2025屆高三下學期4月調研數學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖所示，三國時代數學家在《周脾算經》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影），設直角三角形有一個內角為，若向弦圖內隨機拋擲200顆米粒（大小忽略不計，取），則落在小正方形（陰影）內的米粒數大約為（）A．20 B．27 C．54 D．642．公差不為零的等差數列{an}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比數列，則數列{an}的公差等于()A．1 B．2 C．3 D．43．設，是雙曲線的左，右焦點，是坐標原點，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為（）A． B． C． D．4．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側視圖是全等的直角三角形，則該幾何體的各個面中，最大面的面積為（）A．2 B．5 C． D．5．在中，為邊上的中點，且，則（）A． B． C． D．6．如圖，在中，，是上的一點，若，則實數的值為（）A． B． C． D．7．已知向量，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．8．定義在上的偶函數，對，，且，有成立，已知，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．9．已知函數若關于的方程有六個不相等的實數根，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．10．某四棱錐的三視圖如圖所示，記為此棱錐所有棱的長度的集合，則（）.A．，且 B．，且C．，且 D．，且11．設全集集合，則（）A． B． C． D．12．已知數列，，，…，是首項為8，公比為得等比數列，則等于（）A．64 B．32 C．2 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓關于直線的對稱圓的方程為_____.14．已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點．若為的中點，則_________．15．函數的極大值為______.16．已知變量x，y滿足約束條件x-y≤0x+2y≤34x-y≥-6，則三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在極坐標系中，已知曲線C的方程為（），直線l的方程為.設直線l與曲線C相交于A，B兩點，且，求r的值.18．（12分）已知橢圓，左、右焦點為，點為上任意一點，若的最大值為3，最小值為1.（1）求橢圓的方程；（2）動直線過點與交于兩點，在軸上是否存在定點，使成立，說明理由.19．（12分）為增強學生的法治觀念，營造“學憲法、知憲法、守憲法”的良好校園氛圍，某學校開展了“憲法小衛士”活動，并組織全校學生進行法律知識競賽．現從全校學生中隨機抽取50名學生，統計他們的競賽成績，已知這50名學生的競賽成績均在[50，100]內，并得到如下的頻數分布表：分數段[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人數51515123（1）將競賽成績在內定義為“合格”，競賽成績在內定義為“不合格”．請將下面的列聯表補充完整，并判斷是否有的把握認為“法律知識競賽成績是否合格”與“是否是高一新生”有關？合格不合格合計高一新生12非高一新生6合計（2）在（1）的前提下，按“競賽成績合格與否”進行分層抽樣，從這50名學生中抽取5名學生，再從這5名學生中隨機抽取2名學生，求這2名學生競賽成績都合格的概率．參考公式及數據：，其中．20．（12分）已知，，分別是三個內角，，的對邊，．（1）求；（2）若，，求，．21．（12分）某單位準備購買三臺設備，型號分別為已知這三臺設備均使用同一種易耗品，提供設備的商家規定：可以在購買設備的同時購買該易耗品，每件易耗品的價格為100元，也可以在設備使用過程中，隨時單獨購買易耗品，每件易耗品的價格為200元.為了決策在購買設備時應購買的易耗品的件數.該單位調查了這三種型號的設備各60臺，調査每臺設備在一個月中使用的易耗品的件數，并得到統計表如下所示.每臺設備一個月中使用的易耗品的件數678型號A30300頻數型號B203010型號C04515將調查的每種型號的設備的頻率視為概率，各臺設備在易耗品的使用上相互獨立.（1）求該單位一個月中三臺設備使用的易耗品總數超過21件的概率；（2）以該單位一個月購買易耗品所需總費用的期望值為決策依據，該單位在購買設備時應同時購買20件還是21件易耗品？22．（10分）已知點，若點滿足.（Ⅰ）求點的軌跡方程；（Ⅱ）過點的直線與（Ⅰ）中曲線相交于兩點，為坐標原點，求△面積的最大值及此時直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

