函數值域的求法8大題型

函數的值域是函數概念中三要素之一,是高考中的必考內容，具有較強的綜合性，貫穿整個高中數學

的始終。在高考試卷中的形式千變萬化，但萬變不離其宗，真正實現了常考常新的考試要求,考生在

復習過程中首先要掌握一些簡單函數的值域求解的基本方法，其次要多看多練在其他板塊中涉及值

域類型的內容。

一、求函數值域的常見方法

L直接法:對于簡單函數的值域問題，可通過基本初等函數的圖象、性質直接求解；

2.逐層法:求力（力…九（⑼）型復合函數的值域，利用一些基本初等函數的值域，從內向外逐層求函數的

值域；

3.配方法:配方法是二次型函數值域的基本方法,即形如“9=近+c（a￥0）”或“y=a"3）『+by

Q）+c（a￥0）”的函數均可用配方法求值域；

4.換元法:利用換元法將函數轉化為易求值域的函數,常用的換元有

⑴片—或呼格r的結構,可用換元;

⑵y=ax+b±Vcx~+d（a,b,c,d均為常數，aW0,cW0）,可用uVcx-\-d=力”換元；

⑶"=bx±Ja2—1型的函數,可用,=acosW。e[0,兀]）"或,=asind（。e[―專晝]）”換元；

5.分離常數法：形如沙=皎書（加￥0）的函數，應用分離常數法求值域，即沙=幺芝）=2+

cx+dcx+dc

瓶一嗎，然后求值域;

c2T

6.基本不等式法:形如v=g+。（而>0）的函數，可用基本不等式法求值域,利用基本不等式法求函

數的值域時，要注意條件“一正、二定、三相等"，即利用a+b>2Vab求函數的值域（或最值）時，應滿

足三個條件:①a>0,b>0；②a+b（或而）為定值;③取等號的條件為a=b,三個條件缺一不可；

7.函數單調性法:確定函數在定義域上的單調性，根據函數單調性求出函數值域（或最值）

（1）形如片姐+b—V^+d^ac<0）的函數可用函數單調性求值域；

（2）形如夕=a宓+。的函數，當而>0時,若利用基本不等式等號不能成立時，可考慮利用對勾函數

求解；

當而<0時，9=ac+。在（—8,0）和（o,+8）上為單調函數，可直接利用單調性求解。

8.函數的有界性法：形如沙=土（或"=）丁"）（其中a,b,c不為0）的函數求值域或最值,

C十DS1H3/C-I-OCOSX

可用"表不出sinrr（或COST）,再根據一1WsineW1且sine￥一/（或一1WcoseW1且cosx手

―年）,列出關于y的取值范圍.

類似地，有:①/=/（以則/⑻>0；②就=%（4）,則九（a）>0；③sin*=g3）,則一14g（y）W1

9.判別式法：形如期=022,+于+。2（aQ#0）或夕=Ac+Bjaa^+bx+c（4Ba豐0）的函數求值域,

電1~+b］X+Ci

可將函數轉化為關于x的方程F3y）=0，利用二次項系數不為0,判別式△>0或二次項系數為0,

一次方程有解得出函數的值域。

10.導數法:對可導函數/（c）求導，令/'3）=0,求出極值點，判斷函數單調性；

如果定義域是閉區間，則函數最值一定取在極值點處或區間端點處；

如果定義域是開區間且函數存在最值，則函數最值一定取在極值點處。

二、根據最值條件求解參數范圍解題思路

已知函數的最值求參數范圍時,要視參數為已知數,結合函數值域（或最值）的求法,得到函數的最值

（含有參數），再與給出的函數最值作比較，求出參數范圍。

題型1單調性法求函數值域或最值

題型5逐層法求函數值域或最值

題型2配方法求函數值域或最值

題型6導數法求函數值域或最值

題型3分離常數法求函數值域或最值

題型7已知函數的最值求參數

題型4判別式法求函數值域或最值

【題型1單調性法求函數值域或最值】

【例1】（2022秋?陜西西安?高三校考期中）函數/㈤=*—2”在區間［1,2］上的最小值是（）

A.——B.C.1D.-1

【變式1一1】（2022我?北京?南三北京市第一六一中學校考期中）已知函數/（⑼=e國+⑶，則/（①）的值域

是.

【變式1一2］（2022春?浙江舟山?高三校考開學考試）已知xe（0,專），則函數y=cose+）

高考加油

A.有最小值4B.有最大值4C.無最小值D.有最大值+8

【變式1一3](2022?全國?高三專題練習)函數/(⑼=Inc+ln(2-0的最大值為.

