PAGEPAGE5第六節空間向量及其運算和空間位置關系2024考綱考題考情1．空間向量及其有關概念(1)空間向量的有關概念①空間向量：在空間中，具有大小和方向的量叫做空間向量。②相等向量：方向相同且模相等的向量。③共線向量：表示空間向量的有向線段所在的直線相互平行或重合的向量。④共面對量：平行于同一個平面的向量。(2)空間向量中的有關定理①共線向量定理：對空間隨意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b?存在唯一一個λ∈R，使a＝λb。②共面對量定理：若兩個向量a、b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb。③空間向量基本定理：假如三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc。2．兩個向量的數量積(1)非零向量a，b的數量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉。(2)空間向量數量積的運算律①結合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③安排律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c。3．空間向量的坐標表示及其應用設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，向量表示坐標表示數量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb(b≠0)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))4.向量法證明平行與垂直(1)兩個重要向量①直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行(或重合)的非零向量，一條直線的方向向量有多數個。②平面的法向量直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個向量叫做平面α的法向量。明顯一個平面的法向量有多數個，它們是共線向量。(2)空間位置關系的向量表示位置關系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?m·n＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α、β的法向量分別為n、mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝01．向量三點共線定理在平面中A，B，C三點共線的充要條件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內隨意一點。2．向量四點共面定理在空間中P，A，B，C四點共面的充要條件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間中隨意一點。一、走進教材1．(選修2－1P97A組T2改編)如圖，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AC與BD的交點為點M，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則下列向量中與eq\o(C1M,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－cD．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c解析eq\o(C1M,\s\up6(→))＝eq\o(C1C,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c。故選C。答案C2.(選修2－1P111練習T3改編)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線ON，AM的位置關系是________。解析以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設DA＝2，則A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，1,2)，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝(－2，0,1)，eq\o(ON,\s\up6(→))＝(1,0,2)，eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝－2＋0＋2＝0，所以AM⊥ON。答案垂直二、走出誤區微提示：①忽視向量共線與共面的區分；②運用數量積公式出錯。3．在空間直角坐標系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，則直線AB與CD的位置關系是()A．垂直 B．平行C．異面 D．相交但不垂直解析由題意得，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－3,3)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝－3eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，又AB與CD沒有公共點，所以AB∥CD。答案B4．O為空間中隨意一點，A，B，C三點不共線，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋teq\o(OC,\s\up6(→))，若P，A，B，C四點共面，則實數t＝________。解析因為P，A，B，C四點共面，所以eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋t＝1，所以t＝eq\f(1,8)。答案eq\f(1,8)5．正四面體ABCD的棱長為2，E，F分別為BC，AD的中點，則EF的長為________。解析|eq\o(EF,\s\up6(→))|2＝eq\o(EF,\s\up6(→))2＝(eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))2＝eq\o(EC,\s\up6(→))2＋eq\o(CD,\s\up6(→))2＋eq\o(DF,\s\up6(→))2＋2(eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→)))＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，所以|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，所以EF的長為eq\r(2)。答案eq\r(2)考點一空間向量的線性運算【例1】如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))。解(1)因為P是C1D1的中點，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b。(2)因為N是BC的中點，所以eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c。(3)因為M是AA1的中點，所以eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，又eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a，所以eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c。進行向量的線性運算，有以下幾個關鍵點1．結合圖形，明確圖形中各線段的幾何關系。2．正確運用向量加法、減法與數乘運算的幾何意義。3．平面對量的三角形法則、平行四邊形法則在空間中仍舊成立。【變式訓練】如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點。(1)化簡：eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝________。(2)用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示eq\o(OC1,\s\up6(→))，則eq\o(OC1,\s\up6(→))＝________。解析(1)eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))。(2)因為eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，所以eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))。答案(1)eq\o(A1A,\s\up6(→))(2)eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))考點二共線、共面對量定理的應用【例2】如圖所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，點M，N分別在AC1和BC上，且滿意eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)。(1)向量eq\o(MN,\s\up6(→))是否與向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面？(2)直線MN是否與平面ABB1A1平行？