專題13根據平行線的性質與判定證明大題

1.如圖，點8,C在線段的異側，點￡,尸分別是線段A3,8上的點，己知/1=N2,Z3=ZC.

⑴求證：ABCD；

(2)若N2+N4=180°,求證：ZBFC+ZC=180°；

⑶在(2)的條件下，若ZBFC-3(T=2Z1,求—3的度數.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

⑶ZB=50。

【分析】(1)根據對頂角相等結合已知條件得出/1=/C,根據內錯角相等兩直線平行即可證得結

論；

(2)根據對頂角相等結合已知得出N3+4=180。，證得BF〃EC,即可得解；

(3)根據平行線的性質和已知得出/班C=130。，最后根據平行線的性質即可求得々=50。.

【詳解】(1)證明：0Z1=Z2,Z3=ZC,N2=/3,

IZ1=ZC,

ABCD；

(2)證明：0Z2+Z4=18O°,N2=N3,

Z3+Z4=18O°,

BF//EC,

ZBFC+ZC=180°；

(3)解：0ZBFC+ZC=180°,

Z.BFC-30°=2N1=2ZC,

IZBFC=2ZC+30o,

團2NC+300+NC=180。，

團NC=50。，

團Z.BFC=2ZC+30°=130。，

國ABCD,

0ZB+ZBFC=18O°,

0ZB=18O°-ZBFC=5O°.

【點睛】此題考查了平行線的判定與性質，熟記"內錯角相等，兩直線平行"、"同旁內角互補，兩直

線平行"及"兩直線平行，同旁內角互補”是解題的關鍵.

2.如圖，已知AB〃CD,Z1=Z2.

⑴求證：EF//NP-,

(2)若FH平分/EFG,交CD于點H,交NP于點。，且/1=40。，ZFHG=10°,求/FGD的度數.

【答案】⑴見解析

(2)60°

【分析】(1)根據平行線的性質及等量代換得出N3NP=N1,即可判定跖〃NP；

(2)過點/作根據平行公理得出AB〃FN〃CD,根據平行線的性質及角平分線定義

得到/GEH=ZEFH=50°,根據三角形外角性質求解即可.

【詳解】(1)證明：回AB〃CD,NGFH=NEFH=50。

aNBNP=N2,

EIZ1=Z2,

SZBNP=Z[,

0EF〃NP；

(2)解：如圖，過點P作

^AB//CD,

^AB//FM//CD,

0ZE?=Z1=4OO,ZHFM=ZFHG=10°,

SZEFH=ZEFM+ZHFM=50°,

回廠“平分/EFG,

0NGFH=NEFH=50°,

0ZFGD=ZGHF+ZHFG=60°.

【點睛】此題考查了平行線的判定與性質，角平分線的定義，熟記平行線的判定與性質是解題的關

鍵.

3.如圖，B,E,G,。在同一條直線上，AC//EF,ZA=ZF,AB=DC.

⑴求證：AB//DC.

⑵若DG=6,GE=2,求BE的長.

【答案】⑴見解析

(2)4

【分析】(I)根據平行線的性質得到西CD=M,進而推出a4co=m，即可證明AB〃r)c；

(2)利用AAS證明EL42Gaaa)G,得至U3G=Z)G=6,據此求解即可.

【詳解】(1)解:SAC//EF,

aEL4CD=0F,

014=BF,

0EL4CZ)=EL4,

^AB//DC-,

(2)解：在,ABG和3cDG中，

ZA=ZDCG

，ZAGB=ZCGD,

AB=CD

ABG回△CDG(AAS),

:.BG=DG=6,

GE=2,

:.BE=BG—GE=6—2=4.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質與判定，全等三角形的性質與判定，熟知平行線的性質與判

定條件，全等三角形的性質與判定條件是解題的關鍵.

4.已知，直線點尸為平面上一點，連接/尸與CP.

⑴如圖1,點尸在直線48、CD之間，當回8/尸=60°,0￡>CP=2O°時，求西PC.

⑵如圖2,點P在直線45、CD之間，回54P與ELDCP的角平分線相交于點K,寫出蜘KC與EUPC

之間的數量關系，并說明理由.