【變式1一4](2022秋?江蘇蘇州?高三校賽考階段練習)已知函數/㈤=陪邙是A上的偶函數

(1)求實數小的值，判斷函數/(2)在[o,+8)上的單調性；

(2)求函數/3)在[-3,2]上的最大值和最小值.

【變式1一5](2022秋?黑龍江牡丹江通三校考階段練習)已知函數/(⑼=6?底(a>0,且aWl)的圖象經

過點4(1,4),8(3,16).

(1)求函數/3)的解析式；

(2)設函數g(a;)=/(/)—/(—/)2),求函數gQ)的值域

【題型2配方法求函數值域或最值】

【例2】（2022秋?江西鷹潭?高三貴溪市實收中學階段練習）函數y=J—±2+4c—4的值域是.

【變式2—11（2023?全國?高三專題練習）若函數/（2二=4-2+1，則函數gQ）=于（工）—4名的最小

'3/x力

值為（）

A.—1B.—2C.—3D.—4

【變式2—2］（2022?全國?南三專題練習）函數/（力=2+2?^的最大值為.

［變式2—3］（2022秋?廣東深圳?高三深圳中學校考階技練習）已知函數/（宓）=sine+COST+2siniccosrz:

+2,則/①）的最大值為（）.

A.3+V2B.3-V2C.2+V2D.2-V2

【變式2—4］（2022秋?北京遇三校考階段練習）函數/Q）=sinre—cos2rc是（）

A.奇函數，且最小值為-2B.偶函數，且最小值為-2

C.非奇非偶函數，且最小值為一卷D.非奇非偶函數，且最大值為言

OO

【變式2—5］（2022?全國?高三明一練習）已知函數/（必）=4一l）（2'+］（）+a*+b）,對任意非零實數

%均滿足/㈤。.則/（—I）的值為；函數/（①）的最小值為

【題型3分離常數法求函數值域或最值】

【例3】（2022秋?河南鄭州?高三校考階段練習）函數夕=的值域是（）

A.（—8,0］U［4,+8）B.（—8,0］U［2,+8）C.［0,4］D.［0,2］

21

【變式3—1］（2022秋?上海徐匯?高三上海市南洋模他中學校考階段練習）函數f（x）=°的值域

為.

【變式3—2］（2022秋?天津濱海新?高三天津市濱海新區塘沽第一中學校考階段練習）已知xe（0,3），則"

=2c―4+；的最小值，此時x=

［變式3—3］（2022秋?湖北?高三校聯考階段練習）已知14尤44,則函數“0=3,"r予-r的值域

為.

【變式3一4］（2023?全國?南三專題練習）已知函數/Q）=2x+k-2f.

（1）若/（⑼在（1,+8）是增函數，求實數卜的取值范圍；

（2）若/（2）+1Vk?2,在［2,+8）上恒成立,求實數k的取值范圍.

【題型4判別式法求函數值域或最值】

【例4】（2022秋?新江寧波?南一鎮海中學校考期中）函數/（⑼=f：缶-1的值域是.

【變式4一1］（2022?全國?高三專題練習）若函數/（⑼=&；*：3的最大值為好最小值為b,則a+b=

（）

A.4B.6C.7D.8

【變式4一2］（2023?全國?高三專題練習）函數/㈤=X\~X~\的最大值與最小值的和是（）

X+x+1

429

A.-B.-C.1D.——

【變式4一3】（2022?全國通三專題練習）函數夕=誓"號射的值域為

1+sm/

【變式4一4］（2021?全■國事三專題練習）求函數y=^x2-2x+5+/d—4c+13的最小值.

【題型5逐層法求函數值域或最值】

【例5】（2022秋?江西宜春?南三江西省豐城中學校考階段練習）已知幕函數/（/）=/。的圖象過點（9,3）,貝|

函數夕=上42在區間口⑼上的值域為（）

/w+1

A.[—1,0]B.[―C.[0,2]D.[―|-,1]

【變式5—。（2022春?江蘇南京?高三統考開學考試）已知函數/（/）=sin（%+~1~）+sin。^一力）應（力）=

/（/（乃），則gQ）的最大值為（）

A.V2B.V3C.-yD.2

[變式5—2]（2021機安徽六安?金奈縣青山中學南三開學考）函數/⑻=4-2x2"—3,/e[0,2]的最小

值是.

【變式5-3]（2020秋?吉林白城?高三校考階段練習）已知函數/（田）=支蕓青壯，①e[—1,1],則函數

4十/十J.

/（T）的值域為.