解(1)因為eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋keq\o(BC,\s\up6(→))＝k(eq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝k(eq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝keq\o(B1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－k(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－k)eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(AA1,\s\up6(→))，所以由共面對量定理知向量eq\o(MN,\s\up6(→))與向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面。(2)當k＝0時，點M、A重合，點N、B重合，MN在平面ABB1A1內，當0＜k≤1時，MN不在平面ABB1A1內，又由(1)知eq\o(MN,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AA1,\s\up6(→))共面，所以MN∥平面ABB1A1。三點P，A，B共線空間四點M，P，A，B共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))【變式訓練】如圖在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四邊形，E，F，G分別是A1D1，D1D，D1C1的中點。(1)試用向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示eq\o(AG,\s\up6(→))；(2)用向量方法證明平面EFG∥平面AB1C。解設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，(1)由圖得eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1G,\s\up6(→))＝c＋b＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b＋c＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))。(2)證明：由題圖得：eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(EG,\s\up6(→))＝eq\o(ED1,\s\up6(→))＋eq\o(D1G,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)a＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，因為eq\o(EG,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))無公共點。所以EG∥AC，又因為AC?平面AB1C，EG?平面AB1C，所以EG∥平面AB1C。又因為eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＝a＋c，eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(FD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1G,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋eq\f(1,2)a＝eq\f(1,2)eq\o(AB1,\s\up6(→))，因為eq\o(FG,\s\up6(→))與eq\o(AB1,\s\up6(→))無公共點，所以FG∥AB1，又因為AB1?平面AB1C，FG?平面AB1C，所以FG∥平面AB1C，又因為FG∩EG＝G，所以平面EFG∥平面AB1C。考點三利用空間向量證明平行或垂直【例3】如圖所示，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分別為AB，AD，AC的中點，AC＝BC，∠ACD＝90°。(1)求證：AB⊥平面EDC；(2)若P為FG上任一點，證明：EP∥平面BCD。證明(1)設eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，eq\o(CB,\s\up6(→))＝c，則〈a，b〉＝〈b，c〉＝90°，所以a·b＝b·c＝0。依據向量的線性運算，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝c－a。由E是AB的中點，得eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋c)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝(c－a)·eq\f(1,2)(a＋c)＝eq\f(1,2)(c2－a2)＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(c－a)·b＝c·b－a·b＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(CE,\s\up6(→))，即AB⊥CE，eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→))，即AB⊥CD。又CE∩CD＝C，所以AB⊥平面EDC。(2)連接EF，EG，因為E，F，G分別為AB，AD，AC的中點，所以GE∥CB，GE＝eq\f(1,2)CB，GF∥CD，GF＝eq\f(1,2)CD，則eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c，eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b。由P為FG上任一點，設eq\o(GP,\s\up6(→))＝λeq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)λb，所以eq\o(EP,\s\up6(→))＝eq\o(GP,\s\up6(→))－eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)λb－eq\f(1,2)c＝eq\f(1,2)λeq\o(CD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))。又eq\o(CD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))不共線，依據向量共面的充要條件可知eq\o(EP,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))共面。因為EP?平面BCD，所以EP∥平面BCD。1．選取空間不共面的三個向量為基底，用基底表示已知條件和所需解決問題的過程就是將幾何問題轉化為向量問題的過程。2．通過計算向量的數量積為0，可證明垂直問題。3．要證線面平行，證明該直線的方向向量可以用平面內的兩個不共線的向量線性表示。【變式訓練】在底面是矩形的四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，點E，F分別是PB，PD的中點，PA＝AB＝1，BC＝2。(1)求證：EF∥平面ABCD。(2)求證：平面PAD⊥平面PDC。證明(1)以點A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)。點E，F分別是PB，PD的中點，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))。eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1，0))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1,2,0)，eq\o(FE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，即EF∥BD。又BD?平面ABCD，EF?平面ABCD，所以EF∥平面ABCD。(2)由(1)可知eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1,0，－1)，eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0,2，－1)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1,0,0)，因為eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(DC,\s\up6(→))，即AP⊥DC，AD⊥DC。又AP∩AD＝A，所以DC⊥平面PAD。因為DC?平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(老師備用題))(協作例3運用)如圖①所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE＝2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如圖②所示。(1)求證：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的大小；(3)線段BC上是否存在一點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由。解(1)因為AC⊥BC，DE∥BC，所以DE⊥AC，所以DE⊥A1