專題01勾股定理（六大題型）

題型歸納________________________________________

【題型1:用勾股定理解三角形】

【題型2：已知兩點坐標求兩點距離】

【題型3：以直角三角形三邊為邊長的圖形面積】

【題型4：勾股定理的證明】

【題型5：勾股定理與無理數】

【題型6：勾股數】

流題型專練

【題型1:用勾股定理解三角形】

（24-25八年級上?福建寧德?期末）

1.如圖，在中，ZC=90°,下列數量關系正確的是（）

C.a2-b2=c2D.c2+b2=a2

（24-25八年級上?重慶?期末）

2.若直角三角形的兩直角邊長分別為〃?，"，且滿足J（加-3）2+|”4|=0,則該直

角三角形的第三邊長為（）

A.3B.4C.V7D.5

（24-25八年級上?江蘇無錫?期末）

3.如果直角三角形的兩條邊長分別為2和3,那么它的第三條邊長為（）

A.4B.V5C.V13D.6或加

（24-25八年級上?河南洛陽?期末）

試卷第1頁，共14頁

4.已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為3和4,則斜邊上的高為（）

A.5B.1.2C.3.6D.2.4

（24-25八年級上?重慶黔江?期末）

5.如圖，NACB=9。。，AC=BC,于0,BE1CD,AD=3cm,

（24-25八年級上?重慶?期末）

6.如圖，在RtZUBC中，ZACB=90°,AB=46cm,AC=6cm,點尸在線段BC上,

當/尸=2P時，4尸的長度為cm.

（24-25八年級上?浙江寧波?期末）

7.如圖，在△NBC中，NACB=90。,AC=8,BC=6,8。為A/BC的角平分線,

則A4BD的面積為.

【題型2：已知兩點坐標求兩點距離】

（24-25九年級上?四川廣安?期末）

8.在平面直角坐標系中，點尸（-4,3）到坐標原點。的距離是.

（24-25八年級上?上海?期末）

9.已知直角坐標平面內三點”（TO）和*1,0）,C（0,V3）,那么ZU8C是

試卷第2頁，共14頁

三角形.

（2024八年級上?上海?專題練習）

10.已知直角坐標平面上點尸（4,2）和。那么尸。=一

（24-25八年級上?遼寧沈陽?階段練習）

11.在“勾股定理”一章的學習中，我們體會到了勾股定理應用的廣泛性，以及“數

形結合”是解決數學問題的一種重要的思想方法.

【已有認識】由于血="”由此得到在數軸上尋找血所表示的點的方法，如圖

1.

（1）【已有認識】結合正方形網格，我們還可以表示某些長度為無理數的線段.

【拓展運用】請在圖2正方形網格（每個小正方形的邊長為1）內，

①畫出頂點在格點的MBC,其中NC=收=20AB=V10,

②直接寫出A/BC的面積=，點C到邊的距離為.

（2）【拓展運用】①在圖3中，設，（再,用潭（和兆）,/C||y軸,軸，ACLBC

于點C,則ZC=BC=,由此得到平面直角坐標系內任

意兩點間的距離公式，N8=-工2,+（%%y

試卷第3頁，共14頁

②圖4中，平面直角坐標系中有兩點河(-3,4)川(-5,1)］為工軸上任一點，則

PM+PN的最小值為；

③應用平面內兩點間的距離公式，求代數式J(X+2)2+⑶_1)2-J(x_6)2+3+3)2的

最大值為：.

(24-25八年級上?陜西寶雞?期中)

12.閱讀一段文字，再回答下列問題：已知在平面內兩點4(再必)，P2(x2y2),則

該兩點間距離公式為月鳥=而二7不彳，同時，當兩點在同一坐標軸上或

所在直線平行于x軸、平行于了軸時，兩點間的距離公式可分別化簡成卜-引和

|.匕-閭.

⑴若已知兩點/(3,3),5(-2,-1),試求45兩點間的距離；

(2)已知點N在平行于y軸的同一條直線上，點〃的縱坐標為7,點N的縱

坐標為-2,試求〃，N兩點間的距離.