設大正方體的邊長為，從而求得小正方體的邊長為，設落在小正方形內的米粒數大約為，利用概率模擬列方程即可求解。【詳解】設大正方體的邊長為，則小正方體的邊長為，設落在小正方形內的米粒數大約為，則，解得：故選：B【點睛】本題主要考查了概率模擬的應用，考查計算能力，屬于基礎題。2、B【解析】

設數列的公差為.由，成等比數列，列關于的方程組，即求公差.【詳解】設數列的公差為，①.成等比數列，②，解①②可得.故選：.【點睛】本題考查等差數列基本量的計算，屬于基礎題.3、B【解析】

設過點作的垂線，其方程為，聯立方程，求得，，即，由，列出相應方程，求出離心率.【詳解】解：不妨設過點作的垂線，其方程為，由解得，，即，由，所以有，化簡得，所以離心率．故選：B.【點睛】本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關系等基礎知識，考查運算求解、推理論證能力，屬于中檔題．4、D【解析】

根據三視圖還原出幾何體，找到最大面，再求面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個三棱錐，如圖所示，將其放在一個長方體中，并記為三棱錐.，，，故最大面的面積為.選D.【點睛】本題主要考查三視圖的識別，復雜的三視圖還原為幾何體時，一般借助長方體來實現.5、A【解析】

由為邊上的中點，表示出，然后用向量模的計算公式求模.【詳解】解：為邊上的中點，，故選：A【點睛】在三角形中，考查中點向量公式和向量模的求法，是基礎題.6、B【解析】

變形為，由得，轉化在中，利用三點共線可得.【詳解】解：依題：，又三點共線，，解得．故選：．【點睛】本題考查平面向量基本定理及用向量共線定理求參數.思路是(1)先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數的值.(2)直線的向量式參數方程：三點共線?(為平面內任一點,)7、A【解析】

投影即為，利用數量積運算即可得到結論.【詳解】設向量與向量的夾角為，由題意，得，，所以，向量在向量方向上的投影為.故選：A.【點睛】本題主要考察了向量的數量積運算，難度不大，屬于基礎題.8、A【解析】

根據偶函數的性質和單調性即可判斷.【詳解】解：對，，且，有在上遞增因為定義在上的偶函數所以在上遞減又因為，，所以故選：A【點睛】考查偶函數的性質以及單調性的應用，基礎題.9、B【解析】

令，則，由圖象分析可知在上有兩個不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解決.【詳解】令，則，如圖與頂多只有3個不同交點，要使關于的方程有六個不相等的實數根，則有兩個不同的根，設由根的分布可知，，解得.故選：B.【點睛】本題考查復合方程根的個數問題，涉及到一元二次方程根的分布，考查學生轉化與化歸和數形結合的思想，是一道中檔題.10、D【解析】

首先把三視圖轉換為幾何體，根據三視圖的長度，進一步求出個各棱長.【詳解】根據幾何體的三視圖轉換為幾何體為：該幾何體為四棱錐體，如圖所示：所以：，，.故選：D..【點睛】本題考查三視圖和幾何體之間的轉換，主要考查運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題.11、A【解析】

先求出，再與集合N求交集.【詳解】由已知，，又，所以.故選：A.【點睛】本題考查集合的基本運算，涉及到補集、交集運算，是一道容易題.12、A【解析】

根據題意依次計算得到答案.【詳解】根據題意知：，，故，，.故選：.【點睛】本題考查了數列值的計算，意在考查學生的計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求出圓心關于直線的對稱點，即可得解.【詳解】的圓心為，關于對稱點設為，則有:，解得，所以對稱后的圓心為，故所求圓的方程為.故答案為：【點睛】此題考查求圓關于直線的對稱圓方程，關鍵在于準確求出圓心關于直線的對稱點坐標.14、【解析】

由題意可得，又由于為的中點，且點在軸上，所以可得點的橫坐標，代入拋物線方程中可求點的縱坐標，從而可求出點的坐標，再利用兩點間的距離公式可求得結果.【詳解】解：因為是拋物線的焦點，所以，設點的坐標為，因為為的中點，而點的橫坐標為0，所以，所以，解得，所以點的坐標為所以，故答案為：【點睛】此題考查拋物線的性質，中點坐標公式，屬于基礎題.15、【解析】

