2025屆山東省莒南縣大店中學(xué)5月高三數(shù)學(xué)試題期末熱身聯(lián)考試卷_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

2025屆山東省莒南縣大店中學(xué)5月高三數(shù)學(xué)試題期末熱身聯(lián)考試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知四棱錐,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,,平面平面ABCD,當(dāng)點(diǎn)C到平面ABE的距離最大時(shí),該四棱錐的體積為()A. B. C. D.12.設(shè),則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.5.已知為正項(xiàng)等比數(shù)列,是它的前項(xiàng)和,若,且與的等差中項(xiàng)為,則的值是()A.29 B.30 C.31 D.326.已知為坐標(biāo)原點(diǎn),角的終邊經(jīng)過點(diǎn)且,則()A. B. C. D.7.設(shè)a,b∈(0,1)∪(1,+∞),則"a=b"是"logA.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知,則()A.2 B. C. D.39.已知向量,,若,則與夾角的余弦值為()A. B. C. D.10.若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.11.已知圓錐的高為3,底面半徑為,若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上,則這個(gè)球的體積與圓錐的體積的比值為()A. B. C. D.12.已知,且,則在方向上的投影為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在三棱錐中,,,兩兩垂直且,點(diǎn)為的外接球上任意一點(diǎn),則的最大值為______.14.已知向量,,且,則實(shí)數(shù)m的值是________.15.如圖,在平面四邊形ABCD中,|AC|=3,|BD|=4,則(AB16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足,則數(shù)列的通項(xiàng)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離多.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;(2)設(shè),是軌跡在上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn),直線和的傾斜角分別為和,當(dāng),變化且時(shí),證明:直線恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).18.(12分)已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求和的普通方程;(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)作直線交曲線于點(diǎn)(異于),交曲線于點(diǎn),求的最小值.19.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù),求的極值;(2)證明:.(參考數(shù)據(jù):)20.(12分)設(shè)函數(shù).(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),求證:.21.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6,求的取值范圍.22.(10分)如圖,在四棱錐中,平面平面,.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若銳二面角的余弦值為,求直線與平面所成的角.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】

過點(diǎn)E作,垂足為H,過H作,垂足為F,連接EF.因?yàn)槠矫鍭BE,所以點(diǎn)C到平面ABE的距離等于點(diǎn)H到平面ABE的距離.設(shè),將表示成關(guān)于的函數(shù),再求函數(shù)的最值,即可得答案.【詳解】過點(diǎn)E作,垂足為H,過H作,垂足為F,連接EF.因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD,所以平面ABCD,所以.因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,,所以.因?yàn)槠矫鍭BE,所以點(diǎn)C到平面ABE的距離等于點(diǎn)H到平面ABE的距離.易證平面平面ABE,所以點(diǎn)H到平面ABE的距離,即為H到EF的距離.不妨設(shè),則,.因?yàn)椋裕裕?dāng)時(shí),等號(hào)成立.此時(shí)EH與ED重合,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查空間中點(diǎn)到面的距離的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意輔助線及面面垂直的應(yīng)用.2.C【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行判斷即可.【詳解】∵a,b∈(1,+∞),∴a>b?logab<1,logab<1?a>b,∴a>b是logab<1的充分必要條件,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,根據(jù)不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵.3.B【解析】

求導(dǎo)函數(shù),求出函數(shù)的極值,利用函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn),即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,令,則或,上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,所以0或是函數(shù)y的極值點(diǎn),函數(shù)的極值為:,函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是:.故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù),來確定參數(shù)的取值范圍的問題,在解題的過程中,注意應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的走向,利用數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象間交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題,難度不大.4.C【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo),對(duì)a分類討論,分別求得函數(shù)的單調(diào)性及極值,結(jié)合端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行判斷求解.【詳解】∵,.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,不合題意.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,也不合題意.當(dāng)時(shí),則時(shí),,在上單調(diào)遞減,時(shí),,在上單調(diào)遞增,又,所以在上有兩個(gè)零點(diǎn),只需即可,解得.綜上,的取值范圍是.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)的問題,考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問題,屬于中檔題.5.B【解析】

