PAGE6-第三節隨機事務的概率、古典概型與幾何概型[考綱傳真]1.了解隨機事務發生的不確定性和頻率的穩定性，了解概率的意義及頻率與概率的區分.2.了解兩個互斥事務的概率加法公式.3.理解古典概型及其概率計算公式.4.會計算一些隨機事務所包含的基本領件數及事務發生的概率.5.了解隨機數的意義，能運用隨機模擬的方法估計概率.6.了解幾何概型的意義．1．頻率與概率的關系在相同的條件下，大量重復進行同一試驗時，隨機事務A發生的頻率fn(A)＝eq\f(nA,n)會在某個常數旁邊搖擺，則把這個常數記作P(A)，稱為事務A的概率，簡稱為A的概率．2．事務的關系與運算名稱定義符號表示包含關系假如事務A發生，則事務B肯定發生，這時稱事務B包含事務A(或稱事務A包含于事務B)B?A(或A?B)相等事務若B?A，且A?B，則稱事務A與事務B相等A＝B并(和)事務若某事務發生當且僅當事務A或事務B發生，則稱此事務為事務A與事務B的并事務(或和事務)A∪B(或A＋B)交(積)事務若某事務發生當且僅當事務A發生且事務B發生，則稱此事務為事務A與事務B的交事務(或積事務)A∩B(或AB)互斥事務若A∩B為不行能事務，則稱事務A與事務B互斥A∩B＝?對立事務若A∩B為不行能事務，A∪B為必定事務，那么稱事務A與事務B互為對立事務A∩B＝?且A∪B＝U(U為全集)3.概率的基本性質(1)任何事務A的概率都在[0,1]內，即0≤P(A)≤1，不行能事務?的概率為0，必定事務Ω的概率為1.(2)假如事務A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(3)事務A與它的對立事務eq\x\to(A)的概率滿意P(A)＋P(eq\x\to(A))＝1.4．古典概型與幾何概型名稱古典概型幾何概型相同點基本領件發生的可能性相等不同點基本領件有有限個基本領件有無限個計算公式P(A)＝eq\f(\o(\a\al(A包含的基本,事務的個數)),\o(\a\al(基本領件,的總數)))P(A)＝eq\f(\o(\a\al(構成事務A的區域,長度面積或體積)),\o(\a\al(試驗的全部結果所構成的,區域長度面積或體積))).[常用結論]假如事務A1，A2，…，An兩兩互斥，則稱這n個事務互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．[基礎自測]1．(思索辨析)推斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)隨機模擬方法是以事務發生的頻率估計概率．()(2)在大量的重復試驗中，概率是頻率的穩定值．()(3)對立事務肯定是互斥事務，互斥事務不肯定是對立事務．()(4)概率為0的事務肯定為不行能事務．()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×2．某射手在同一條件下進行射擊，結果如下：射擊次數102050100200500擊中靶心次數8194492178455這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是()A．0.80B．0.85C．0.90D．0.99C[由題意，該射手擊中靶心的頻率大約在0.9旁邊上下波動，故其概率約為0.90.故選C.]3．(教材改編)投擲兩枚勻稱的硬幣，則兩枚硬幣均正面朝上的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,4)A[P＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，故選A.]4．(教材改編)有四個嬉戲盤，將它們水平放穩后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的嬉戲盤是()A[P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(2,8)，P(C)＝eq\f(2,6)，P(D)＝eq\f(1,3)，∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．]5．對飛機連續射擊兩次，每次放射一枚炮彈，設A＝{兩次都擊中飛機}，B＝{兩次都沒擊中飛機}，C＝{恰有一次擊中飛機}，D＝{至少有一次擊中飛機}，其中彼此互斥的事務是________，互為對立事務的是________．A與B，A與C，B與C，B與DB與D[設I為對飛機連續射擊兩次所發生的全部狀況，因為A∩B＝?，A∩C＝?，B∩C＝?，B∩D＝?，故A與B，A與C，B與C，B與D為互斥事務．而B∩D＝?，B∪D＝I，故B與D互為對立事務．]隨機事務的頻率與概率【例1】(2024·全國卷Ⅲ)某超市安排按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．依據往年銷售閱歷，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關．假如最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；假如最高氣溫位于區間[20,25)，需求量為300瓶；假如最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購安排，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數216362574以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率．(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的全部可能值，并估計Y大于零的概率．[解](1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25，由表格數據知，最高氣溫低于25的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900；若最高氣溫位于區間[20,25)，則Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.所以，Y的全部可能值為900,300，－100.Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20，由表格數據知，最高氣溫不低于20的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估計值為0.8.[規律方法]1.概率與頻率的關系,概率是常數，是頻率的穩定值，頻率是變量，是概率的近似值.有時也用頻率來作為隨機事務概率的估計值.2.隨機事務概率的求法,利用概率的統計定義求事務的概率，即通過大量的重復試驗，事務發生的頻率會漸漸趨近于某一個常數，這個常數就是概率.易錯警示：概率的定義是求一個事務概率的基本方法.(2024·鄭州模擬)某商店安排每天購進某商品若干件，商店每銷售一件該商品可獲得利潤50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件退回商品虧損10元；若供不應求，則從外部調劑，此時每件調劑商品可獲得利潤30元．(1)若商店一天購進該商品10件，求當天的利潤y(單位：元)關于當天的需求量n(單位：件，n∈N*)的函數解析式；(2)商店記錄了50天該商品的日需求量n(單位：件)，整理得下表：日需求量n/件89101112頻數91115105(ⅰ)假設商店在這50天內每天購進10件該商品，求這50天的日利潤的平均數；(ⅱ)若商店一天購進10件該商品，以50天記錄的各日需求量的頻率作為各日需求量的概率，求當天的利潤大于500元的概率．[解](1)當日需求量n≥10時，利潤y＝50×10＋(n－10)×30＝30n＋200；當日需求量n＜10時，利潤y＝50×n－(10－n)×10＝60n－100.所以日利潤y關于日需求量n的函數解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(30n＋200n≥10，n∈N*，,60n－100n＜10，n∈N*.))(2)(ⅰ)由(1)及表格可知，這50天中有9天的日利潤為380元，有11天的日利潤為440元，有15天的日利潤為500元，有10天的日利潤為530元，有5天的日利潤為560元，所以這50天的日利潤的平均數為eq\f(1,50)×(380×9＋440×11＋500×15＋530×10＋560×5)＝477.2(元)．(ⅱ)若當天的利潤大于500元，則日需求量大于10件，則當天的利潤大于500元的概率P＝eq\f(10＋5,50)＝eq\f(3,10).古典概型【例2】(1)(2024·全國卷Ⅱ)我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的探討中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如30＝7＋23.在不超過30的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于30的概率是()A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,14)C.eq\f(1,15) D.eq\f(1,18)(2)(2024·全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數大于其次張卡片上的數的概率為()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)(1)C(2)D[(1)不超過30的素數有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10個，從中隨機選取兩個不同的數有Ceq\o\al(2,10)種不同的取法，這10個數中兩個不同的數的和等于30的有3對，所以所求概率P＝eq\f(3,C\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)，故選C.(2)從5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張的狀況如圖：基本領件總數為25，第一張卡片上的數大于其次張卡片上的數的事務數為10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故選D.][規律方法]1.計算古典概型事務的概率可分三步：1計算基本領件總個數n；2計算事務A所包含的基本領件的個數m；3代入公式求出概率P.2.1用列舉法寫出全部基本領件時，可借助“樹狀圖”列舉，以便做到不重、不漏.2利用排列、組合計算基本領件時，肯定要分清是否有序，并重視兩個計數原理的敏捷應用.(1)(2024·武漢模擬)將7個相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個不同的小盒中，每個小盒中至少有1個小球，那么甲盒中恰好有3個小球的概率為()A.eq\f(3,10) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,20) D.eq\f(1,4)(2)(2024·石家莊一模)用1,2,3,4,5組成無重復數字的五位數，若用a1，a2，a3，a4，a5分別表示五位數的萬位、千位、百位、十位、個位，則出現a1＜a2＜a3＞a4＞a5特征的五位數的概率為________．(1)C(2)eq\f(1,20)[(1)將7個相同的小球投入甲、乙、丙、丁4個不同的小盒中，每個小盒中至少有1個小球有Ceq\o\al(3,6)種放法，甲盒中恰好有3個小球有Ceq\o\al(2,3)種放法，結合古典概型的概率計算公式得所求概率為eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,20).故選C.(2)1,2,3,4,5可組成Aeq\o\al(5,5)＝120個不同的五位數，其中滿意題目條件的五位數中，最大的5必需排在中間，左、右各兩個數字只要選出，則排列位置就隨之而定，滿意條件的五位數有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝6個，故出現a1＜a2＜a3＞a4＞a5特征的五位數的概率為eq\f(6,120)＝eq\f(1,20).]幾何概型【例3】(1)(2024·全國卷Ⅰ)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發車，小明在7：50至8：30之間到達發車站乘坐班車，且到達發車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)(2)(2024·合肥二模)小李從網上購買了一件商品，快遞員安排在下午5：00到6：00之間送貨上門，已知小李下班到家的時間在下午5：30到6：00之間．