【題型3：以直角三角形三邊為邊長的圖形面積】

(24-25八年級上?福建福州?期末)

13.如圖，每個四邊形都是正方形，字母A所代表的正方形的邊長為()

題

A.4B.8C.16D.64

(24-25八年級上?河南?期末)

14.如圖，在RtOCB中，NACB=90°,正方形/EDC,8CFG的面積分別為25和

144,則48的長度為()

試卷第4頁，共14頁

F

G

萬----

A.13B.16C.119D.7119

（24-25七年級上?山東淄博?期末）

15.如圖，分別以直角三角形的三邊為邊，向外作三個正方形，E，邑再是分別

以直角三角形的三邊長為直徑的圓的面積.若岳=36耳=64,則邑的值為（）

71兀

（24-25八年級上?云南昆明?期末）

16.如圖，以RtZXZBC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形，若斜邊/8=3,

則圖中陰影部分的面積為（）

99

A.-B.3C.-D.9

42

（24-25八年級上?河南鄭州?期中）

17.如圖，是腰長為1的等腰直角三角形，以它的斜邊么4為直角邊作第

二個等腰直角三角形,再以“44的斜邊/小為直角邊作第三個等腰直角三

角形N44,依次作下去，則△44234必的面積為（）

試卷第5頁，共14頁

B

C.22024D.22025

（24-25八年級上?江蘇宿遷?期中）

18.有一個面積為1的正方形，經過一次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小

正方形（如圖1）,其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經過一次“生

長”后，生出了4個正方形（如圖2）,如果按此規律繼續“生長”下去，它將變得“枝

繁葉茂”；在“生長”了2024次后形成的圖形中所有正方形的面積和是（）

圖1圖2

A.2022B.2023C.2024D.2025

（24-25七年級上?山東濟南?期中）

19.如圖，直線/上有三個正方形，若a,6的面積分別為9和16,則c的面積

為.

【題型4：勾股定理的證明】

（24-25八年級上?全國?期末）

20.如圖1是著名的趙爽弦圖，它是由四個全等的直角三角形拼成，每個直角三

角形的兩直角邊的長分別為。和人斜邊長為a

試卷第6頁，共14頁

A

⑴如圖1請你用它驗證勾股定理.

⑵如圖2四邊形/BCD中4C，8。于點。，AB=6,BC=5,CD=2,請直接寫出

AD=_.

(24-25八年級上?廣東梅州?階段練習)

21.綜合與實踐

勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力.人們對勾股定理的證明趨之若鷲，如

圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定

理.向常春在2010年構造發現了一個新的證法：把兩個全等的直角三角形ZUBC

和ADE/如圖2放置，其三邊長分別為。，b,c,NBAC=NDEA=9。°,顯然

BC1AD.

(1)請用。，b,c分別表示出四邊形/瓦)C,梯形NEDC,的面積，再探究

這三個圖形面積之間的關系，證明勾股定理/+〃=c2.

(2)請利用“雙求法”解決下面的問題：如圖3,小正方形邊長為1,連接小正方形

的三個頂點，可得△N8C,貝以8邊上的高為.

(3)如圖4,在△A8C中，是8C邊上的高，AB=4,AC=5,BC=6,設3Q=x,

求x的值.

(24-25八年級上?廣東佛山?期中)

22.勾股定理是人類最偉大的十個科學發現之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定

理.在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代

試卷第7頁，共14頁

數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”（如圖1）,后人稱之為“趙爽

弦圖”，流傳至今.

ab

b

ab

ba

Si圖2

S?

&

S3

S3

圖5圖6圖7

M

圖8圖9

（1）①如果用a,b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，則（用含

有a,6和c的式子表示三者之間的等量關系）;

②勾股定理的證明，人們已經找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明

方法中任選一種來證明該定理；（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）

（2）①如圖4、5、6,以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、

半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關系滿足岳+邑=邑的有個;

②如圖7所示，分別以直角三角形兩直角邊為直徑作半圓，設圖中兩個月形圖

案（圖中陰影部分）的面積分別為$2,直角三角形面積為號，請判斷

S],$3的關系并證明;

試卷第8頁，共14頁

(3)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊

分別向外作正方形，重復這一過程就可以得到如圖8所示的“勾股樹”.在如圖9

所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設大正方形"的邊長為定值機，四個小正方

形Z,B,C,。的邊長分別為a,b,c,d,已知/l=/2=/3=/a,則當變

化時，回答下列問題：(結果可用含機的式子表示)貝IJ：

(1)a2+b2+c2+d2=.

②6與。的關系為,。與d的關系為.

(24-25八年級上?河南平頂山?期中)

23.同學們學習了勾股定理，課后查閱資料發現有很多方法證明勾股定理.中國

古代最早對勾股定理進行證明的，是東漢末至三國時期吳國數學家趙爽，他用數

形結合形式創制了“趙爽弦圖”：如圖1,由四個全等的直角三角形圍成一個大正

方形，中空的部分是一個小正方形，其中直角三角形的兩直角邊長為。，

(2)探索：某同學提出了一種證明勾股定理的方法：如圖2,點3是正方形/CDE

邊CO上一點，連接得到直角三角形/圓，三邊分別為。，b,c,將△/C5

裁剪拼接至位置，如圖3所示，該同學用圖2、圖3的面積不變證明了勾

股定理.請你寫出該方法證明勾股定理的過程；(提示：連接3尸)

(3)拓展：若圖1中較短的直角邊長為5,將這四個直角三角形中較長的直角邊分

別向外延長一倍，得到圖4所示的“數學風車”，若以N8為邊的正方形面積為61,

則這個風車的外圍周長是.