先求函的定義域，再對函數進行求導，再解不等式得單調區間，進而求得極值點，即可求出函數的極大值．【詳解】函數，，，令得，，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減，當時，函數取到極大值，極大值為.故答案為：．【點睛】本題考查利用導數研究函數的極值，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查運算求解能力，求解時注意定義域優先法則的應用．16、-5【解析】

畫出x，y滿足的可行域，當目標函數z=x-2y經過點A時，z最小，求解即可。【詳解】畫出x，y滿足的可行域，由x+2y=34x-y=-6解得A-1,2，當目標函數z=x-2y經過點A【點睛】本題考查的是線性規劃問題，解決線性規劃問題的實質是把代數問題幾何化，即數形結合思想。需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域;二，畫目標函數所對應的直線時，要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯;三，一般情況下，目標函數的最大值或最小值會在可行域的端點或邊界上取得。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

先將曲線C和直線l的極坐標方程化為直角坐標方程，可得圓心到直線的距離，再由勾股定理，計算即得.【詳解】以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，可得曲線C：（）的直角坐標方程為，表示以原點為圓心，半徑為r的圓.由直線l的方程，化簡得，則直線l的直角坐標方程方程為.記圓心到直線l的距離為d，則，又，即，所以.【點睛】本題考查曲線和直線的極坐標方程化為直角坐標方程，是基礎題.18、（1）（2）存在；詳見解析【解析】

（1）由橢圓的性質得，解得后可得，從而得橢圓方程；（2）設，當直線斜率存在時，設為，代入橢圓方程，整理后應用韋達定理得，代入＝0由恒成立問題可求得．驗證斜率不存在時也適合即得．【詳解】解：（1）由題易知解得，所以橢圓方程為（2）設當直線斜率存在時，設為與橢圓方程聯立得，顯然所以因為化簡解得即所以此時存在定點滿足題意當直線斜率不存在時，顯然也滿足綜上所述，存在定點，使成立【點睛】本題考查求橢圓的標準方程，考查直線與橢圓相交問題中的定點問題，解題方法是設而不求的思想方法．設而不求思想方法是直線與圓錐曲線相交問題中常用方法，只要涉及交點坐標，一般就用此法．19、（1）見解析；（2）【解析】

（1）補充完整的列聯表如下：合格不合格合計高一新生121426非高一新生18624合計302050則的觀測值，所以有的把握認為“法律知識競賽成績是否合格”與“是否是高一新生”有關．（2）抽取的5名學生中競賽成績合格的有名學生，記為，競賽成績不合格的有名學生，記為，從這5名學生中隨機抽取2名學生的基本事件有：，共10種，這2名學生競賽成績都合格的基本事件有：，共3種，所以這2名學生競賽成績都合格的概率為．20、（1）；（2），或，.【解析】

（1）利用正弦定理，轉化原式為，結合，可得，即得解；（2）由余弦定理，結合題中數據，可得解【詳解】（1）由及正弦定理得．因為，所以，代入上式并化簡得．由于，所以．又，故．（2）因為，，，由余弦定理得即,所以．而，所以，為一元二次方程的兩根．所以，或，．【點睛】本題考查了正弦定理，余弦定理的綜合應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.21、（1）（2）應該購買21件易耗品【解析】

（1）由統計表中數據可得型號分別為在一個月使用易耗品的件數為6,7,8時的概率,設該單位三臺設備一個月中使用易耗品的件數總數為X,則,利用獨立事件概率公式進而求解即可；（2）由題可得X所有可能的取值為,即可求得對應的概率,再分別討論該單位在購買設備時應同時購買20件易耗品和21件易耗品時總費用的可能取值及期望,即可分析求解.【詳解】（1）由題中的表格可知A型號的設備一個月使用易耗品的件數為6和7的頻率均為；B型號的設備一個月使用易耗品的件數為6,7,8的頻率分