廣東省三校2025屆高三下學(xué)期二月第一次模擬考試

數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

2

----二I-

1.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足3-',貝i]z=（）

A.-l+3iB.-l-3iC.l+3zD.l-3i

【答案】D

【解析】因占=，所以z=i（3—z）=l+3i,所以￡=1—33

故選：D.

2.函數(shù)〃%）=2三+3]—7的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）

A.（0,1）B,（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析】>=2%3和丁=3%-7都是增函數(shù)，所以函數(shù)/（%）=2%3+3%—7為增函數(shù)，

且/⑼=—7<0,/（1）=2+3-7=-2<0,/（2）=16+6-7=15>0,

/（1）/（2）<0,所以函數(shù)在區(qū)間（1,2）存在唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)/（x）的一個(gè)零點(diǎn)所在區(qū)

間為（1,2）.

故選：B.

22

3.已知尸為橢圓C:二+==l（a〉6〉0）上一動(dòng)點(diǎn)，耳、￡分別為其左右焦點(diǎn)，直線尸耳

ab

與C的另一交點(diǎn)為A,^APF2的周長為16.若PFi的最大值為6,則該橢圓的離心率為

（）

1112

A.-B.-C.-D.一

4323

【答案】C

4a=16

【解析】設(shè)橢圓的半焦距為J則由題設(shè)得｛

a+c-b

a=4c1

解得｛c，所以橢圓的離心率為e=—=—.

c=2a2

故選：C.

4.某醫(yī)院對該院歷年來新生兒體重情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)新生兒體重X服從正態(tài)分布

),若P(X>/)=0.3,則P(X>7—

【答案】B

【解析】因?yàn)閄~N（3.5,cr2）,所以正態(tài)曲線關(guān)于直線X=3.5對稱，且J+7-匕3.5,

所以P（X>t）=P（X<7—f）=0.3,所以尸（X>7—。=1—尸（X<7—7）=1—03=0.7.

故選：B.

5.若一扇形的圓心角為72。，半徑為20cm,則扇形的面積為（）

A.4071cmB.SOjrcm

C.40cmD.80cm

【答案】B

27r

【解析】扇形的圓心角為72°=彳，半徑為20cm,

則扇形的面積S=—x—x202=SOncm2.

25

故選：B.

6.三棱錐P—ABC中，AC±BC,R4,平面ABC,AC=BC=2,PA=4,則直

線PC和直線AB所成的角的余弦值為（）

3M

10

【答案】C

如圖，將三棱錐F-ABC放到長方體中，由題意知，PC//DA,所以NDBA或其補(bǔ)角

是直線PC和直線所成角，

因?yàn)锳C=5C=2,PA=4,所以A3=2夜，DB=A/42+22=2^/5-

2

DA二ER，c“加巴’4=①

2x2V5x2V210

故選：C.

7.六氟化硫，化學(xué)式為SR,在常壓下是一種無色、無味、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良

好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面

體是每個(gè)面都是正三角形的八面體），如圖所示.若此正八面體的棱長為2,則下列說法正

3

B.正八面體的表面積為8G+4

64兀

C.正八面體的外接球體積為——

3

R

D.正八面體的內(nèi)切球表面積為中7r

【答案】D

把正八面體補(bǔ)形為如圖所示正方體，因?yàn)檎嗣骟w棱長為2,則正方體的棱長為2夜

選項(xiàng)A,正八面體的體積V=2%_EFGH，設(shè)四棱錐人-EFGH的高為〃，

則力=；MN=&,所以V=2%_EFGH=2X：SEFGH"=|x4x0=手，A錯(cuò)誤;

選項(xiàng)B,正八面體的表面積為八個(gè)面面積和，故S=8x且x4=8g，B錯(cuò)誤；

4

選項(xiàng)c,正八面體的外接球半徑為正方體棱長的一半，故E=

所以外接球體積V=g〃R3=g萬(后)3=空"，C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D,設(shè)內(nèi)切球半徑為廠，則根據(jù)正八面體體積相等，V=；s表廠=86廠=半，

所以廠=逅所以內(nèi)切球表面積為S=4〃/=..D正確.