⑶如圖3,點尸落在CD外，054P與前CP的角平分線相交于點K,西KC與0Ape有何數量關系？

并說明理由.

【答案】⑴0APC=8O°；

(2)mKC=|■豳尸C,理由見解析

(3)酎KC=gfflAPC,理由見解析

【分析】(1)先過P作尸的45,根據平行線的性質即可得到EAPE=I血尸，^CPE^WCP,再根據

'^APC=^APE-^CPE=^BAP+^DCP進行計算即可；

(2)過K作KEEWB,根據KEEL4施CD,可得^CKE^DCK,進而得到

SAKC=^AKE+SCKE=^BAK+^DCK,同理可得，^APC=^BAP+^DCP,再根據角平分線的定義，得出

WAK+^DCK=-WAP+-ELDCP=-^BAP+^\DCP)=-^APC,進而得至l]EUKC=L|a4PC；

22222

(3)過K作KEEL45,根據在EL4施CO,可得0B/K=EL4KE,SDCK^CKE,進而得到

SAKC^KE-SCKE=SBAK-^DCK,同理可得，^PC=^BAP-^DCP,再根據角平分線的定義，得出

^BAK-^DCK=-^BAP--0￡>CP=-Q^BAP-^DCP')=-^APC,進而得至!|EL4KC=La4尸C.

22222

(1)

圖1

EL450CD,

aP￡l?L4BECD,

^3\APE^BAP,SCPE^^DCP,

EIEL4尸C=EUPE+EICPEWA4P+ELDCP=60°+20°=80°；

(2)

解：EL4KC=；EL4尸C.

理由：如圖2,過K作K51148,

SiKESABSCD,

^EAKE=SBAK,^CKE^DCK,

^KC^AKEV3\CKE=^AK+WCK,

過尸作PT迥48,

同理可得，^APC=^\BAP+^DCP,

回血尸與0DCP的角平分線相交于點K,

^BAK+^DCK^-WAP+-WCP=-(SBAP+EDCP)=-EL4PC,

2222

^AKC=-^APC-,

2

(3)

解：EUKC=；EL4PC.

理由：如圖3,過K作KEEL45,

B

圖3

EL450CZ),

^KE3\AB3\CD,

^BAK^AKE,^DCK^CKE,

^AKC=^AKE-^\CKE=^BAK-^DCK,

過尸作PR34B,

同理可得，^APC^\BAPWCP,

團034P與EDCP的角平分線相交于點K,

^BAK-^\DCK=-^\BAP--0￡>CP=-(.^BAP-^DCP)=-EL4PC,

2222

EEL4^C=-EL4PC.

2

【點睛】本題主要考查了平行線的性質以及角平分線的定義的運用，解決問題的關鍵是作平行線構

造內錯角，依據兩直線平行，內錯角相等進行計算.

5.如圖，AB//CD,點￡、廠分別在直線48、CD上，點。在直線48、CD之間，回￡。尸=100。.

圖1圖2圖3

(1)求回5后0+0￡)下。的值；

(2)如圖2,直線"N交回BE。、I3CFO的角平分線分別于點M、N,求回￡“乂一加2\函的值；

⑶如圖3,EG在EL4E。內，^AEG=n^OEG,FK在回。尸。內，^DFK=riS\OFK,直線MN交FK、

EG分別于點M、N,若MW—El￡W=50。，則〃的值是

【答案】(1)05￡,O+ELDFO=26OO；

(2)0EMN-0FMl/的值為40°；

【分析】(1)過點。作OPS48,易得/施0p0a),利用平行線的性質可求解；

(2)過點〃■作過點N作延長尸。交48于點。，由角平分線的定義可設

SBEM=SOEM=x,BCFN=^OFN=y,由三角形的外角性質可求x,=40。，進而求解；

(3)設直線廠K與EG交于點〃，FK與48交于點K,根據平行線的性質即三角形外角的性質及

^FMN-SENM=50°,可得釀尸D-EAEGuSO。，結合a4KG="回。EG,DFK=nSOFK,ELBEO+0Z)尸。=260°,

可得EAEG+LEUEG+lg。。-砍砍即=100。，即可得關于?的方程，計算可求解n值.

nn

(1)