設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q,運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì),求出公比,再由等比數(shù)列的求和公式,計(jì)算即可得到所求.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q,則a4=16q3,a7=16q6,a4與a7的等差中項(xiàng)為,即有a4+a7=,即16q3+16q6,=,解得q=(負(fù)值舍去),則有S5===1.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用,同時(shí)考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.6.C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義,即可求出,得出,得出和,再利用二倍角的正弦公式,即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,解得,所以,所以,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用和二倍角的正弦公式,考查計(jì)算能力.7.A【解析】

根據(jù)題意得到充分性,驗(yàn)證a=2,b=1【詳解】a,b∈0,1∪1,+∞,當(dāng)"a=b當(dāng)logab=log故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和推斷能力.8.A【解析】

利用分段函數(shù)的性質(zhì)逐步求解即可得答案.【詳解】,;;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)值的求法,考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),是基礎(chǔ)題,解題時(shí)注意函數(shù)性質(zhì)的合理應(yīng)用.9.B【解析】

直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到向量的坐標(biāo),利用求得參數(shù)m,再用計(jì)算即可.【詳解】依題意,,而,即,解得,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.10.C【解析】

由題可知,設(shè)函數(shù),,根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的極值點(diǎn),得出單調(diào)性,根據(jù)在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù),轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù),結(jié)合圖象,可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)函數(shù),,因?yàn)椋裕颍驗(yàn)闀r(shí),,或時(shí),,,其圖象如下:當(dāng)時(shí),至多一個(gè)整數(shù)根;當(dāng)時(shí),在內(nèi)的解集中僅有三個(gè)整數(shù),只需,,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的解法和應(yīng)用問題,還涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象,同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想和解題能力.11.B【解析】

計(jì)算求半徑為,再計(jì)算球體積和圓錐體積,計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示:設(shè)球半徑為,則,解得.故求體積為:,圓錐的體積:,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐,球體積,圓錐的外接球問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.12.C【解析】

由向量垂直的向量表示求出,再由投影的定義計(jì)算.【詳解】由可得,因?yàn)椋裕试诜较蛏系耐队盀椋蔬x:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積與投影.掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

先根據(jù)三棱錐的幾何性質(zhì),求出外接球的半徑,結(jié)合向量的運(yùn)算,將問題轉(zhuǎn)化為求球體表面一點(diǎn)到外心距離最大的問題,即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閮蓛纱怪鼻遥嗜忮F的外接球就是對(duì)應(yīng)棱長(zhǎng)為2的正方體的外接球.且外接球的球心為正方體的體對(duì)角線的中點(diǎn),如下圖所示:容易知外接球半徑為.設(shè)線段的中點(diǎn)為,故可得,故當(dāng)取得最大值時(shí),取得最大值.而當(dāng)在同一個(gè)大圓上,且,點(diǎn)與線段在球心的異側(cè)時(shí),取得最大值,如圖所示:此時(shí),故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查球體的幾何性質(zhì),幾何體的外接球問題,涉及向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算,屬綜合性困難題.14.1【解析】

根據(jù)即可得出,從而求出m的值.【詳解】解:∵;∴;∴m=1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的充要條件,向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.15.-7【解析】

由題意得AB+【詳解】由題意得ABBC+∴AB+【點(diǎn)睛】突破本題的關(guān)鍵是抓住題中所給圖形的特點(diǎn),利用平面向量基本定理和向量的加減運(yùn)算,將所給向量統(tǒng)一用AC,16.【解析】

先求得時(shí);再由可得時(shí),兩式作差可得,進(jìn)而求解.【詳解】當(dāng)時(shí),,解得;由,可知當(dāng)時(shí),,兩式相減,得,即,所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,所以,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式,考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)或;(2)證明見解析,定點(diǎn)【解析】