33

故選：D.

8.己知曲線y=/(x)在％=5處的切線方程是y=-2x+8,則/(5)與/'⑸分別為

()

A.3,3B.3,—1

C.—1,3D.-2,—2

【答案】D

【解析】由題意得/(5)=-10+8=-2,/f(5)=-2.

故選：D.

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

9.在VABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若2匕csin2A=/+c?—/，則A

的大小可能為()

兀兀兀5兀

A.—B.-C.-D.—

6326

【答案】ACD

T22_2

【解析】依題可得sin2A=-----———=cosA,即2sinAcosA=cosA,貝UcosA=0

2bc

或sinA=g，因?yàn)锳￡(0,TI),所以A=P或△或”.

2626

故選：ACD.

winY

10.已知函數(shù)/(x)=--------,則()

2+cos2%

A.是奇函數(shù)

B./(x)是周期函數(shù)

C.VxeR,/(x)<g

D./(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增

【答案】ABD

sinY

【解析】易知/(力=---------的定義域?yàn)镽,

2+cos2x

sin(-x)-sinx

又/(-力=

2+cos(-2x)2+cos2x=—

所以/(%)是奇函數(shù)，A正確;

/、sin(x+2TI)S1DX

由/(x+2兀)=-----J——J*(X),

2+cos2(x+2兀)2+cos2x

所以/(x)是周期函數(shù)，B正確;

.兀

/\sm-］

由/⑶5=-2-+--c-o-s-/2x|■、=2'—1=.C錯(cuò)誤；

當(dāng)時(shí)，y=sin%e(O,l),且單調(diào)遞增，

此時(shí)，2%￡(0,兀)時(shí)，y=2+cos2x￡(l,3),且單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/(X)在，?上單調(diào)遞增，

又由“X)是奇函數(shù)，所以函數(shù)/(外在上單調(diào)遞增，

所以了(%)在區(qū)間［一］，］］內(nèi)單調(diào)遞增，D正確.

故選：ABD.

11.我們知道，函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)

y=/(x)為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成

中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/(x+a)-6為奇函數(shù).現(xiàn)已知函數(shù)

〃x)=ax+'+a,則下列說法正確的是()

x-1

A.函數(shù)y=/(x+l)—2〃為奇函數(shù)

B.當(dāng)。＞0時(shí)，/(力在上單調(diào)遞增

C.若方程/(尤)=0有實(shí)根，則ae(—。,0)31,+司

D.設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)g(x)關(guān)于(1,1)中心對稱，若a=g,且/(力與g(x)的圖象共

有2022個(gè)交點(diǎn),記為4=1,2,…,2022),則(石+%)+(%+%)+…+(3<E2+'2022)

的值為4044

【答案】ACD

【解析】對于A：y(x+1)—2a=a(x+l)n------------Fa—2<J=ax—

由解析式可知y=依+，是奇函數(shù)，故A正確；

X

/3)=315

對于B：特殊值法/(51—54+、+口―5。+/,/(2)=2?+—+a=3a+\

2-2-1

即/1|]一/(2)=1-/若0<a<2,則/(力在(1,+<句上不是單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤.

對于C:令/(X)=以+—一+。=0,分離參數(shù)后a=—二，(1-x2)e(-00,0)0(0,1]

x11x

1

故e(-<x),0)u[l,+oo),C正確;

1-x2

對于D:由A可知，當(dāng)a=g時(shí)，“X)關(guān)于(1/)中心對稱，且g(x)關(guān)于(1,1)中心對稱,

所以這2022個(gè)交點(diǎn)關(guān)于(1,1)對稱，

故(石+w+…+Wo22)+(X+%+…+%022)=2022+2022=4044,D正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

2

12.VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,J已知Z?=3,c=2,cosA=-,

3

貝Ia=.