^AB^OP^CD,

[WEO+的9尸=180°,血七+即"=180°,

釀5EO+贓。尸+0Z)/O+0FO尸=360°,

即^BEO^EOF+^DFO=360°,

團蛇。9二100。，

^BEO+^DFO=260°；

(2)

解：過點M作過點N作N砸CD,延長尸。交48于點0,

蛇M平分泌￡O,m平分團。/O,

設魴區0=團。⑹^CFN=^\OFN=yf

[145回CD,^\EOF=WO°,

^\BQF=^\COF=2y,蛇。0=180°-100°=80°,

^BEO=^BQF+^EOQ,

必二2產80°,

0X-y=4O°,

^MK^AB,NH^CD,AB^CD,

^AB^MK^NH^CD,

^\EMK=BBEM=X9WNF=BCFN=y,軌MN=WNM,

^\EMN-^FNM=^EMK^KMN-QWJNM+WiNF)

=x^KMN-WNM-y

=x-y

=40°,

故血W-0FM悅的值為40°；

(3)

解：如圖，設直線FK與EG交于點“，FK與4B交于點、K,

圖3

EL4BEICD,

^EAKF^FD,

^KF=^EHK+SHEK=^EHK+^AEG,

^KFD=^EHK+^AEG,

^EHK=^NMF-^ENM=50°,

^KFD=50a+BAEG,

即砍FD-EL4KG=50。，

^EG=n^OEG,尸K在0Z)R?內，SDFK=n^iOFK.

^\CFO=180°-^DFK-SOFK=180°-^KFD--^KFD,

n

^\AEO=BAEG^OEG=BAEG+-^\AEG,

n

團勖￡O+配甲0=260°,

回回/￡。+團。尸0=100°,

H2L4EG+-^AEG+1?>O°-^KFD--EKED=100",

nn

即（1+工）（團長尸。-西￡6）=80°,

n

EI(l+-)x50°=80o,

n

解得77=(.

故答案為：—

【點睛】本題主要考查平行線的性質，角平分線的定義，靈活運用平行線的性質是解題的關鍵.

6.已知，直線尸。〃MV,點C是直線PQ和之間的一點.

圖3

（1）如圖1,點。，E分別在尸。，MN上,和02為銳角，求證：EC=01+02；

⑵把一塊三角板/8C（其中船=30。，0C=9O）按如圖2放置，點。，￡分別是三角板的兩直角邊分

別與平行線的交點，若S4EN=a4,求SB。。的度數；

⑶如圖3,將（2）中的三角板進行適當的轉動，把射線EN沿直線/C翻折，交BC于點、F,試判

斷西。。和0FEN有何數量關系?寫出你的結論并說明理由.

【答案】⑴見解析

（2）60°

⑶0BDQ=；NbEN,理由見解析

【分析】1）過C作CH3P。，依據平行線的性質，即可得出回。=回1+回2；

（2）根據（1）中的結論可得，0C=EMEC+EPDC=9O°,再根據對頂角相等即可得出結論；

（3）根據鄰補角的定義以及翻折的性質，可得/FEN=180。-2NMEC,由（1）的結論可得回C=0A"C

+即DC=90。，再根據對頂角相等即可得出結論.

(1)

如圖1,過C作CH3PQ,

^PQ^\MN,

團團1=即)。〃，02=0￡CH,

^BDCE=^DCH+^\ECH=01+02.

(2)

團財EN=EU=30°,

dWEC=30°,

由(1)可得，回。=(WEC+團產DC=90°,

^\PDC=90°-團MEC=60°,

團勖。0=即。。=60°；

B

^\BDQ=g/FEN,理由如下

射線EW沿直線4。翻折，交BC于點F,

:.ZFCE=ZMEC

ZFEN=180°-2ZMEC

即AMEC=90°-1/FEN

團C=0MEC+回PDC=90°,

^\BDQ=^\PDC=900-ZMEC

=90°-^90°-1zF￡^

=-ZFEN

2

:.他DQ=￡/FEN

圖3

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，以及翻折的性質，對頂角相等，鄰補角的定義等知識的綜

合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造內錯角，依據兩直線平行，內錯角相等進行求解.

7.已知：直線EF分別與直線48,CD相交于點G,H,并且酎GE+0T）//E=18O。.