(1)設(shè),由題意可知,對(duì)的正負(fù)分情況討論,從而求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;(2)設(shè)其方程為,與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理得到,所以,所以直線的方程可表示為,即,所以直線恒過定點(diǎn).【詳解】(1)設(shè),動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離多,,時(shí),解得,時(shí),解得.動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為或(2)證明:如圖,設(shè),,由題意得(否則)且,所以直線的斜率存在,設(shè)其方程為,將與聯(lián)立消去,得,由韋達(dá)定理知,,①顯然,,,,將①式代入上式整理化簡(jiǎn)可得:,所以,此時(shí),直線的方程可表示為,即,所以直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡,考查了直線與拋物線的綜合,是中檔題.18.(1)曲線的普通方程為:;曲線的普通方程為:(2)【解析】

(1)消去曲線參數(shù)方程中的參數(shù),求得和的普通方程.(2)設(shè)出過原點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程,代入曲線的極坐標(biāo)方程,求得的表達(dá)式,結(jié)合三角函數(shù)值域的求法,求得的最小值.【詳解】(1)曲線的普通方程為:;曲線的普通方程為:.(2)設(shè)過原點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程為;由得,所以曲線的極坐標(biāo)方程為在曲線中,.由得曲線的極坐標(biāo)方程為,所以而到直線與曲線的交點(diǎn)的距離為,因此,即的最小值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程,考查直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程,考查極坐標(biāo)系下距離的有關(guān)計(jì)算,屬于中檔題.19.(1)見解析;(1)見證明【解析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極值即可;(1)問題轉(zhuǎn)化為證ex﹣x1﹣xlnx﹣1>0,根據(jù)xlnx≤x(x﹣1),問題轉(zhuǎn)化為只需證明當(dāng)x>0時(shí),ex﹣1x1+x﹣1>0恒成立,令k(x)=ex﹣1x1+x﹣1,(x≥0),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.【詳解】(1),,當(dāng),,當(dāng),,在上遞增,在上遞減,在取得極大值,極大值為,無極大值.(1)要證f(x)+1<ex﹣x1.即證ex﹣x1﹣xlnx﹣1>0,先證明lnx≤x﹣1,取h(x)=lnx﹣x+1,則h′(x)=,易知h(x)在(0,1)遞增,在(1,+∞)遞減,故h(x)≤h(1)=0,即lnx≤x﹣1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”,故xlnx≤x(x﹣1),ex﹣x1﹣xlnx≥ex﹣1x1+x﹣1,故只需證明當(dāng)x>0時(shí),ex﹣1x1+x﹣1>0恒成立,令k(x)=ex﹣1x1+x﹣1,(x≥0),則k′(x)=ex﹣4x+1,令F(x)=k′(x),則F′(x)=ex﹣4,令F′(x)=0,解得:x=1ln1,∵F′(x)遞增,故x∈(0,1ln1]時(shí),F(xiàn)′(x)≤0,F(xiàn)(x)遞減,即k′(x)遞減,x∈(1ln1,+∞)時(shí),F(xiàn)′(x)>0,F(xiàn)(x)遞增,即k′(x)遞增,且k′(1ln1)=5﹣8ln1<0,k′(0)=1>0,k′(1)=e1﹣8+1>0,由零點(diǎn)存在定理,可知?x1∈(0,1ln1),?x1∈(1ln1,1),使得k′(x1)=k′(x1)=0,故0<x<x1或x>x1時(shí),k′(x)>0,k(x)遞增,當(dāng)x1<x<x1時(shí),k′(x)<0,k(x)遞減,故k(x)的最小值是k(0)=0或k(x1),由k′(x1)=0,得=4x1﹣1,k(x1)=﹣1+x1﹣1=﹣(x1﹣1)(1x1﹣1),∵x1∈(1ln1,1),∴k(x1)>0,故x>0時(shí),k(x)>0,原不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,極值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明,考查轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.20.(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析【解析】

(Ⅰ)求導(dǎo)得到,討論,,三種情況得到單調(diào)區(qū)間.(Ⅱ)設(shè),要證,即證,,設(shè),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到證明.【詳解】(Ⅰ),令,,(1)當(dāng),即時(shí),,,在上單調(diào)遞增;(2)當(dāng),即時(shí),設(shè)的兩根為(),,①若,,時(shí),,所以在和上單調(diào)遞增,時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,②若,,時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,時(shí),,所以在上單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(Ⅱ)不妨設(shè),要證,即證,即證,由(Ⅰ)可知,,,可得,,

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