【答案】b

2

【解析】Z?=3,c=2,cosA=—,

3

9

：?由余弦定理可得：/=方2+/_2Z?ccosA=32+22—2x3x2x—=5，

3

「?解得：a=A/5?

故答案為：由.

13.在(x—1)4—(x—1)5+(x—1)6—(x—1)7的展開式中，含了3的項(xiàng)的系數(shù)是.(用數(shù)

字作答)

【答案】-69

[解析](X—1)4—(X—I)，+(X—1)6—(X—1)7的展開式中，

含/的項(xiàng)的系數(shù)是_C；_C；_C：_C；=_4_10_20_35=_69.

故答案為：-69.

14.若圓f+y2+6x—8y+25=4與％軸相切，則實(shí)數(shù)4的值是.

【答案】16

【解析】由一+丁+6%—8y+25=2,可得(x+3>+(y—4)2=4,

方程表示圓，則可得圓心為(-3,4),半徑為J5(九>0),

由圓與x軸相切，則可得曰=樣，解得4=16.

故答案為：16.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(x)=在％=e處取到極值.

(1)求加的值；

(2)當(dāng)1>1時(shí)，證明/(x)+12+g]x〉2x-2；

(3)如果s,t,廠滿足|s-r|W|"r|,那么稱$比f更靠近r，當(dāng)。之2且時(shí)，試比

e

較一和e%T+a哪個(gè)更靠近Inx,并說明理由.

x

(1)解：由/(x)=(x+加)lnx—[加+l+']x,

求導(dǎo)f\x)=%+m+lnx-^m+l+-^,

由/''(6)=0,則------m——=0,解得：機(jī)=1,加的值為1；

ee

(2)證明：由題意可知：不等式左邊為(x+l)lnx,

設(shè)“(x)=Inx——~,貝I]h'(x)="02.

x+1x(x+l)

'：X>1,，”(x)>0恒成立，

在(l,+8)單調(diào)遞增;

/./z(x)>/z(l)=O,

A(x+l)lnx>2x-2,

e

(3)解：設(shè)7(x)=——Inx,q{x}-ex-1+a-In%,

x

Vp,(x)=-^-^<0,q'(x)=ex~1--,

%x

...p(x)在xe[1,+00)上為減函數(shù)，

又p(e)=0,

二當(dāng)iWxWe時(shí),p(x)>0；

當(dāng)％〉e時(shí)，p(x)<o.

?.,4’(無)在尤6口,+00)上為增函數(shù)，

又/⑴=0,

xe[1,+00)時(shí)，q'(x)>0,

q(x)在xe[l,+co)上為增函數(shù)，

/.q(x)>q⑴=a+1>0.

①當(dāng)iWxWe時(shí)，

e

Ip(x)|-|9(X)I=p(x)-q(x)=一—e'T_a,

X

設(shè)m(x)=--e'T-a,則m'(x)=--■一ex-1<0,

xx

：.加(%)在X￡[l,+oo)上為減函數(shù)，

m(x)<m(l)=e-l-af

：.a>2,/.m(x)<0,A|p(x)|<|^(x)|,

—比ex~x+a更靠近Inx.

x

②當(dāng)x>e時(shí)，

e

|p(x)|-1q(x)\=-p(x)-q(x)=----i-21nx-ex~l-a<21nx-ex-1-a,

%

?2

設(shè)〃(％)=21nx——a,則〃'(冗)=—e*T,

令廠(x)二——e'T,則/(x)=——2~eXi<.，

XX

2

.?.(%)單調(diào)遞減，r(x)<r(e)=——ee-1<0,

e

「.〃(%)單調(diào)遞減，

H(X)<n(e)=2—a—ee~l<0,

xx

|/?(x)|<|^(x)|,-比e-+a更靠近Inx.