(24-25七年級上?山東東營?期中)

24.綜合與實踐

【背景介紹】勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力.如圖1是著名的趙爽弦

試卷第9頁，共14頁

圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的

面積有兩種求法，一種是等于片，另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形

的面積之和，即;。6x4+（—。）、從而得到等式。2=*"4+（6”）2,化簡便得結

論/+〃=c2.這里用兩種求法來表示同一個量從而得到等式或方程的方法，我

們稱之為“雙求法

【方法運用】千百年來，人們對勾股定理的證明趨之若鷲，其中有著名的數學家，

也有業余數學愛好者，向常春在2010年構造發現了一個新的證法：把兩個全等

的直角三角形ZUBC和ADEN如圖2放置，其三邊長分別為a,b,c,

ABAC=ZDEA=90°,顯然8C_LAD.

（1）請用a,b,c分別表示出四邊形梯形N￡Z）C,的面積，再探

究這三個圖形面積之間的關系，證明勾股定理/+62=,2.

【方法遷移】（2）請利用“雙求法”解決下面的問題：如圖3,小正方形邊長為2,

連接小正方形的三個頂點，可得直接寫出N8邊上的高為.

（3）如圖4,在△ABC中，AD是8c邊上的高，AB=4,NC=5,BC=6,設

BD=x,求X的值.

【題型5:勾股定理與無理數】

（24-25八年級上?江蘇泰州?期末）

25.如圖，已知正方形的面積為5,點Z在數軸上，且表示的數為-2.現

以點幺為圓心，以/C的長為半徑畫圓，所得圓和數軸交于點￡（E在幺的右

側），則點E表示的數為（）

試卷第10頁，共14頁

飛

\：../B\

\rJI

—"_,__4^_

-3-2-IO1;￡2x

A.710-2B.1.2C.s/io+2D.Vio

（23-24八年級上?福建寧德?階段練習）

26.如圖所示，在數軸上點Z所表示的數為a,則。的值為（）

A.-V5B.-1-75C.1-V5D.-1+V5

（24-25八年級上?陜西西安?期末）

27.如圖，根據圖中的標注和作圖痕跡可知，在數軸上的點/所表示的數為

（）

A.-1-V5B.-1+V5C.-V5D.1-V5

（24-25八年級上?江西撫州?期中）

28.如圖，在平面直角坐標系中，已知點。（。⑼，/（1,3）,以點。為圓心，04長

為半徑畫弧，交x軸的正半軸于8點，則點8的坐標是.

（24-25八年級上?福建福州?期末）

試卷第11頁，共14頁

29.如圖，數軸上點A表示的實數是.

嚶司維＞1鼠H蠢酚"

（24-25八年級上?陜西咸陽?期末）

30.如圖，點。為數軸上的原點，點A在數軸的負半軸上，且點A表示的數為

-2,AB±OA,AB=1,連接。8,請你在數軸的正半軸上畫出點C,使得點C表

示的數為6.（保留畫圖痕跡，不寫畫法）

（24-25七年級上?浙江臺州?期中）

31.教材上有這樣一個合作學習活動：如圖1,依次連結2x2方格四條邊的中點

A,B,C,D,得到一個陰影正方形，設每一小方格的邊長為1,得到陰影正方

（1）發現圖1這個陰影正方形的邊長就是小方格的對角線長，則小方格對角線長是

，由此我們得到一種在數軸上找到無理數的方法；

（2）如圖2,以1個單位長度為邊長畫一個正方形，以數字1所在的點為圓心，正方

形的對角線為半徑畫弧，與數軸交于M,N兩點，則點M表示的數為；

（3）如圖3,3x3網格是由9個邊長為1的小方格組成，畫出面積是5的正方形，使

它的頂點在網格的格點上.

（24-25八年級上?廣東深圳?期中）

32.根據推理提示，回答下列問題:

試卷第12頁，共14頁

的整數部分為1,小數部分為V3-1.

（1）6的整數部分是小數部分是」

（2）如圖所示，在數軸上點幺所表示的實數是

（24-25八年級上?廣東深圳?期中）

33.我國著名數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微.”數形結

合是解決數學問題的重要思想方法.數軸是數形結合的產物，用數軸上的點可以

直觀地表示實數，從而建立起“數”與“形”之間的聯系.