快遞員到小李家時，假如小李未到家，則快遞員會電話聯系小李．若小李能在10分鐘之內到家，則快遞員等小李回來；否則，就將商品存放在快遞柜中．則小李須要去快遞柜領取商品的概率為()A.eq\f(1,9) B.eq\f(8,9)C.eq\f(5,12) D.eq\f(7,12)(3)已知在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，現在該四棱錐內部或表面任取一點O，則四棱錐O-ABCD的體積不小于eq\f(2,3)的概率為________．(1)B(2)D(3)eq\f(27,64)[(1)這是幾何概型問題，總的基本領件空間如圖所示，共40分鐘，等車時間不超過10分鐘的時間段為：7：50至8：00和8：20至8：30，共20分鐘，故他等車時間不超過10分鐘的概率為eq\f(20,40)＝eq\f(1,2)，故選B.(2)如圖，設快遞員和小李分別在下午5點后過了x分鐘和y分鐘到小李家，則全部結果構成的區域為{(x，y)|0≤x≤60,30≤y≤60}，這是一個矩形區域，y－x＞10表示小李比快遞員晚到超過10分鐘，事務M表示小李須要去快遞柜領取商品，其所構成的區域是如圖所示的直角梯形ABCD的內部區域及邊界(不包含AB)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝60，,y＝x＋10，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝50，,y＝60，))即A(50,60)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝30，,y＝x＋10，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝30，))即B(20,30)，所以由幾何概型的概率計算公式可知P(M)＝eq\f(\f(1,2)×50＋20×30,60×30)＝eq\f(7,12)，故選D.(3)當四棱錐O-ABCD的體積為eq\f(2,3)時，設O到平面ABCD的距離為h，則eq\f(1,3)×22×h＝eq\f(2,3)，解得h＝eq\f(1,2).如圖所示，在四棱錐P-ABCD內作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH與底面ABCD的距離為eq\f(1,2).因為PA⊥底面ABCD，且PA＝2，所以eq\f(PH,PA)＝eq\f(3,4)，所以四棱錐O-ABCD的體積不小于eq\f(2,3)的概率P＝eq\f(V四棱錐P-EFGH,V四棱錐P-ABCD)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PH,PA)))3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＝eq\f(27,64).][規律方法]解答幾何概型試題要擅長依據題目特點找尋基本領件所在線、面、體，找尋隨機事務所在的線、面、體，把幾何概型的計算轉化為相應的長度、面積和體積的比值的計算.1在線段上取點，則點在線段上等可能出現；在角內作射線，則射線在角內的分布等可能.2兩個變量在某個范圍內取值，對應的“區域”是面積.(1)隨機地取兩個實數x和y，使得x∈[－1,1]，y∈[0,1]，則滿意y≥x2的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(3,4)(2)如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內部任作一條射線CM，與AB交于點M，則AM＜AC的概率為________．(1)B(2)eq\f(3,4)[(1)滿意x∈[－1,1]，y∈[0,1]的區域為矩形區域(包括邊界)(圖略)，面積為2，滿意y≥x2的區域的面積S＝eq\i\in(,1,)－1(1－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)x3))eq\o\al(1,－1)＝eq\f(4,3)，故所求概率P＝eq\f(\f(4,3),2)＝eq\f(2,3).故選B.(2)在AB上取AC′＝AC(圖略)，則∠ACC′＝eq\f(180°－45°,2)＝67.5°，記A＝{在∠ACB內部任作一射線CM與線段AB交于點M，AM＜AC}，則全部可能結果的區域為∠ACB，事務A構成的區域為∠ACC′.又∠ACB＝90°，∠ACC′＝67.5°，∴P(A)＝eq\f(67.5°,90°)＝eq\f(3,4).]1．(2024·全國卷Ⅰ)如圖來自古希臘數學家希波克拉底所探討的幾何圖形．此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則()A．p1＝p2 B．p1＝p3C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3A[設直角三角形ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則區域Ⅰ的面積即△ABC的面積，為S1＝eq\f(1,2)bc，區域Ⅱ的面積S2＝eq\f(1,2)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))2＋eq\f(1,2)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))2－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2,2)－\f(1,2)bc))＝eq\f(1,8)π(c2＋b2－a2)＋eq\f(1,2)bc＝eq\f(1,2)bc，所以S1＝S2，由幾何概型的學問知p1＝p2，故選A.]2．(2024·全國卷Ⅰ)如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱．在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是()A