【題型6導數法求函數值域或最值】

【例6】（2022?陜西寶鳴?統考一模）函數夕=ln（x[2,4]的值域是.

【變式6一1]（2022秋?江蘇?高三校聯考階段練習）函數/㈤=|3x-l|-31no：的最小值為

【變式6一2]（2022秋?安徽安慶?高三安慶一中統考階段練習）已知函數/Q）,則/Q）在

x（2—1）

[―2,0）U（0,1]上的值域為（）

A.（―8,—亮]U[3,+8）B.

C[―|",。）U（0,3]D.[~|",+8）

【變式6—3]（2016?遼寧沈陽?東北方才學校校考三模）已知函數/（⑼=eSin，+cosH—5sin2MceA）,則函數

f（x）的最大值與最小值的差是.

【題型7已知函數的最值求參數】

【例7】（2022?浙江杭州?模擬預演1）/3）=[儂：1詢''①41的最小值是—1,則實數a的取值范圍是

[ax—x+1—a,x>l

（）

A.[^^,+8）B.（-8,^^]C,[1-^-y]D.[：,+8）

高考加油

【變式7-0（2023秋?廣東茂名?南三統考階段練習）設函數=1）%I>。若/（.）存在最小

值，則a的取值范圍為（）

A.[-V2,V2]B.[0,V2]

C.[-V2.V2]U（2,+8）D.[0,V2]U（2,+^）

【變式7—2]（2022秋?新瞪鳥<■木齊?高三鳥市八中校考階段練習）若函數/（c）=專1皆在區間[0,1]上

的最大值為3,則實數巾=.

【變式7—3]（2022秋?江西?高三九江一中校聯考階段練習）已知函數/㈤=\ax2+x+l\,且

/（⑼的最大值為a+2,則a的取值范圍是（）

A.[―1,—B.[―1,--C.[-2,―D.[-1,--

[變式7—4]（2022?內蒙古赤峰?赤三赤峰二中校考階段練習）已知函數4=/（/）是定義域為R的奇函數,

且當±<0時，于（x）=/+著+1.若函數4=/（c）在[1,+8）上的最小值為3,則實數a的值為（

）

A.1B.2C.3D.4

【變式7一5]（2022秋?上海楊浦?高三復旦附中校考階段練習）已知a>0,函數/（必）=Jax—■+

S—/的最大值為四，則實數a的值為.

限時檢測

（建議用時：60分鐘）

L（2023?全國?高三壽題練習）函數=石"的值域是（）

A.（-00,-1）U（l,+oo）B.（—00,2）

C.（一°°,2）U（2,+°°）D.[—1,+°°）

2.（2019秋?黑龍江嗚西?揖三嗚西實會中學校考階段練習）函數g=上―3|—4（1</<4）的值域為（）

A.[—4,—2]B.[—4,—3]C.[—3,4]D.[—3,—2]

3.（2022?全國?高三專題練習）函數/（c）=/sin/T（必（[0,2村）的最小值是（）

V3—2cos力—2sinre

A.—B.-1C.--\/2D.-V3

4.（2021秋?黑龍江哈爾濱?南三哈爾濱三中階段練習）已知函數/⑸=瓷]的定義域為[0,+8）,則

函數/（⑼的值域為（）

A.[-2,+oo）B.[―2,：]C.D.[，+8）

5.（2022枚?遼寧錦州?南三校考階段練習）已知函數“=[（1—a）'+14a，'<l°的值域為R,則實數a

[lg/,3>10

的取值范圍是（）

A.（―8,1）B.[―冬+8）C.1-,1）D.（—*1）

nrr+l

6.（2023?全國?高三專題練習）函數/（/）=￡7r的值域為（）

A.（0,1）B.（0,1]C.（0,2）D.（1,2）

7.（2022?全國?南三專題練習）設宓e上用㈤表示不超過x的最大整數，則夕=[切稱為高斯函數，例

如：[-2.1]=—3,[3.1]=3,已知函數/（⑼=—y—則函數y=[/H]的值域是（）

1+xJ

A.{0,1}B.{-1,1}C.{-1,0}D.{-1,0,1}

8.（2021次?河南?高三校聯考階段練習）函數y=x—的值域為（）

A.（—8,—2021]B.（-00,2021]C.[0,+^）D.[3,+°0）

9.（2022款?上海浦東新?高三上海市實驗學校階段練習）函數V=比—5在[1,2]上的值域為.

10.（2022機北京?高三統考階段練習）函數/㈤=lg（Vl^+l）的值域為.

11.（2022?全國?高