圖1圖2

⑴如圖1,點。是原點，點A對應的實數為-2,過點A作垂直于數軸，且

AB=\,連接以。為圓心，長為半徑畫弧，交數軸于點C,那么點C對

應的實數為一

（2）在（1）的條件下，若將線段。C向右平移，使得點。對應的實數為1,那么此

時點。對應的實數為一

（3）如圖2,點A對應的實數是3,射線42垂直數軸于點A,請在數軸上作出質—2

對應的點河.（要求：尺規作圖并保留作圖痕跡）

【題型6：勾股數】

（24-25八年級上?江蘇無錫?期末）

34.下列各組數中，是勾股數的一組是（）

A.1,2,3B.1,1,V2C.5,12,13D.0.3,0.4,0.5

35.下列各組數中，屬于“勾股數”的是（）

A.2,4,6B.4,6,8

C.6,8,10D.8,10,12

（24-25八年級上?江蘇徐州?期中）

36.勾股定理最早出現在商高的《周髀算經》:“勾廣三，股修四，經隅五”.觀

試卷第13頁，共14頁

察下列勾股數：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…這類勾股數的特點是：勾

為奇數，弦與股相差為1.柏拉圖研究了勾為偶數，弦與股相差為2的一類勾股

數，如6、8、10；8、15、17；…若此類勾股數的勾為12,則其弦是.

(24-25八年級上?陜西咸陽?期中)

37.觀察下列勾股數：

①3,4,5,且3?=4+5；

②5,12,13,且52=12+13；

③7,24,25,且7z=24+25；

(4)9,b,c,且92=6+C；

(1)請你根據上述規律，并結合相關知識求：b=,c=；

(2)猜想第〃組勾股數，并說明你的猜想正確.

試卷第14頁，共14頁

1.A

【分析】本題考查了勾股定理，根據勾股定理判斷即可求解，掌握勾股定理是解題的關鍵.

【詳解】解：-?-ZC=90°,

■■a2+b2=c2，

???c2-b2^a2,

故選：A.

2.D

【分析】本題考查了非負數的性質，勾股定理.先根據非負數的性質求出加與〃的長，再

根據勾股定理計算即可.

【詳解】解：由題意得，m-3=0,"-4=0,

解得：機=3,77=4,

???加，”是直角三角形的兩直角邊，

直角三角形的第三條邊長為/百=5.

故選D.

3.D

【分析】本題主要考查勾股定理，分兩種情況：①2和3為兩條直角邊；②3為斜邊；再利

用勾股定理進行求解即可.

【詳解】解：①2和3為兩條直角邊時，由勾股定理得第三條邊長為序于=內；

②3為斜邊時，由勾股定理得第三條邊長為存二F=V5；

即第三條邊長為行或而，

故選：D.

4.D

【分析】本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵；由勾股定理可知斜邊長

為斤丁=5,然后根據等積法可進行求解.

【詳解】解：由題意得：斜邊長為斤，=5，

設該直角三角形的斜邊上的高為肌則有：5=1X3X4=1X5/7,

答案第1頁，共23頁

故選D.

5.3>/2cm

【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質以及勾股定理的應用.首先根據直角的條件

以及角度之間的關系，證明A/CD和AC2E全等(AAS).然后利用全等三角形對應邊相等的

性質，求出CE和CZ)的長度，進而得到DE的長度.最后在RM/OE中，運用勾股定理求出

斜邊/￡的長度.

【詳解】已知N4CB=90°,則NACD+NBCE=90°.

???AD1CD,BE1CD,

..NADC=NCEB=9Q°,且NC4〃+NNCZ)=90。，

NCAD=/BCE(同角的余角相等)，

又；AC=BC,

■■"CD知CBE(AAS),

AD=CE=3cm,CD=BE=6cm,

DE=CD—CE=6—3=3cm,

在RLUOE中，N4DE=9Q°,

AE=ylAD2+DE2=V32+32=J9+9=屈=30cm.

綜上，答案為3>/^cm.

6.3

2

【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵.先求得

BC=一⑼2=2,設4P=BP=tcm,則PC=2T,再根據勾股定理得

PA2=PC2+AC2,歹U出方程得『=(2-。2+(拒『，求解即可.