X

e

綜上，在。之2,時(shí)，一比e'T+a更靠近Inx.

x

16.某運(yùn)動(dòng)產(chǎn)品公司生產(chǎn)了一款足球，按行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)這款足球產(chǎn)品可分為一級正品、二級正品

、次品共三個(gè)等級.根據(jù)該公司測算：生產(chǎn)出一個(gè)一級正品可獲利100元，一個(gè)二級正品可

獲利50元，一個(gè)次品虧損80元.該運(yùn)動(dòng)產(chǎn)品公司試生產(chǎn)這款足球產(chǎn)品2000個(gè)，并統(tǒng)計(jì)了

這些產(chǎn)品的等級，如下表：

等級一級正品二級正品次品

頻數(shù)1000800200

(1)求這2000個(gè)產(chǎn)品的平均利潤是多少；

(2)該運(yùn)動(dòng)產(chǎn)品公司為了解人們對這款足球產(chǎn)品的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了100名男性和100

名女性，每位對這款足球產(chǎn)品給出滿意或不滿意的評價(jià)，得到下面的列聯(lián)表：

滿意不滿意總計(jì)

男性3268100

女性6139100

總計(jì)93107200

問：能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為男性和女性對這款足球產(chǎn)品的評價(jià)有

差異？

n(ad-be)?

附：K~=其中〃=a+〃+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

解：⑴依題意可得平均利潤為山吧°°°+5°2°+2?刈=62（元）.

2000

（2）假設(shè)〃°：男性和女性對這款足球產(chǎn)品的評價(jià)無差異,

200x(32x39—61x68)2

依題意可得K??16.903>10.828,

100x100x93x107

所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為男性和女性對這款足球產(chǎn)品的評價(jià)有差

異.

17.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為an+l-Sn^n.

U）當(dāng)/為何值時(shí)，數(shù)列｛4+1｝是等比數(shù)歹！J?

（2）設(shè)數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為（，4=1,點(diǎn)（&”北）在直線上==上，在（］）

n+\n2

byb?h、9

的條件下,若不等式肅…+m-對于“eN*但成立，求實(shí)

2+2an

數(shù)加的最大值.

解：（1）由明+|-S“=”，得a”-S,i="-1（"22）,

兩式相減得an+l-a?-(S“—S,i)=1,即a.+i=2a,+1,

所以a“+i+1=2(a?+1)(〃22),

由q=f及an+l-Sn=n,得4=f+1，

因?yàn)閿?shù)列｛4+i｝是等比數(shù)列，所以只需要''=F=2,解得/=0,

此時(shí)，數(shù)列｛4+1｝是以4+1=1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列

（2）由（1）得4=2'T—1,因?yàn)辄c(diǎn)（4+1,7；）在直線4―2==上，

n+1n2

所以工±1__"1

n+1n2

故是以彳=1為首項(xiàng)'十為公差的等差數(shù)列,

n2

所以雹=及羅

n(ji+V)(n—l)n

當(dāng)“22時(shí)，b=T-T_----------------二n,

nnnx22

4=1滿足該式，所以句=〃,

b,bb

不等式-^―+——2+...+-n-

Q]+1%+14+12+2ati

23n9

即1+”+...H------2m------

2a2n

令R”=1-1----1----7+???■!-------r,

"2222'i

nl1?123n

貝！J—R-1—7H—T+…H----，

222223T

n

1-

兩式相減得(1—=1+1-+111n2n小〃+2

-7—r+…+——=2--------

2n222232"T―2”―12"2n

i----

2

n+2

所以凡=4—

2”T

92〃一5

由R>m----恒成立，即4---------->m恒成立,

nT2"

又/[--22〃"+一132n—52n—7

2〃2n+1

2n-52n-5

故當(dāng)“W3時(shí),A4--------單-調(diào)遞減；當(dāng)八時(shí),A4--------單-調(diào)遞增,

2nT

2x3-5312x4-561

當(dāng)〃=3時(shí)，4-一；當(dāng)p九=4時(shí)，4-

2382416

2n-5的最小值為?，

貝!]4-

2"16

所以實(shí)數(shù)加的最大值是生

16

18.已知圓尸的圓心坐標(biāo)為(1,0),且被直線x+y-2=0截得的弦長為應(yīng).

