上海市十二校2025年高三年級元月調研考試數學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，例如：，，已知函數（），則函數的值域為（）A． B． C． D．3．已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出四個命題：①若，，，則；②若，，則；③若，，，則；④若，，，則其中正確的是（）A．①② B．③④ C．①④ D．②④4．復數（）A． B． C．0 D．5．設不等式組表示的平面區域為，若從圓：的內部隨機選取一點，則取自的概率為（）A． B． C． D．6．若直線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．7．已知為虛數單位，復數滿足，則復數在復平面內對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．在中，已知，，，為線段上的一點，且，則的最小值為（）A． B． C． D．9．點是單位圓上不同的三點，線段與線段交于圓內一點M，若，則的最小值為（）A． B． C． D．10．設集合（為實數集），，，則（）A． B． C． D．11．《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高二丈，問：積幾何?”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊狀的楔體，下底面寬3丈，長4丈，上棱長2丈，高2丈，問：它的體積是多少?”已知l丈為10尺，該楔體的三視圖如圖所示，其中網格紙上小正方形邊長為1，則該楔體的體積為（）A．10000立方尺B．11000立方尺C．12000立方尺D．13000立方尺12．如圖，在圓錐SO中，AB，CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE.，異面直線SC與OE所成角的正切值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設實數滿足約束條件,則的最大值為______.14．已知集合，則____________.15．在區間內任意取一個數，則恰好為非負數的概率是________.16．設,滿足約束條件,若目標函數的最大值為,則的最小值為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線C:x24py（p為大于2的質數）的焦點為F，過點F且斜率為k(k0)的直線交C于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交y軸于點E，拋物線C在點A，B處的切線相交于點G.記四邊形AEBG的面積為S.（1）求點G的軌跡方程；（2）當點G的橫坐標為整數時，S是否為整數？若是，請求出所有滿足條件的S的值；若不是，請說明理由.18．（12分）已知公比為正數的等比數列的前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.19．（12分）追求人類與生存環境的和諧發展是中國特色社會主義生態文明的價值取向.為了改善空氣質量，某城市環保局隨機抽取了一年內100天的空氣質量指數（AQI）的檢測數據，結果統計如表：AQI空氣質量優良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數61418272510（1）從空氣質量指數屬于[0，50]，（50，100]的天數中任取3天，求這3天中空氣質量至少有2天為優的概率；（2）已知某企業每天因空氣質量造成的經濟損失y（單位：元）與空氣質量指數x的關系式為，假設該企業所在地7月與8月每天空氣質量為優、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴重污染的概率分別為.9月每天的空氣質量對應的概率以表中100天的空氣質量的頻率代替.（i）記該企業9月每天因空氣質量造成的經濟損失為X元，求X的分布列；（ii）試問該企業7月、8月、9月這三個月因空氣質量造成的經濟損失總額的數學期望是否會超過2.88萬元？說明你的理由.20．（12分）如圖，在正四棱柱中，已知，.（1）求異面直線與直線所成的角的大小；（2）求點到平面的距離.21．（12分）已知橢圓的離心率為是橢圓的一個焦點，點，直線的斜率為1．（1）求橢圓的方程；（1）若過點的直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，是否存在直線使得？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由．22．（10分）在四棱柱中，底面為正方形，，平面．（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

本題根據基本不等式，結合選項，判斷得出充分性成立，利用“特殊值法”，通過特取的值，推出矛盾，確定必要性不成立.題目有一定難度，注重重要知識、基礎知識、邏輯推理能力的考查.【詳解】當時，，則當時，有，解得，充分性成立；當時，滿足，但此時，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.【點睛】易出現的錯誤有，一是基本不等式掌握不熟，導致判斷失誤；二是不能靈活的應用“賦值法”，通過特取的值，從假設情況下推出合理結果或矛盾結果.2．B【解析】

利用換元法化簡解析式為二次函數的形式，根據二次函數的性質求得的取值范圍，由此求得的值域.【詳解】因為（），所以，令（），則（），函數的對稱軸方程為，所以，，所以，所以的值域為.故選：B【點睛】本小題考查函數的定義域與值域等基礎知識，考查學生分析問題，解決問題的能力，運算求解能力，轉化與化歸思想，換元思想，分類討論和應用意識.3．D【解析】