【詳解】解：??,在RtZ\/8C中，ZACB=90°,AB=46cm,AC=42cm,

BC=?峋2一⑼2=2,

^AP=BP=tcm,貝i]PC=2-心

?.?在Rt△尸/C中，PA2=PC2+AC1,

解得：語3,

答案第2頁，共23頁

3

?.AP=—cm,

2

3

故答案為：—

7.15

【分析】本題主要考查角平分線的性質定理及勾股定理;根據角平分線的性質可得。￡=DC,

根據勾股定理求得45=10,設DE=EC=x,進而根據三角形的面積公式列出方程，解方

程，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點。作。￡1/3于點E,

DE=DC

在△45。中，ZACB=90°fAC=S,BC=6

■■AB^^AC2+BC2-10>

S^ABC=S^ABD+S^BDC

設DE=EC=x,

.-.-BCxDE+-ABxDE^-BCxAC

222

6x+1Ox=6x8

解得：x=3

,=-ABxDE=-xlQx3=l5

△ADRUn22

故答案為：15.

8.5

【分析】此題考查勾股定理，關鍵是根據勾股定理得出距離.

根據勾股定理解答即可.

【詳解】點P到原點。是巨離是J(3_0y+(_4_0)2=5.

故答案為：5.

答案第3頁，共23頁

9.等邊

【分析】本題考查兩點間的距離公式，等邊三角形的判定，掌握兩點間的距離公式是解題的

關鍵.

由題意根據兩點間的距離公式可得/C,BC,AB的長度，即可對△/SC的形狀進行判斷.

【詳解】解:“（TO）,5（1,0）,C（0,V3）,

*'?AB=2,

ylC=^（-l-0）2+（0-V3）2=2,

BC="1一0『+（0一國=2,

：.AB=AC=BC,

；.MBC是等邊三角形.

故答案為：等邊.

10.726

【分析】本題考查了平面直角坐標系中兩點的距離公式，熟知若兩點的坐標分別為

（9,%）,則這兩點的距離=［（.-苫2）2+他-%）2是解題的關鍵.根據平面直角坐標

系中兩點的距離公式直接計算即可.

【詳解】解：???直角坐標平面上點尸（4,2）和。（-1,3）,

???PQ=^（4+1）2+（2-3）2=V26.

故答案為：^26.

11.（1）①見解析；②2,竹°；（2）①“一藝，再一馬；②回；③4囪

【分析】（1）①根據勾股定理，結合數軸即可得出結論；

②根據勾股定理的逆定理和三角形的面積公式即可得到結論；

（2）①根據題意列出代數式即可；

②利用軸對稱求最短路線方法得出尸點位置，進而求出所+PN的最小值；

③把Q（x+2）2+O_1）2-_6）2+（y+3）2看成點（XJ）到兩點（-2,1）和（6,-3）的距離之差,

當點（x,y）和（6,-3）重合時，可得最大值，再根據兩點間的距離公式即可得到結論.

【詳解】解：（1）①如圖所示，A/BC即為所求；

答案第4頁，共23頁

②???+叱=2+8=10=次，

ZACB=90°,

l\ABC的面積=BC=；xx2V2=2,

設點。到45邊的距離力，

t\ABC的面積=—h'AB=2,

2

.??點。到45邊的距離〃=H=2X2+JI5=冬何,

AB5

故答案為：2,巫；

5

(2)①/(再,乂),8。,%),"||y軸,2C〃x軸，ACYBC,

AC=yx-y29BC=xx—x2,

故答案為：%一%,西一工2；

②如圖，作點N關于x軸對稱的點G,連接MG,直線MG與x軸的交點即為所求的點尸.

G(-5,-l),

:.PM+PN=PM+PG=MG=J(-3+5)。(4+以=729,

答案第5頁，共23頁

即PM+PN的最小值為回，

故答案為：V29；

③,?,把式7(^c+2)2+(y-l)2-J(x-6)2+0+3)2看成點E(x,y)到兩點F(-2,1)和G(6,-3)

的距離之差，即所-EG4RG,

.?.點E(xj)在直線尸G上，且在點G右邊時,

EF-EG=FG,FG=J(x+2『+(y-J(x-6)~+(,+3丫有最大值，

,最大值為：^(6+2)2+(-3-1)2=475)

故答案為：4VL

【點睛】本題是三角形的綜合題，考查了兩點間的距離公式，勾股定理，軸對稱-最短路徑

問題，勾股定理的逆定理.

12.(1)741

⑵9

【分析】本題考查兩點間的距離，解題的關鍵是巧妙的運用兩點間的距離公式求出任意兩點

間的距離.

(1)根據兩點間的距離公式進行計算即可；

(2)根據點N在平行于V軸的直線上，點M的縱坐標為7,點N的縱坐標為-2,可

以利用垂直于x軸的距離公式進行計算即可.

【詳解】⑴解：???點4(3,3),5(-2,-1),

AB=7(-2-3)2+(-1-3)2=V41,

即A,B兩點間的距離是歷；

答案第6頁，共23頁

（2）解：?.?點M,N在平行于了軸的直線上，點M的縱坐標為7,點N的縱坐標為-2,

.-.MV=|-2-7|=9,

即N兩點間的距離是9.