（1）如圖1,求證：ABSCD；

（2）如圖2,點/在直線48,CO之間，連接GW,HM,求證：^M=^AGM+^CHM-,

（3）如圖3,在（2）的條件下，射線G8是勖GM的平分線，在MZ的延長線上取點N,連接GN,

若職=EL4GW,^M=SN+^SFGN,求ELM”G的度數.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）60。

【分析】（1）根據已知條件和對頂角相等即可證明；

（2）如圖2,過點M作MR0A8,可得480。。斯四.進而可以證明；

（3）如圖3,令EL4GM=2a,則固V=2a,0M=2a+P，過點//作〃713GN,可得

=EW=2a,EIG77T=EIFGN=2B，進而可得結論.

【詳解】（1）證明：如圖1,12a4GE+ELD"E=180°,^AGE=^BGF.

團的3戶+即?汨=180°,

的施CZ)；

(2)證明：如圖2,過點刊作出15,

又西施CZ),

^AB^CD^MR.

^\GMR=^AGM,WMR=^\CHM.

^\GMH=⑦GMR+國RMH=團/GM^CHM.

(3)解：如圖3,令HL4GM=2a,回CHM=B，則lW=2a,團以=2a+B，

圖3

團射線G"是勖GM的平分線，

團ZFGM=|ZBGM=1(180°-ZAGM)=90°-af

GH=GM+^FGM=2a+90°-a=90°+a,

⑦NM=NN+L/FGN,

2

團2a+萬=2i+；N尸GN,

加FGN=20,

過點H作SIGN,

則畫必"T=EW=2a,團G〃T=MGV=2B，

^GHM=^MHT+^\GHT=2a+2^,

^CHG=^\CHM+^MHT^GHT=p+2a+2p=2a+30,

的施CD,

0EL4G/7+0CZ7G=18O°,

EI90°+a+2a+30=180°,

0a+p=3O°,

^\GHM=2(a+P)=60°.

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，對頂角的性質，角平分線的性質，解決本題的關鍵是掌

握平行線的判定與性質.

8.如圖1,M3D=90°,EB=EF,CB=CD.

(1)求證：EF^CD；

(2)如圖2所示，若將尸沿射線8尸平移，即EGEL8C,回尸8。=90。，EG=EF,CB=CD,請問

【分析】⑴連接陽，根據等腰三角形的性質和平角的定義得出團即8+國CD2=90。，根據直角三角

形兩銳角互余得出勖陽+05。尸=90。，進一步得出05FD+EICD尸=180。，即可證得ER3CD；

(2)連接ED,延長C8到〃，根據平移的性質，等腰三角形的性質，直角三角形兩銳角互余的性

質證得站陽+回。。尸=180°,即可證得EFSCD.

【詳解】解：(1)證明：如圖1,連接ED,

圖1

⑦EB=EF,CB=CD,

^\EBF=^\EFB,^\CBD=^CDB,

團即加0=90°,

團蛇5戶+團C8D=90°,財/Q+泌。尸=90°,

回團岳必+團。。5=90°,

回回石廠。+團。￡)b=180°,

團￡殂。￡)；

(2)成立,

延長CB到H,

^EGF=WBF,

釀FBZ)=90°,

^\HBF^CBD=90°,團8尸。+勖=90°，

團回EGN+回。助=90°,

⑦EG=EF,CB=CD,

^\EGF=^EFB,^CBD=^CDB,

團蛇必+國COB=90°,

回曲Z>+回C￡/=180°,

^EF^CD.

【點睛】本題考查了平移的性質，等腰三角形的性質，直角三角形兩銳角互余的性質，平行線的判

定和性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵.

9.已知，直線AB〃DC,點尸為平面上一點，連接AP與CP.

（1）如圖1,點P在直線45、8之間，當/5針=60。，4X7=20。時，求—APC.

圖1

（2）如圖2,點P在直線A3、8之間AC左側，NS4P與/DCP的角平分線相交于點K,寫出

NAKC與NAPC之間的數量關系，并說明理由.

圖2

（3）如圖3,點P落在8下方，NR4P與4DCP的角平分線相交于點K,/AKC與/APC有何

數量關系？并說明理由.

