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第六屆全國大學生數學競賽決賽試卷參考答案(非數學類,2015年3月)答案：解：記p=y'，則p'-ap2=0，就是（4）不定積分dx是————。(1,0),(01)(1,0)(0,-1)(1,0),(01)(1,0)(0,-1)（6）設D是平面上由光滑封閉曲線圍成的有界區域,其面積為A>0,函數f(x,y)在該區域及其邊界上連續,函數f(x,y)在D上連續且>0.記Jn=,求極限limJn.量之間的夾角為若函數f(x,y)在點P0有連續偏導，證明,B2均為n階方陣，其中A2,B2可逆。證明：存在可逆陣P,Q使PAi證若存在可逆陣P,Q使PAiQ=Bi(i=1,2)，則B2-1=Q-1A2-1P-1，所以B1B2-1=PA1A2-1P-1，故A1A-12和B1B-12相似。...........(6分)反之，若A1A-12和B1B-12相似，則存在可逆陣C，使C-1A1A2-1C=B1B2-1。于是C-1A1A2-1CB2=B1。令P=C-1，Q=A2-1CB2，則P,Q可逆，且滿足PAin+1yn+1n五（1）展[-π,π)上的函數f(x)=|x|成傅里葉級數,并證明.（2）求積分du的值.解(1)f(x)為偶函數,其傅里葉級數是余弦級數.由于由于f(x)連續,所以當x∈[-π,π)有記g，則在上成立記該級數的前記該級數的前n項和為Sn(u)，余項為rn(u)=g(u)-Sn(u).則由交錯（單調）級數的性質du................六設f(x,y)為R2上的非負的連續函數,若I=t2+y2≤t2f存在有限,則稱廣義積分收斂于I.存在且收斂于I.設eax2+2bxy+cy2dσ收斂于I,其中實二次型ax2+2bx標準型為λ1u2+λ2v2.證明λ1和λ2都小于0.解.(1)由于f(x,y)非負,當t→+∞,上式中左右兩端的極限都收斂于I,故中間=實對稱,存在正交矩陣P使得PTAP=,其中是A的特征值,也就是標準型的系數.由tIt=I和(1)所證得v2dudv=I.在矩形上分離積分變量得,因為I

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