13.B

【分析】本題主要考查了勾股定理，直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.根據勾

股定理，先得出字母/所代表的正方形的面積，再求出其邊長即可.

【詳解】解：由圖可知，以長直角邊為邊長的正方形面積為225,則邊長為15,

以斜邊為邊長的正方形面積為289,則斜邊長為17,

字母/所代表的正方形的邊長=&7?-15?=8,

故選：B.

14.A

【分析】本題考查了勾股定理及正方形面積公式的運用，解題關鍵是明確直角三角形的邊長

的平方即為相應的正方形的面積.由正方形的面積公式可知144,BC2=25,在

RtZX/BC中，由勾股定理得/C2+BC2=/夕2,即可得出的長.

【詳解】解：,??在中，

由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,AC2=144,BC2=25,

/笈=25+144=169,

^=7169=13.

故選：A.

15.B

【分析】本題考查勾股定理，根據勾股定理結合圓的面積公式，推出邑=岳+邑，即可得出

結果.

【詳解】解：如圖,

由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

答案第7頁，共23頁

由題意，得："'$2=［券1肛&=（手）"，

...S3=百+$2=36+64=100；

故選B.

16.C

【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質，勾股定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵.先

由等腰三角形的性質即勾股定理得出222,再在

S^ACG=^AC,S^BCF=^BC,SAABE=^AB

Rt/X/BC中由勾股定理得出AC2+BC2=AB2,最后根據陰影部分面積為

S44CG+，&BCF+SAABE進行求解即可.

【詳解】解：???△/CG是等腰直角三角形，

■■.ZG=90°,

.-.AC2=AG2+CG2,AG=CG,

AG2=-AC2,

2

11,1,

22

.-.S.cr=-AG-CG=-AG=-AC,

JCG224

11

2

同理可得，S^BCF=-BC\S^ABE=-AB,

在RtzX/BC中，AC2+BC2=AB2,AB^3,

???陰影部分面積為：

%+%中+工班=卜02+*+*=：（叱+次+"2）=。2//=小9=,

故選：C.

17.A

【分析】本題考查了圖形的變化類一規律型，勾股定理，根據勾股定理總結出規律是解題的

關鍵.

根據勾股定理，得出三角形的面積變化規律為2皿，計算即可得到答案.

【詳解】解：???△//田是腰長為1的等腰直角三角形，

?■?^,5=|Xlxl=1=r'

AAX=lxV2=5/2；

答案第8頁，共23頁

???以為直角邊作第二個等腰直角三角形4^4,

=卜夜x亞=（行『，

=]X（后卜（后）=1=2°；

同理可得第三個等腰直角三角形的面積為：1x2x2=2',

以此類推，第"個三角形的面積為：2”2；

???AMO23^O24的面積為：22024-2=22022,

故選：A.

18.D

【分析】本題主要考查了勾股定理的應用等知識，由勾股定理得病+〃=1,再由圖1可知,

“生長”1次后，所有正方形的面積和為2x1=2,由圖2可知，“生長”2次后，所有正方形的

面積和為3x1=3,得出規律即可，熟練掌握其性質并能靈活根據勾股定理，得出規律是解

決此題的關鍵.

【詳解】解：設直角三角形的兩條直角邊為。、b,斜邊為。，

???a2+b2=c2,

???正方形的邊長為1,

a2+b2=\,

由圖1可知，“生長”1次后，以直角三角形兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊

為邊長的正方形的面積，

此時，所有正方形的面積和為：2x1=2,

由圖2可知，“生長”2次后，所有正方形的面積和為：3x1=3,

??.在“生長”了2024次后形成的圖形中所有正方形的面積和是：2025x1=2025.

故選：D.

19.7

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，掌握全等三角形的判定和性質是

解題關鍵.先證明也ACEO（AAS）,得到再根據勾股定理，得到

DE2=BC2=1,即可求出c的面積.

答案第9頁，共23頁

【詳解】解：?/ZABC=ZCED=ZACD=90°,

:./CAB+ZACB=90°,ZACB+ZDCE=90°,

/./CAB=ZDCE,

在"gC和△CEQ中，

'/ABC=/CED

<NCAB=ZDCE,

AC=CD

，a4BC知CED(AAS),

BC=DE,

a,b的面積分別為9和16,

:.AB?=9,AC2=16,

在RtA^C中，BC2=AC2-AB2=1,

DE2=1,

''c的面積為7,

故答案為：7

20.(1)見解析

⑵店

【分析】本題考查了勾股定理的證明，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.