根據面面垂直的判定定理可判斷①；根據空間面面平行的判定定理可判斷②；根據線面平行的判定定理可判斷③；根據面面垂直的判定定理可判斷④.【詳解】對于①，若，，，，兩平面相交，但不一定垂直，故①錯誤；對于②，若，，則，故②正確；對于③，若，，，當，則與不平行，故③錯誤；對于④，若，，，則，故④正確；故選：D【點睛】本題考查了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，屬于基礎題.4．C【解析】略5．B【解析】

畫出不等式組表示的可行域，求得陰影部分扇形對應的圓心角，根據幾何概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】作出中在圓內部的區域，如圖所示，因為直線，的傾斜角分別為，，所以由圖可得取自的概率為.故選：B【點睛】本小題主要考查幾何概型的計算，考查線性可行域的畫法，屬于基礎題.6．B【解析】

根據題意可得：，所求式子利用二倍角的正弦函數公式化簡，再利用同角三角函數間的基本關系弦化切后，將代入計算即可求出值．【詳解】由于直線的傾斜角為，所以，則故答案選B【點睛】本題考查二倍角的正弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，以及直線傾斜角與斜率之間的關系，熟練掌握公式是解本題的關鍵．7．B【解析】

求出復數，得出其對應點的坐標，確定所在象限．【詳解】由題意,對應點坐標為，在第二象限．故選：B．【點睛】本題考查復數的幾何意義，考查復數的除法運算，屬于基礎題．8．A【解析】

在中，設，，，結合三角形的內角和及和角的正弦公式化簡可求，可得，再由已知條件求得，，，考慮建立以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立直角坐標系，根據已知條件結合向量的坐標運算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】在中，設，，，，即，即，，，，，，，，即，又，，，則，所以，，解得，.以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則、、，為線段上的一點，則存在實數使得，，設，，則，，，，，消去得，，所以，，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：A.【點睛】本題是一道構思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題，解題的關鍵是理解是一個單位向量，從而可用、表示，建立、與參數的關系，解決本題的第二個關鍵點在于由，發現為定值，從而考慮利用基本不等式求解最小值，考查計算能力，屬于難題.9．D【解析】

由題意得，再利用基本不等式即可求解．【詳解】將平方得，（當且僅當時等號成立），，的最小值為，故選：D．【點睛】本題主要考查平面向量數量積的應用，考查基本不等式的應用，屬于中檔題．10．A【解析】

根據集合交集與補集運算,即可求得.【詳解】集合,,所以所以故選:A【點睛】本題考查了集合交集與補集的混合運算,屬于基礎題.11．A【解析】由題意，將楔體分割為三棱柱與兩個四棱錐的組合體，作出幾何體的直觀圖如圖所示：

沿上棱兩端向底面作垂面，且使垂面與上棱垂直，

則將幾何體分成兩個四棱錐和1個直三棱柱，

則三棱柱的體積V1四棱錐的體積V2=13×1×3×2=2【點睛】本題考查三視圖及幾何體體積的計算，其中正確還原幾何體，利用方格數據分割與計算是解題的關鍵．12．D【解析】

可過點S作SF∥OE，交AB于點F，并連接CF，從而可得出∠CSF（或補角）為異面直線SC與OE所成的角，根據條件即可求出，這樣即可得出tan∠CSF的值.【詳解】如圖，過點S作SF∥OE，交AB于點F，連接CF，則∠CSF（或補角）即為異面直線SC與OE所成的角，∵，∴，又OB＝3，∴，SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴；SO⊥OF，SO＝3，OF＝1，∴；OC⊥OF，OC＝3，OF＝1，∴，∴等腰△SCF中，.故選：D.【點睛】本題考查了異面直線所成角的定義及求法，直角三角形的邊角的關系，平行線分線段成比例的定理，考查了計算能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

試題分析：作出不等式組所表示的平面區域如圖，當直線過點時，最大，且考點：線性規劃.14．【解析】

根據并集的定義計算即可.【詳解】由集合的并集，知.故答案為：【點睛】本題考查集合的并集運算，屬于容易題.15．【解析】

先分析非負數對應的區間長度，然后根據幾何概型中的長度模型，即可求解出“恰好為非負數”的概率.【詳解】當是非負數時，，區間長度是，又因為對應的區間長度是，所以“恰好為非負數”的概率是.故答案為：.【點睛】本題考查幾何概型中的長度模型，難度較易.解答問題的關鍵是能判斷出目標事件對應的區間長度.16．【解析】