圖3

【答案】（1）ZAPC=80°;（2）ZAKC=-ZAPC,見詳解；（3）ZAKC=-ZAPC,見詳解

22

【分析】（1）過點尸作Afi〃尸E,根據平行線的性質得到ZAPE=NBAP,NCPE=ZDCP,再根據

ZAPC=ZAPE+ZCPE=ZBAP+ZDCP計算即可;

(2)過K作ABKE,根據平行線的性質和角平分線的定義可得出/A”與-APC的數量關系;

(3)過K作ABKE,根據平行線的性質和角平分線的定義可得出NAKC與-APC的數量關系.

【詳解】(1)(如圖1,過點P作

圖1

^AB//CD

^PE//AB//CD

ZAPE=NBAP,ZCPE=ZDCP

ZAPC=ZAPE+ZCPE=NBAP+ZDCP=60°+20°=80°

(2)ZAKC=-ZAPC

2

如圖2,過K作ABKE

D

圖2

ElAB〃CD

OKEABCD

ZAKE=ZBAK,ZCKE=ZDCK

ZAKC=ZAKE+ZCKE=ZBAK+ZDCK

過點尸作AB〃PF

同理可得ZAPC=ZBAP+ZDCP

NA4P與ZDCP的角平分線相交于點K

ZBAK+ZDCK=1ZBAP+1ZDCP=g(/BAP+ZDCP)=|ZAPC,

ZAKC=-ZAPC

2

(3)ZAKCZAPC

2

如圖3,過K作ABKE

BA

^AB//CD

OKEABCD

ZBAK=ZAKE,ZDCK=NCKE

:.ZAKC=ZAKE—NCKE=ZBAK—ZDCK

過點尸作

同理可得ZAPC=NBAP—ZDCP

NBAP與NDCP的角平分線相交于點K

ZBAK-ZDCK=-ZBAP--ZDCP=-1/BAP-NDCP)=-ZAPC

2222

:.ZAKC=-ZAPC

2

【點睛】本題考查了平行線的性質和角平分線的定義，解題的關鍵是作出平行線構造內錯角相等計

算.

10.已知：AB〃CD,點E在直線A3上，點/在直線。上.

(1)如圖，Z1=Z2,/3=/4.

①若N4=36。，求N2的度數；

②試判斷與EV的位置關系，并說明理由；

(2)如圖，EG平分ZMEF,EH平分ZAEM,試探究NGEH與/EFD的數量關系，并說明理由.

C

F

【答案】(1)①N2=36。，@EMHFN,見解析；(2)ZEFD=2Z.GEH,見解析.

【分析】⑴根據平行線的性質和判定解答即可；

(2)利用角平分線的定義和平行線的性質解答即可.

【詳解】解：(1)①AB//CD,

.?.4=/3,

Z1=Z2,/3=/4,

.-.Z2=Z4=36°；

②位置關系是：EM//FN.理由：

由①知，Z1=Z3=Z2=Z4,

ZMEF=ZEFN=180°-2Z1,

:.ZMEF=ZEFN

.'.EM//FN(內錯角相等，兩直線平行)

(2)關系是：NEFD=2NGEH.理由：

EG平分ZMEF,

ZMEG=NGEH+ZHEF①

EH平分ZAEM,

ZMEG+NGEH=ZAEF+ZHEF②

由①②可得：

:.ZAEF=2ZGEH,

ABI/CD,

:.ZAEF=ZEFD,

;.ZEFD=2NGEH.

【點睛】此題考查平行線的判定與性質，角平分線的定義，解題關鍵在于掌握各性質定義.

11.已知直線ABE1CD,

(1)如圖1,直接寫出E1BME、配、I3END的數量關系為；

(2)如圖2,回BME與回CNE的角平分線所在的直線相交于點P,試探究回P與團E之間的數量關系,

并證明你的結論；

11/_p

(3)如圖3,回ABM二一團MBE,團CDN二一團NDE,直線MB、ND交于點F,則——=

nn/E

【答案】(1)EIE=EIEND-EIBME；(2)0E+2HNPM=18O°；(3)——

n+1

【分析】(1)根據平行線的性質和三角形外角定理即可解答.