(1)通過圖中小正方形面積證明勾股定理；

(2)根據均為直角三角形，根據勾股定理得出

AB2+CD2=AD2+BC2即可求出力。的值.

【詳解】(1)解：S小正方形=(6—。)2=/—2。6+。2,

22

另一方面S小正方形=c-4x-ab=c-lab,

即b2-2ab+a2=c2-2ab,

/.a2+b2=c2；

(2)解：由題意可得，△力8。43。。。。。。4/。。均為直角三角形，

22222

由勾股定理可得，AO+BO=AB@,。。2+。02=。2②，AO^+Do=AD@,

BO1+CO2=BC2?

①+②可得NO?+BO2+CO2+DO2=AB'+CD2；

答案第10頁，共23頁

?+?^^AO2+DO2+BO2+CO2=AD~+BC\

即：AB2+CD2=AD2+BC2,

62+22=AD2+52,

解得/5/有(負值舍去)，

故答案為：.

21.(1)見解析

⑵逑

⑶V

【分析】此題主要考查了證明勾股定理，勾股定理的應用，證明勾股定理常用的方法是利用

面積證明是解本題的關鍵.

(1)表示出三個圖形的面積進行加減計算可證;

(2)利用割補法求出△NBC的面積，勾股定理求出再利用三角形的面積公式即可求

出42邊上的高;

(3)運用勾股定理在Rt^4RD和中表示出列出方程求解即可.

2

【詳解】⑴證明：：S四邊形0c=]C,S梯形的c=5e+°)6,SABED=~(a~b)a>

=

S四邊形ABDCS梯形AEDC+S^BED，

/.—c2=-b2+—ab+—a2-—ab,

22222

?'-a2+b2=c2;

(2)S“6c=4x4-；x2x4-；x2x4-；x2x2=6,AB=y]l2+42=275

?S4ABe=2xh=-x2y/~5h=6,

?7_66

''n------，

5

即45邊上的高是史5；

5

(3)在RtZ\48。中，由勾股定理得:

AD2^AB2-BD2^42-x2^16-x2,

?：BD+CD=BC=6,

答案第11頁，共23頁

CD=BC-BD=6-x,

在RtZi/C。中，由勾股定理得：

AD2=AC2-CD2=52-(6-xy=-]\+nx-x2

22

?e-16-x=-11+12x-xJ

9

..x=——.

4

22.⑴①1+62=02；②證明見解析

(2)①3；②S1+Sz=S3,證明見解析

(3)①蘇；@b=c,a+d-m

【分析】本題考查了勾股定理的證明及應用，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握

勾股定理的應用.

(1)①根據所學的知識，寫出勾股定理的內容即可；

②根據題意，利用面積相等的方法，即可證明勾股定理成立；

(2)①根據題意，設直角三角形的三邊分別為a、b、c,利用面積相等的方法，分別求出

面積的關系，即可得到答案；

②利用三角形的面積加上兩個小半圓的面積，然后減去大半圓的面積，即可得到答案；

(3)①由(1)(2)中的結論，結合勾股定理的應用可知，a2+b2+c2+d2=m2；

②作力V_LKL于點N,根據AAS證明A/N70A/G"得LV=/G=d,NJ=HG=c,同理可

證KN=a,NJ=b,從而可求出6與c的關系為6=。，。與d的關系為a+d=m.

【詳解】(1)解：①如果直角三角形的兩條直角邊分別為“，b,斜邊為c,那么

a2+b2=c2;

②(以下過程，選擇其一解答即可，不必三個皆證.)

若選擇圖1,證明過程如下：

證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的

和，

1

即c2=-abx4+(b-ay7,

化簡，得/+/=02.

若選擇圖2,證明過程如下：

在圖2中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和，

答案第12頁，共23頁

91

即(a+6)~=c2+—abx4,

化簡,得。2+戶―

若選擇圖3,證明過程如下：

證明：在圖3中，梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和，

即(a+6)=:46x2+；/,

化簡，得筒+必=。

(2)①根據題意，在圖4中，直角三角形的邊長分別為a、b、c,

由勾股定理，得勾+〃=c2,

.■.sl+s2=s3.

在圖5中，三個扇形的直徑分別為a、b、c,

1122

貝15]=1兀*[q]=-ita,=—nxf—=—itb,S}=-7rxf—=-TIC,

12Uj822Uj832UJ8

...H+S?=*(/+/),

''a2+b2=c2,

：,—Tt(a1+b1\=-TIC1,

8178

.?.S]+82=83；

在圖6中，等邊三角形的邊長分別為〃、b、c,

則岳=字]，s廣字邑=￡。2,(等邊三角形面積公式：S等邊.='/，。為邊長)

.?同+邑=邑；

二滿足$|+其=邑的有3個,

故答案為：3；

②結論6+82=83；

2

?超+邑=;無a+bc

2Ir|+$3一］

答案第13頁，共23頁

.?-E+邑=](/+〃-02)+號

'：a1+〃=。2,

Si+邑=S3；

故答案為：51+52=S3.