先根據條件畫出可行域,設,再利用幾何意義求最值,將最大值轉化為軸上的截距,只需求出直線,過可行域內的點時取得最大值,從而得到一個關于,的等式,最后利用基本不等式求最小值即可．【詳解】解：不等式表示的平面區域如圖所示陰影部分,當直線過直線與直線的交點時,目標函數取得最大,即,即,而．故答案為．【點睛】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用、簡單的線性規劃,以及利用幾何意義求最值,屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）當G點橫坐標為整數時，S不是整數．【解析】

（1）先求解導數，得出切線方程，聯立方程得出交點G的軌跡方程；（2）先求解弦長，再分別求解點到直線的距離，表示出四邊形的面積，結合點G的橫坐標為整數進行判斷.【詳解】（1）設，則，拋物線C的方程可化為，則，所以曲線C在點A處的切線方程為，在點B處的切線方程為，因為兩切線均過點G，所以，所以A，B兩點均在直線上，所以直線AB的方程為，又因為直線AB過點F(0，p)，所以，即G點軌跡方程為；（2）設點G(，)，由（1）可知，直線AB的方程為，即，將直線AB的方程與拋物線聯立，，整理得，所以，，解得，因為直線AB的斜率，所以，且，線段AB的中點為M，所以直線EM的方程為：，所以E點坐標為(0，)，直線AB的方程整理得，則G到AB的距離，則E到AB的距離，所以，設，因為p是質數，且為整數，所以或，當時，，是無理數，不符題意，當時，，因為當時，，即是無理數，所以不符題意，當時，是無理數，不符題意，綜上，當G點橫坐標為整數時，S不是整數．【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關系，拋物線中的切線問題通常借助導數來求解，四邊形的面積問題一般轉化為三角形的面積和問題，表示出面積的表達式是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養.18．（1）（2）【解析】

（1）判斷公比不為1，運用等比數列的求和公式，解方程可得公比，進而得到所求通項公式；（2）求得，運用數列的錯位相減法求和，以及等比數列的求和公式，計算可得所求和.【詳解】解：（1）設公比為正數的等比數列的前項和為，且，，可得時，，不成立；當時，，即，解得（舍去），則；（2），前項和，，兩式相減可得，化簡可得.【點睛】本題考查等比數列的通項公式和求和公式的運用，考查數列的錯位相減法求和，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．19．（1）；（2）（i）詳見解析；（ii）會超過；詳見解析【解析】

（1）利用組合進行計算以及概率表示，可得結果.（2）（i）寫出X所有可能取值，并計算相對應的概率，列出表格可得結果.（ii）由（i）的條件結合7月與8月空氣質量所對應的概率，可得7月與8月經濟損失的期望和，最后7月、8月、9月經濟損失總額的數學期望與2.88萬元比較，可得結果.【詳解】（1）設ξ為選取的3天中空氣質量為優的天數，則P（ξ＝2），P（ξ＝3），則這3天中空氣質量至少有2天為優的概率為；（2）（i），，，X的分布列如下：X02201480P（ii）由（i）可得：E（X）＝02201480302（元），故該企業9月的經濟損失的數學期望為30E（X），即30E（X）＝9060元，設7月、8月每天因空氣質量造成的經濟損失為Y元，可得：，，，E（Y）＝02201480320（元），所以該企業7月、8月這兩個月因空氣質量造成經濟損失總額的數學期望為320×（31+31）＝19840（元），由19840+9060＝28900＞28800，即7月、8月、9月這三個月因空氣質量造成經濟損失總額的數學期望會超過2.88萬元.【點睛】本題考查概率中的分布列以及數學期望，屬基礎題。20．（1）；（2）.【解析】

（1）建立空間坐標系，通過求向量與向量的夾角，轉化為異面直線與直線所成的角的大小；（2）先求出面的一個法向量，再用點到面的距離公式算出即可．【詳解】以為原點，所在直線分別為軸建系，設所以,,所以異面直線與直線所成的角的余弦值為，異面直線與直線所成的角的大小為．（2）因為，，設是面的一個法向量，所以有即，令，，故，又，所以點到平面的距離為