(2)根據平行線的性質，三角形外角定理，角平分線的性質即可解答.

(3)根據平行線的性質和三角形外角定理即可解答.

【詳解】解：(1)如圖1,EABHCD,

fflEND=0EFB,

EBEFB是AMEF的外角，

fflE=EEFB-回BME=IBEND-EBME,

故答案是：0E=0END-0BME；

(2)如圖2,0AB0CD,

EECNP=I3NGB,

EHNPM是AGPM的外角，

00NPM=ENGB+aPMA=[aCNP+0PMA,

I3MQ平分團BME,PN平分I3CNE,

EIEICNE=20CNP,0FME=20BMQ=20PMA,

0AB0CD,

團團MFE二團CNE=2回CNP,

團團EFM中，團E+團FME+團MFE=180°,

團團E+2團PMA+2團CNP=180°,

即團E+2(SPMA+0CNP)=180°,

團團E+2團NPM=180°；

(3)如圖3,延長AB交DE于G,延長CD交BF于?H,

團ABR1CD,

RECDG二團AGE,

團團ABE是"EG的外角,

團團E二團ABE-RIAGE二團ABE-團CDE,①

E

nn

11

回團ABM二——團ABE二團CHB，回CDN二——團CDE二團FDH，

n+1n+1

fflCHB是△DFH的外角,

111

回回F二國CHB-回FDH二——回ABE-----回CDE=——(團ABE-團CDE),(2)

H+1幾+1n+1

i/F1

由①代入②,可得樂Q既，BP-

n+1

1

故答案是:

n+1

12.如圖1,￡點在5C上，/A=/D,ZACB+ZBED=180°.

DD

CD

⑴求證：AB//CD；

(2)如圖2,AB//CD,BG平分/ABE,與NED廠的平分線交于X點，若NDEB比/DHB大60

求/。￡8的度數.

⑶保持(2)中所求的的度數不變，如圖3,BM平6/EBK,DN平分/CDE,作BP//DN,

則/依”的度數是否改變？若不變，請求值；若改變，請說明理由.

【答案】⑴見解析

(2)100°

⑶/尸2M的度數不變，理由見解析

【分析】(1)如圖1，延長。E交48于點廠，根據N/C8+N2ED=180°,ZCED+ZBED=180°,

可得N4CB=NCED,所以/C〃。*可得=又/A=ND,進而可得結論；

(2)如圖2,作EW〃C￡?,HN//CD,根據/8〃CD,可得AB〃EM〃HN〃CD,根據平行線的性

質得角之間的關系，再根據/D班比NDAB大60°,列出等式即可求NOE3的度數；

(3)如圖3,過點E作￡S〃CD,設直線。尸和直線BP相交于點G,根據平行線的性質和角平分

線定義可求■的度數.

【詳解】(1)證明：如圖L延長DE交N8于點尸，

VZACB+ZBED^180°,NCED+NBED=180°,

ZACB=ZCED,

：.AC//DF,

：.NA=NDFB,

,/ZA=ZD,

：./DFB=ZD,

:.AB〃CD；

(2)如圖2,炸EM//CD,HN//CD,

,CAB//CD,

：.AB//EM//HN//CD,

：.Z1+ZEDF=18Q°,ZMEB=ZABE,

平分N/BE,

/.ZABG=-ZABE,

2

'：AB//HN,

；.N2=NABG,

'：CF//HN,

Z2+Zp=Z3,

:DH平分NEDF,

：.Z3=-ZEDF,

2

：.J/ABE+Zp=|zEDF,

.*.ZP=1(NEDF-NABE),

：.ZEDF-ZABE=2Z^,

設NDEB=N(x,

,/Za=Z1+ZMEB=1800-ZEDF+ZABE=180°-CZEDF-ZABE)=180°-2Zp,

"?ZDEB比/D//B大60°,

Na-60°=N0,

AZa=180°-2(Za-60°),

解得Na=100°,

防的度數為100°；

(3)/P8M的度數不變，理由如下：

如圖3,過點E作￡S〃CD,設直線。尸和直線3P相交于點G,

■:BM平分NEBK,DN平分NCDE,

：.NEBM=/MBK=-ZEBK,