(3)解：①如圖9,正方形4、B、C、D、E、尸、/中，對應的邊長分別為0b、。、d、

e、f、m,

由(1)(2)中的結論可知，面積的關系為：SA+SB=SE,SC+SD=SF,SE+SF=SMf

:.a2+b2=e2,c2+d2=f2,e2+f2=m2

???a2+b2+c2+d2=m2

故答案為：m2.

②作皿于點N,

圖9

vZl+ZALW=90°,ZNJL+ZKJN=9Q°,

:.A=/3=/NJL,

/LNJ=/IGH=90。,LJ=IH,

??.△LNJAIGH,

*'.LN=IG=d,NJ=HG=c.

答案第14頁，共23頁

同理可證：KN=a,NJ=b,

二6與c的關系為6=。，a與d的關系為a+d=加.

故答案為：b=c,a+d=m.

23.(1)3

(2)見解析

⑶76

【分析】本題考查勾股定理的證明，完全平方公式與幾何圖形的面積，熟練掌握勾股定理是

解題的關鍵.

(1)先根據勾股定理求出a=9,然后根據線段的和差求解即可；

(2)連接3尸，根據正方形4CDE的面積與四邊形陽的面積相等即可證明；

(3)根據外延部分的4個三角形全等，且AD=AC=而，=6，由勾股定理求得

8。=&577赤=13,根據風車的外圍周長是4義(9+/⑼，計算求解即可，

【詳解】(1)解：由勾股定理得：。=必工=&52-122=9,

，小正方形的邊長為：12-9=3,

故答案為：3；

證明：如圖，連接5尸，

■：AC=b,

正方形4CDE的面積為從，

CD=DE=AC=b,BC=a,EF=BC=a,

/.BD=CD-BC=b-a,DF=DE+EF=a+b,

???/CAE=90°,

/./BAC+NBAE=90°,

答案第15頁，共23頁

：ABAC=AEAE,

/.NEAF+/BAE=90°,

尸為等腰直角三角形，

四邊形/BZIF的面積為：—c2+—(^―tz)(a+^)=—c2+]W-/),

1??正方形4CDE的面積與四邊形/瓦加的面積相等，

.■萬j+g…)，

:.a2+b2=c2.

(3)解：如圖，???以A8為邊的正方形面積為61,

AB2=61,

圖4

由題意知，外延部分的4個三角形全等，圖1中較短的直角邊長為5,

AD=AC=V61-52=6，

.-.CD=12,

BD=4CD-+BC2=V122+52=13，

，這個風車的外圍周長是：4x(8。+=4x(13+6)=76

故答案為：76

9

24.(1)證明見解析；(2)48邊上的是1/④'；(3)x=—

【分析】此題主要考查了梯形，證明勾股定理，勾股定理的應用，證明勾股定理常用的方法

是利用面積證明，是解本題的關鍵.構造出直角三角形。斯是解本題的難點.

(1)表示出三個圖形的面積進行加減計算可證/+尸=c2;

答案第16頁，共23頁

(2)計算出△45。的面積，再根據三角形的面積公式即可求得ZB邊上的高;

(3)運用勾股定理在和Rt"QC中求出A》，列出方程求解即可；

【詳解】證明：⑴TS四邊形4的S梯形口c=g(b+a)b，S△謝=；("，)明

S四邊形N50C=S梯形ZEQC+S^BED，

a，

—c2=—b2+—ab+—a2-—ab,

22222

-'-a2+b2=c2;

(2)SJD/--8x8—x2x2—x6x8—x6x8=14,

“Be222

AB=A/22+22=272，

SARC=—ABxh=—x2yplh=14,

△y4Z>C22、

???h=7亞,

即AB邊上的IWJ是7也；

(3)在中，由勾股定理得

AD2=AB2-BD2=42-X2=16-x2

?：BD+CD=BC=6,

：.CD=BC—BD=6—x,

在RLA/CD中，由勾股定理得，

TID2=C2-CD2=52-(6-X)2=-11+12x-x2,

.-?16-X2=-11+12X-X2,

9

...X=一.

4

25.A

【分析】本題主要考查實數與數軸及兩點間距離，根據兩點間距離及點的位置判斷出點所表

示的數是解題的關鍵.

根據正方形的邊長是面積的算術平方根得AB=