1第四屆全國大學生數學競賽決賽試題標準答案一、(本題15分):設A為正常數，直線?與雙曲線x2?y2=2(x>0)所圍的有限部分的面積為A.證明：(i)所有上述?與雙曲線x2?y2=2(x>0)的截線段的中點的軌跡為雙曲線.(ii)?總是(i)中軌跡曲線的切線.證明：將雙曲線圖形進行45度旋轉，可以假定雙曲線方程為,x>0.設直線?交雙曲線于(a,1/a)和(ta,1/ta),t>1,與雙曲線所圍的面積為A.則有=0,f=+∞,f′2>0,所以對常數A存在唯一常數t使得A=f(t)(5分).?與雙曲線的截線段中點坐標為于是，中點的軌跡曲線為(10分)故中點軌跡為雙曲線,也就是函數給出的曲線.該曲線在上述中點處的切線斜率它恰等于過兩交點(a,1/a)和(ta,1/ta)直線?的斜率:故?為軌跡曲線的切線.(15分)二、(本題15分):設函數f(x)滿足條件:1)?∞<a≤f(x)≤b<+∞,a≤x≤b;2)對于任意不同的x,y∈[a,b]有|f(x)?f(y)|<L|x?y|,其中L是大2limn→∞xn=x存在,且f(x)=x.去,對任意n≥1有a≤xn≤b,所以xn對任意n≥1有意義(3分).由條件2),有(x3?x2)+(f(x3)?f(x2))|≤|x3?x2|≤()2|x2?x1|.繼續下去得|xn+1?xn|≤n?1|x2?x1|,?n≥3.由于k收斂,從而Σ|xk+1?xk|收斂,當然也收斂.故其前n項部分和Σ=1(xk+1?xk)=xn+1?x1當n→∞時極限存在,即limn→∞xn存在.(12分)記limn→∞xn=λ,a≤λ≤b.由條件2)知,f(x)滿足Lipschitz條件,從而是連續的.在xn+1=))中令n→∞,得λ=即f(λ)=λ.(15分)三、(本題15分):設n階實方陣A的每個元素的絕對值為2.證明：當n≥3時,n+1n!.證明：(i)首先,|A|=2n|A1|,其中A1=A,它的所有元素為1或?1.(1分)(ii)當n=3時,=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32?a31a22a13?a32a23a11?a33a21a12+b2+b3+b4+b5+b6上式bi中每項為±1,且六項乘積為?1,至少有一個bi為?1，從而這六項中至少有兩項相消,故有|A1|≤4=·2·3!.于是命題對n=3成立(9分).(iii)設此命3題對于一切這樣的(n?1)階方陣成立,那么對n階矩陣的情形,將|A|按第一行展開,記1行k列的代數余子式為M1k,便有|A|=±2M11±2M12±···±2M1n≤2(|M11|+|M12|+···|M1n|)四、(本題15分):設f(x)為區間(a,b)上的可導函數.對x0∈(a,b),若存在x0的鄰域U使得任意的x∈U\{x0}有f(x)>f(x0)+f′(x0)(x?x0),則稱x0為f(x)的凹點.類似地,若存在x0的鄰域U使得任意的x∈U\{x0}有f(x)<f(x0)+f′(x0)(x?x0),則稱x0為f(x)的凸點.證明:若f(x)為區間(a,b)上的可導函數,且不是一次函數,則f(x)一定存在凹點或凸點.證明：因為f(x)不是一次函數,故存在a<x1<x2<x3<b,使得三點(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),(x3,f(x3))不共線.不妨設令取定ε>0充分小,使得g(x1)>f(x1)和g(x3)>f(x3).令h(x)=g(x)?f(x).則有h(x1)>0和h(x3)>0,且h(x2)=0.令h(ξ)=minx∈[x1;x3]h(x),則h(ξ)≤0,ξ∈(x1,x3),并且f′(ξ)=g′(ξ)(10分).故f(x)≤g(x)?h(ξ),x∈(x1,x3).注意到g(x)?h(ξ)的圖像是一個開口向下的拋物線,故對xξ有g(x)?h(ξ)<g′(ξ)(x?ξ)+g(ξ)?h(ξ)=f′(ξ)(x?ξ)+f(ξ),即f(x)<f′(ξ)(x?ξ)+f(ξ),x∈(x1,x3)\{ξ}.······(15分)4五:設A=為實對稱矩陣,A*為A的伴隨矩陣.記若|A|=?12,A的特征值之和為1且(1,0,?2)T為(A*?4I)x=0的一個解.試給出一正交變換,,使得f化為標準型.由此f(x1,x2,x3,x4)為關于x1,x2,x3,x4的二次型(2分).其次,由(A*?4I)x=0得(|A|I?4A)x=0,即(A+3I)x=0.故由(1,0,?2)T為(A*?4I)x=0的一個解知,A有特征值?3(4分).現可設A的特征值為λ1,λ2,?3.于是由|A|=?12及A的特征值之和為1,得方程組λ1+λ2?3=1,?3λ1λ2=?12,得λ1=λ2=2.所以A的全部特征值為2,2,?3.結果,對應特征值?3的特征空間V?3的維數為1,對應特征值2的特征空間V2的維數為2(6分).注意到(1,0,?2)T是A相應于特征值?3的一個特征向量,因此它是V?3的基.求解下列線性方程組的基礎解系:t1?2t3=0,得到正交基礎解:α=T,β=T,且令γ=T,則α,β為V2的標準正交5基,α,β,γ為R3的標準正交基.事實上,因為A為實對稱矩陣,V2=V3⊥,它是唯一的,維數為2(12分).現在A可寫成P?1,其中P=從而得,A?1=P .令Q=,則由P為正交矩陣知： 為正交變換,其中Q=它使得 為f(x1,x2,x3,x4)的標準型(20分).六、(20分):設R為實數域,n為給定的自然數,A表示所有n次首一實系數多項式組成的集合.證明：證明：我們證明對任意n次首一實系數多項式,都有(x)|dx≥cnan+1,其中cn滿足c0=1,cn=,n≥1(3分).我們對n用歸納法.n=60時P(x)=1.則|P(x)