(1)求圓產(chǎn)的方程;

(2)若動(dòng)圓M與圓尸相外切，又與y軸相切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程;

(3)直線/與圓心〃軌跡位于y軸右側(cè)的部分相交于A,3兩點(diǎn)，且近.礪=—4,證明

直線/必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn).

解：(1)設(shè)圓尸的方程為(x—ly+V=/,r>0)

由圓心到直線x+y—2=0的距離為4=|1+^21=5,

由弦長公式可得、歷=2小戶一；，解得廠=1,

可得圓產(chǎn)的方程為(x-ir+y2=i；

(2)設(shè)刊的坐標(biāo)為《y),由動(dòng)圓M與圓尸相外切，又與V軸相切，

J(x-1)2+/=l+|x|>

當(dāng)xN0,y2=4x；當(dāng)x<0,y=0,

故可得動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為/=?或y=0(xV0)；

(3)設(shè)/：%=。+匕代入拋物線丁=4x,消去x得丁-4什-46=0,

設(shè)4&,必），3（%,%），則%+%=射，%%=-傷，

OAOB=+%%=（，+》）（物+》）+%%

=/%%+罰（％+%）+°?+%％

=-Abt1+4bt2+b2-4b=b2-4b-

令Z?2—4b=—4，b1—4b+4=0，Z?=2,

直線/過定點(diǎn)(2,0).

22

19.平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C：與=1(。>〃>0)左、右焦點(diǎn)分別為

CTb1

耳，F(xiàn)2,離心率為經(jīng)過片且傾斜角為。(0<^<|)的直線1與C交于A,B兩點(diǎn)

(其中點(diǎn)A在x軸上方)，且△ABB的周長為8.現(xiàn)將平面xoy沿x軸向上折疊，折疊后

A,B兩點(diǎn)在新圖象中對應(yīng)的點(diǎn)分別記為4，B1,且二面角A-耳耳-耳為直二面角，如

圖所示.

y>

折疊前折疊后

(1)求折疊前c的標(biāo)準(zhǔn)方程;

JT

(2)當(dāng)。時(shí)，折疊后，求平面44耳與平面448夾角的余弦值;

(3)探究是否存在。使得折疊后的周長為5?若存在，求tan。的值；若不存

在，說明理由.

c_1

a2a=2

解：（1）由題意得：［4。=8解得"=

a=b2+c2C=1

故折疊前橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程上+X=1.

43

(2)當(dāng)6=1時(shí)，直線/的方程為：y=g(x+l),

"22

土+匕=1(83

聯(lián)立<43,解得A(0,6B-----,

J=73(X+1)IJ

以原來的x軸為y軸，y軸正半軸所在直線為z軸，y軸負(fù)半軸所在的直線為了軸建立空

間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則：

(ahg、

A倒,o,6),B}-^-,--,0,^(o,-i,o),月(o,i,o),

I55,

故耳瓦=邛，專,0,，國，

設(shè)平面的法向量為加=(x,y,z),則

飛613八

ih-F2Bx=0---x----y=0

___.,即V55

m-FA=0

2i—y+y/3z=0

取)=也，則*=,，z=l,故比=惻=+3+1=.

平面用公工的一個(gè)法向量為為=M=僅,0,6),

__沅?拓63ji5^

；

,,cosm,n=-=i------------=----2--0-5----

故|m||n|回x和?

3

設(shè)平面用耳身與平面鳥的夾角為a,貝iJcosa=|cos玩，司=之也更.

-11205

即平面耳耳瑪與平面44g所成角的余弦值為之也變.

205

由三維空間三角形面積的計(jì)算公式可得

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